LIVRE V

Les triangles l)SB, D'S'IV, égaux par une raison analogue, donnent l’angle SDB =S'D'B' et le côté DB = D'B'.

De même , les triangles ASB , A'S'B' égaux encore par une raiîon semblable, donnent le côté AB=:A'B'.

De là il résulte que les triangles ADB, A'D'B' sont équilatéraux entre eux et que l’angle ADB zz A'D'B'.

Mais de ce que SDzzS'D' et SC=S'C', on conclut que CDzzC'D'; d’ailleurs, dans les triangles CDE, C'D'E', les angles C et G' sont droits, les angles en D, et D' sont égaux comme on vient de le prouver; donc aussi EDzzE'D', EC = E'C'. On prouve de même que FD zz F'D', FC zz F'C'.

D’ailleurs, les triangles EDF, E'D'F' sont aussi égaux, puisque l’angle EDF zz E'D'F', le côté DEzzD'E', le côté DF = D'F';donc EF = E'F.

Donc enfin les deux triangles EGF, E'C'F' ont les trois côtés égaux chacun à chacun, et les angles EGF, E'C'F', opposés à des côtés égaux, sont égaux. Or ces angles mesurent les dièdres SD, S'D', et par conséquent ces dièdres sont égaux.

On raisonne de môme pour les autres.

Remarque 1. Supposons les faces ASB, A'S'B' placées sur un même plan de façon que les arêtes homologues SA, S'A' soient parallèles et de même sens par rapport aux sommets S, S', que de même SB, S'B' soient parallèles et de même sens. Deux cas peuvent se présenter par rapport aux arêtes SC, S'C'.

1* Elles peuvent être dirigées du même côté du plan ASS'B'. Dans ce cas on dit que les faces égales des deux angles trièdres sont semblablement disposées de part et d’autre; déplus, les angles trièdres sont superposables. Car si l’on place S'A' sur SA, S'B' sur SB, l’arète S'C' restera, par rapport au plan ASB, du même côté que SC, le dièdre S'A' coïncidera avec son égal SA, et le dièdre S'B' avec SB. Ainsi les deux trièdres coïncideront.

2® Les arêtes SC, S'C' peuvent être dirigées l’une SC en

1 8 o GÉOMÉTRIE.

avant du plan ASS'B', l’autre S'C', derrière ce plan. Il est évident que si l’on place ici S'A' sur SA, S'B' sur SB, l’arète S'C' tombera derrière le plan SAB , tandis que SC est en avant. Que si , pour faire tomber S'C' en avant de ce plan, on place l’arète S'B' sur SA, S'A' sur SB, on reconnaîtra que, le dièdre S'B' n’étant pas égal au dièdre SA, la coïncidence n’aura pas lieu. Elle ne s’effectuerait que si les faces ASC, BSC étaient égales entre elles, de même que A'S'C', B'S'C', c’est-à-dire si les angles trièdres étaient isocèles. En effet, dans ce cas on prouvera non-seulement que le dièdre SA est égal à S'A', mais encore que ce même dièdre SA est égal à S'B', de sorte que les 4 dièdres SA, S'A', SB, S'B' sont égaux; par conséquent, si l’on ne parvient pas à superposer les deux angles trièdres en plaçant S'A' sur SA et S'B' sur SB, on y réussira en plaçant S'B' sur SA et S'A' sur SB.

Deux angles trièdres qui ont les faces égales deux à deux,

. et par conséquent les angles dièdres homologues égaux, peuvent donc être superposables ou non. Dans le premier cas ils sont dits égaux, dans le second on dit qu’ils sont symétriques ou égaux par symétrie.

Pour former le symétrique d’un angle triedre, on indiquera deux moyens :