LIVRE V. i5q

Définition i. Le point d’intcrscclion d’une droite et d’un plan s’appelle le pied de la droite sur le plan.

THÉORÈSIE.

Une droite AB perpendiculaire à deux autres BC, BD, Fig. 141. qui passent à son pied B dans un plan GF est perpendiculaire à toute autre droite BE , menée par ce pied B dans le même plan GF.

Puisque les droites BC, BE, BD sont dans un même plan GF, on peut mener une droite CD qui les coupe toutes les trois. Soient C, E, D les points d’intersection. Prolongez la droite AB vers A', et après avoir pris les deux distances AB, A'B égales, mais arbitraires, joignez les points A et A' à chacun des trois points D, E, C. La droite BD sera perpendiculaire au milieu de AA';doncAD = A'D; par une raison semblable AC = A'C. Par conséquent, les deux triangles ACD, A'CDont le côté CD commun, le côté AD = A'D, le côté AC= A'C, et sont égaux. Cela posé, faites tourner le triangle A'CD autour de CD pour le superposer avec ACD ; le point A' viendra se placer en A, et comme le point E ne change pas, la droite EA' coïncidera avec EA. Donc ces deux distances sont égales; mais AB est aussi égal à A'B. Ainsi la droite BE a deux points B et E également distants des extrémités A et A' de AA'; donc BEest perpendiculaire sur AA', et réciproquement AA' ou AB, est perpendiculaire à BE.

Définition //. Une droite AB, perpendiculaire à toutes celles qui passent à son pied B dans un plan GF, est dite perpendiculaire à ce plan.

Remarque. Par un point B, pris dans un plan GF, on peut toujours élever une perpendiculaire à ce plan. En effet, dans un plan quelconque abc faites l’angle droit abc; dans un second plan, mené paraA, faites l’angle droit nôd.

UÉOHÉTRIE.

Maintenant, dans le plan GF, faites au point B un angle CDD égale à cbd, et superposez l’angle cbd avec CBD; la droite ab sera perpendiculaire aux droites BC, BD, et par suite au plan GF.

TBÉORÈME.

Fig. 141.

Deux perpendiculaires à un même plan ne peuvent se couper ni dans le plan, ni hors du plan, et deux plans perpendiculaires à une même droite ne peuvent se couper ni sur la droite , ni hors de la droite.

1° Supposons que d’un point B pris sur un plan GF, on puisse élever à ce plan deux perpendiculaires BÂ, BH. Ces deux droites déterminent un plan (p. 1, c. 1) qui coupera le plan GF suivant unedroiteBC. OrAB, qui est par hypothèse perpendiculaire au plan GF, le sera à la droite BC qui passe par son pied dans le plan (d. 3); de même BH serait perpendiculaire à BC. Donc au même point B d’une droite BC, on pourrait, dans un plan qui contient BC, éleverà cette droite deux perpendiculaires BÀ, BH, ce qui est impossible.

Supposons maintenant que d’un point A, pris hors du plan GF, on puisse mener à ce plan deux perpendiculaires AB, AD; soient B, D leurs pieds, et soit tirée la droite BD. Si AB, AD sont perpendiculaires au plan GF, elles le seront à la droite BD (d. 2); donc le triangle ABD aurait deux angles droits , ce qui est impossible.

3° Si deux plans LF, DF, perpendiculaires à une même droite AB, pouvaient se couper en une droite CF qui rencontre AB en un point C, soit menée par ce point C et dans le plan DF, la droite CD différente de CF, et soit conduit un plan par AB et par CD. Ce plan coupera le plan LF suivant une droite CG, de sorte que les trois droites AB, CD, CG sont dans un même plan. Or, la droite AB, étant par hypothèse perpendiculaire au plan DF, le sera à