LIVRE V

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la droite CD (d. 2); par une raison semblable AB sera perpendiculaire à CG ; donc au point C de la droite AB on pourrait, dans le plan ACD, élever à cette droite deux perpendiculaires, ce qui est absurde.

Enfin, supposons que deux plans EG, Cl, perpendicu- •''Slaires à une droite AB, se coupent suivant une droite Cil qui ne rencontre pas AB. Soient D, F les points où ces plans rencontrent la droite AB; joignez ces points à un point quelconque C de la droite CH. Puisque AB est perpendiculaire à chacun des plans Cl, EGT, elle l’est aux droites CF, CD qui partent du point C, ce qui est impossible.

Corollaire. Toutes les perpendiculaires CD, CE, CF, élevées en un même point C sur une droite AB sont dans un même plan perpendiculaire à cette droite. Car les deux droites CD, CE déterminent un plan perpendiculaire à AB, puisque AB est perpendiculaire aux deux droites DC, CE qui passent à son pied dans ce plan. De même, le plan des deux droites CE, CF est perpendiculaire à AB. Donc ces deux plans CED, CEF, perpendiculaires à la même droite AB au même point C, se confondent.

Il suit de là que si l’on fait tourner l’angle droit ACD autour de son côté AC supposé immobile, le côté CD, qui ne cessera pas d’être perpendieulairc à AC, décrira le plan DCF perpendiculaire à AB.

Remarque. En un point C pris sur une droite AB, il est toujours possible d’élever un plan perpendiculaire à cette droite. Car il suffit d’y élever dans deux plans respectifs ACD, ACE, menés par AC, les perpendiculaires CD, CE ' dont le plan sera le plan demandé. S’il s’agit de mener à ^AB un plan perpendiculaire par un point extérieur D, de ce point D on mène sur AB une perpendiculaire CD, et au ' point C on élève sur AB une seconde perpendiculaire CE dans un plan ACE, différent du plan ACD. Le plan DCE sera le plan dcmarulé.

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PROPOSITIOxN V.

THÉORÈME

Fig. 145. Si d’un point A, pris hors d’un plan EF, on mène à ce plan une perpendiculaire AB et différentes obliques AC, AC', etc., à différents points C, C'... du plan :

1° La perpendiculaire AB sera plus courte que toute oblique ; *

2” Les obliques qui s'écartent également de la perpendiculaire sont égales;

3* De deux obliques qui s’écartent inégalement de la perpendiculaire , celle qui s’écarte le plus est la plus longue.

Si l’on joint le pied B de la perpendiculaire aux pieds C, C', C"... des obliques, rien n’empêche de faire tourner autour de AB les triangles rectangles ABC', ABC", etc., jusqu’à ce que leurs côtés BC', BC", etc., viennent se confondre avec la droite CD; les obliques et la perpendiculaire étant dès lors dans le même plan CAD, la question est ramenée à la proposition 12 du premier livre.

Remarque. Les pieds C, C', C"... des obliques égales AC, AC', AC"... étant également distants du pied B de la perpendiculaire, se trouvent sur une circonférence de cercle dont le centre est ce même point B.

THÉORÈME

Fig. 146. D’un même point A pris hors d’un plan GH , soit menée sur ce plan une perpendiculaire AB et une oblique AC ; si l’on joint les pieds de ces deux lignes parla droite BC, qu’au, pied C de l’oblique on mène dans le plan GH une droite EF perpendiculaire à BC,Je dis que EF sera aussi perpendiculaire à la droite AC.

Prenez EC = CF, joignez BE et BF, qui seront égales