I. 4. 9. 16.... fois M X

Les valeurs prises de gauche à droite donnent les forces vives croissantes pour le corps qui tombe; ces mêmes valeurs prises dé droite à gauche donnent les forces vives décroissantes pour le corps qui monte.

La différence de ces forces est évidemment la même entre- les mêmes hauteurs, soit qu'on monte, soit qu'on descende.

Ainsi, quand un corps tombe librement avec une force vive acquise depuis un point A jusqu'à un point B, si on le lance de bas en haut avec cette même force, il s'élève de B jusqu'en A avant que la force retardatrice de la pesanteur ait consommé tout ce que, d'abord, elle avait produit en faisant descendre le corps.

Vous voyez , par là, qu'on ne peut pas tirer avantage : i^, de la force acquise par un corps qui descend , pour le faire remonter plus haut que son point de départ; 2?. dç la forcé perdue par un corps qui monte , pour regagner

plus de force par la chute de ce même corps , s'il doit revenir à son point de départ.

Ces vérités sont bien simples, et pourtant, si vous en pénétrez votre esprit , elles vous éviteront une foule de combinaisons fausses , et de idoines recherches de mouvemeint perpétuel.

Lorsqu'un corps est en repos, et qu'il est soumis à l'action du vent, c'est une force qui le pousse en renouvelant sans cesse ses impulsions, jusqu'à ce qu'il ait acquis une vitesse égale à celle môme du vent. Mais, à mesure que le corps acquiert une vitesse plus considérable, il reçoit de la part du vent une impulsion moins forte. Ainsi, dans ce cas, la force accélératrice n'est plus constante; et les lois mathématiques, qui règlent les rapports du temps avec les vitesses et les espaces parcourus, ne sont, par conséquent, plusaussi simples que celles dont nous avons donné la démonstration et l'application , relativement à la pesanteur (i).

Lorsqu'un corps se meut dans l'air, supposé calme , ou bien se meut dans une direction contraire à celle du vent, à mesure que le corps augmente de vitesse, il éprouve, de la part de l'air, une résistance croissante. Ainsi, Tair agit

(i) Nous verrons plus tard que la force même de la pesanteur n'est pas constante , à diverses distances du centime de la terre.

6a M]^CHANIQU£*

aon pas seulement comme une force retardatrice constante; mais comme une force retardatrice qui croît de plus en plus.

Nous développerons davantage ces observations^ qu'il nous suffit d'indiquer maintenant , lorsque nous ferons connaître la nature plus particulière de la force de l'air et ses application» à l'industrie^ dans le III^. volume, qui traitera des forces motrices applicables à l'industrie.

Il nous reste un troisième cas à présenter, que nous ne pouvons encore traiter; c'est celui où la force primitive est dirigée dans un sens différent de l'action des forces accélératrices ou retardatrices. Alors, le corps ne parcourt plus une ligne droite ; il décrit une courbe , dont la nature et la courbure dépendent de la loi d'action des forces accélératrices ou retardatrices , et de l'intensité de ces forces.

Je n'ai cité que deux forces, la force de l'air et celle de la pesanteur , qui agissent pour accélérer ou retarder le mouvement des corps. L'industrie fait usage d'un grand nombre d'autres forces, ou bien doit vaincre la résistance de semblables forces, pour obtenir les effets qu elle désire. Je me contenterai d'en citer quelques-unes.

Quand un navire est mis en mouvement dans l'eau , il l'est , généralement, par une force constante qui le fait partir de l'état de repos pour ar-

DEUXlJeHB LEÇON. 63

riv€|;'à la plus grande vitesse qu'il puisse atteindre. II est'oblîgé, pour cela, de vaincre par degrés les résistances de Teau , qui agit comme foi^ce retardatrice. Il n'atteint l'état d'un mouvement uniforme, que quand la perte de vitesse , éprouvée par l'effet de la force retardatrice , est précisément égale à Tacquisition de vitesse qu'il recevrait de la force impulsive supposée renouveler à chaque instant son action.

