COURBURES DES CONTOURS ET CLOISONS
paragraphe précédent, d'où
[Ci -h q'-)P'j.- prj V'y j ,■/// -h | m ^^ f/^ ) I'; — pr/ F[,] dcj
Ao-
Or ceci est encore une expression (i) où P et Q sont nuls, S el T étant en évidence. On calcule que
ol
~ôp ~
dx~ \
uy c»^
dT /«
\>y iZ
\ A / Oy
dx ~ \
Â/ ôx'
posant
ce qui fait que £ et K sont des cosinus directeurs pour la normale au contour plan F = o.
On est alors en mesure d'écrire la formule (Hi). soit
(1 dx
(- fdxdr= I d-.
4. Cas de la courbure normale, — D'après le théorème de Meusnier, nous avons {/îg. 4)
M r = MN cos 0 ou H = c„ cos 0.
L'expiession
ds cos 0 , a dp — 3 dq
est dite angle élémentaire de courbure normale en M. C'est une nouvelle expression (i) où I* el () sont nuls, alors que
Ao Ao
FORMII.ES n'o. BONNET ET DE M. P. AI'l'liLL. 3o
En lapproclianl ceci des résultats déjà obtenus, écrivons (h
ds
= l'i r/x -+- Qi dy -+- Si dp ^- T| dr/. Si dp -f- Tj d<y,
S:, dp -+- T:j drj.
Posons encore
Alors
dp âq
ôx ' Oy
dx
= ~P.To,
ôy
Et, dans ces nouvelles conditions, la formule (H,) devient
ds
ijm-jj:
dx
Jr X-ll
en désignant par c/o-, R,, R2 l'élément superficiel et les rayons de courbure principaux en un point de la cloison S.
On obtient une vérification simple de cette formule à l'aide du cercle
tracé, comme l'on voit, sur un paraboloïde de révolution.
On calcule aisément
Avec des coordonnées semi-polaires r, 5, c, tout le premier membre de la formule en litige devient
■'drd^ =
4o COI «BIRES DES CONTOURS ET CLOISONS.
\.l quant au second membre, on voit immédiatement qu'il a même expression.
o. Remarques. — Les formules générales établies en les deux paragraphes précédents n'ont point l'importance de celle de Bonnet qui jouit de Tavanlage, jusqu'ici non partagé, d'être de constitution purement géométrique. Elles font cependant connaître, d'une manière finalement simple, des invariants intégraux superficiels qui. pour une cloison S, s'expriment par la torsion géodésique ou la courbure normale du contour C de S. Pour plus de détails géon)élriques, on se reportera aux Annales de la Faculté de Toulouse (igiS, second Mémoire).
