FORMULES DE HIEMAN'N ET UE STOKES

avec H quelcon([iie et F, Q nulles. L'addition des trois formules reproduira (G) ou (D) avec des fonctions P, Q, K qu'on pourra désornnais considérer comme quelconques.

3. De l'invariant intégral. Généralités sur (D). — Une première propriété essentielle de l'intégrale double figurant dans la formule de Slokes (G) ou (D) est que cette intégrale ne varie point quand on déforme la cloison S sans déformer le contour G de cette cloison. Et la chose est évidente puisque le premier membre de la formule s'exprime par le second, qui ne dépend que du contour G. L'intégrale double en litige est invariante pour les déformations de S; elle constitue un invariant, intégral ou du moins un exemple des plus simples de ces invariants qui se sont introduits sous des physionomies beaucoup plus générales et complexes en diverses disciplines analytiques, mécaniques et physiques(').

Une intégrale double

f r(aF + [iG-+-YHjrfcr

n'est pas identifiable, en général, avec le premier membre de (D). 11 faut, pour cela, que l'on ait

dy âz ~ (E) •1i^--=G.

ce qui entraîne (F)

dx dy

ô? ÔG d\\

dx dy âz

Mais si cette relation (F) a lieu, ridentification de (7) avec le premier membre de (D) est possible, P, Q, R se déterminant au moyen du système (E) et par de simples

(') Si le terme imariant intégral n'est pas présenté ici avec le sens même qu'on lui donne en rattachant la chose aux équations dilTérentielles ou au calcul des variations, les diverses acceptions possibles sont cependant intimement liées. {Cf. Th. de Doder. Rendiconti di Paternio, 1901. Etude sur les invariants inte'graux, Chap. ,11: Analogies.)

L IDK.NTITK KO.NDAMENTALK.

<|uadralures. Ce sont encore là des résultais bien connus que nous nous bornons à rappeler.

\. Particularisation très importante de I>). — Heprenons la formule de Slokes (Dj el posons-y

en désignant par N une fonction liomogène, d'ordre — 2. en o", y, z.

D'après le théorème d'Euler, on a donc

' 0.r ^ Oy '^ " dz et, dans ces conditions, la formule (D) devient

j j — { y..r ^ ly ^ •; z) di = j \ { y d.r — X dy).

Par permutations circulaires et avec deux autres fonctions L, M analogues à N, on a deux autres formules telles que l'addition des trois donne

dx dy dz

On voit que, pour abréger, on a posé

mais ceci n'est pas seulement une question d'abréviation el do a une signification géométrique très remarquable. La distance de l'origine 0 au plan de l'élément dG est (i3(^ ^ 3y + yr. ) ; donc dp est le volume du cône élémentaire qui a pour sommet l'origine des coordonnées et pour base l'élément superficiel du de la cloison S.

Rappelons-nous bien que la formule (G) nest exacte que si L, -M, N sont des fonctions homogènes d'ordre — 2, dont une, deux ou toutes trois peuvent être identiquement nulles; da ce fait, elle peut sembler très particulière par rapport à (D), mais nous verrons qu'elle n'en comporte pas moins une foule d'applications géométriques.

roii.Mi 1,1 s m; iukma.nn i;t i>k stokks.

5. Extensions de la formule de Stokes. — Les raisonnemenls faits précédemment avec deux et trois variables peuvetit évidemment s'étendre sans peine au cas de variables en nombre quelconque; d'où, tout naturellement, des extensions de la formule de Stokes dans l'hyperespace. Mais, dans cet opuscule, nous avons surtout en vue des questions à caractère géométrique tangible; aussi allons-nous étendre la formule de Stokes sans sortir de l'espace ordinaire et ce en ayant recours à des notions de courbure et de contact.

Partons encore de l'identité fondamentale (A) et, au lieu de (i) ou (3), considérons la transformation

X = X(3~, r, z. p, (j ), Y = \{x, y, z, p, ij),

qui n'est bien qu'une transformation à deux variables si le zqui y figure appartient à une surface

- =fi-^,y)

et SI

ox'

D'ailleurs, nous poserons aussi, conformément à l'usage,

éx-

ô'-z ax dy

A une cloison S, de (8), peut correspondre l'aire s de l'identité (A). La transformation ci-dessus change l'intégrale double de (A) en une autre intégrale, étendue à S, laquelle intégrale contient dx dy et le déterminant

v;^ + p \L h r\',, ^ s y;/ y; -i-qy.-i-s y;, + / Y'

qui peut s écrire

si l'on pose P = XY,.,

ôj,