CHAPITRE II
Géométiuf. dic i,a Fon.Mii.E i)K Stokes. Trayaix i»i: MM. G. lli mukrt i;t G. KoF.xuiS.
1. Fonctions de ligne. — H est fon simple de se représenter des êtres géométriques, des volumes, par exemple, qui semblent dépendre de certaines cloisons limitrophes S et qui ne dépendent en réalité que du contour C de S; ces êtres sont des fonctions de C, des foncLions de ligne, pour employer une terminologie qui a acquis une grande importance de par les travaux de MM. V.Volterra ('), J. Hadamard, P. Lévy, etc.
Soient notamment deux solides, limités à une même facette gauche ou cloison S, tels deux cônes qui auraient S pour même base gauche mais dont les sommets seraient difTérents. Le volume de chacun de ces solides dépend de S, mais leur différence ne dépend que du contour C, car déformer S ne fait qu'ajouter aux deux volumes un même volume de forme lenticulaire. Et, si les deux volumes sont exprimés par des intégrales doubles attachées à S, on doit s'attendre à ce que a formule de Stokes exprime leur différence par une intégrale de ligne attachée à C.
Développons cette première conception en attendant de recourir à d'autres.
2. Volumes cylindriques. — Une cloison S étant rapportée à trois axes rectangulaires Oxyz, projetons-la sur Oxy. Nous pourrons obtenir ainsi le volume classique qui est limité, en haut, par S, eu bas par le pian O.ry. et latéralement par les projetantes du contour C de S. Nous désignerons ce volume par U^, l'indice z rappelant que les projetantes laté-
(') PiMir les fonctions tic lignes entendues comme il est indi(iuc ici, voir louvrage de .M. V. X'ollerra : Leçons sur l'inté^ratio/i des e<]iia~ /ions clij/'erentieffes aux derii'ées partielles ^Upsai, 1906: Paris, A. Hermann, 1912).
TRAVAIX DE .MM. G. IIUMBERT ET G. K(«;NIGS. 13
raies sont parallèles à Oz. On imaginera, de nnîme, des volumes U^ et Uy allacliés à S.
En désignant toujours par a, 3, y les cosinus directeurs de la normale à S, on a
U.r= f foixch, \}y= C I <^ych, U,= r f'-z ch.
La didV'ience
U,,.— Uy= ^ Ç(ix—^y)d<î
est, ainsi qu'on devait le pressentir, une intégrale double identifiable avec le premier membre de la formule de Slokes (D). Nous trouverons P, Q, R par le système (E) en lequel
Nous aurons ainsi
P = o, Q = o, R = xy.
et définitivement
[ Ux-U,.= ^ xydz,
(I) ' Uy-U,= f yzdx^
f Llj- Ux= f zxdy.
Les deux dernières de ces égalités ont été adjointes à la première par de simples permutations circulaires. Ces trois formules (i) ne sont pas distinctes, leur addition donnant l'identité o = o du fait que la somme des trois intégrales de ligne porte sur une difi'érentielle exacte, celle du produit xyz. Notons aussi qu'on pourrait les obtenir par un raisonnement géouétrique particulier mais peu propre à laisser aperceN'oir les généralités du paragraphe 1 [Nouvelles Annales de Mathématiques y 4" série, t. 12, 1912).
3. Application à la courbe sphérique de Viviani. — Soit la courbe sphérique bien connue et très suffisamment rappelée par la figure i qui représente, en AMB, le quart de la courbe complète. Si R est le rayon de la sphère, cette courbe a pour
iC) (■KOMKTHIK tu; t.\ KOKMn.K 1»K STnKKS.
équalions
:r=Kci)s-0, y = H cosO siii 0, c=l<^ill').
I*oiii' cloison S nous prendrons la demi-feuille AMIiA el rappellerons qu'un calcul d'intégrale double, classique et exlrêmemenl simple, donne
C'est d'ailleurs là un théorème archaïque auquel se mêlent les noms de Pappus, Viviani, Bossut, liiuler, ....
Cherchons maintenant les volumes U;^ ^^ ^ y attachés à la même cloison S. Il n'y a plus besoin de considérer d'intégrale double, les formules (i) donnant
L,.— U>= H-'/ cos'OsinOrfO = -IV
L'.— li^.= |{' j cos^O sin
0 CCS 2 0^/0= — R3.
On remarquera que la somme des trois derniers membres est nulle conformément à la remarque faite à la fin du paragraphe précédent.
