LE PLAN

THÉORÈME

Par trois points A , B, C, non en ligne droite, on peut faire passer un plan.

Tirez la droite AB; dans un plan quelconque EF, tirez Fig. 1.38. une droite quelconque, et prenez -y une distance A'B' égale à AB. Placez le point A' sur A et le point B' sur B, ce qui permet de donner au plan EF une infinité de positions autour de AB, puisqu’une droite peut tourner sur elle-même sans changer de position dans l’espace. On peut donc faire tourner ce plan autour de AB jusqu’à ce qu’il s’appuie sur le point C, et dès lors les trois points A, 6, C sont dans ce plan.

Du reste, par les trois points A, B, G on ne peut faire passer qu’un seul plan. Car (I. 1 ,p. 1) deux plans se confondent s’ils ont de commun trois points non en ligne droite.

Corollaire 1. Deux droites AB, AC, qui se eoupent, sont dans un même plan et déterminent ce plan. Car, .si outre le point d’intersection A on prend un point B sur l’uAe des droites et un point C sur l’autre, ces trois points déterminent un plan qui contiendra les droites AB , AC, puisque chacune d’elles y a deux points (I. 1 , d. 7).

GÉOMÉTHIE.

Fig. 139. Corollaire 2. Deux parallèles déterminent un plan. En elTet elles sont dans un même plan (I. 1, d. 16); mais on ne saurait faire passer plus d’un plan par ces deux droites. Car on peut y prendre trois points A, B, C, non en ligne droite, et tout plan qui contient les deux parallèles contient aussi ces trois points.

THÉORÈME

• Si deux plans se coupent , leur intersection est une ligne

droite.

Fig. 140. Je dis d’abord que cette intersection ne saurait se réduire à un point. Car soient CD, AB deux plans qui ont le point H commun. Par ce point H tirez dans le plan CD deux droites indcBnies KL, GI; si les deux portions de droite HK, HG sont d’un même côté du plan AB, les deux parties HL, HI seront de l’autre côté, de sorte que lu droite Kl , menée d’un point quelconque de HK à un point quelconque de HI, sera dans le plan CD, et percera le plan AB en un point M. Ce point M et le point II déterminent une droite HM qui aura deux points H, M dans chacun des deux plans AB, CD, et sera ainsi tout entière dans chacun de ces plans. L’intersection des deux plans comprend donc la droite HM; je dis de plus, que les deux plans ne sauraient avoir de commun que les points de cettedroite indéfinie. Car s’ils avaient de commun un point situé hors de cette droite, ce point, avec H» deux points H, M, formant un système de trois points non en ligne droite, les deux plans qui les contiendraient chacun, se confondraient en un seul et même plan (I. 1, p. I).

Remarque. L’intersection d’un plan et d’une droite ne peut Jamais se composer de plus d’un point; car si une droite a deux points dans un plan, elle y est tout entière (1.1, d. 7).