LIVRE IV

de bO ; donc

■iab = ae-t-60,

retranchant de part et d’autre bO on ab, il vient

3ab — ac.

d'où ac : ab - 3 : 1 et ac ; ab : : t^3 : 1 ; mais ab est égal au rayon , donc , etc.

Corollaire 6. Si dans un triangle Ut carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, l’angle opposé auptemier côté estdroit. Soit un triangle ABC, rectangle en A; sur le côté AC, construisons deux triangles ACE, ACD ^ Fig. 120 . ayant le côté AE = AB = AD ; et de plus , l’angle CAE aigu , et CAD obtus. Puisque ces trois triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, et que les angles compris sont tels, que CAE CAB CAD, il s’ensuit (I. 1, p. 7) que le côté CE < CB < CD.

Or, CB = CA + AB ; donc CE CA H- AB , ou bien

*<C^ CA -t- AE, tandis que CD ^ C A + .AD. Par conséquent, le carré du côté opposé à un angle aigu est plus petit que la somme des carrés des deux autres , et le carré du côté opposé à un angle obtus est plus grand. Ce n’est donc que dans le cas où l’angle est droit que le carré du côté opposé est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Déf/nit/oh VII. La projection d’une’ligne droite AB Fig. i-2i. ou d’une courbe ACB sur une droite indéfinie EF est la distance EF comprise sur celle-ci entre les pieds des perpendiculaires AE, BF abaissées des extrémités A, B de celle-là.

Nota. Dans les deux propositions qui suivent, on se fonde, sur ce que fa-t-b)’ = a’-l-2ab-»-b’ et (o-b)’ — a’— 2ob-l-b’.

THÉORÈME

Le carré du côté opposé à un angle aigu d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection de l'autre sur celui-là. l’ig. 12‘2. Soit C un angle aigu du triangle ABC; du point A abaissons sur BC la perpendiculaire AD , et supposons qu’elle tombe dans le triangle. A cause du triangle rectangle ABD, on a (p. 8)

ÂB = ÂD + BD*. . , . .

Mais BD = BC-DC,

j>où BD = BC-hDC — 2BCXDC.

Remplaçant BD par celle valeur, on obtient

•' ÂB = AdVdc’-1-BC — 2BCXDC.

Mais AD-i-DC = AC, à cause du triangle rectangle ADC; donc ÂB =Tc-t- BC — 2BC X DC.

S'il s'agit du triangle AB'C , la perpendiculaire AD tombe au dehors. Mais on a encore

Âb’=:Âd + B^’,

d’ailleurs de B'D = DC— B'C, on tire

• b 1)=DC-1-B'C — 2DCxB'C,

et par suite AB' = AC- 1 -B‘C — 2DCxB'C,

ce qui était à prouver.

THÉORÈME

b’ig. 122. Dans un triangle AB'C gui renferme un angle obtus, le carré du côté opposé AC est égal à la somme des carrés des cotés gui comprennent cet angle, plus deux fois le produit do l’un de ces deux cotés par la projection de l autre sur celui-là.