XY

10 l. IDENTITE FONDAMENTALE.

Par suite, l'idenlilé (A) se change en {H) f I ^ dx dy = C V dx -^ (l dy -^ ÏK dz J»r ^ dp ^ T d<j.

C'est la formule que nous voulions obtenir; G y désigne naturellement le contour de la cloison S. Cette formule (H) n'a pas encore toute sa généralité si P, Q, H, S, T n'ont d'autres significations que celles qui viennent d'être indiquées; mais, en répétant le raisonnement fait à la fin du paragraphe 2, on verra de même que ces cinq fonctions peuvent être absolument quelconques. Bref, à l'avenir, nous aurons à nous représenter une formule (H) en laquelle A sera le déterminant symbolique du cinquième ordre écrit quatre lignes avant(H), déterminant en lequel chacune des fonctions P, Q, R, S, T dépendra d'une manière quelconque de x,y, z,p, q.

6. Nouvel exemple d'invariant intégral. — Imaginons que la cloison S, sur laquelle est prise l'intégrale double de (M), soit déformée sans altération ni du contour G ni d'' aucun des plans tangents menés à S le long de C. Alors P, Q, R, S, T, qui ne dépendent que de x, y, z, p, q, sont les mêmes, sur C, quelle que soit la cloison considérée et, par suite, l'intégrale double de (H) est invariante pour les déformations en question; elle est, en effet, toujours égale au second membre de (H), qui est manifestement invariant dans les circonstances envisagées. Mous venons de construire ainsi un invariant intégral relatif à toutes les cloisons qui sont limitées à un même contour C et sont toutes, les unes avec les autres, en contact du premier ordre le long de ce contour. Un tel ensemble de cloisons est évidemment plus particulier que celui formé par des cloisons qui passent simplement par un contour sans aucune condition de contact, et à ce point de vue on pourrait prétendre c[ue la formule (H) est plutôt une particularisation qu'une extension de la formule de Stokes (C). Mais ce ne serait guère là qu'une (juerelle de mots; ce qui porte plutôt à considérer (H) comme une extension de (C), c'est que, dans certaines questions élevées, par exemple dans l'étude des équations de Monge-Ampère (Chap. 1\ ). la formule (H) permet manifestement d'étendre et de généraliser des aperçus que (C) ne donnerait qu'en des domaines beaucoup plus élémentaires comme celui des équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre.

FOHMULKS DK UIEMANN ET DK STOKES. H

Terminons par une remarque qui s'impose, bien qu'elle soit inutile pour la suite.

En poursuivant les raisonnements (jui ont donné (C), puis (H)) on pourrait construire une formule qui ferait connaître un invariant intégral relatif à toutes les cloisons passant par un contour en ayant, entre el|es, tout le long de ce contour, des contacts du second ordre. Et ainsi de suite.

7. Intervention de la notion de courbure. — Considérons d'abord un arc plan Ali; la courbure d'un élément de cet arc est mesurée par l'angle des tangentes ou des normales aux extrémités de l'élément et, pour l'arc fini AB, il y a une courbure finie, une courbure intégrale mesurée, par suite, par l'angle des tangentes en A et B.

Donc tous les arcs AB ayant mêmes extrémités A, B et mêmes tangentes en A et B ont même courbure finie.

Au paragraphe précédent nous venons de constater quelque chose d'analogue quant aux surfaces; nous avons construit des cloisons S pour lesquelles rinlégrale double de (H) est invariante quand ces cloisons se déforment aN ec conservation du contour, et des plans tangents le long de ce contour; cette intégrale double peut donc être comparée à la courbure finie d'un arc plan. En fait, au Chapitre 111, nous retrouverons les plus remarquables formules, proposées pour l'évaluation de la couibure finie d'une cloison, comme cas particuliers de (H) ou de la transformation (J) de (H) que nous allons indiquer. .

8. Transformation de (H) par l'introduction des cosinus directeurs de la normale à S. — La formule de Siokes (C) gagne beaucoup en élégance quand on l'écrit sous la forme (D) en introduisant les cosinus directeurs a, [3, y de la normale à S. Il y a un résultat tout à fait analogue à obtenir pour (H). En posant

Tx

Yc

âz

â Oy.

I ' I. inRMITE FONhA.MKMAI.i:

on a la formule

J ) f f l,h^ f \' d.r — Q dy -^ Il dz -T- ^dv. -+- T </;i -t- L ^7.

en la(|iielle a, [3, y ■^o ni considérés comme fonctions de x, y,z. <^)iianl à P, (), H, S, T, U, ce sont des fonctions indépendantes dont cliaciine peut contenir x, y, r, a, j3, y.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer (J) par une voie tout à fait analogue à celle qui a permis de démontrer (H); ceci en partant toujours de (A).

