DA : DB : : Y : X

Ensuite^ R et Z auront pour résultante S= R + Z=:X + Y+Z, et le point d'application E, de S, sera tel que DE : EC : : Z : R. Celât posé, changeons à la fois la direction de toutes les forces, sans changer leur parallév Hsme : puisque la position des points D et Ë est indépendante de la direction des forces,, cette position restera la même. Ainsi, de quelque manière qu'on change la direction des forces parallèles agissant sur A, B, C, pourvu que le parallélisme ne soit pas détruit, la résultante aura toujours le même point d'application E.

Sij'arais quatre, cinq ou six forces, au lieu de deux, je trouverais, de même, que le point d'application de toutes les forces ne saurait changer, quoiqu'on changeât à la fois la direction do toutes les composantes ; pourvu que ces forcea restassent parallèles.

On peut considérer un corps comme étant Fensemble d'un très -grand nombre de petites parties de matière, poussées vers la terre, par des forces dont les directions sont à très-peti

76 >IjéCHANIQUK.

prés parallèles ;. çt peuvent, sans aucune eri-eur sensible . être consîxlérées. comme telles. . Lorsqu'on tourne et retourne le corps, 8Î> dans chaque position;^ on cherche le point où devrait être appliquée ïa force unique résultante du poids.de chaque petite partie du corps, on trouve toujours un même point : ce point remarquable est ce .qu'on appelle le centre de gravité,

Ons'^îssure, parTexpérience, de cette propriété des corps, en les suspendant par un fil dansdifférentes directions; le fil suit évidemment la direction de la résultante du poids de toutes les parties du corps, et l'on reconnaît que le fil est toujours dans une direction qui passe par un point unique ; c'est le centre cîe gravité.

La propriété des centres de gravité a des con-* séquences très-importantes pour les arts , dans le mouvement des corps*

Supposons qu'un corps de figure quelconque se meuve en ligne droite, et sans tourner. Chacune de ses petites parties, appelées molécules ^ est animée d'une force proportionnelle : i^. à la vitesse commune ; 2®. à la quantité de matière que contient cette molécule.

Dans le mouvement reçtilîgne que nous examinons , chaque molécule se meut en ligne droite ; elle est animée d'une force dirige'e dans Je sens de cette droite, et proportionnelle ; i^% à ^ masse ; 2^. à sa vitesse*

TAQISIÈMB LEÇON. 77

Considérons', par exemple, un corps qui ait un mètre, de longueur. Si Ton prend cet(e longueur pour base d'un triangle dont le sommet soit, au centre de la terre , on va former un triangle dont la base ne sera pas la six-millionniéme partie de sa hauteur ; et les deux longs côtés , qui représenteront la direction de la pesanteur, ne feront pas un angle égal aw cent millième d'un degré : angle que nos meilleurs instruments ne sauraient parvenir à mesurer, « Xoutes ces forces ont une résultante unique , parallèle à leur direction commune, égale à leur somme, et passant par le centre d^s forces , qui est ici le centre de gravité du corps, *- Ainsi le corps se meut de la même manière ^ c'est-à-dire , en ligne droite et sans tourner : . . I*. Si Von anime à lafois chacune^ de ses mo^ leçules par une force proportionnelle à la masse de la molécule et dirigée dans la direction donnée.

. a^. Si ton anime le corps entier par une seule

forcCy parallèle à la direction donnée, et passant

par le centre de gravité du corps.

. 3^. Si Ion anime le corps par plusieurs forces

parallèles , ayant une résultante unique qui

passe par Je centre de gravité du corps.

. Par conséquent, pour arrêter complètement ^

au moyen dune seule force , le mouvement d'un

CO(rpsqui s'avance en ligne droite, il faut quê

^ • DflÊCHAiriQirE.

la direction de cette force pas^e par t^ çentn de gravité du corps.

Pour arrêter f au moyen de pl^t^ïeurs forces f le tnow^mera (Pu/a corps qui s'awmce en ligne drmte, il faut que la résultante de ces forces passe par le centre de gravité du corps..

