FORMULES U 0. BONNET ET DE M. P. APPELL

Aloi":

-ffJ.i-i)-'-I

dx dy dz

ici cr est l'aire de S el o la distance de l'origine au plan tangent. Si S est un plan, il vient

j = a7|-t- 37.-1- YTj, O"]: '^■2- 5":( étant les projections de a sur les plans coordonnés.

CIIAPITHK IV.

Étude de la fokmile (H). Tiuvaux de M. K. Golhsat.

1. Préliminaires. — \ous venons d'uliliser la formule (H) [ou la foruuiie (J) qui n'en est qu'une svmétrisalion] dans des questions de courbure linéaire ou superficielle, tout comnoe on utilisait la formule de Slokes ordinaire dans des questions géométriques plus simples.

Il est naturel, maintenant, de se poser, au siijel de (H). les questions classiques partout posées au sujet de (C) ou (D), Ainsi nous savons qu'une intégrale double

I I I i-pF-rjG-^ÏUdxdy

n'est pas identifiable, en général, avec le premier membre de (D) ou de (C). Il faut, pour cela, qu'on ait

, , dF oG o\\

^ ' Or dy. re-

considérons, de même, l'intégrale

(3) f r[K{rt—s^)^ \r^Bs-^Cf ^D]dxdy

en laquelle chacun des coefficients K, A, B. C. D est d'abord considéré comme une fonction absolument quelconque de j;, y, z, p^ q. A quelles conditions celte intégrale (S) pourra-t-elle prendre la forme du premier membre de (H) et n'être par suite qu'une intégrale de ligne déterminée par la connaissance du contour C de S et des plans tangents à S le long de C?

La question peut être traitée de manière directe {A/inales de Toulouse, 1913) mais elle rentre aussi dans les recherches générales signalées à la fin du Chapitre I. Elle a été résolue

TRAVAUX DE M. E. (;OLHSAT. I\'}

en premier lieu par M. R. Goiirsat dans un Mémoire Sur queUjues transforniations des étjuations aux dérivées partielles du secondordre {Annales de Toulouse^ 1902) prolongé tout récemment par de très importants développements 5Mr le problème de Backlund et les systèmes de deux équations de Pfajf (loc. cit., 191 8).

La question est liée, en effet, de la manière la plus intime avec l'étude des érjualions, aux dérivées partielles, de Monge- Ampère

Nous devons nous borner ici à des indications très rapides réduites presque exclusivement à des expositions de résultats susceptibles de vérifications. L'étude des travaux de MM. Goursat et Cartan s'impose pour approfondir nombre (le points délicats et d'ailleurs encore emplis de difficultés insurmonlées.

2. Le système de M. E. Goursat. — Une seule condition est nécessaire pour qu'une intégrale (i) ne dépende que du contour G de S ; la question analogue relative à l'intégrale ( 3 ) en demande cinq. Reprenons la formule (H) et le déterminant qui y figure, soit

Tx

Tz

Tp

Ge déterminant se développe sous la forme

(5) KCr/- — 5V) + xV/'-i- B5H- Ci' + D,

en posant

K — l'ij — S'y,

H = ^ ( r;, - Ti ) - /) ( r;, - s'^ ) -H Q'^ - T>-+- s;^- p;„ D = p(q: r;.) -f- y(R'^ p;,) - Q.V- p;..

Or, ceci ne permet point aux fonctions K, A, B, G, D d'être