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TRAVAUX l)K M. E. GOUHSAT. 55
SOUS la (orme A =: o. Le système en X se réduil à
-X{X^)-4-Y().'^)-+-9.Àl--o, ,
En ajoutant la seconde et la quatrième équation, on voit queXl=o; donc }. ne peut contenir explicitement :■. Dans ces conditions il reste
Ox- Oy^ ôx ùp Oy Oq
Ox oq '^y <)p oq'^ i)p-
C'est bien le système vérifié par la partie réelle ou par la partie imaginaire d'une fonction des deu\ variables
u ^ X -\- iy^ V = q -^ ip.
Gomme le remarque M. E. Picard {Traité d' Analyse, t. 2, 2^ éd.. p. 2.57), ce système ne s'est guère prêté à une étude directe et ceci n'est pas encourageant qujyit à l'étude du système en À. On peut cependant trouver un assez grand nombre Je solutions particulières de systèmes en X particuliers correspondant à des équations de Monge-Ampère que l'on sait être de la forme A rr o.
Quant aux résultats qui viennent d'être exposés à propos de l'équation de Laplace, ils peuvent s'interpréter de diverses manières. Ainsi, X satisfaisant au sj'stème (i5). l'intégrale
/ / >(a^, 7, g,p)('-^t)dxdy
est invariante, pour toutes les déformations de la cloison S qui en conservent le contour et les plans tangents le long de ce contour.
Plus symétriquement, si l'on pose
jG i.MDi: ui: LA rouiiii.i; (ii;.
on a
- f f t' ('•-^ndxdy=f<\} dx - T dy,
f f ^'('„ (r-i- t)dxdy = f W dx -r- «!> dy.
M, E. Picard remarque encore (/oc. Ci7. ) qu'il y a une 1res grande diirérence entre les fonctions ^> et W suivant qu'elles proviennent d'une fonction d'une seule variable complexe ou d'une fonction de deux variables; dans le premier cas, elles sont solutions de l'uiiifjue équation de Laplace ; dans le second cas, elles sont solutions d'un système de quatre équations. Cette dilTérence disparaît de façon curieuse si I on se propose de considérer <ï> et U' non plus comme des solutions, mais comme des multiplicateurs'/.. Alors peu importe que <P et W pro\ iennent d'une fonction d'une ou de deux variables complexes; ce sont toujours des multiplicateurs >. pour Tunique équation de Laplace.
8. Généralisations. — Pour les généralisations des questions de ce Cliapitre, il nous faut surtout renvoyer aux travaux de MM. Goursat et Cartan, ce que nous avons déjà dit à la fin du paragraphe 1. Mais l'usage des déterminants symboliques permet aussi d'apercevoir très intuitivement d'intéressantes extensions. Ainsi les équations des caractéristiques (8) peuvent être étendues à un plus grand nombre de variables, d'où deg équations (9), analogues à l'équation de Monge-Ampère^ mais écrites avec des déterminants d'ordre plus élevé. Dans ces déterminants, des lignes de fonctions arbitraires pourront être remplacées'par des lignes d'opérateurs de dérivation. Donc, dans les équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur et à un nombre quelconque de variables, le parallélisme entre types de Lie et types de Backlund pourra être poussé fort avant. C'est d'ailleurs, si l'on veut, un parallélisme de nature physique où l'on invoquerait, d'une part, la théorie des ondes, de l'autre, la théorie des tourbillons.
Dans la Physique qui se développe maintenant, au jour le jour, de façon si profonde et curieuse, on observe continuellement ce parallélisme entre expressions symétriques formées, d'une part avec des termes ordinaires, d'autre part avec des termes symboliques qui sont généralement des opérateurs de dérivation. A ce sujet, on se reportera encore à l'Ouvrage de M. Th. de Donder cité à la fin du Chapitre 1.
