ÉTUIJK DE LA FORMULE (U
quelconques, car on peut vérifier qu'elles satisfont aux cinrj relations
\H K ) -f- X( b:,- c'„ ) -+- w c;,) -^ V. c: - ix,,, = o, ^ 1 xy(K)-X(a:,)^Y(c;,) + b:-d;,= o. \mk) + y(b;,-a:,)^x(a;,)-+-2a;-d;,„=o,
i. X(K) -^ ^ YfK) + Ki-f- b;;,- a;;,- c;,„ = o,
en lesquelles on a posé, pour abréger l'écriture,
' ~ Ôt ' ^ôz' ~ dj- ~' ^ oz'
Les relations (6) sont dues à M. E. Goursat. 11 resterait à examiner si, lorsque ces conditions sont satisfaites, on peut efiectivemenl tirer P, Q, K, S, T des cinq relations précédant le système (6); nous nous bornerons à répondre par une affirmation, renvoyant aux endroits précités pour une démonstration détaillée.
Si la forme (5) se réduit à
V) = —pV — (jç,^ H,
les fonctions F, G, H ne dépendant chacune que de x, y, s, les conditions (6) doivent se réduire à l'unique condition (2 ) ; c'est bien ce qui a lieu.
3. Propriétés du système (6). — On connaît plusieurs propriétés importantes du système (6), mais la recherche générale de ces propriétés est une question qui semble appeler de nouveaux travaux.
Quelques propriétés semblent d'abord indiquer que le système, quoique compliqué, ne l'est peut-être pas autant qu'on pourrait le croire au début.
Si Von pose
M = B — / a;, dp — f Cp dq, N = l> — X ^ A dp — Y Çc. d'i,
TRAVAUX DE M. K. GOLBSiT. 49
le système (6) prend la forme manifestemeni plus simple
/ xy(M)-hN',-x(n;,)-Y(n:/) = o, l xî(K)-+-x(m;)-n;;,,= o, ) -xy(K) + m;-n;., = o,
— x( K ) -^ — Y( K) -f- Kl -f- m;;^:
L'assertion n'exige qu'une vérificalion. Pour tous ces calculs, qui reposent sur l'emploi des opérateurs de dérivation indiqués, on observera les identités opératoires
XY=YX. ^X^X-^, ±X = X±,
dcf 6q dp Op
aq ()q Oz dp dp dz
Le système (6) ne donne, par dérivations, que deux équations distinctes.
Ceci se vérifie aisément sur la forme (7) du système (6). Désignons respectivement par <7, 6, c, d, e les premiers membres des équations composant ces systèmes; on a
a',„,=^ XY(e) -f-X(c;,) + Y(c^) -+- c'., b'p= \{e)-+- 4, </= V(e)^ C),.
Donc, si ion a identiquement c ^= 0, euro, il suit de là qu'on a aussi identiquement
a"i,,i = 0, •èp = 0, d'il = o. Le système (6) est composé par les opérateurs
ày
"''Vz'
dz
dp
dq
qui sont permutables avec V un quelconque des suivants :
Scientia, n"> 36
dx' dy' dz' dp ' dz dq ' -^ dz
'jO ÉTLDE l)K LA FOItMLLi: ( H ;.
Ces derniers, pourvus de coefficients constants et réunis de manière linéaire et liomogène, donnent un opérateur E permutable aussi avec tous les opérateurs de dérivation figurant dans (6). Il s'ensuit que si
forment un système de solutions pour (6), on pourra en déduire le nouveau système de solutions
E(K), h(A), E(Bj, 1£(C), E(D..
De ces transformations infinitésimales, on pourrait, par les raisonnements fondamentaux de la théorie des groupes, s'élever à des transformations finies dépendant de constantes et même de fonctions arbitraires. Une infinité d'invariants intégraux, de la forme (3), peuvent être considérés comme partageables en classes, ceux d'une même classe étant liés par l'une des opérations que nous venons d'esquisser.
\. Équations de Monge-Ampère. — Soit à déterminer une surface sur laquelle chaque élément x^y, z. p. q satisferait aux deux rela:tions difTérentielies
( I rt'r -H J dy -^ I. ciz -H M c/p — N d,/ = o, ( V dx-^ Q dy — K dz -^ S dp — Tdij^o.
Bien entendu, on aurait aussi identiquement sur la surface
— dq = o.
s dx -r- / dy r dx -^ 5 dy p dx ^- q dy — dz
dp
qui, de ce fait, serait surface intégrale de l'équation aux dérivées partielles
TRAVAUX DE M. K. GOIRSAT.
Or c'est là l'équalion j^énérale de Monge-Ampère définie, d'après les théories de S. Lie. par l'un des systèmes de caractéristiques, savoir le système (8) {cf. E. Golrsat, Leçons sur les équations du second ordre, t. 1, p. 49-5i). Happe- Ions que si, parlant d'une équation de Monge-Ampère (4), on tente de mettre les caractéristiques en évidence, on trou\ e, en général, deux systèmes tels que (8).
