LIVRE IV. l4l

siruirc une ligne droite égale à la circonférence, en supposant le rayon connu. Ce problème n'est pas encore résolu. ■

,, PROBLÈME

Construire un rectangle connaissant l’aire , cùnsi que la différence ou la somme des côtés adjacents.

1° On transformera l’aire donnée en un carré équiva- Fig. I2f. lent M. Soit d’ailleurs CD la différence donnée; sur cette droite comme diamètre on décrira une circonférence; au point C on lui mènera une tangente CE égale au côté AB du carré; joignant le point E au centre O, on aura deux segments EG , EF qui seront les côtés du rectangle cherché.

Car, en premier lieu , la différence de ces côtés est FG ou CP , qui est la différence donnée ; en second lieu , à cause de la tangente EC et de la sécante EG, on'a (I. 3, p. 24)

GE ; EC : : EC : EF, ou GEx FE = EC; donc l’aire du rectangle fait sur GE et FE , est égale à l’aire du carré fait sur EG , c’est-à-dire à l’aire donnée.

2° Soit DC la somme donnée. Ayant encore transformé Fig. 125. l’aire donnée en un carré équivalent M, sur cette ligne DC, comme diamètre, décrivez une demi-circonférence; au point C élevez sur CD une perpendiculaire CE égale au côté AB du carré : du point E menez à CD une parallèle EF qui coupera la circonférence en un point F; enfin, de ce point F menez FG perpendiculaire à CD, et CG, GD seront les côtés du rectangle cherché. Car la somme de ces côtés est égale à la ligne donnée CD; de plus, la perpendiculaire FG étant moyenne proportionnelle entre les segments CG, GD (I. 3, p. 20), on a GD : FG : : FG ; GC,

d’où GDxGC = FG = EC. Donc l’aire du rectangle, fait sur GD et GC , est égale à l’aire du carré donné, fait sur EC.

Remarque, Si le carré avait son côté égal à la moitié de Fig. 125.

CD, en élevant CH perpendiculaire à CD et égale à ce côté, puis, menant du point H la droite HI, parallèle à CD, on obtiendrait un point I tel que la perpendiculaire abaissée de ce point sur CD, passerait au centre O, et on retrouverait CO et OD pour les côtés du rectangle. Mais, si le côté du carré était plus grand que CO ou CH, la parallèle men^ à CD, ne rencontrerait pas la circonférence, et le problème serait impossible.

Et en effet , si l'on fait mouvoir le point G do C vers D, les côtés du rectangle passeront par tous les états de grandeur qu’ils peuvent avoir entre zéro et CD, et le côté du carré équivalent au rectangle ne surpassera jamais 01, qui est donc la plus grande valeur qu’il puisse avoir tant que la question est possible.

PROBLÈME

Construire une figure qui soit semblable n une figure donnée P , et qui ait une aire donnée Q.

Soit a une dimension de la ligure P , x son homologue dans la figure inconnue que je représente par X. Les figures P et X , étant semblables, sont entre elles comme les carrés des dimensions homologues (p. 7); ainsi P : X : ; a’’ : x'‘.

Mais l’aire de X est égale à celle de Q, ce qui change celle proporlion en

P : Q : : fl’ ;

Cela posé, on carrera les figures P et Q; soienl m, n les côlés des carrés obtenus, de façon que P=m% Q=n’; remplaçant P et Q par m’ et n', on aura

m’ : n’ ; : a’ : r’, d’où m : n : : a : X.

Ainsi on cherchera (I. 3j p. 9) une quatrième propor-