LES SURFACES ALGÉBRIQUES ET LE THÉORÈME D'ABEL
8. Puisque nous venons de n:varquer. une fois de plus, l'intérêt tout spécial et très grand des intégrales doubles attachées aux. surfaces algébriques^ c'est ici le lieu de mentionner les formes spatiales du théorème d'Abel. Ce théorème, qui. malgré des applications déjà prodigieuses, est toujours envisagé à peu près sous la même forme dans le cas des courbes algébriques, s'étend aux surfaces sous des physionomies diverses. Nous n'envisagerons ici qu'un exemple géométrique très simple, mais en faisant remarquer, ce qui peut
■^O (iKOMÉTRIK l)K LV FORMILK DK STOKES.
avoir des conséquences très générales, que Je théorème abélien, s. nature lemenl élégant, s'allie de façon remarquable avec la formule de Stokes dont l'élégance, pour être d'une autre nature, n en est pas moins très grande aussi boit la surface algébrique
Transperçons-la par un cône, de sommet 0. avant une directrice fermée G cloisonnée par une surface S navan! aucun rapport avec (.3). Soit M(^, y, .) un point de S en lequel nous aurons rélément ch et la normale de cosinus directeurs a, |3. y. Soit OM = ,-. co.inus
Le cône élémentaire défini par 0 et ./^ transperce ( .3)
su.vantmelemenlsr/a, respectivement siluésen\r(^ v -V Posons encore 0M,=: /■.. ".»<»-,;•
Soit r, le volume compris, dans le cône fini, entre le sommet O et la nappe d'indice /de (,3); on a
"'■ "" 3 ./ j^ ( 7) ( ^^ -- '^y + V - ) d-! el, pour la somme abélienne de ces m volumes.
Or et, puisque M, appartient à (i3),
ro = o.
De
• "' . /« -fin
on conclut
Cette somme abélienne de volumes coniques ne dépend évidemment que du choi. du cône OC et non de la cloison S établie sur G. hn fait, l'intégrale double de (,4) est encore Lransfop.nable en une intégrale de ligne par la formule de itokes mise sous la forme (G).
TRAV.VrX llE MM. (i. IIIMHKRT ET G. KOENKiS. Jl
Toutes les inndificnlions de l'équalion ( 1 3 j qui n altèrent point A n'altèrent point Ih somme (14). Celle assertion évidente peut j)erineltre d'associer diverses surfaces algébriques dans lesquelles un cône OC déterminera des volumes ir/ équivalents.
De même le second membre de(i4) peut prendre la forme' d'intégrales doubles déjà étudiées, d'où d'intéressants rapprochements. Ainsi soit la cyclide
(x--h y'--h z- y- -^ î /j( .\x--i- By- ~- Cz- ) — '\A-(ax -¥■ by -i- c« i — i /* = o.
On a
V //, r r ax ^ by ^cz ,
d'où, par comparaison avec l'équation qui précède (7),
Ainsi, dans la cyclide précédente, un cône OÇ détermine une somme abélienne de volumes proportionnelle à la différence des aires déterminées par ce même cône sur une sphère de centre (a, h, c). Ce théorème donne d'ailleurs une manière, parmi d'autres, de faire rentrer le théorème relatif à (Tj — Ox et exprimé par l'égalité (6), dans la grande famille des théorèmes abéliens. Pour plus de détails sur les propriétés intégrales des cyclides, on se reportera aux Annales de Toulouse (5" Mémoire, iqiS) et, pour celles de la eyclide de Dupin. au Bulletin des Sciences mathématiques (1917-
Maist, comme nous l'avons déjà indiqué à la fin du paragraphe 6, les travaux fondamentaux sur la Géométrie spatiale du théorème d'Abel sont dus à M. G. llumbert {Journal de Malhématiriues, i89o)-
AIRES ELLIPSOÏDALES.
9. La difficile question des aires ellipsoïdales a encore été rattachée au théorème d'Abel par M. G. Humbert. Après les recherches très particulières de Jellett et Lebesgue, l'éminent géomètre trace sur l'ellipsoïde une infinité de contours fermés à aire quarrable.