Bans toute espèce de machines, l'on distingue pareillement une force impulsive, laquelle^ à chaque instant, ajoute une quantité donnée d'action, pour détruire des résistances^ les^ quelles, à chaque instant , doivent détruire cette même quantité d'action. '

ix)rsqu'on commence à mettre en jeu la ina«chine , la force impulsive remporte nécessai'^ rement sur la force retardatrice, pour qu'il y ait mouvement. Ce mouvement s'accélère par degrés, jusqu'au point où la perte de vitesse > à chaque moment, causée par les résistances, est précisément égale à l'acquisition de vitesse , causée paî" la force impulsive. Quand on arrive à cet état^ la machine prend un mouvement uniforme; tel est celui qui sert aux travaux ordinaires de l'industrie.

Il faut donc bien distinguer, dans le jeu des machines , les premiers mouvements i^ariés, qui commencent avec une vitesse nulle, et croissent

par degrés , jusqu'à la vitesse constante qui doit servir aux travaux habituels.

Cette considérition n'est pas un vain objet de curiosité. Dans la première partie du mouvement, une portion de la force impulsive est employée pour communiquer à chaque partie de la machine, le degré de vitesse qui correspond à l'état constant du' travail habituel. Il faut , par conséquent, que la force impulsive détruise : i®.. la force d'inertie de la machine ; 2^. les premières résistances des forces retardatrices. Si l'on impriitiait tout à coupa la machine une force constante , susceptiLîlé;de la mettre à linstant même en mbuvèmeiit, avec toute la vitesse qu'elle doit avoir dans l'état habituel , il faudrait un effort instantané , extrêmement considérable , pour vaincre à la fois , les, résistances propres à cette l^aehine^ et celles qui naissent de la force d'vnertie de ses éléments. On risquerait de, briser des parties importantes ou,, du moins, d'ébranr 1er la solidité de tout le système. Lorsque nous expliquerons le jeu des engrenages, nous offri-^ rohS im Qx^Diple. remarquable de: rimportanee

qu'on doit attachera de telles observations.

Forces parallèles.

I Jusqu'ici nous n'avons considéré que des forces dirigées suivant la même ligne droite. Nous avqns vu que leurs actions s'ajoutent ou se retrsgtxchent^ suivant que les forces agissent dans le même sens ou en sens contraire. ^^^

Des ejOfets pareils sont produits lorsque. Ic^ forces agissent^ non plus suivant la.même.^igi]i<* droite , mais.suivant des lignes parallèles.

Ainsi , par exemple ^ deux chevaux tirant à, la file et sur la même ligne droite, produisenjfejie : même effet que deux chevaux attelés de front et tirant parallèlement : trois chevaux attelés à la file et tirant sur la même ligne droite, pix>duisent le même effet que trois chevaux attelés ^(: front et tirant parallèlement, etc»

Donc : 1**. plusieurs forces parallèles et dirigées dans le même sens, produisent le mêi^ne effet qu'une force unique égale à leur sommé. et tirant dans la même direction ; cette force est leur résultante.

T. II. Megaan. ' 9

66 I MÉCUAlflQUE.

S'il y a des forces parallèles qui tirent en avani et des forces parallèles qui tirent en arrière, or réduira les j^rfemîèfes à une seule force égale s leur somme, les secondes à une seule pareillement égale à leur somme ; la résultante définitive sera égale à la différence des deux sommes et dirigée dans le sens de la plus forte.

Je vous donne ces résultats comme démontrés par Texpérience : j'aime mieux suivre cette mar- 'èhë 'qtïè vous présenter di^ démonstrations peu 'fSéltés pouf satisfaire des esprits justes. Ainsi, par "èirtbfple, je pourrais dire, avec quelques auteurs élémentaires, qu'il faut regarder deux forces dont les directions sont parallèles, comme •«inclôUiVant en un même point, à /V/i/?/zi, et comme âyftnt , à Vinfifii, une seule et même direction. Mais , en parlant ainsi , je vous dirais certaine^ ûiënt des choses peu rigcmreuses et fort-peu sen- 'sifties à votre intelligence.

'^ Il est facile de voir que la résultante des forcés parallèles , a la même direction que les "dôni^santes , et qu'elle est égale à la somme de (éëKéfs qtii font avancer, moins la somme de celles qui font reculer; mais il n'«st pas aussi fSacile' dé voir, dans tous les cas, quelle doit être là position précise de la résultante .-L'on a besoin, poiir trouver plus aisément 'cette position, de recourir à la géométrie.

