BAC

Joignez le sommet A au point E milieu de BC, par la droite AE que vous prolongerez d’une quantité EF égale à AE, et tirez FC. Les deux triangles ABE, EFC auront les angles AEB, CEF égaux comme opposés au sommet (p. 4); le côté AE = EF par construction, et de même le côté BE = CE; donc (p. 5) ils sont égaux , et l’angle ABE opposé à AE, sera égal à l’angle ECF opposé à EF qui =AE.

Mais l’angle BCD est plus grand que l’angle ECF; donc BCD est aussi plus grand que ABE ou ABC.

Pour prouver que l’angle BCD est plus grand que BAC,' on prolonge BC vers G , ce qui donne l’angle ACG égal à BCD (p. 4) , et on raisonne sur les angles ACG et BAC.

Corollaire. Si l’angle BCA était droit, l’angle extérieur BCD , qui est son supplément, serait aussi droit (p. 2 , c.) ; donc chacun des angles ABC, BAC serait mqindrc qu’un angle droit. Si l’angle BCA était obtus , son adjacent BCD serait aigu , et chacun des angles ABC , BAC serait moindre que cet angle aigu. Donc, si dans un triangle il y a un angle droit ou obtus, les deux autres sont nécessairement aigus.

THÉORÈME

Veux droites perpendiculaires à une même troisième droite ne sauraient se rencontrer, ni sur cette troisième , ' ni au dehors.

(iKOMhTRIt.

En cfi'cl, si clics sc rencontraient sur lu troisième, on pourrait, au point de rencontre, élever à celle-ci deux perpendiculaires difTérentes , ce qui est impossible (d. 10. r.).

Fig. 12. En second lieu, si deux droites AB, CD, perpendiculaires à une meme troisième droite EF, pouvaient sc rencontrer hors de la droite EF, ces deux droites ÀB, CD formeraient avec EF un triangle dans lequel les deux angles BEF, DFE seraient droits , ce qui est impossible. Donc AB et CD ne se rencontrent pas.

THÉORÈME

Fig. 13. Si d’un point A , pris hors d’une droite BC , on mène sur cette droite une perpendicuiaire AD, et différentes obliques AF, AE , AG , etc. :

V La perpendiculaire AD sera plus courte que toute oblique AE, AG, etc.;

2“ Deux obliques AE, AF, qui s’écartent de part et d’autre à égale distance du pied de la perpendiculaire sont égales.

3° De deux obliques qui s’écartent inégalement du pied de la perpendiculaire , celle qui s’écarte le plus , est la plus longue.

1* En effet, dans le triangle ADE, l’angle en D étant droit, l’angle AED sera plus petit qu’un droit (p. 10, c.); donc le côté AD, opposé à celui-ci, est plus petit que le côté AE opposé à l’autre (p. 9), c’est-à-dii-c que la perpendiculaire est plus courte que l’oblique.

2*’ Soient les deux distances égales DE, DF; je dis que les obliques AE, AF sont égales. Car les triangles ADE, ADF ont les angles en D égaux comme droits, le côté AD 'commun, le côté DE = DF par hypothèse; ainsi (p. 5) ces deux triangles sont égaux, et le côté AE = AF; donc

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