UVRE V

ne peut élever sur la droite AB qu’un seul plan perpendiculaire (p. 4); donc on ne peut mener parie pqint A qu’un seul plan parallèle PQ. On peut d’ailleurs toujours mener par le point A un plan parallèle à PQ. Car d’après le corollaire de la proposition 4, on peut toujours élever au point A un plan perpendiculaire à AB.

laéORÈMK.

Deux parallèles AD, BC, comprises entre des plans parallèles IK , FG , sont égales.

En effet, si par les deux parallèles AD, BC on fait pas- Fig. i 5 i. ser un plan AC, ce plan coupera les deux plans IK, FG, suivant les droites AB, DC qui sont parallèles comme intersections de deux plans parallèles par un troisième plan (p. 9). Donc AD et BC sont %ales comme parallèles entre parallèles (I. 1).

Corollaire. Deux plans parallèles sont partout également distants. Car si de deux points quelconques A, B de l’un des plans, on mène des droites AD, BC perpendiculaires à l’autre, ces droites seront aussi perpendiculaires au plan IK (p. 10); et d’ailleurs elles sont parallèles comme perpendiculaires à un même plan (p. 7, réc.). Donc, d’après ce qu’on vient de prouver, elles sont égales.

^ THÉORÈME

Si deux angles situés dans des plans différents, <mt les cttés parallèles, ces angles sont égaux ou supplémentaires, et leurs plans sont parallèles.

Soit le côté AC, parallèle à BE, le côté AD à BF. Joi- pig. t 52 . gnOns AB , et supposons d’abord que AC et BE soient situées du même côté de AB, que de même AD et BF soient

du niéroe côté de AB. Prenez AC = BE et AD = BF; tirez

CD, EF, CE, DF. Puisque AC est égal et parallèle à BE, la figure ABEC est un parallélogramme, et le côté AB sera égal cl parallèle à CE (I. 1). De même, AD étant égal et parallèle à BF, AB sera aussi égal et parallèle à DF. Donc les deux droites CE, DF, qui sont égales et parallèles à une même troisième AB, le sont entre elles (p. 7, c. 1). La figure CDFE est donc aussi un parallélogramme; par conséquent, le côté CD= EF, et les deux triangles ACD, BEF seront équilatéraux entre eux et égaux. Donc l’angle CAD = EBF.

Si l’onj)rolonge le côté FB vers F', l’angle EBF', supplément de EBF, le sera aussi de CAD. Enfin, si l’on prolongeait aussi le côté EB, l’angle que ce prolongement ferait avec BF', serait égal à EBF, et par suite à CAD.

En second lieu , le plan CAD sera parallèle au plan BEF. Car srpar le point A on mène un plan parallèle à BEF, ces deux plans doivent) intercepter sur les parallèles BA,

CE, DF des distances égales (p. 11); mais AB, CE, DF sont déjà égaies; donc le plan parallèle à BEF, passera par C cl D, et se confondra avec ACD.

PROPOSITION Xlll.

TBÉORÈME.

ig. i53. Si des différents sommets d’un polygone plan ABCDE, on mène du même côté de ce polygone des droites égales et parallèles AA', BB', CC'..., les extrémités A', B', C'... détermineront un polygone A'B'C'D'E' égal au polygone donné ABCDE, et ayant son plan parallèle au plan donné ADE.‘

En effet, les trois droites AA', BB', CC' étant égales et parallèles, on prouvera comme à la fin de la proposition précédente, que le plan A'B'C' est parallèle au plan FG, et qu’il passe par les points ly, E'. De plus, AA' étant égal et parallèle à BB', A'B' l’est à AB; de même, B'C l’est à BC,

LIVRK V.

CD' à CD et ainsi de suite. Par conséquent aussi l’angle A'B'C est égal à ABC , l’angle B'C'D' à BCD, etc. Les deux polygones ABCDE, A'B'C'D'E' ont donc les côtés et les angles égaux chacun à chacun; par conséquent ils sont égaux.

TBÉORÈHE.

Deux droites AC, A'C, rencontrées par trois plans pa- pig. 15.}. rallèles P, Q , R, .(ont coupées par ces plans en parties proportionnelles.

Soient A, B, C les points où ces plans rencontrent la droite AC; A', B', C, leurs points d’intersection avec A'C.

Tirez AC qui rencontrera le plan Q en un point E; menez BE, EB', CC' et AA'. Les droites BE, CC sont parallèles comme intersections du plan ACC' par les plans parallèles Q, R (p. 9); donc on a (I. 3, p. 7)