La géométrie sert à représenter, par des li*-

TllOISIÈAIK LEÇON. G7

gnes proportionnelles ,^ non-seulement des espaces parcourus ou à parcourir , non»seulemeni des espaces occupes par des machines et par des produits d'industrie, mais d'autres éléments de méchanique qui semblent n'avoir rien de commun avec ia science de l'étendue • 11 importe^ avant tout, de bien fixer vos idées à cet égard. A coup s&r, il n'y a rien dé commun entre ia durée d'un temps et la longueur d'une ligue. Mais divisons le temps en parties égales, par exemple^ en heures. Divisons ces heures en par* . ties égales, en minutes, en secondes, etc. Divisons une ligne , droite ou courbe , en parties égales, numérotées par i , a , 3...., comme les heures qui se suivent à partir d'un instant dér terminé. Divisons chaque portion de ligne en autant de parties égales qu'il y à de minutes dans une heure ; ces nouvelles divisions repvé-* aenteront les minutes de chaque heure. Suhdivi^ sons ces nouvelles portions de ligne, en autant de parties qu'il y a de secondes dans la minute; les subdivisions formées de la sorte représenteront les secondes ; et ainsi de suite.

Si je numérote avec des chiffres toutes ces divisions, je pourrai représenter le temps : i^. par des nombres; 3^. par des longueurs de lignes f ^^9 si j'ajoute, ou retranche, ou multiplie, ou divise les portions de ligne, comme j aurais fait des portions mêmes du temps qu'elles repré^

68 THÉCHAIf IQUE.

sentent, il est évident quela ligne finale, résultat de toutes ces opérations, indiquera le temps > final qu'il fallait calculer. Voilà comment la géo-* métrie sert à représenter le temps par des lignes.

Les cadrans des montres et des horloges portent im cercle gradué , divisé en douze parties égales, qui désignent les heures, et subdivisé en soixante parties égales qui désignent les minutes. Mais l'unité de mesure n'ét ant pas la même pour les minutes et pour les heures, il faut deux aiguilles pour suiirre les deux mouvements, et laiguille qui marque les minutes va douze fois plus vite que l'aiguillç qui marque les heures.

Sur les cadrans solaires^ la durée du temps est aussi représentée par des éléments géométriques : ce sont des angles. On mène, par le centre du cadran, une ligne droite parallèle à Taxe de la terre. On suppose qu'un plan passe à la fois par cette droite et par le centre du soleil. 11 tourne uniformément , et les angles qui mesurent soa mouvement , mesurent les espaces parcourus.

Les vitesses, comme les temps, sont susceptibles d'être représentées par des lignes. Ainsi, dans la> figure i , seconde leçon, les hauteurs OA^ AB^ BG , ; . . représentent les temps écoulés, tandis qu^un corps acquiert des vitesses : représentées

par dès parallèles AI, BII, Clll

' Alors, ainsi que aous l'avons vu , les espaces parcourus sont représentés par des surfaces.

TROISIJ^ME LEÇON. 69

Quand on veut que les espaces parcourus soient représentés par des lignes proportionnelles à ces espaces mêmes , et que les temps soient aussi représentés par des lignes^ les vitesses deviennent les rapports de ces lignes, et ne sont plus représentées que par des nombres.

Les forces ne sont ni des temps , ni des vitesses, ni des espaces, mais des agents qui'emplôient le temps pour faire parcourir aux corps , certains espaces, en certain temps, avec certaines vitesses.

Les forces, comme le temps, comme les vitesses, comme les espaces, peuvent être représentées par des lignes qui leur soient proportionnelles, et qui aient la direction même de ces forces.

Ces notions sont simples et faciles ; elles vous font tout à coup découvrir une immense utilité delà géométrie. La géométrie sert ici pour faci-. liter l'intelligence de la méchanique, et pour représenter , pour peindre à nos yeux des choses très-réelles, mais qui-n'ontpas d'apparence que nos sens puissent saisir. Ainsi , nous ne pouvons ni voir , ni toucher, ni entendre le temps ; mais nous pouvons voir des lignes, des points, des chiffres marqués sur un cadran. C'est alors la géométrie qui rend visible, en quelque sorte, et qui nous permet de mesurer le temps.

