OM
De plus,
-cos l'MjS
a K cos l'M 2 S = O M 2 — OM , .
Par suite, avec / • = OM et .r, y, c pour coordonnées de M, on a
rf(a.,— a,) = 4R.0P.<:/t> = -i— («r-h by ^ cz) d\l.
Donc
Soit G(X, Y, Z) le centre de gra\ ilé de Taire sphérique 12 située en AB ; de
TB.VVAIX l)K .MM. (.. IllMItKRT KT G. K<*;.MI.!^. '/î
on conclul
(Ï2 — (7, = 4 R ( a X -1- 6 V -H c Z ) tî.
Celte formule montre déjà que si Ion déplace la sphère S, en lui laissant un rayon H constant, c, — -/Ji ne reste pas constant, en général. La constance n'est assurée que si le centre S décrit un plan perpendiculaire à la droite OG dite a,ve cforientation du cône; nous dirons aussi, avec M. Humbert. (|ue le plan mené par O, normalement à OG, est le plan d'orientalion.
La distance de S((7, ^, c) au plan d'orientation est
rtX-HÔY-hcZ . ,,„
c — > SI i' = OG,
et enfin
(6t 72-7,= 4é'iiRS.
Toujours, d'après M. Ilumbert, le produit 2^12 estle modale du cône. Il est clair que ce module, de même que l'axe ou le plan d'orientation, sont choses inhérentes au cône et complètement indépendantes du choix des coordonnées et du choix de la sphère S.
De (6) on conclut maintenant que la diflérence c, — Ci peut rester inaltérée par déplacement de S et variation de R, pounu que le produit R o reste constant. Les mots soulignés n'ayant point d'analogues dans le cas du plan, on voit nettement la différence entre ce cas et le cas spatial. Xotons aussi que la fornjuie (6) doit être considérée comme homogène car le module 2^12, ayant été calculé pour la sphère O.AR de rayon i, doit être assimilé à un coefficient numérique.
Cette si intéressante formule (6) ne révèle cependant pas, à première vue, la véritable nature analytique de ^.j — a^ ; on pourrait croire, par exemple, que cette différence est plus compliquée que le facteur £2 considéré seul, c'est-à-dire plus compliquée que la notion d'angle spatial. Or, c'est le contraire qui a lieu.
Reprenons l'égalité qui nous a d'abord donné i.^ — 7, sous forme d'intégrale double.
Cette intégrale double est relative à la cloison il située en AB ; essayons de remplacer celle-ci par une cloison S jetée de manière quelconque sur le contour C. Le point M sera pris sur S et nous aurons en M un élément superficiel d^ avec une normale de cosinus directeurs a, 3, y. On obtiendra
, y.x -^ Zr — '■ z ddil = '■ :
^4 d'où
GEOMETRIK HE I.A FOBMLI.E DE STOKF.?.
4H / / ^ {xx-^'iy^-iz'jdz.
Or il y a encore là une inléi;raie double Iransformahle par la fornnule de Stokeâ réduite à la fornne (G). Sans la moindre difficulté, on a définitivemenl
d.v dy dz
en posant toujours r- rzL x^ -\- y''- -\~ z''- .
Cette formule a été établie par M. Ilumbert au moven de considérations géométriques directes.
Tel est ce qu'il y a d'absolument essentiel dans le sujet, mais l'espace nous manque pour reproduire les nombreux et élégants théorèmes que i'éminent géomètre a tirés des formules (6) et (7).
L'étude peut s'étendre au cas où le cône est remplacé par une développable, par un conoïde, par une quadrique, par certains faisceaux de surfaces algébriques [loc. cil.^ 1890, p. cî-ji). Dans ce dernier cas, elle fait partie de savantes et admirables recherches sur les extensions spatiales du théorème d'Abel.
7. Volumes canaux. — Ln contour fermé C, que l'on déplace de manière quelconque, permet de définir un volume canal: au premier abord, il semble qu'on n'obtienne rien d'autre qu'un canal ouvert aux deux bouts et l'on ne voit pas exactement ce que peut être le volume y inclus. Celui-ci sera le volume V balayé par une cloison S établie de manière quelconque mais invariable sur C. Ce volume V ne dépend pas du choir de S, car faire varier S revient à transporter un certain volume lenticulaire d'un bout à l'autre du canal.
