LIVRE IV

des secteurs , R son rayon , s l’aire de l’autre, r son rayon, a l’angle commun. On a (p. 6 , c. 2)

a;rR’ 360® ’

a Tir

donc

a 71 R’ a Tir 360 ■ 360

ou : : R' ; r\

L’angle a peut être de 360", et alors les secteurs se changent en des cercles entiers , on a S=7rR% sz=ii r, et S : a : : R’ :

ce qui signifie que les aires des cereles sont comme les carrés des rayons , de même que les aires des secteurs semblables.

THÉORÈME

Le carré construit sur l’hypothénuse BC d’un triangle rectangle ABC, est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés.

Construisez des carrés sur les trois côtés, et du sommet Fig. ii7. A de l’angle droit, menez AD perpendieulaire sur l’hypotbénuse; les triangles BAD, DAC, BAC seront semblables (I. 3, p. 20); donc ils sont entre eux comme les carrés des côtés homologues, et l’on a

B AD : BA : : DAC : ÂC : : BAC : BC , puis BAD+DAC : ^+ÂC : : B AC : BC.’.

Or, BAD+DAC est égal au second antécédent BAC; donc au,ssi BA-f-AC = BC.

On peut décomposer les trois carrés en parties telles que celles qui r.'suUent des carrés formés sur les côtés AB, AC sont superpo- Fig. 118.

GtOMÉTHIE.

Kig. 117.

sables avec celles qui résultent du carré de riiypolhéiiuse. Soient ACGF, ABDE les deux premiers carrés. Prolongez GF, UE jusqu'à leur rencontre en I ; aux points U , C , élevez sur l'Iiypotbénuse les perpendiculaires BL.CH jusqu'à la rencontre de DI.GI, en L, Il ; tirez LH ; je dis que BCIIL sera un carré. En effet, dans les deux triangles DBL, B.VC, le côté DB = BA, à cause du carré AD; les angles BDL, BAC sont égaux comme droits; les angles aigus DBL, ABC sont égaux comme ayant les côtés perpendiculaires chacun à chacun ( 1. 1 , p. 17 ) ; donc ces triangles sont égaux et le côté BL^BC. En comparant le triangle GCIl à ABC, on prouvera de même que Cll=zBC. Les côtés BL, tlC étant ainsi égaux cl parallèles , LU et BC le seront aussi (I. 1 , p. 23), et la flguro LBCII aura ses quatre côtés égaux, les angles en B et C droits; donc l'angle LUC sera égal à LBC fl. 1, p. 17) , et cotte ligure sera le carré construit sur l'hypothénuse BC.

Cela posé, ce carré est décomposé en trois parties : 1° Le quadrilatère ACHK qui lui est commun avec le carré ACGF; 3° le triangle ABC égal au triangle HCG qui fait encore partie de ce dernier carré. Ainsi la partie ACHK-t-ABC ou BCHK du carré de l'hypothénuse est équivalente à la partie ACGHK du carré do AC; 3° le triangle LKB : or, je dis que ce triangle vaut le triangle FKH, partie restante du carré de .AC, plus le carré de AB. En effet , si l'on prolonge DE et BC jusqu'à leur rencontre en M, le triangle BNA peut être remplacé par son égal BMD, puisque AB= DB, que les angles en A cl D sont droits, et les angles NBA , DBM égaux comme angles aigus ayant les côtés perpendiculaires, et le carré ABDE sera Irausiorraé dans le quadrilatère équivalent BME.N, Ensuite le triangle FKH est égal au triangle ENL! Car LB = LH, BN = BM = LK; par suite LB — BN = LH — LK , ou LN=KH; d'ailleurs, à cause des côtés perpendiculaires, les angles adjacents à ces côtés sont égaux chacun à chacun; donc le triangle HFK-t- le carré BADE équivalent ensemble au triangle LMB ou à son égal LKB.

Remarque. On a prouvé (I. 3, p. 20) que chaque côlé lie l’angle droit est moyen proportionnel entre l’hypotbénuse et le segment adjacent, ce qui donne les proportions