De même , nous ne pouvons pas voir, entendre, toucher le poids de ratmosphère; mais nous pouvons voir les divisions d une ligne droite

70 IfféCHANlQUB.

appliquée le long d'un baromètre , et lire ainsi les variations du poids de ratmosphére : c'est la géométrie qui les rend perceptibles par nos sens*

De même encore nous ne pouvons pas juger, par notre vue, de la pression que la vapeur exerce dans une cbaudière de machine à vapeur ; mais, au moyen d'un manomètre , qui n'est autre chose qu'un baromètre à yapeur, nous pouvons représenter ces pressions par une ligne divisée en par* ties égales. Voyez 111% vol. Emploi des forces.

Ne soyez donc pas étonnés de nous voir représenter des forcés par des lignes droites. Là direction de ces lignes, sera la direction même que suivrait un corps soumis à l'action de la force représentée. La longueur de la ligne représentera la grandeur de la force. Revenons maintenant à l'examen des forces parallèles.

Quand deux forces AX, BY, fig. i , tirent une ligne droite AB , qui leur est perpendiculaire , il est évident qu'une verge CR, attachée au milieu de AB et parallèle aux forces, étant placée symétriquement par rapport à elles , doit représenter la direction de leur résultante. En effets la force de droite n^étant pas plus grande que celle de gauche , il n'y a pas de raison pour que la résultante soit plus rapprochée de la droite que de la gau«* che, ou de la gauche que de la droite.

S'il y avait trois forces tirant parallèlement en AX , BV, CZ, fig. 2 , et [lacées à égale distance,

TROISIÈME LEÇOlf. 'J t

ja résultante agirait suivant BV , et ainsi de suite. Ces deux cas ont leur application dans un grand nombre d'attelages.

Lorsqu'un seul cheval tire une voiture, au moyen de deux traits ou de deux limons symétriquement placés à droite et à gauche du milieu de la voiture , le cheval tire également le trait ou le limon de droite et celui de gauche. Ainsi la voiture doit avancer dans une direction parallèle à ces limons ou à ces traits , comme si le cheval ne tirait qu'avec une corde ou un timon fixé dans le milieu de la voiture.

Quand il y a deux chevaux de front , ils sont placés à égale distance du milieu g , fig. 5. Alors les quatre traits sont /, t'y t'', <"', placés symétriquement à droite et à gauche du milieu :• i^. les deux traits t et V, ont pour résultante une force égale à t -f- t', appliquée, en £e , au milieu du palonnier ab ; a®, t" et <"' ont pour résultante une force égale à Z'' -f- ^"> appliquée, en F/*, au milieu du palonnier cd; 3°. Les deux forces eE, yF, ont elles-mêmes pour résultante gG , égaie à leur somme , c'est-à-dire , à < + /'+/" -jh f '", et placée à éga^e distance de cE et de/F.

Par conséquent , la ligne ^G , qui passe par le milieu de la voiture , représente end]recti<^n la résultante définitive.

Supposons <|u'il y ait deux forces parallèles, £iX , b\ , inégales , et tirant la verge ai, fig. 4 ; demandons-nous la position de la résultante.

Pour «ref^ésenler ce cas , supposons que xaG eiybC^ fig. '5, soient deux prismes ou deux cylindres de même matière et de même grosseur , et d'iine longueur telle ^que, mis bouta bout, ils occupent deux fois La iopgueui* ab ; c'est ce que nous pouvons tpujours faire.

Cela posé, il est évident que le poids de C^ = X et de Gbjr = Y ne changera pas , si suspends Cajc et Cbj horizontalement par le milieu. Alors , il y aura entre a et b : i **. moitié de la longueur du petit poids ; 2®. la nu tiède la longueur du grand poids. Or, la somi de ces demi-longueurs égale la distance ab. Do les deux poids seront bout à bout et placés comi s'ils ne formaient qu'un poids unique. Supposo qu'ils soient tout-à-coup collés l'un à l'autr cela ne changera rien à l'équilibre ; mais il c évident qu'un poids uniqiie xj, également gï d'un bout à l'autre , serait en équilibre , eii suspendant avec une seule force par son milie Soit c ce milieu, la résul tante R des deux fore X et Y passera par le point c-

Supposons qu'on renverse bout pour bo acb ; le point c se trouvant posé « en C , on * au évidemment bC=ac=bY.

aC:=bc=^'X,.