Nous avons prouvé qu'eu suspendant ou sott^ tienant un çc«*ps par un, seul point y ta conditîoii^ d'équililH^e est que le centre de gravité du corpsi $e trouve sur la même verticale avec le poitit de* suspension^ Qu,and on veut suspendre un corps dans une position détermipée^ il faut , par eonsé-; quent , concevoir une verticale qui passe par le centre de gravité de ce corps , et placer le poinf d'attache sur cette verticale. Dans la leçon où je< ferai connaître la position dea centres de gravité du quarré , du rectangle , du lozange , du cer-. cle , de l'ellipse , etc. , vous verrez que les cadres auxquels on donne cette forme, et qu'on sus?» pend dans nos appartements , ont leur point de suspension et leur point d'attache placés sur une même verticale avec le centre de gravité des éa- . dres. Il en est de même des lustres suspendus aux. dômes des églises, ainsi qu'aux planchers des sa^ loDS , et des seaux suspendus à des cordes pour puiser de l'eau, pour descendre dans les mines..

La connaissance de la position du centre de gravité est, comme on voit , nécessaire aux artistes, soit qu'ils posent des corps destinés à res-^

TROISIÈMS LEÇON. '^9

ter en repos dans une situation donnée , soie qu'ils doivent faire avancer des corps en ligne droite et sans tourner ; soit qu'ils doivent arrêter le mouvement des corps qui s'avancent ainsi.

Le corps de l'homme a son centre de gravité, comme tout autre corps. Mais ce centre de gravité change de place quand l'homme remue quelqu'un de ses membres y ou quand il p(H'te quelque fardeau. Alors le corps de l'homme et le fardeau , considérés ensemble, ont un centre de gravité par lequel passe la résultante du poids de cet homme et du poids de son fardeau.

Quand l'homme se tient debout et droit, fig. 9 et 10, on peut regarder )a plante de ses pieds comme les points d'application de forces parallèles agissant de bas en haut, et représentant la force de résistance du terrain sur lequel l'homme est placé. Toutes ces forces de résistance ont une résultante verticale unique, en un certain point A.

Pour qia'il y ait équilibre , il faut que cette résultante passe par le centre de gravité G de notre corps ; sans cela le corps est entraîné du côté vers lequel se trouve son centre de gravité. Nous tomberions infailliblement, si nous ne nous hâtions de ramener ce centre à Taplomb de la résultante des forces de résistance , en rejetant quelques-uns de nos membres vers le côté opposé à celui vers lequel notre chute commence.

Le centre de gravité de notre corps , doit

8» jffÉCHArriQUE.

donc être considéré comme variant presque à chaque instant, par les mouvements divers qu'exigent nos besoins ou nos plaisirs.

Dans les beaux-arts et dans beaucoup de branches de l'industrie , il est important d'étudier les diverses positions que peut prendre notre centre de gravité.

Il faut que les peintres et les sculpteurs con^ naissent assez exactement ces positions, pour ne ^ jamais poser leurs figures, ce qu'on appelle en porte à faux, c'est-à-dire, dans une situation telle que de vrais personnages ne pourraient s'y tenir sans tomber : défaut qui suffit pour ôter toute grâce aux compositions des beaux-arts.

Supposons qu'un artiste représente, dans une situation parfaitemeilt droite, un homme qai porte sur son dos, fig. 1 1, (i) un fardeau considérable et volumineux ; il péchera contre les lois de la méchanique, et contre la vérité d observatron;

En effet , l'équilibre exige qu'alors le centre de gravité g du corps de l'homme et du fardeau; réunis comme un seul corps, soit sur la même verticale que la résistance éprouvée parla plante des pieds de l'homme. Mais , si l'homme reste

droit, le centre de gravité g^ est porté vers l'arrière

(j) Dans toutes les explications et pour les figures qui Yont snîyre, nous représentons par G le centre de gravité du corps de r homme, par H, celui du fardeau , et par ^ le centre de grarité on corps de l'homœt et du fardeau prit ensemble.

TBOISIJIIMK LEOOir. 8l

jusqu'à sortir de Tespace occupé sur le téri^aii) par la plante despieds ; alors il faut que ThoiuiM tombe eh arriére avec son fardeau.

Le porte-faix connaît parfaitement cet effet méchanique* Aussi^ dés qu'il applique un fardeau contre son dos j commence-t-il à pencher en avant le haut de son corps, ainsi qu'on le voit dans la fig. 12 ; afin que le centre de gravité commun du corps et du fardeau^ soit ramené sur la verticale convenable.

