ÉTUDE DE LA FORMULE (J

6. Équation aux rayons de courbure principaux. — Pour faire une étude rationnelle de la formule (J) du Chapitre 1, il est nécessaire de former une équation aux rayons de courbure principaux en un point quelconque d'une surface S, en ne faisant intervenir que les cosinus directeurs a, ,3, y de la normale à S. Nous reprenons, on le voit, Içs notations qui, dans les cinq paragraphes précédents, n'ont été abandonnées que tout à fait exceptionnellement.

Sur S, menons en M(j", /, z) la tangente MT et la section normale

en désignant par x' , )'', :;' les dérivées de x, }\ z par rapport à Tare s de la section. En adjoignant, à l'équation de ce plan normal, l'équation dérivée par rapport à s

on définit l'axe du cercle osculaleur en M à la section. Soient N(X, Y, Z) le centre de ce cercle et H son rayon. On aura

Dérivant

fohmli.es d o. bonnet et de m. p. appell.

on conclut

I , d'jL

'Il

' ds

Les dérivées de a, ^, y, par rapport à .v, devant s'écrire

on voit que i : K est une forme quadratique en a:', y\ c' . Chercher les rayons de courbure principaux, c'est chercher le maxinrjum et le minimunn de celle forme quadratique quand les variables a:',/', c' sont liées par les deux relations

Cix' -^- [iy -r- '(Z'

Or c'est là, pour les formes quadratiques, un problème tout à fait classique; on est conduit, pour définir les deux rayons de courbure principaux, R, et Ro, à l'équation du second degré

K ;;(?x + 4) -(Tx+-.).-

-« + Tx) -(

■iy)

Celle-ci peut se simplifier, mais le plus commode est de faire les réductions sur la somme et le produit des racines considérés séparément. Utilisant l'identité

et ses dérivées partielles en x, y, z, on a d'abord

C'est la courbure moyenne de S.

Quant au produit des racines, il s'exprime par un déterminant simplifiable au moyen de l'identité

â')+?uÇ-Y;,)-^Y( 3:^-4)

4i rOURBlHES IiES CONTOLRS KT CLOISONS.

et l'on oblienl finalement

H,Kj -

C'est la courbure totale de S.

Ces expressions de la courbure moyenne et surtout de la courbure totale peuvent être encore simplifiées par des choix particuliers des coordonnées et même tout simplement en convenant d'étudier la surface ^ =:y'(x, ^), ce qui redonne sans peine les formules habituelles; mais ici c'est précisément ce qu'il ne faut pas faire, car c'est sous la forme précédente que les courbures vont intervenir dans la formule de M. P. Appell et dans la fornjule (J) qui révèle un invariant intégral superficiel, très esthétique et général, qui n'a peutêtre pas été remarqué jusqu'à présent parce que la question n'était pas prise sous un aspect suffisamment symétrique.

7. Le jacobien .T et les .1 bordés. — Supposons toujours que les cosinus directeurs y.. 3>, y de la normale à S soient des fonctions de jt, j', *, conformément aux égalités

Considérons le jacobien

11 est identiquement nul puisque cf., (3, y sont des fonctions non indépendantes; mais ce jacobien, insignifiant par lui-même, n'en est pas moins une sorte de noyau générateur pour des formules extrêmenient remarquables.

La courbure moyenne est la somme des ternies de la diagonale principale de J.

Le jacobien J. com'enablenient bordé, donne la courbure totale

POIlMl LES D O. liON.NET ET DE M. I'. AIM'EM,.

et, par suite, te célèbre invariant intégral de la formule d'Ossian Bonnet

Enfin J, bordé comme suit

ai-' o o o

O.r <jy i)z <)7. O'j d'i