Reduc ion de la formule (IJ). - Supposons que, dans

aueTo S V' '^ '""^"" '' ^^'^ identiquement' nulle et ^ i /uV ' ."^ contiennent pas expliciiemenl z. La formule (H) se réduit alors ;i

en posant

jI 0 (j ,,'

dx ôy op 'ôq

Or, pour des courbes gauches tracées sur des surfaces et en parl.cuher, pour des contours fermés C portant des cloisons b il existe diverses notions géométriques auxquelles correspondent des éléments dillérentiels de la forme

^ dx^Çldy^^.dp-^'Y dq.

Telles sont notamment la courbure gèodésique, la torsion geodesique et la courbure normale.

Le second membre de (II,) exprime alors une telle courbure (ou torsion) /?n/e. totale, intégrale, pour tout le co«. tour L, cependant que le premier membre de la formule (H \ est une intégrale double remarquable, à la fois par la constitution symétrique quelle possède dans les cas que nous

l-On.MLLKS DO. BONNET KT OE M. P. AI'CKLL. i'j

allons étudier et par l'expression simple qu'en donne précisément le second membre de (Hi).

f^es égalités à obtenir ainsi sont, lliéoriquement , en nombre illimité; les notions géométriques que nous venons d'invoquer nous permettent d'en indiquer trois dont l'une, due à Ossian Bonnet, constitue l'un des plus célèbres théorèmes de la théorie des surfaces.

•2. Courbure géodésique et formule de Bonnet. — Soit .M un point d une courbe MK Iracét; sur une surface S, courbe dont le plan osculateur en M est iTi. En M, soient MT (cosinus directeurs a, (3, y) la tangente (') à MK et l le plan tangent à S. M\(?., |jt., v) est rayon de courbure pour la section normale TMN. F est centre de courbure en M pour KM

Fis. ',.

el le plan FMN, normal à MT, donne GM(o, y, <l/) droite sur laquelle G, obtenu par prolongement de INF, est centre de courbure géodésique en M pour KM. Si l'on projette KM en LM sur U, le théorème de Meusnier, appliqué au cylindre projetant, nous montre que le rayon de courbure géodésique GM ^= pg est rayon de courbure en M pour la courbe

(') Nous adoptons ici a, ,3, 7 pour cosinus directeurs de MT parce que c'est la notation des Traités actuels (Picard, Goursat), cependant que d'autres (Appell, Humbert) emploient a, 3. y pour diriger la normale à S, comme nous l'avons fait dans les pages précédentes. Cette remarque suffii'a sans doule à éviter les confusions.

3^' «>LnnURES 1.E8 CONTOURS ET C.o.SONS

plane LM. On a successivement

H = :^,si„ 0, sin 0 = -/-^ ^ '.j .^ ^ .,,y^^

sin 0

-^ ds=.-^ d'j. ^ y cri ^ .1 d-;,

(3; / ^^'1^^. f;,|' ^=1^ Fi. F" I'

On calcule facilement que

^ dS

FORMLLKS I)"o. nONNET ET DE M. P. APPELL. Bj

et, résultat que nous avions en vue, la formule (H,), avec les expressions (3) de P, O. S. T, devient définitivement

'i' .f"-.fî-.f.{^"^"^-.fi^

si 1{|, l'ij sont les rayons de courbure principaux en un point quelconque de la cloison S. Le premier membre de (4) ne peut être réduit à la seconde intégrale, car celle-ci est singulière comme on le voit aisément en supposant la cloison S plane; au contraire, avec le premier membre de (4) sous la forme indiquée, d',) étant l'angle élémentaire dont tourne la tangente MT à la courbe MK (qui est maintenant le contour fermé C), aucune singularité ne menace plus la validité de (4). Or cette égalité (4) est bien la formule d'Ossian Bonnet.

Gaston Darboux a consacré de nombreuses pages à cette formule {Surfaces, t. III) en la déduisant, par la formule de Hiemann ( P> ). de la théorie du trièdre mobile, mais il faut alors quelque étude de cette dernière théorie pour préparer la démonstration qui, dans ces conditions, exigé à peu près les mêmes eflbrts que la précédente.

Ce qu'il y a d'intéressant, ici, n'est nullement une telle comparaison de démonstrations; c'est le fait que la méthode qui a donné (4) va nous donner des formules analogues pour la torsion géodésique et la courbure normale.

3. Cas de la torsion géodésique. — Sur la courbe .MK {Jig. 4) soient un point M', infiniment voisin de AI, et la normale en M' à la surfece S. Cette normale fait avec le plan TMN un angle d-Zg dit angle de torsion géodésique de MM'. On a

s\nd-.g = œ (' À -1- d). ) -f- / f !ji -r- d^x ) d-g = ç d}. — y d]! -^ 'l d-j,

cD. d\x d)

-' dl — 7. d-j y. d-x — S dh

On diflerentie aisément les cosinus À, ^x. v déjà écrits au