P Q H S TU

donne la formule

f Ç \dn =^ fpdx-i-Q dy -^\\dz-^S dv. ^ T d^ + U d-;.

C'est la formule (J) du Chapitre I. Elle contient évidemment la formule dOssian Bonnet comme cas très particulier puisque cette formule de Bonnet a été déduite de (Hi), cas particulier de (H), et puisque (J) n'est qu'une formule (H) rendue plus symétrique.

8. Formule de M. P. Appell. — Soient X, Y, Z trois fonctions dont chacune dépend de x, y, :;, mais non de a, [3. y. Soient S, T, L nuls et

Q = vX aZ,

Alors de brèves transformations du A donnent à la formule (J) une forme qui exprime que : La différence des deux intégrales superficielles

J ^'g dx 6y dz P Q R

COURnCRES DES CONTOURS ET CLOISONS.

s'exprime p<tr V intégrale de U^ne, étendue au contour C de S :

dx dy dz

C'est en ceci que consiste la formule de M. Appell. Si Ion pose

—j- — % — an dx

Oy ' di

le déterminant contenu dans la seconde intégrale double peut se mettre sous la forme

dx ' dy dz / \ dn ^ dn

dn)

et l'on a la formule telle qu'elle a été donnée, par M. Appell lui-même, dans V Intermédiaire des Mathématiciens {igiQ). Elle est susceptible de plusieurs démonstrations directes; mais ce qui en fait surtout l'importance est la structure de la première intégrale double qui contient la courbure /noyennc. alors que l'intégrale double de la formule de^ Bonnet contenait la courbure totale.

La formule de M. Appell contient des résultats géométriques remarquables notamment quant aux extensions de certaines formes du théorème des projections.

Soient X, Y, Z constants et plus particulièrement cosinus directeurs d'une direction fixe D. On a

si d(Jx est la projection de dG sur un plan P perpendiculaire à D et / l'angle de la tangente en un point M de C avec une direction perpendiculaire à D et à la normale en M à la cloison S.

Si S est un plan, on a le théorème classique du contour C dont les éléments ds ont, au total, une projection nulle sur une direction fixe.

Soient encore