Les méthodes ici exposées donnent des résultais analogues.
^2 OtOMKTB.K DE I. V lOHM.I.K DE STOKES.
Sûil l'ellipsoïde
es^en t"h' ^^, ^^^^fcoupe une aire S,; le contour fermé G avec lui. Il en est de même pour S qui cloisonne G
Toujours avec les notations précédemn.ent employées, on a
formule en laquelle il faut bien remarquer que la cloison
la formule (G) donne
Se = / "Si y dx — xdy).
Prenons ma^.^.,.«,,, po,. ,- S la su rface d'équation . .\ = - , Alor /. co.. OG deternunera, sur reliipLde, une a.>. S^' et, sur S, un contour dont la projection, sur Oxy e-nferi mera une acre plane égale à S,. Il n'v ; là qu'un' moiln parmi d autres, de faire une carte plane de lellipsoïde a"; TZTZ.T T'- ""' '-'''''' cartograpl.iqu'e fait inte" ^en.r la surface 2Nz=,, mais la détermination de Nn'exioe qu une quadrature élémentaire à résultat algebrico-lo^arilh! m.que. Donc on peut, par des opérations^l^éJ^o^-Y^truhmcgues, transporter^ sur l'ellipsoïde scalène, toute aïre plane donnée quelle çue soù sa nature arithmétique. Pour plas de détails, notamment pour l'intégration expli-
uitrrM' vrr ^^™p-^-- p'- étroite avec • ;
lesullat. de M. Humberl, pour la planification de surfaces quelconques par la méthode précédente, on se repo era encore aux Annales de Toulouse (S- Mémoire, 1014?
Un tel théorème est surtout intéressant de par l'opposition qu 1 offre avec ce qui se passe sur l'ellipse ou mêrne^ r le cercle, courbes sur lesquelles on ne peut nullement p'e par opei-ations élémentaires, tout un ensemble d'arc ratio": nels ou de nature arithmétique donnée. Gomme quoi les foncl.ons de lignes sur les surfaces se comportent^rfoi P us s-mplement que les fonctions de points sur les liLs ^
TBAVALX OK MM. (i. llUMniCriT ET G. Kf*:MGS. 33
10. Cas de la sphère. — La question des aires spliériques n'est pas distincte de celle des angles spatiaux déjà traitée. Mais, avec les généralités du paragraphe précédent, elle peut prendre un aspect particulièrement intéiessant. Soit donc
On a facilement, avec o(-c, y) fonction arbitraire, mais homogène, d'ordre — 2,
Pour surface S, d'équation 2N = — i , on peut prendre
ou
en posant j;^ + j'"-,=: /•'.
On voit que S est alors surface de révolution autour de Oz. Avec 0:; pour axe polaire et /• = ûsin(o, ^i^pcosoj, le méridien de S a l'équation très simple
(i5) p cos — = R.
C'est une courbe connue sous le nom de trisécanle {cf. G. LoRiA, Ebene Kurven). Elle est de construction très simple et a de très élégantes propriétés auxquelles il convient précisément d'ajouter la suivante : Si la trisécanle (i5) tourne autour de son a.re polaire pris pour axe O^, elle donne une surface de révolution S, circonscrite à la sphère de centre O et de rayon R, telle quune nappe conique quelconque, d^ sommet 0, donne sur S un contour C dont la projection sur O.vy enferme une aire équivalente à celle déterminée sur la sphère par la nappe conique en question.
Ce théorème pourrait être considérablement varié par d'autres choix de la fonction o{jc, y). Remarquons, notamment, que les surfaces S associées à la sphère ne sont pas forcément de révolution.
Scientia, n" 36.
CIIA1>ITHE III.
iMfCnVENT.ON I,KS COIUBLRES DKS CONTOURS KT CLOISONS.
FoitMiLEs n'OssiAN Bonnet et de M. P. Api'eix.