Ainsi le point C tombera sur e^ au mili< de ab.

•Donc, il suffit de se placer en c, à des di tances de alL et de iY, qui sôiérit propôrtionnell aux forces b\ et «X , pour ai^oir le point da} plication de la résultante,

Je vais vous offrir un exemple de cette v< rite , dans l'attelage des chevaux.

Souvent on emploie le système suivant. On a trois cb

TEOISliME LEÇON. '^J

vaux de frcnt X , Y , Z , iîg, 6 ; Y et Z sont attelés an pa-*lonnicr ab; leur résultante cR est égale à la somme de leurs forces et placée au milieu de ab. Cette résultante agit directement avec la force simple du troisième cheval. Alors on place le point £ deux fois aussi près de cR que de dX ; cest le point d'application des forces cR et ^X, et, par conséquent , de la résultante dcûnitive Q. Aussi , £Q se trcuve-t-il dirigé suivant l'axe longitudinal de la voiture.

Supposons que, dans la figure 4 9 '^ forcé R=:X + Y , surpasse de moins en moins la force Y, parce que X diminue de plus en plus. Dans l'égalité R x iC= X x ab, si nous supposons que R et ^C ne changent pas , on voit clairement que, plus X diminuera, plus ab augmentera. Si la force X est successivement réduite à la moitié, au tiers, au quart, etc., de sa longueur primitive, il faudra que la distance aC double, triple, quadruple, etc., pour conserver le même produit X X ab. Quelque grand que soit ab, on trouvera toujours une petite valeur de X qui pourra satisfaire à cette égalité; et R == X-f- Y, surpassera toujours Y, de la petite quantité X. De là résulte une conséquence bien remarquable : c'est que deux forces Y et R, quand elles sont égales , parallèles et dirigées en sens contraires, ne peuvent pas être mises en équilibre avec une troisième force X. Quelque petite que soit X et quelque loin qu'on la place , elle ne sera jamais assez petite et jamais placée assez loin. . Puisqu'une force unique ne peut pas faire

T. 11. — RiicnAM. 10

1^4 MÉCHà.BTIQUE.

équilibre à deux forcçs égales , opposées et parallèles, il faut que ces deux forces ne puissent pas avoir pour résultante une force unique , capable de faire avancer le corps en ligne droite. Les deux forces égales, opposées et parallèles^ doivent donc produire y sur le corps auquel on les applique 9 un autre effet que de le transporter en ligne droite. Les lois du nouveau mouvement que le corps prend alors , seront expliquées dans la quatrième leçon, après que nous aurons ex-* pliqué tout ce qui concerne les mouvements opérés en ligne droite.

Revenons à l'action des forces parallèles qui peuvent avoir une résultante, et faisons connaître à leur sujet un principe fort-remarquable.

Quand deux forces X, Y, agissent perpendictilairement sur une verge AB, fig. 7, si Ton oblique également ces deux forces, c'est-à-dire, qu'on les conserve parallèles, en X et JT, la résultante jR, toujours égale à leur somme, reste appliquée au même point G . Ainsi, la position du point (T application , et la grandeur de la résultante , ne dépendent nullement de V obliquité des forces' parallèles , relativement à la droite qui joint leurs points d'application* '

Cette propriété du mouvement, bien simple en apparence, a des résultats d'une extrême importance, dans toute la méchanique, et dans l'industrie; indiquons les principales.

TROISIÈME LEÇON. jS

Siij^sona qu'on ait trois forces pariiUèles X; Y, Zy applû{tiées à tirois points qui ne sont pas en ligne droite ; AX, BY, CZ, fig, 8, représentant k direction de ces forces. D^abord , X et Y auront une résultante R appliquée en D, égale à X -f- y , et telle qu'on ait la proportion