LIVRE V

THÉORÈME

Deux angles dièdres CABD , C'Â'B'D' sont entre eux p;g comme les angles plans CAD , C A'D', qu’on obtient en coupant chaque dièdre par un plan perpendiculaire à V arête.

En quelque point de l’arète qu’on mène le plan perpendiculaire , l’angle plan que ce plan détermine dans le dièdre aura la même grandeur. Car soit un angle EBF résultant de la section du dièdre CABD par un autre plan EF, perpendiculaire à l’arète AB ; je dis que l’angle EBF est égal à CAD. En effet, les plans CAD , EBF étant perpendiculaires à une même droite AB, sont parallèles (p. 4); par conséquent les droites AC, BE sont parallèles comme intersections des deux plans parallèles EF, CD par le plan BC (p. 9); par la même raison les droites AD, BF sont parallèles ; donc les angles CAD , EBF, qui ont les côtés paral- ^èles, sont égaux (p. 12).

Supposons maintenant que les angles CAD, C'A'D' soient entre eux comme deux nombres entiers 3 et 2, c’est-à-dire qu’unecommunemesuresoitcon tenue trois fois dans l’angle CAD et deux foisdansl’angle C'A'D'. Partageons l’angleCAD en trois parties égales CAa, uAô, etc.; l’angle C'A'D' contiendra deux de ces parties. Par les lignes de division de l’angle CAD, et par l’arcte AB, faites passer les plans Bn,

Bô, etc. ; par S! ai et A'B' menez le plan B'a'. Je dis que les dièdres eonsécutifs formés par ces plans sont égaux. En effet , plaçons l’angle G Ma! sur son égal CAa ; la droite A'B', perpendiculaire au plan C'a', coïncidera avec AB, perpendiculaire au plan Ca; par suite, le plan B'C coïncidera avec BC, le plan B' a' avec Ba, et le dièdre C'A'B'a' • avec CABa. On démontrera de même que les autres dièdres partiels sont égaux. Or le dièdre CABD contient trois de ces dièdres partiels, tandis que C'A'B'D' en contient deux;^

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donc CABD : C'A'B'D' : : 3 : 2 CAD ; C'A'D'.

Comme l'angle C'A'D' varie d’une manière conlinue avec le dièdre C'A'B'D', la propriété précédente est encore vraie dans le cas où les angles CAD, C'A'D' n’ont pas de commune mesure.

Remarque 1. Le théorème précédent se présente aussi sous l’énoncé suÎTant: L’angle dièdre a pour mesure l’angle plan formé par les perpendiculaires AC , AD, menées dans les deux faces à un même point de V arête. On attache du reste à cet énoncé absolument le même sens qu’à celui qui est en tête de la proposition- ,

Remarque 2. Lorsque l’angle dièdre est droit , l’angle Fig. 156. plan CDF l’est aussi , puisque, les deux angles dièdres CDBP, CDBQ étant égaux, leurs mesures CDF , CDB sont égales.

Fig. 151. Corollaire. Soient deux plans parallèles IK, FG coupés par un troisième plan AC. En un point quelconque A de l’intersection AB , menons un plan IG perpendiculaire à AB ; il sera aussi perpendiculaire à DC, qui est parallèle à AB; soient HL, IE,.MG les intersections de oequatrtème plan avec les pians respectifs IG, IK, FG ; les angles de ces droites mesurent ceux des plans; mais lE, MG sont parallèles (p. 9) ; donc entre les angles dièdres que forme un plan qui coupe deux plans parallèles , il existe les mêmes relations qu’entre les angles formés par deux parallèles et une sécante. De même , deux dièdres qui ont les faces parallèles chacune à chacune , sont égaux ou supplémentaires.

Fig. 159.’ DépisiTiftn rj. Un angle polyèdre est l’espace indéfini compris entre plusieurs plans qui se réunissent en un même point S qu’on appelle le sommet; les angles ou pians ASB, , BSC, CSD, DSA, qui comprennent l’angle polyèdre, sont . appelés \es faces; les droites AS, SB, etc., sont les arêtes.

^ Si l’angle polyèdre a trois faces , on le nomme angle trièdre ; s’il en a quatre, angle tétraèdre, etc.