Le fardeau conservant le même poids, plus son centre de gravité se trouve éloigné de celui'du corps de l'homme, plus le centre commun est en arrière ; plus, par conséquent, le portefaix doit se pencher en ayant : ce qui finirait par l'obliger à prendre une position très-incommode et presqu'impossible avec un fardeau trop volumineux, comme dans la fig. lâ.

. Quand un corps est plat d'un côte et large de l'autre, le porte -faix appuie le côté plat contre son dos; il porte ainsi le plus en avant possible , le centre de gravité du fardeau. Par conséquent, avec une charge donnée, il peut se pencher le moins possible en avant , pour; être en équilibre malgré sa charge.

Le sac . du soldat est un poids assez considérable^ placé contre le dos. L'ancien sac, trèsbombé , présentait un inconvénient analogue à . celui du fardeau de la fig. 12. Le centre de gra-

T, II. — MKCBA5. Il

si TatcnAtriQVE.

i^iféùe et pbids^êmticMetï arriére; te qui conmiigÈïmt te fatitassiB à marcher eu jpenchant beaucoup le haut du <forp$ en avant, suivant le$ |)ëiîibles préceptes d'u«i« gothique ordénntftiee. !En réfléchf^^^t iBUr 4es propriétéis déé tëntf€6iiè ^tiîviié, Von ^ ^nti tout UavdtiCiag^ qh^l y aurait q^ donner ât^ . «oldats^ déis ^ads <k)rg«5'm pteti^ , flg. i5 , dont \e centre' «te gravités trôiJvât^nioîtts en ariciérte, en les posant par lélir large face contre le dos du soldat. Cette ^amélio* ¥dtiôb>^s$i^(itiélte est^utteiàpplicàtiôû bien faeile, bi^&'Sittipley dfe là théorie dès centres de^i^vké; ët^piôtii^tafnft lés'Séldats ont pdrté péniblement dés ^ds >ttidl cmifigurés> >pendiàht prés de deilx slèêtes > ^vant qu'on dt fait ^ette application 'm lètfr favéïir .

Uii fardeau pkôë eh âVarit, produit l'éfifiêt cfpposé, de nous obliger à nous rejeter en ^l^riéï^ pttur eonserver notjhe ^quiUbî^e ^siit» ndspieds; ^i nous ne ^voulons pâfs être dans une positif bù lioQs nfe puissions leiims tl*ouver plav^és saDI^ Ytéqilérée totobep, (icwnine dans 4a figure 14.

Regardons U^è'poi^darde, par^xemple^ fig.a'5, ')dètot ' l'écalage ténupar'ifes brétèlfes, est horizontalement suspend dèvailt elle. Elle ^ sfe tiëât três^reit€, péiPteî le haut du corps et la'tét« en -«i*Hérfe. • S<]rùvètot, appuyant 'lès poiofs sur 4es ba^bébés , d*e -pterte pàreillemeiit ses coudes en '^ftiète : bébitude qu'elle ne prend pas/ d'ôrditfai-

re, pour se doftoer une s^ltitu^e q R^çante ; mstis poiiv porter sans 1

fii^ pi0(9S]j^k> «fia il^ fa¥*9 Goqtve-

iorsfiM sa gP06aes3« aiigm^a4ç ^ ftmmk qv^ulU poivieen av^ot^ Toi poiMwdtt , de teqbr 1^ Uaiii du Jinièpe*. Si l'Ms^ge bp^pme(tai(, j^mif fwt-fiouv^aA en appuyait Ç( hanches , pour rejeler ses coudes <

L^s. komiaes iocoaunodés par fXtrmFdiAaîre^ %. 17^ $oAtobli é'une: manière analogue à la po«i lapda et de la fesuQe enceiate.

AStk qu'on puisse porter en ; considérable, il faut aTancer beai et rejeter beaucoup e^ arrière le ] pour pe^er le plus possible en ar de gravité y fig. i6.

J.<rJ. Rousseau rçmairquait qm iftT€Bt pas courir , et qu'elles te mnty les coudes en arrière. G'< Qoarant , elles portent le haut d iivant ; ce qui exige cet emploi £ontrfr-poids.