TBAVAIX I)K MM. (i. IILMIIF.RT F.T G. KOENIGS. I"
El de la connaiss.uice de U^. nous déduisons nnainlenaril
^-(i-i^)-. "'-(^-t:)'^- ^-fî-H)"'-
Si ces voliioies sont enlevés du huilième de sphère OABG, les excès restants sont respectivement
La somme de ces excès est R'. C'est le théorème de Sorano ('). De tels résultais pourraient être généralisés, notamment en remplaçant le cercle APO par des courbes r'" = R"' cos/i 9, mais il est clair que Tintérèt ne consiste pas dans l'obtenlion de nombreux résultats numériques analogues à ceux qui viennent d'êlre obtenus; il consiste dans l'intervention de la formule de Stokss dans ces problèmes dabord fort élémentaires en attendant qu'elle intervienne dans des questions de plus en plus élevées et modernes.
i. Volumes cylindro-coniques. — Considérons toujours la cloison S et joignons à l'origine tous les points de son contour C; nous enfermerons ainsi un volume conique
Vo = W I (ar -^ 'iy H- Y - ) du.
Donc
3V«= U.t-l-Uv+ U;,
unis on peut aussi calculer \ ^ sais passer par l'obtention préliminaire de U^;, Uy, Uj.
D après les généralités du paragraphe 1, la différence
ne doit dépendre que du contour C et, en fait, la dernière intégrale double est identifiable avec celle de la formule de
(') Un théorème de ce genre pourrait soulever de lointaine? recherches de priorité à l'instar de résultat* obtenus au xvu' siècle et qui étaient peut-ëlre connus de Pappus; je propose la dénomination indiquée en mémoire de A. Sorano (1892-1915), élève de la Faculté de? Sciences de Toulouse, tué à l'ennemi. A. B.
Scie/itia. a" 36. 2
l8 OKOMKTIUE DE L\ FORMl l,E HE STOKES.
Stokes (D). On a alors dans le système (E)
F = — a", Cj = — y^ U = ?. 5 ;
d'où Donc
(2) U,-Vo= ,' f z{xcly-ydx) = { f z.
La connaissance du volume cylindrique U^ altaclié à S permet, on le voit, de déterminer les volumes coniques Vg sans nouvelle considéralion d'intégrale double.
Appliquons tout de suite la formule (2) à la courbe de Viviani, Sur la figure i, on imagine aisément le cône de volume Vfl, cône qui a pour sommet O et pour base la cloison AMBA. En prenant /-^Rcos^, sz^RsinÔ pour équations semi-polaires de la courbe, (2) donne
U-— \o=-Tr/ sinOcos2 0o?0 = — • Puisque (,^3)
Gomme la cloison S ou AMBA est sphérique, son aire, de ce fait, est ^
11 s'ensuit que Vaire sphéricjut AGBMA est R*. C'est le théorème de Viviani ('). Et ici, nous sommes déjà dans un cas qui peut être lié à des recherches très modernes. Reprenons (•2)et supposons ([ue le contour fermé C soit formé d'un seul arc ou d'une succession d'arcs tels que le long de chr.cun z{t dy — y dx) soit une différentielle en c d'aspect simple; à de tels, contours, une fois cloisonnés, on pourra attacher des volumes U; et Yo en relation particulièrement
(') D'après la relation liant \'„ et l'^, U,. U,, le théorème de Sorano se déduit imnièdialenienl du théorème de Viviani, mais la réciproque est tout aussi vraie et les deux théorèmes semblent mériter d'être maintenus, au moins en tant iiu'énoncés t"n volume W obtenu uniquement par des combinaisons de volumes est exactement aussi remarquable qu'une aire K-.
TKAVAl \ UK MM. I.. lILMliEHT ET (i. Ki*;M(;S. li)
simple. Parmi les arcs à utiliser ainsi, il faiil nolaniinenl signaler ceux des courbes pour lesquelles on a
X dy — y dx = k dz .
Ces courbes ont élé étudiées par Cliasles, puis par iVliM. P. Appell et E. Picard dans leurs Tlièses {Annales de l' Ecole iMormale, 1876-1877); on en connaît un grand nombre de propriétés géométriques comme, par exemple, d'être les lignes asymptoti(jues des conoïdes droits d'axe O-, mais leurs propriétés intégrales ont été moins examinées que .leurs propriétés différentielles.
o. Angles spatiaux. — Soient un contour C et un point quelconque 0 que nous |)reiidrons pour origine des coordonnées. Le cône de sommet O et de directrice C découpe sur une sphère de centre O et de ravon unité une aire qui définit et mesure l'angle. ç^rt/m/ (ou solide, ou conique^ ou sphérique) sous lequel, de O, on voit le contour fermé C. On voit l'analogie de définition avec l'angle plan mesuré par un arc de cercle centre au sommet de l'angle.
ElTectuons la mesure de notre angle spatial. Jetons une cloison quelconque S sur le contour C. Soient M(j7, y, :;) un point de celte cloison, do l'élément superficiel et a, 3, y les cosinus directeurs de la normale en M, Soit aussi /'irrOM. Le cône élémentaire de sommet O et de base d'y déco ipe sur la sphère de centre O une aire élémentaire
et, par suite, l'angle spatial à évaluer est (3) Q=J l^lu^r+'^y-^-^z)d<j.