Si donc on exprime V par une intégrale double attachée à S, nous sommes dans un nouveau cas où l'on peut pressentir que la formule de Slokes permettra de remplacer cette intégrale double par une intégrale de ligne.
Ces remarques sont de M. G. Kœnigs {Comptes rendus, 1888 ; Journal de Mathématiques^ 1889).
Le Mémoire de 1889 contient même, à notre connaissance, les premiers exemples d'applications systématiques, dans le domaine géométrique, de la formule de Slokes (D).
TRAVALX DK MM. G. IIUMBERT ET 0. KfiENrOS.
M. Kœnigs, à l'aide des formules générales de la cinématique, pari d'un mouvement quelconque de C.
Mais les théorèmes les plus particulièrement élégants ne correspondent pas à ce cas. Limités comme nous le sommes ici, nous n'appliquerons les mélliodes de M. Kœnigs qu'au cas où le contour C fait une révolution complète autour d'un axe fixe ne passant pas dans C. Ce contour C n'est ainsi animé que d'un mouvement de rotation ; les V alors obtenus sont en forme de couronne et sont dits volumes de révolulion ou volumes tournants.
Nous nous bornerons aussi aux cas où le contour C est préalablement tracé sur un plan, sur une ([uadrique quelconque et sur une sphère.
Soit AB l'axe de rotation, passant par A (a, b, c) avec les cosinus directeurs 1, ,'jl, v. Keprésentons-nous d'abord C comme fixe, portant une cloison S fixe sur laquelle, en M(j:, y, ^), nous distinguerons l'élément superficiel dri pourvu d'une normale de cosinus directeurs a, p, y.
Cette normale faisant un angle 9 avec la normale en M au plan MAB et P étant la projection de M sur AB, le volume
tournant élémentaire engendré par c^o" est 27: MP cos5 c/c; d'où, pour le volume tournant total,
Conformément à la remarque générale de M. Kœnigs, cette intégrale double est transformable par (D); mais on peut aussi l'étudier directement.
Considérons toujours le contour C fixé dans sa position initiale; la cloison S qu'il porte a pour projections :
Sur Oyz une aire A.^ de centre de gravité Gx(o, r,r, Ç.c ),
Sur O zx Sur 0 xy
GziU, rr.. o).
Alors l'intégrale double de (8) peut s'écrire
ly n.
Av
ir
26 r.ÉOMKTRIE IlE LA FOnMlI.E DE STOKES.
d'où, symboliquement.
\ = -j.r. ;^ — a T, ,— ^ Z^ — c . Ar A, A;
Il faut convenir, dans le développement de ce déternjinanl, que les t, f), ?, au lieu et place des astérisques, prennent le> indices des A venant les multiplier. >
Si Taxe de rotation passe par l'origine, le volume tournant correspondant Vo s'obtient en annulant o, /y, c dans (9). On a ensuite
A, Av A:
Ceci montre de quelle manière très simple varie V quand l'ave de rotation est déplacé parallèlement à lui-même. En particulier, V^ ne varie pos si l'axe décrit, parallèlement à liii-mcnie, un plan parallèle au vecteur A^., A^, A;. Ce dernier est le vecteur aréolaire de M. Kœnigs.
Si Y^, \ y, y. sont les volumes tournants correspondant respectivement aux axes de rotation Ox, O v, O c, le volume tournant correspondant à l'axe AB passant par O est
ÀV..^- aV,.-+-vV;.
Ainsi la connaissance des trois volumes tournants correspondant aux arêtes d'un trièdre Iriréctangle conduit immédiatement à la connaissance du \ d'axe de rotation quelconque. Si les aires planes A^., A^., A; tournent autour de l'axe quelconque AB, les volumes tournants correspondants sont
\V.,= .;-A,r[;JL( Ix— c) — v(71x — 6)],
a)-K(ly — c)],
(lOj . \S'y=1-ky['.i'-y
d'où, d'aboril,
W..-+- Wv-^\V,.
