LIVRE V

TBÉORÈHE.

'Dans tout angle polyèdre convexe la somme des faces Fij. 162. est moindre que 4 angles droits.

Puisque l’angle polyèdre est convexe, on peut toujours mener d’une infinité de manières un plan qui rencontre toutes les arêtes (non pas quelques arêtes et les prolongements des autres). *

En effet, prenez deuz faces non adjacentes ASB, SED ; prolongezlesjusqn’à lenr inlerseclion FG; l angle polyèdre étant convexe , la droite FGne sera située dans l’intérieur d’aucune des deux faces; ces deux faces seront donc chacune tout entière d’un même côté de FG , et le dièdre BAFGDE contiendra l’angle polyèdre tout entier ; donc tout plan mené par FG et ne passant pas dans le dièdre; laissera aussi l’angle polyèdre tout entier d’un même côté . et tout plan mené par un point A d’nne arête AS, parallèlement à un pareil premier plan , coupera toutes les arêtes d’un même côté de ce premier plan , comme n’étant d'ailleurs parallèle à aucune de ces arêtes.

Soit SABCDE l’angle polyèdre, ABCDE un plan qui satisfait à celte condition ; le polygone ABCDE, formé par l’intersection de ce plan et des faces de l’angle polyèdre, est convexe. D’un point O, pris dans l’intérieur de ce polygone, menez aux sommets les droites OA, OB , OC, etc., ce qui formera autour du point O autant de triangles qu’il y en a autour du point S; par conséquent la somme de tous les angles des triangles en O est ^alé à la somme de tous les angles des triangles en S. Mais dans l’angle trièdre convexe formé en A par les trois faces EAB, EAS, SAB, la face EAB ou EAO-j— OAB est moindre que la somme des deux autres EAS -|- SAB. De même, ABO+OBC<; ABS 4- SBC, OCB-1- OCD < BCS + SCD, etc .; ainsi la somme des angles formés sur les bases, en À , B, C, D, E est plus

petite dans les triangles en O que dans les triangles en S; donc, par compensation, la somme des angles en O sera plus grande que la somme des angles en S ; mais la première vaut quatre droits ; donc la seconde est moindre que quatre droits.

Bemqrque. Dans les angles polyèdres non convexes, la somme des faces n’a pas de limite.

Définition fui. Dans deux angles polyèdres composés de faces égales chacune à chacune, j’appellerai angles dièdres homologues ceux qui sont formés par des faces égales, chacune à chacune; j’appellerai arêtes homologues celles qui sont aux intersections de ces faces.

Deux angles trièdres, qui ont les faces égales chacune à chacune, ont aussi les angles dièdres homologues égaux.

Fig. 163. Soient S et S' les deux angles trièdres; supposons que les faces désignées par les mêmes lettres soient égaies de . part et d’autre. Par un point C, pris è volonté sur une arête SC, soit menée dans la face ASD la droite CE perpendiculaire à SC, et dans la face CSB la droite CF également perpendiculaire à SC. L’angle ECF sera la mesure du dièdre ÂSCB ou SC (p. 19, r. 1). Ayant pris ensuite sur SC une distance SD arbitraire, mais plus grande que SC, on prendra sur SA un point A, tel que la droite DA rencontre CE en un point E, situé entre D et A; on prendra de même sur SB un point B tel que DB coupe CF en un point F, situé entre D et B. Enfin, on tirera AB et EF. Ensuite, on prend S'C' = SC, S'D'=SD, S'A' = SA, S'B' = SB, et on répète, du reste, sur le trièdre S' les constructions déjà faites sur S; on aura ainsi plusieurs systèmes de triangles égaux, savoir :

Les triangles SAD, S'A'D' qui ont l’angle ASD = A'S'D' par hypothèse, le côté AS = A'S' et SD = S' D'; donc l’angle ADS = A'D'S' et le côté AD = A'D'.