LIVRE

l)u point A menez AD pcrpcnJiculairc sur BC;’ celle droite tombera hors du triangle sur le prolongement de CB' vers B', et l'on aura

ÂC=XD-t-lDB-t-BC)'

= ÂdV DB'V bX V 2DB' X B'C = XbV XcV 2DB' X B'C.

PROBLÈME

Transformer un rectangle donné en un autre rectangle équivalent , dont la base est donnée.

Soient 3, h les deux côtés du rectangle donné, B la base du rectangle cherché. On cherchera une quatrième proportionnelle aux trois lignes B, 6, /i (I. 3, p. 9); cette quatrième proportionnelle est la hauteur du rectangle cherché. Car on aura

d’où ô X A = B X a:.

Or (p. 1, c. 1), ô X A est l’aire du rectangle donné;

B X a; est celle du rectangle construit sur B et x; donc celui-ci est équivalent au premier.

PROBLÈME

Transformer un polygone donné en un triangle équivalent. .

Soit ABCDE le polygone. Tirez une diagonale DB qui pig. 123 . sépare du polygone un triangle DBC; du point C menez CF parallèle à cette diagonale DB, jusqu’à la rencontre de AB prolongé en F , et joignez DF; le triangle DBF sera équivalent à DBC. Car ces deux triangles ont même hase DB; de plus, leurs sommets C, F, étant sur une droite CF pa-

GÉOM^rTRIE.

ralièle à la base DB, ces deux triangles auront aussi môme hauteur. Donc (p. 3) ils sont équivalents, et sans changer l’aire du polygone donné, on peut remplacer le triangle DBG par DBF, ce qui transforme ÀBGOE en un polygone AFDE qui a un côté de moins. Si sur l’angle E on fait la même construction que sur C , on obtiendra le triangle GDF équivalent au polygone donné.

Il y a, en général, à faire autant de constructions que ce polygone a de sommets, moins trois.

PROBLÈME

Transformer un polygone donné en un carré équivalent, c’est-à-dire carrer un polygone.

1° Si le polygone donné est un parallélogramme, on cherchera une moyenne proportionnelle entre la base et la hauteur; cette moyenne proportionnelle sera le côté du carré demandé. Car soient b, h la base et la hauteur, x la moyenne proportionnelle, on aura

b: X ::x : h, d’où x^ = bxh.

Donc x^, aire du carré fait sur x, est égal k b X h, aire du parallélogramme.

2® Si le polygone donné est un triangle, le côté du carré sera une moyenne proportionnelle entre la base et la moitié de la hauteur.

3® Si le polygone n’.est ni un triangle, ni un parallélogramme, on le transforme en un triangle équivalent (p. 12), ce qui ramène au second cas.

Remarque. Carrer une figure ou en opérer la quadrature , sont deux cxpi'essions synonymes. La quadrature du cercle aurait donc pour objet de trouver un carré équivalent à l'aire du cercle. A cet elTet il fandrait chercher une moyenne proporlionnelle entre la rircenférence et la moitié du rayon. Il faudrait donc savoir con-