LIVRE V

Soit AB rinterseclion des deux plans. Concevons que le plan BC soit la réunion de deux plans superposés BC, BC, et que CD, C'D soient de même deux droites superposées.

Au point D menez dans le plan PQ la droite EF perpendiculaire à AB ; supposez maintenant que l’angle dièdre CBAQ tourne autour de AB , jusqu’à ce que la face BC coïncide avec BE; je dis que la face BQ viendra coïncider avec BC'. En effet, la droite DF est perpendiculaire à DB par construction ; elle l’est à DC, puisque DC l’est au plan PQ; donc DF est per pendiculaire au plan BC (p. 3 ). Donc, lorsque le plan-BC coïncidera avec BE, la droite DF, qui ne cesse pas de lui être perpendiculaire, le sera au plan BE et coïncidera avec DC', qui est censé rester fixe; par conséquent, le plan RDF coïncide avec BDC' ou BC', et Fangle dièdre FBDC avec C'ABE. Donc le plan AC fait avec PQ deux dièdres égaux ; il est donc perpendiculaire à PQ.

Corollaire. Un plan PQ, perpendiculaire à une droite CD, l’est à tout plan AC , mené par cette droite.

THÉORÈIIE.

Si deux plans hC, PQ sont perpendiculaires entre eux , pjg. 15e. et que dans le premier AC on mène une droite DC perpendiculaire à l’intersection AB, cette droite DC sera perpendiculaire à l’autre plan PQ.

Considérons encore les deux droites superposées DC,

DC'. Si au point D , pied de DC sur le plan PQ , on mène dans le plan PQ la droite FF perpendiculaire à AB , et qu’on fasse tourner le dièdre CBAQ autour de AB pour le faire coïncider avec son égal C'BAP, le plan BF viendra coïncider avec le plan BC'; et comme les angles BDF, BDC sont droits, la droite DF coïncidera avecDC'; mais tandis que le plan BC coïncide avec BE, la droite CD se super-

Gl'OMI'TRIE.

pose avec DE, à cause des angles droits CDB, EDB. Donc l’angle CDF coïncide avec C'DE; par conséquent, ces deux angles sont égaux et droits. Ainsi la droite CD est perpendiculaire à la fois aux deux droites DF, DB; donc elle l’est au plan BF ou PQ que ces deux droites déterminent.

TBÉOHÈME.

Fig. 156. Si deux plans AC, PQ sont perpendiculaires , et qu’en un point D, de l’intersection AB , on élève au plan PQ une perpendiculaire DC', celte perpendiculaire sera dans le plan AC.

Car si , par cette perpendiculaire DC et par AB , on » mène un plan C'B, ce plan est perpendiculaire au plan PQ • (p. 15) ; mais le plan AC est déjà perpendiculaire au plan

PQ, et il passe également par AB; d’ailleurs par AB on ne peut élever au plan PQ qu’un seul plan perpendiculaire (d. 5 , r.). Donc ce plan C'B coïncide avec le plan AC , et la droite CD, qui se trouve dans le plan C'DB , est aussi dans le plan AC.

TBÉORÈHE.

Fi g. 157. Toutes les fois que deux plans AD, AC , perpendiculaires à un même troisième plan FG , se coupent , leur intersection AB est aussi perpendiculaire à ce troisième plan FG.

'Car si au point B on élève une perpendiculaire au plan FG, comme ce point B appartient à la fois aux deux intersections BC , BD, celte perpendiculaire se trouvera à la fois dans les deux plans AD, AC, en vertu du théorème précédent. Donc elle coïncide avec leur intersection AB, qiil est par conséquent perpendiculaire au plan FG.

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