Fartons maintenant de l'équation (g) que nous dirons être du type de Lie pour rappeler sa genèse et sa forme, et convenons de remplacer lavant-dernière ligne du déterminant par la ligne d'opérateurs
0 à ûx dy
0 II à Oz dp dq
Nous aurons la nouvelle équation de Monge-Ampère
(lO)
Oz
Tiji
Tq
que nous dirons être du type de Bâcklund. D'après (H), sur les surfaces intégrales de (lo), la forme
P r/^ -^ 0 dy -H W dz — S dp'-^ T dq
est une difTérentielle exacte. On trouve une équation (lo) au point de vue géométrique quand, partant d'une surface i formée d'éléments oT. y, z, p. q, on \ eut lui faire correspondre, par des formules telles que
une surface ^' sur laquelle p' dx' -{- q' dy' serait une différentielle exacte dz' . En exprimant la chose avec les variables X, j-, z, p, <7, c'est-à-dire sur i, on a bien une équation (lo). Si, les équations (12) prenant une forme implicite quelconque entre x, y, z, p, q et x' , y', z',p\ q' , il arrivait, à la
52 ÉTLDK DK LA KOK.MULK (II).
fois, que p' djc' -\- q' dy' soit dilTérenlielle exacte sur i el p dx -\- q dy difléreiilielle exacte sur i', il y aurait Iransfornialion de Bdckl(aid{^). Mais nous devons nous borner ici à cette simple mention, renvoyant, pour l'étude de ces transformations aux Mémoires précités de M. Goursat et particulièrement à celui de 1918 qui apporte à la théorie de grands et définitifs progrès ainsi que de nombreux exemples (^).
5. Forme intégrale d'une équation de Monge-Ampére. — L'équation (10), du type de Biicivlund, est-elle aussi complètement générale que l'équation (9) du type de Lie? Certes, en passant de (9) à (10), on a supprimé cinq fonctions arbitraires, mais il en reste encore cinq, alors que l'équation de- Monge-Ampère (4) n'a que quatre coefficients distincts. On pourrait donc croire, de ce fait, que (10) est aussi générale que (4).
Cependant il n'en est rien.
Multiplions (4), par un facteur /.(jr,y, z,p^ 7), et essayons de l'identifier avec (10). Il faudra que X satisfasse à un certain système en ), qui s'obtient en remplaçant K, A, B, C, D, dans le système (6), par \sjf:, AÀ, BÀ, Ck, D).. Ainsi l'unique facteur A devrait satisfaire à cinq équations qui, à vrai dire, peuvent se réduire à deux par des dérivations, mais, en
(') Albert-Viclor Backlund, ne en ï845, astronome à rObservaloire, puis professeur et recteur de FUniversilé de J-und (Suède). Ses travaux sur la transformation des équations aux dérivées partielles ne représenleiit qu'une petite partie d'une activité scientifique qui d'ailleurs ne cesse point.
Kii France, les transformations de niicklund ont été étudiées non seulement par M. (ioursat, mais par les élèves de ce dernier. Parmi ceux-ci il faut accorder une mention spéciale à Jeant^airin (1876-1914), professeur à la Faculté des Sciences de Lille, tué à l'ennemi. [Ci. Eloge funèbre, par M. (.ouiîsat (Séances delà Société mathématique, 1916).]
J. Clairin proposa une première classification des transformations de Backlund {A. E. N., Thèse, 1902). Il compléta ce travail en divers Mémoires (.S. M , 1902, 1904. i9o5, iqjS. — A. 7"., 1903. — A. E. A'., 1913). Il étudia, comme cas particuliers, plusieurs transformations connues [de Laplace, de Moutard, de Lucien Lcvy (5. M., igoS)]. A la veille de la guerre il publiait des notes pleines d'intérèt(C.7?., 3o mars et 27 avril 1914) où il considérait notamment des transformations de Backlund entre équations non linéaires.
(') M. Goursat, dans le Mémoire de )902, appelle problème de Backlund ce\\ii qui revient à la construction de l'équation (10) et, dans celui de 1918, emploie la même dénomination pour désigner la recherche des transformations de Backlund. Cette seule remarque évitera toute confusion.
TRAVAUX DE M. E. <.0L USAT. ')i
général, ces deux dernières seront indépendantes et ceci, toujours en général, empêche l'existence de /.
Celte constatation entraîne iinmédiatement une autre question.
Puisquel'équation de Monge-Ampère la plus générale n'est pas du type de Biicklund (lo), c'est-à-dire n'est pas du type intégral
(i3 ) o = f P (Ix ^ q dy — R dz -^ S dp -^ T d(j,
quelle est la forme, analogue à (i3). qui serait celle de l'équation générale?
La réponse est simple.
Joule équation de Monge-Ampère peut être mise, d'une infinité de manières, sous la forme intégrale
(14) f fedxdy => fpdx-^qdy-r-R dz -^ S dp ^ T de/.
C'est surtout par ce théorème que l'étude des équations de Monge-Ampère est intimement rattachée à l'élude de la formule (H) et des intégrales doubles. En appliquant la formule (H) à l'équation (14), on l'écrit immédiatement A = 0, en désignant toujours par A le déterminant qui figure dans (H) et 0 étant une fonction de ^r, ->', z, p, g tout comme 1 une quelconque des fonctions P, Q, R. S, T. Mais ceci n'est que la réciproque du théorème énoncé; pour le théorème luimême et pour la mise effective d'une équation quelconque de Monge-Ampère sous la forme (14), nous renverrons aux Annales de Toulouse (igiS, p. 323).
6. Classifications. — La classification des équations de Monge-\mpère repose généralement sur la réduction, à des formes canoniques types, des formes différentielles constituant les équations des caractéristiques. On peut évidemment faire quelque chose d'analogue en passant par l'équation (14), puis par (i3) et par des types (i3) où la forme (11) se réduit de plus en plus simplement. Quand (i i) prend la forme u dv, où u et p sont fonctions de JC, y. z.p. q, l'équation admet une intégrale intermédiaire u =r ^{v). Elle rentre alors
indifféremment, et de manière également aisée, soit dans le
ivpe de Lie. soit dans le tvpe de Biicklund. Elle a ainsi l'une
ETinr. DK i.v foumilk i m i.
des deux formes
