LIVRE V

comme obliques également éloignées de la perpendiculaire BC. Par conséquent, si l’on tire AE, AF, ces deux droites seront aussi égales comme obliques également éloignées de la perpendiculaire AB (p. ô). Donc la droite AC, qui a deux points A , C , également éloignés de E et de F, est perpendiculaire à EF.

Corollaire. La droite EF , perpendiculaire aux deux droiles.CB, CA, l’es^ par conséquent au plan CBA (p. 3).

THÉORÈME

Si une droite AB est perpendiculaire à un plan GF, toute Flir. 147. droite CD parallèle à AB, est aussi perpendiculaire à ce plan; réciproquement, deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

Soient B, C les pieds des droites AB , CD sur le plan GF; tirex BC , et au point G menez dans le plan GF la droite CE, perpendiculaire à BC. Si l’on joint le point C à un point quelconque A de la droite AB , la droite EC seca perpendiculaire au plan ACB (p. 6, c.). Or DC, qui est •

parallèle à AB, est dans le plan ACB; donc EC est perpendiculaire à CD, et réciproquement CD est perpendiculaire à CE. Mais puisque AB est perpendiculaire au plan GF, elle l’est à BC ; donc CD, qui est parallèle à AB , est aussi perpendiculaire à BC. La droite CD étant ainsi perpendiculaire à deux droites CB, CE menées par son pied dans le plan GF, l’est à ce plan (p. 3, d. 1).

Réciproquement, si les deux droites AB, CD sont perpendiculaires au pian GF, elles sont parallèles. Car si l’on tire BC ^ et qu’au point C , dans le plan GF, on mène CE perpendiculaire à BC , qu’on joigne le point C à un point quelconque A de AB, la droite AC est perpendiculaire à CE; GB l’est aussi, ainsi quq.CD, qui est perpendiculaire au plan GF. Donc les trois droites BC, AC, CD sont dans

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un meme plan , comme étant perpendiculaires à une même droite en un même point (p. 4, c. ). Donc ÀB, CD sont aussi dans ce plan , et comme elles ne peuvent se rencontrer, puisqu’elles sont perpendiculaires à un même plan (p. 4) , elles sont parallèles.

Fig. 148. Corollaire 1. Deux droites A, parallèles à une même troisième C , sont parallèles entre elles. Menez un plan DE perpendiculaire à la droite C; puisque la ligne A est parallèle à C, d’après le théorème précédent, A sera aussi perpendiculaire au plan DE; par, la même raison , B est aussi perpendiculaire au plan DE. Donc les deux droites A , B sont perpendiculaires au même plan DE, et sont par conséquent parallèles.

Fig. 147. Corollaire 2. D’un point D, pris hors d’un plan GF, on peut, toujours mener une perpendiculaire à ce plan. En effet, élevez au plan GF, par un point quelconque B pris dans ce plan (p. 3, r.), une perpendiculaire AB ; par AB et par le point D menez un plan, et du point D menez dans ce plan une droite DC, parallèle à AB; cettu.droitc DC sera , en vertu du théorème précédent, perpendiculaire au plan GF.

Définition ni. Une droite est dite parallèle à un plan lorsque, prolongée indéfiniment, elle ne peut le rencontrer; réciproquement, le plan est dit parallèle à la droite.

THÉORÈME

Si une droite AB est parallèle à une autre CD, cette droite AB est parallèle à tout plan qui contient CD sans contenir réciproquement, si une droite est parallèle à un plan , elle l’est à toute droite située dans ce plan , pourvu que ces deux droites soient dans un même plan.

Fig. 149. 1" Puisque les droites AB, CD sont parallèles, elles sont

dans un même plan ABDC , qui coupe le plan EF dans la

L1VBE V.

(Iroilc CD; la droite AB ne peut pas sortir du plan ABCD; si done elle pouvait couper le plan KF, ee ne pourrait être qu’en quelque point de l’intersection CD; mais elle est parallèle à CD ; donc AB ne rencontrera pas le plan EF , et lui est parallèle.

2® Réciproquement, supposons la droite AB parallèle au plan EF, et prenons dans le plan FF une droite CD, située avec AB dans un même plan ABCD. Puisque AB est parallèle au plan EF, elle ne saurait rencontrer CD, qui est dans ce plan. Donc les droites AB, CD, qui sont situées dans un même plan et ne se rencontrent pas , sont parallèles.

Corollaire 1. Si un plan EF est parallèle à une droite AB , et que par un point C pris dans ce plan on mène une parallèle à AB, cette parallèle est dans le plan EF. Car, sans cela, le plan ABC couperait le ]>lan EF suivant une parallèle à AB , menée par le point C, de façon que par ce point C on pourrait, dans le plan ABC, mener deux parallèles à AB, ce qui est impossible.

Corollaire 2. Une droite AB , parallèle à un plan EF , est partout à égales distances de ce plan. En effet, de deux points quelconques A, B, pris sur la droite AB, menez au plan EF des perpendiculaires AC, BD ; joignez leurs pieds •C, D par la droite CD. I.æs droites AC , BD, perpendiculaires à un même plan EF, sont parallèles (p. 7, 2°); par conséquent elles sont dans un même plan qui contient AB et CD ; mais AB est parallèle au plan EF ; donc AB est aussi parallèle à CD. De là il résulte que la figure ABCD est un parallélogramme; par conséquent AC=BD.

DÉFJiyiTroiy jr. Deux plans sont dits parallèles lorsque, prolongés indéfiniment, ils ne se rencontrent pas. Il a été démontré à la proposition 4 que deux plans, perpendiculaires à une même droite, ne se rencontrent pas, et sont par conséquent parallèles.

THÉORÈME

Les intersections AB , CD de deux plans parallèles IK , FG , par un même plan AC , sont parallèles.

Fig. 151. Fn effet, les droites AB, CD sont dans un même plan ABCD. De plus, elles ne peuvent se rencontrer, puisque les plans IK , FG, dans lesquels elles se trouvent respectivement, sont parallèles. Donc ces deux droites AB, CD sont parallèles.

THÉORÈME

Si deux plans MN , PQ sont parallèles, toute droite AB perpendiculaire à l'un de ces plans MN , l’est aussi cl l’autre PQ.

Fig. 150. Soit B le pied de la droite AB dans le plan PQ. Par le point B menez dans le plan PQ une droite quelconque BD ; par cette droite et par AB faites passer un plan AD qui coupera le plan MN suivant une droite AC. Les droites AC, BD sont parallèles comme intersections de deux plans parallèles MN, PQ, par un troisième plan AD (p. 9). Mais puisque AB est perpendiculaire au plan MN , AB l’est à la droite AC menée par son pied dans ce plan (d. 1); donc AB est aussi perpendiculaire à la droite BD, parallèle à AC ; AB est donc perpendiculaire à une droite quelconque BD menée par son pied dans le plan PQ ; par suite AB est perpendiculaire à ce plan.

Corollaire. Par un point A , pris hors d’un plan PQ , on ne peut mener qu’un seul plan parallèle au plan PQ. Car si du point A on abaisse AB perpendiculaire au plan PQ, tout plan mené par le point A, parallèlement au plan PQ, doit être perpendiculaire à AB. Mais au point A on