Or, dans ce raisonnement, la cloison S ne joue qu'un rôle intermédiaire que toute cloison de même contour C pourrait jouer. 11 est donc à prévoir que Q, ne dépendra que du contour G qui est d'ailleurs la seule donnée nécessaire pour la génération de l'angle spatial de sommet O. En fait, l'intégrale double de (3) satisfait à la condition (F) et elle est. par suite, identifiable avec le premier membre de la formule de Stokes (D). Ma^is nous sommes ici dans un premier cas où il n'y a point besoin de recourir à (D) dans toute sa généralité;
GKOMETHIK I)K L\ lOUMLLE l)K STOKES.
la formule (G) suffira. L'ideiilification du second membre de (3) avec le premier membre de (G) donne I égalité
oz
en laquelle L, M, N doivent naturellement être des fonctions homogènes d'ordre — 2, ce qui doit toujours être dans la formule (G). On a une solution parfaitement symétrique en prenant
■sr{y^-^z-^y
d'où, d'après (G),
dx
dy
dz
Mais, comme nous l'avons dit en formant (G), on peut, en prenant nulles deux des fonctions L, M, N, sacrifier la symétrie à la simplicité et écrire l'une des trois formules
x-^-r-y- X z dv — y dz
y X dz — z dx
n^ fy ^'f^-^<
Par addition, ces formules redonnent (4 )• Les unes ou les autres contiennent inévitablement l'irrationnelle
et ceci n'est pas en faveur d'une théorie simple des angles spatiaux ; quand on essaye de générali^5er, pour ces angles, les théorèmes les plus simples relatifs aux angles plans, on se heurte à d'énormes difficultés. Un angle plan peut se mesurer de manières diverses; il est mesurable par la demi-diflerence des arcs qu'il découpe sur une circonférence non centrée au sommet de l'angle et nous verrons que cette i^ée a été reprise dans l'espaci, avec la sphère, par M. G. llumbeit, mais pour
ÏHAVALX UK MM. (,. IIUMIIF.KT KT (;. KOF.MOS. ?. I
aboutir à des intégrales de ligne de constilution rationnelle, intégrales qui, par suite, diflèrent essentiellement de (4) ou (5).
M. M. d'Ocagne, dans le fiiillelin de la Société mathéma- //(/«e (i884-i885 et 188S-1SS9), a donné une théorie généiale àtsi'trdjectoires isométriques (\u'i comprend, en particulier, la détermination de courbes planes, sur lesquelles deux mêmes rayons vecteurs interceptent des arcs égaux. L'une de ces courbes pouvant être un cercle, centré au sommet de l'angle des deux ravons considérés, les courbes associées à ce cercle — dont l'existence se conçoit d'ailleurs intuitivement — font concevoir la possibilité de mesurer un angle plan tout autrement ([ne par arcs de cercle.
Or il y a des choses analogues dans Pespace. Un cùne peut déterminer, sur une sphère centrée au sommet et sur d'autres surfaces i, des cloisons équivalentes ; cela se conçoit intuitivement et la recherche des surfaces i paraît même, au premier abord, fort indéterminée; mais on pourrait la préciser en recherchant, par exemple, les surfaces 2 a/^e6/'/^Me^ et, plus particulièrement encore, celles qui sont aussi simples que possible après la sphère. A cet égard, nous ne pouvons donner que le théorème suivant, mais celui-ci est suffisamment intéressant pour donner l'envie de poursuivrede telles recherches.
Une leniniscate de Bernoalli, de centre O, et le cercle concentrique circonscrit, tournant autour d' une droite de leur plan passant par O, engendrent respectiienient une surface de révolution i et une sphère. Si un cône, de sommet O, à directrice fermée quelconque, détermine une cloison sur la sphère et une autre sur ^, ces cloisons sont équivalentes en aire ( ' ).
Nous bornerons là ces aperçus concernant les angles spatiaux proprement dits; quant à leurs rapports avec les questions de Physique mathématique, nous renverrons au Traité d'Analyse de M. Emile Picard (2*" édition, t. 1, p. i34-i36).
G. Aires sphéro-coniques. — Comme nous venons de le remarquer au paragraphe précédent, un angle plan est mesurable par la demi-difTérence (ou la demi-somme) des arcs
(') Sur les transformations et extensions de la formule de StoAes. Quatrième Mémoire {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1914 )•
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qu'il découpe sur une circonférence centrée de manière quelconque dans le plan de l'angle. Y a-t-il un résultai analogue, dans l'espace, en remplaçant l'angle par un cône et le cercle par une sphère? Celle question a été complèlernenl élucidée, par M. G. Humberl, dans un fort élégant Alémoire du Journal de Mathématiques (1888). Soit (y/^'. 2) un cône qutl-
Fig. :>..
conque OC. A partir de O il détermine, en AB, sur une sphère de centre O et de rayon i, une cloison d'aire 1^; il [)énèlre ensuite dans la sphère S(a, 6, c), suivant un contour Cj enfermant une aire o"), puis sort par C, enfermant i-,. Par considération du cône élémentaire OM , on a
dQ.=.
^(x.>cnsPM.,S ^T, fosPM.S
