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GKUMÉTRII-.

un point F, cl comme la sécante IH est menée du point O , ce point F appartiendra à la polaire du point O par rapport au cercle C (I. 3, p. 44, c. 1); celte polaire sera donc la perpendiculaire FL menée du 'point F snr le diamètre CO qui passe au pôle O (ib.^.

Cola posé, la tangente FH, commune aui doux cercles C, C", est leur axe radical (p. 49). De même, si en G on mène la tangente GB commune aux cercles C', C", elle sera leur axe radical ; par conséquent, le point B où ces deux axes se coupent est le centre radical des trois cercles ( p. 20) , et si de ce point B on mène AB perpendiculaire à la ligne des centres CC', celle droite BA sera l'axe radical des cercles C , C'.

I) s'agit donc de prouver que les droites FL, BA sont homologues par rapport au point H, centre de similitude des cercles C, C"; et comme ces droites sont parallèles, il suffit de prouver ‘ . que les points F, B, où elles sont rencontrées par un même rajon vecteur FHB, sont homologues. Or, les points 1, G , pris sur deux figures semblables, c’est-à-dire sur les cercles C, C", et sur un même rayon vecteur, sont homologues; mais les centres C, C" le sont aussi ( I. 3 , p. 31 ] ; donc les rayons Ci , C"G sont parallèles (I. 3, p. 12), et les tangentes IF, GB, respectivement perpendiculaires à ces rayons, sont aussi parallèles. Donc les droites IF, BG , parallèles et menées par des points homologues, sont homologues, et les points F, B, où elles rencontrent le rayon vecteur FB, sont homologues. Par conséquent, les parallèles FL, AB le sont. On raisonne de même dans les autres cas.

Remarque. Si les deux cercles C , C' étaient égaux, leur centre de similitude directe O n’existerait plus ; la droite IIG serait parallèle à la ligne des centres CC', et la droite FL passerait au centre • ^ C , sans cesser d’étre homologue de l’axe radical AB.

THÉORÈME

Fig. 133. Toutes les fois qu’un cercle C'" en touche trois autres C, C', C'' de ïa même manière . le pôle de l'axe de similitude directe de ces trois cercles , pôle pris par rapport à l'un de ces cercles, est en ligne droite avec leur centre radical et avec le point où ce cercle est touché par C'". Si le cercle C'" ne touche pas les trois autres de la même manière, l'axe de similitude directe est remplacé par un axe de simili-