LIVRE IV. 1 5 I

iud« invers» passant par le centre de similitude directe des deux cercles qui sont touchés de la même manière par C'“.

Soit O le centre radical des cercles C, C', C". Soit SS"S‘ l'axe de similitude directe de ces cercles ( I. 3, p. 38 1 ; pour en délerminer le pôle par rapport au cercle C , on n'a qu'à mener de deux points S', S" de cette ligne des tangentes à C; le point D, intersection des cordes de contact DK , DF, sera le pôle (I. 3 , p. 44 ).

Mais la corde DE est aussi la polaire du point S" par rapport au cercle C (I. 3, p. 44, c. 3); si de plus on mène OA'', axe radical de 0 , C', d'après la proposition précédente ces deux droites DK, OA" seront homologues par rapport au point I, où se touchent C et C'". De même la corde DF et l'axe radical OA' des cercles C , C'i sont homologues par rapport au point I. Donc D, intersection des deux cordes, et O, intersection des axes radicaux , sont homologues par rapport au point I , cl les trois points D , I , O sont en ligne droite.

On prouvera de même pour les autres cas.

PROBLÈME

Décrire un cercle tangent à trois cercles donnés C , C', C". pjg. 133 .

Cherchez l'axe de similitude directe SS' des trois cercles et détorminez-en les pôles D , D', D" par rapport à chacun de ces trois cercles; soit d'ailleurs O leur centre radical; joignez-le anx trois pôles par les droites OD, OD', OD". Ces droites couperont les cercles correspondants en des points 1 , 1', I", qui , d'après le théorème précédent , seront les points où ces cercles donnés seront touchés par le cercle cherché. Ainsi les droites IC, l'C', I"C'| prolongées se couperont en un point C'", qui sera le centre de ce cercle cherché.

Il existe un cercle qui enveloppe les trois cercles donnés en les louchant. Pour le trouver, prolongez II) jusqu'à sa seconde intersection avec le cercle C ; faites de même de l'D', I"D" par rapport ' I

aux cercles C', C" ; les trois points ainsi déterminés seront ceux |

où le cercle enveloppant touchera C , C', C". 1

Outre les deux cercles tangents qu'on vient de déterminer et qui touchent chacun les trois cercles donnés de la même manière, il y a encore six cercles tangents. Il y en a un qui louche le cer- j

dÉOM^TRIË.

cIc C exlérieiirement en enveloppant C', C'^; an autre touche 0', C" extérieurement, tandis qu'il enveioppe C. Pour trouver cea deux cercles, on remplace les deux centres de similitude S , S" par les centres de similitude inverse que fournit le cercle C, conxparé avec chacun des cercles C', C", et l'on opère comme ci-dessus.

Si dans ces dernières constructions un remplace le cercle C par C' et réciproquement, on aura encore deux cercles tangents. Enfln on trouvera les deux derniers en remplaçant C par C".

Remarque. Si les trois cercies donnés sont égaux , l'axe de similitude directe n'existe plus; mais le centre radical est dans ce cas le centre commun des deux cercles qui touchent les trois cercles donnés de la même manière.

La construction ci-dessus, toute élégante qu'elle est, offre l'inconvénient d'étre complètement en défaut lorsque les centres des trois cercles donnés sont en ligne droite : on y suppléera plus bas.

Cette même construction donne la solution des problèmes où il s'agit de déterminer un cercle par trois conditions qui consistent en ce que ce cercle doit toucher des cercles , toucher des droites ou passer par des points donnés. Il snfQt pour cola de regarder une droite comme un cercle d'un rayon infini , et un point comme un cercle d'un rayon nul. Nous n'entrerons pas dans la longue discussion à laquelle cette manière de voir conduit. Voici des solutions directes pour quelques-uns des problèmes dont il s'agit.

Fig. 134. Par deux points C', C" faire passer un cercle langent à un cercle donné C.

Par les points C', C" faites passer un cercle quelconque qui rencontre le cercle donné en deux points D, E; tirez la corde DE, ' ■ que vous prolongerez indéfiniment; tirez ''de môme C'C": il y aura deux cas.

1» Si les droites DE, C'C" se rencontrent, du point d'intersection A menez au cercle donné C les tangentes AF, AF' ; soient F , F', les points de contact. Par les trois points F, C', C" on fera passer un cercle; je dis que ce cercle sera langent au cercle