(J) a été écrite pour la première fois dans V Intermédiaire des Malht'Diaticiens (1916, p. 168); on en trouvera une démonstration détaillée dans les Mémoires des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse^ particulièrement dans le cinquième Mémoire (2* série, t^ VU, igiS).

On peut faire sur (J) toutes les remarques jréométriques faites sur (II); (J) contient notamment une remarquable formule de M. Paul Appell, dont il sera question au Chapitre III.

0. Cas des intégrales multiples. — Imaginons que Ton remplace l'identité (A) par

f Ç f d\ d\ dZ= f f\ d\ d'/..

où (' est un volume contenu dans la surface fermée s. Imaginons même des identités analogues dans l'hyperespace. La méthode des changements de variables, indiquée en ce qui précède, permettra rie déduire desdites identités des formules du type stokien où figureront des intégrales multiples quelcon(|ues à déterminants contenant non pas une, mais deux, trois, . . . lignes d'opérateurs de dérivation.

La théorie que Ton peut constituer ainsi remonte à PfafT, Grassmann, ... ; elle a été reprise par M. E. Cartan {Annales de l'Ecole Normale, 1899, 1901) et par M. E. Goursat {Annales de Toulouse, 191 5). Elle est ainsi mise en relation avec la théorie déjà mentionnée des invariants intégraux, due à Poincaré, et avec la réduction aux formes canoniques de différentielles (juelcon([ues (problème de PfalT). Ces questions exigent un choix judicieux de notations; les déterminants symboliques ici employés n'oITrenl aucun avantage fondamental sur celles de MM. Goursat et Cartan. Nous les utilisons surtout en vue d'applications qui seront ainsi traitées

I OUMLI.KS l)i; llll.MV.NN KT l)K STOKEfi. \i

dans le sljle où l'on applirjiie d'ordinaire, en Géoinélrie, en Mécanique ou en l'livsi([ue. riialnluL-lle formule de Slokes (G)ou(D).

Pour la théorie des invariants intégraux, on consultera avec fruit revposé de Puincaré { Mélliodes tiouvelles^ t. lll) et les Mémoires fondamenlauv de M. Tli. de Donder {/iendiconli ciel Circolo di Paiernio, 1901, «902). Ces travaux, contiennent la bibliographie du sujet telle qu'elle pouvait être faite en igci. Comme nous l'avons dit d'ans Tlntroduction, ceci nous dispense de citer en détail des publications dues à MM. Appell, Kœnigs, Zorawski, V'essiot, Buhl. etc.

S. Lie, après avoir critiqué injustement la tiiéorie, y a apporté ensuite d'élégantes et très importantes contributions {Videnskabsselskabets Skrifter, Christiania, 1902).

Le Mémoire de M. Goursat {Toulouse, I9i5) contient aussi une bibliographie détaillée quant au\ années immédiatement précédentes. Bien que nous ne nous placions ici qu'aux points de vue analytique et géométrique, il est à peu prés impossible de ne point mentionner l'importance que ces théories ont prises et qu'elles prennent, d'ailleurs, de plus en plus, au point de vue physique.

La formule de Stokes, comme il est bien connu, a une origine physique que l'on peut déjà reconnaître dans l'Electrodynamique d'Ampère. Elle a la symétrie d'un moment et ses ex-tensions continuent naturellement à coïncider avec les extensions des théories physiques à forme vectorielle. Les formes s) mboliques de différentielles maniées par MAL Goursat, de Donder. Carlan semblent conduire maintenant, de la manière la plus naturelle, aux théories tensorielles d'Einstein, Nous nous déchargerons encore du souci d'un grand nombre de citations bibliographiques en renvoyant à la Théorie du champ électroniagnétùjue de Maxwell- Lorentz et du champ gravljujue d' Einstein de M. Th. de Donder (Gauthier-Villars, 1920), qui permet d'apercevoir une forme simple et extrêmement féconde pour des vues qui jusqu'ici empruntaient un aspect plutôt nébuleux aux théories relalivistes. {Cf. J. Larmor, Times, 7 janvier 1920.)

Il est d'ailleurs impossible de conclure de manière ferme au sujet de ces résultats, qui semblent actuellement pouvoir apporter du jour au lendemain les plus abondantes et surprenantes moissons. {Cf. Th. de Donder et IL \ a.nderlinde.x ; G. Cerf, Comptes rendus, 10 mai 1920.)