ABC : ADC : ABD : : BC : DC : BD

Donc, à cause des termes communs, on a

BC’; ÂC : Âb’;:BC: DC. BD;

Ce qui prouve 1® que le carré de l’ hypothénuse est au carré de chacun des côtés de l’angle droit, AC ou AB, comme l’ hypothénuse est au segment adjacent DC ou BD;

2° que les carrés des côtés de l’angle droit sont entre eux comme les segments adjacents.

Corollaire 3. La diagonale AC d’un carré ABCD est au Fig. 119. côté AB de ce carré, comme l/2l 1. Car le triangle rec-

langle ABC donne AC = AB + BC = 2 AB , d’où ia proportion AC : AB : : 2 : 1 , puisque ie produit des extrêmes est égal à celui des moyens. Extrayant la racine carrée, on a AC : AB :: 1. La diagonale est donc incommensu-

rable avec le côté du carré, ce qu’on peut encore prouver de la manière suivante.

Pour trouver la commune mesure de la diaj;onale et du côté , on porte le côté AB sur la diagonale (1. 3, p. 2) ; comme AC > AB, et que AC<AB-I-BC ou <2AB, il est clair que AB sera contenu dans AC une fois avec un reste FC. Comparons ce reste FC avec AB. Pour cela, do point A comme centre avec le rayon AB, décrivez on cercle et prolongez CA josqn'à la circonférence en E. L'angle ABC étant droit, la droite CB est tangente au poiut B (1.2, p. 6) , et comme CE est une sécante , on aura (I. 3 , p. 24)