Par les centres de gravité Gj-, Gv< G; des aires planes A^., A,, A;, élevons des perpendiculaires à ces aires et soient Oj-,
TRAVAUX DE MM. (i. IIIIMBERT ET (;. Ki».NIGS. 27
dy, 0; les plus courtes distances de ces droites à AH. On a
l'-i^-c— c) — •■'(■'■..c— f^) = 5x/"'- -+- lJ--= ^.f ^inf*.r, w(^y — u) — \(ty—c) = iy \/\- -t- v^ = 0, si n Oj , X(-/l;~ ^)^!J^(ç.r — « ) = 8: /[Ji- -H >-- = ^; '•iiiO;,
si Oj., Oy, 0~ sont les angles de AB avec Ox, Oy, Oz. D'après (lo),
W^r = 'i~ 0 j- A r S i 11 0 ,. , \\y = 2 TT Oy A V si M 0 , ,
W, = 2-0;A;sinO;.
L'une quelconque de ces égalités exprime ce théorème de M. Kœnigs :
Soient une aire plane A, une normale IS en son centre de gravité, un axe A quelconque dans l'espace et à la plus courte distance de N à A. Le volume engendré par l'aire X, tournant autour de A, est égal au produit de la circonférence iTZQ par la projection de cette aire A sur le plan contenant \ et o.
Passons maintenant aux contours C tracés sur une quadrique ou même sur la surface :
(il) z- = v.y--^ ic{x ).
Reprenons (8). Avec
a <^/<j = — p dx dy^ p </j = — q dx dy, y d-j = dx dy,
pz = cf'(a-), q z = v.y
et 1 axe de rotation étant Ox, on a
\'.r = 2 7T ( /. — I ) / I y dx dy = ( /. -i- i ) A -x, ' '-s
si A.j. est le volume engendré par l'aire plane A^ tournant autour de 0^. Donc :
Un contour G quelconque^ tracé sur une surface (i i), et sa projection sur Oxy engendrent, en tournant autour de Ox, des volumes dont le rapport est constant.
En particulier : Une cloison située sur une quadrique et
■^8 «ÉO.MÉTHIE DE I.a FOUMILR I.K STOKES.
conZ- 7 ""'"", P''"'''P"' '^'-é '/^-^ le plan principal considère, clés voUunes de résolution de rapport constL. Ce rappor est nul quand la quadrique est de révolution autour dudit axe principal.
Donc, pour ..ne quadrique à centre, rapporlée à ses axes, nous aurons aisément V,, V,, \„ d'où les V correspondan; aux xes de rotation les plus quelconques. Pour plus de de ta.ls sur ces sujets et notamment pour le cas (sans dilHculte) des quadr.ques non centrées, nous renverrons au Bullelui des Sciences mathématiques (19,5 et ,9,6)
1 our le cas où G est tracé sur une sphère, nous allons
Soit s une cloison sphérique, de contour G, appartenant à la sphère de centre 0 et de rayon R. La formule (8) donne
"^ ~ iT I i ^ '*''•'" -^f^y-^c'z) dG,
a'=,xc~^jb, b'=ui — \,
Soit p la distance de O à l'axe AB. Le point D(^', b' c')
ayon R.. Le cône de sommet O et de directrice G découpe sur b, deux aires a^ et ^, telles que
ceci d'après la formule précédant (7). Et maintenant, par comparaison avec V, nous avons '
Telle est la forme générale du théorème en vue. Il lie de façon 1res simple, et d\.utant plus remarquable, des travaux de MM. numbert et kœn.gs publiés sensiblement à la même
pas la plus intéressante; particularisons en prenant
2o,= 7.R,= U; d'où cr, = o.
Nous aurons
V=2t:it,,.
TBAVAIX UK MM. (.. IILMBERT F:T (;. KIJEMGS.
Donc {fig. 3) f/iiand le contour fermé C, tracé sur une sphère de centre O, tourne autour d' un axe quelconque S.\*>
il engendre un volume produit de deux facteurs qui sont : 1° le chemin circulaire ir.o décrit par O; 2° l'aire sphérique a^ obtenue en projetant coniquement, vers 0, la cloison contenue dans C sur une sphère invariablement associée à la sphère mobile et avant pour diamètre un rayon de celle-ci normal au plan OAB.
\ou5 laisserons là les volumes lournants bien que l'élude précédente ait été d'une brièveté excessive; après les jolis théorèmes obtenus pour des contours C tracés sur le plan, puis sur les quadriques, il y en a certainement d'autres pour contours tracés sHr des surfaces algébriques quelconques. On trouvera quelques amorces, à ce sujet, dans mes Mémoires des Annales de Toulouse (particulièrement dans le quatrième, 1914), mais c'est un sujet à peine effleuré.
