LIVRE IV

J’où ABC + «6c : ABC : : AB + o6 : AB.

Mais on a aussi EHF : ABC : : FE ; AB.

Or, à cause du triangle rectangle EDF, on a FE:=FD.

+ ED=z AB ainsi, dans ces deux proportions, les trois derniers termes sont communs, et par suite EHF = ABC-f^a6c.

2° Supposons qu’il s’agisse de construire une figure égale à’Ia différence des figures ABC, abc. Sur un des côtés d’un angle droit, on prend DE égal à une dimension ab de la plus petite des deux figures; du point E comme centre, et d’un rayon égal à AB , homologue de ab, on décrit un arc de cercle qui coupe l’autre côté de l’angle droit en un point G; sur GD, comme homologue de AB , on fait une figure semblable à ABC, et cette figure GID sera égale à ABC —

abc. Car de la proportion ABC : abc ; : AB : ab, on déduit

ABC — abc ; ABC : : AB — «6 : AB.

Mais à cause du triangle rectangle GED , on a - '

ÂB — Ô6^= ^ — iÆ = GD.

Comparant donc cette proportion avec la suivante

GID : ABC : : GD : Âb‘, on aura GID = ABC — abc.

Remarque. S’il s’agit de faire une figure semblable à ABC et ayant avec la somme ABC -1- «6c un rapport donné, on cherche d’abord la figure EHF égale à cette somme, ensuite, au moyen du problème précédent, on construit une figure qui soit semblable à EHF, et soit avec EDF dans le rapport donné.

THÉOBÈHE.

Fig. 128. Le lieu de» poinls de chacun desguels on peut mener de» tangentes égales à deux cercles non concentriques est une droite perpendiculaire à la ligne des centres.

Soient A , B les centres des déni cercles ; soient deux tangentes CD, CE, et les rayons de contact AD, BE. Les triangles rectangles ADC, BCE donneront CD = ÂC — AD* , CE = Bc’— Ëi; par conséquent, pour que les tangentes CD, CE soient égales, il faut et il suffit que l'on ait

ÂC-ÂD = BC — BË’ ,,

ou (1) AC — Bc’=Aü’— B e’.

Mais si du point C on mène CF perpendiculaire à la ligne des centres AB, on a aussi

ÂC=ÂF-4-Cf"

ic'=BF-t-CF,

d'où AC — BC = AF — BF.

Comparant cette égalité avec (1), on en déduit

(2) Af’— BF = AD-BE.

Mais si l'on suppose que BE ne surpasse pas AD, je dis que AC sera ^ CB. Car placez le c6té CE sur DC , de façon que BE prenne la direction de DA : BC et AC seront alors deux obliques par rapport à DC, et AC sera ~ BC. Donc le point C n'est pas plus près

de B que de A , et le point F tombe ou entre A et B, ou au delé de B par rapport à A , vers F'. Dans le premier cas on a

BF = AB-AF, dans le second BF' = AF' — AB.

Si donc on pose AB = a, AF ou \F'=x , on a BF = a X . BF' = x— O,

UVRK IV.

el Bf , do même que BF', sera représenlé par

Soit encore AD = K, BE = r; la relation (2) devient R’— r’ = X’— a’-+-2ox— X’,

d'eù X = ; .

La distance x ou AF ne change donc pas avec le point C : donc le lieu de ce point est une perpendiculaire à AB.

DÉriNiTioy riii. Ccttc droite a reçu le nom d'axe radical.

PROBLÈME

Construire l'axe radical de deux cercles.

1° Les deux cercles sont tangents. Dans ce cas l’axe radical est la tangente commune DE; car si d'un poiut quelconque E, pris sur cette tangente , on mène les tangentes EF , EG , on a fl. 2 , p. 23, r. 1 ) EF = ED , ED = EG ; donc FE = EG ; donc les tangentes menées d'un point quelconque de DG sont égales. Il en eSt de même si les cercles se louchent intérieurement.

2° Les deux cercles se coupent ; tirez la corde commune cl prolongez-la indéBnimcnl , ce sera l’axe radical. En effet , soient menées les tangentes EF , EG, à partir d’un même point de DC , on anra (I. 3, p. 24)

fË’z^EDXEC , etiG = EDxEC, d’où FE = EG ;

donc CD est l'axe radical.

3° EuQn , les deux cercles A, B n’ont aucun point commun. On les coupera tous les deux par un troisième cercle quelconque L. Soient G, U les points où ce cercle coupe le cercle A ; I , K ceux où il rencontre le cercle B; lirez les sécantes GII, Kl qui se couperont en un point O , si le centre L n’est pas situé sur AB. Do point O menez une perpendiculaire OC à la droite AB, et celle perpendiculaire sera l'axe radical. Car d’abord les doux droites GH, IK se couperont sur leurs prolongements, puisque les cercles A, B n’ont aucun point commun. Ensuite, si du point d'intersection O on mène les tangentes ON, OM , on a (I. 3 , p. 24)

Fig. 129.

Fig. 130.

Fig. 128.

DigitizcxJ by Googte

G^.OHKTRIE.

J'un côié ON==OGXOII,

de l’autre ' ' OM = 01 x OK.

MaisOG,OK étant des sécantes du cercle L, on a aussi (1.3, p.23) OGxOH=rOlxOK.

Donc ON = OM ,

et le point O appartient à Taxe radical; donc OF est cet axe.

■ THÉORÈME

Si les centres de trois cercles ne sont pas en ligne droite , les axes radicaux de ces cercles , pris deux d deux . se coupent en un même point.

128. Il y a deux cas à considérer ; 1° L’intersection de deux des axes radicaux n’est dans l’intérieur d’aucnn des trois cercles. Soient A, B , S les centres des trois cercles ; CQ , PQ deux axes radicaux qui se coupent au point Q. Si du point Q on mène des tangentes aux trois cercles, celles qui toucheront les cercles A , B seront égales, puisque le point Q est sur la droite CQ , axe radical de ces deux cercles. Par une raison semblable, les tangentes menées do ce même point Q aux cercles B , S sont égales. Donc les tangentes menées du point Q anx cercles A , S sont égales , et le point Q appartient à l'axe radical de ces deux cercles (p. 18). Par conséquent ce troisième axe passe egalement au point Q.

131. 2° L’intersection F de deux des axes DE, GI est dans l’un des

cercles A ; par suite, ces deux axes DE, G1 coupent ce cercle. Soit DE l’axe radical des cercles A et B ; cet axe passera nécesr sairement aux points D , E. Soit F le point où cet axe est coupé par celui des cercles B , C. Ce point F, se trouvant sur la corde ’ commune anx cercles A , B , est donc aussi dans le cercle B; par conséquent , le second axe G( coupera le cercle B en deux points G, I , et le troisième cercle passant nécessairement par G et I , le point F est aussi dans l’intérieur du cercle G.

Mais la corde ED divise le cercle B en deux arcs , dont l'un ' DGE est dans le cercle A, l’autre au dehors ; et si du point F on mène une droite quelconque GI, elle coupera chacun de ces arcs