IIVBE V. 175

En désignant un angle polyèdre, nous énoncerons toujours la lettre du sommet la première.

DÉFiif/TiON Fil. Un angle polyèdre est convexe, s’il est situé tout entier d’un même côté par rapport à l’une quelconque de ses faces prolongée indéfiniment dans tous les sens, de sorte que ce prolongement ne peut couper aucune autre face, à moins qu’on ne la prolonge aussi.

Remarque. Un angle triédre dont chaque face est moindre que 180" est toujours convexe. Car, soient ASB , ASC, BSC trois faces dont Fig. 160. chacune est moindre qne 180". ProIoAgeons une des arêtes vers D ; la face ASB, qui coupe ASC', suivant AS, ne peut pins couper celle face ASC dans l’intérienr de l’angle ASC ; car, pnisiine l'angle ASC est pins petit que 180% SD, prolongement de l'intersection de ASB avec ASC, ne peut pas se trouver dans l’angle ASC. — (La Qgure présente les arcs de cercle qni mesurent les différents angles.)

Au contraire, un angle triédre qui a une ou plusieurs faces plus grandes que 180°, ne saurait être convexe. Car soit un angle triédre ayant pour faces celles qui sont mesurées par les arcs AB, BC>

AEDC ; si l'on prolonge la face ASB, elle coupe la face SAED, suivant SD, et décompose l'angle triédre en deux parties , dont l’une est’ l'angle triédre convexe SBCD , et l'autre est l'angle diéd re E ADB. L'angle triédre proposé étant ainsi coupé par l'une de ses faces prolongées', n'est pas convexe.

Un angle polyèdre, qni a plus de trois faces, peut cesser d'étre convexe, sans avoir des faces plus grandes que 180°.

Remarque. 2. Tout angle polyèdre non convexe est décomposahle en angles dièdres et an angles polyèdres convexes. En effet , considérons une face qui prolongée coupe l'angle polyèdre. Ce sera ou snr la face adjacente on sur- une face opposée qne l'intersection a lien. Le premier cas ne peut arriver que s'il y a des faces plus grandes qne 180°.

Si ce cas arrive en effet, la face qu'on prolonge retranchera de l'angle total nn angle dièdre , jont en substituant à la face qui est plus grande que 180° une face moindre que 180°, savoir ce qni reste de celle-là, après qu'on en a ôté 180°. On voit à la Gg. ICO comment les choses se passent. Si la face qu'on prolonge rencontre une face opposée, c'est qu'elle décompose l'angle polyèdre en deux autres qni ont moins de faces qne celoi-là. Donc, en continuant cette sé-

GKÜMI-TRIE.

rie il'upératioiis sur toutes les faces i|ui cuu|iciit l'angle polyèdre,

■ on pourra se débarrasser de toutes les faces supcricnres à 180" et réduire les angles polyèdres partiels à d’autres qui ont moins de faces , ce qui conduira finalement à des angles trièdres. Donc tout angle polyèdre se décomposera en angles dièdres et en angles polyèdres convexes, puisque tout angle trièdre dont les faces sont moindres que 180° est convexe.

Un angle polyèdre qui a des faces égales ou supérieures à 18ü" ne saurait être convexei

a THÉORÈME.

Dans tout angle trièdre convexe SABC , la plus grande face est moindre que la somme des deux autres.

Fig. Uil. Soit ASB la plus grande face; dans le plan de celle face faites l’angle BSD égal à BSC, et traccz-y une droite BA , qui rencontre les trois droites SB, SD , SA , prises à partir du point S; prenez SC égal à SD, et joignez CB, CA. Les triangles BSD , BSC auront un angle égal compris entre côtés égaux et seront égaux; donc DB = CB. Mais on a AB<^ AC-I-CB; retranchant d’un côté DB, de l’autre .son égal CB , on aura AD<[[ AC. Cela posé, les triangles ASD, ASC auront le côté SA commun , le côté SD égal à SC, et le côté AD<^AC. Donc (I. 1 , p. 7) l’angle ASD ASC ; ajoutant d’un côté l’angle DSB , de l’autre son égal CSB, on a

ASD+DSB ou ASB<ASC-hCSB.

Hemarque. Par conséquent, dans un angle trièdre convexe, chaque face est plus petite que la somme des deux autres.