Quand uq porteur d eau n'est seau, fig. ao, qu'il tient à la m^t grarité de son corps, i^ du seai

84 M if C H A N ! Q U E.

plrtcé non plus en avant ou en arrièi^, comme dans les cas précédents , mais de côté; alors il doit se pencher du côté opposé , ce qui est toujours pénible. Il en ^st de même d'une personne qui porte un enfant sur son bras, fig. 19. ■'Nous évitons les fatigues perdues , dont nous venons de parler^ en chargeant également deux Yjaptie^ opposées de notre corps. Par exemple, en donnant deux seaux au porteur, fig. 22, et deux enfants d'égal poids à )a bonne qui les porte,

fîg. %2i.' . ; :

" De faibles femçies portent avec aisance des poids, souvent considérables, en les posant sut leuï tête, fig. 33, de nianière que le centrede gravité du fardeau soit à l'aplomb du centre de gravité du corps. Alors le centre de gravité du système se trouve plus élevé, niaiis reste toujours sur la même verticale. La porteuse n'a donc besoin de se pencher d'aucun côté pour coqserver l'équilibre de sa position naturelle.

Une invention méchanique foi*t-ingénieusç pour les personnes qui jadis travaillaient à ne rien faire , était la besace. La besace ou bîs-sac. se compose , comme son nom l'indique , dedeux sacs égaux, ou d'un sac unique, percé au milieu, pour passer la tête du quêteur, fig. 24 wA mesure que les tributs arrivent à la besace , on la remplit également par devant et par derrière, : et le centre de gravité di| système ne change pas dp

verticale. On peut donc 9 avec Temploi de la besace ^ accumuler sans fatigue^ dans les deuxpo* ches qui la composent^ un très-grand fardeau^

Supposons qu'un homme droit sur ses deux pieds se tienne tout à coup sur un pied; si sou corps reste droit , il va. tomber inévitablement du côté du pied levé. Mais, peur prévenir cette chute , Fhomme rejette un peu son corps vers le côté du pied qui reste à terre , et lé centre de gravité se trouve sur la verticale qui passe dans la partie du terrain occupée par ce pied.

Voilà pourquoi^ lorsque les hommes marchent, ils se jettent, sans s'en apercevoir, et alterna^ tivement , un peu vers, la droite et un peu vers la . gauche : suivant que c'est le pied gauche ou le pied droit qui est levé , fig. ^25.

Ce; mouvement alternatif est extrêmement sensible loi*squ'on se place en avant 'd'un peloton^ et dans l'alignement de la marche. Oh voit le peloton osciller vei^ la droite et vers la gauche à chaque pas , avec d'autant plus de régularité , qu'il marche avec plus d'ensemble.

C-estce léger mouvement vers la droite et vers la gauche , commandé par la position que doit garder le centre de gravité ^ qui rend trèsrpénible^ pour deux personnes^ de se donner lé. bras et de marcher un peu lestement; à moins d'aller au pas.iCat; sans cela, lé centre de gravité de l'une tiend à tomber vers la gauche, précisément quand

88 MKCHArriQUE.

en avant et en arrière^ comme fout la plupart des hommes. D'après les observations que je viens de présenter sur la manière dont, à chaque pas^ notre centre de gravité se trouve jeté vers le côté du pied qui pose à terre , on voit que les bras , par un mouvement naturel^ se portent vers le côté du pied levé, pour ramener le centre de gravité dans la direction de la marche. Ainsi, ces hommes-là marchent plus droit que les autres.

La considération du centre de gravité est d'une grande importance dans l'art de l'escrime.. Le poids du corps devant porter habituellement sur le pied gauche, qui reste en arrière, il faut que le centre de gravité du corps soit sur une verticale qui passeï toujours par ce pied. Cette condition oblige de porterie haut du corps très-en arrière , et d'étendre en arrière la main gauche pour faire équilibre au bras droit et à la jambe droite, qui sont en avant. Le moindre coup de fleuret renverse le tireur, s'il a son centre de gravité trop en arrière. Au contraire, lorsque ce centre est trop en avant , le tireur éprouve une grande fatigue quand il doit porter son corps en arrière, et la lenteur de ce mouvement peut aussi mettre sa vie en danger.

Dans la leçon que noué consacrerons au mouvement de rotation , nous verrons que les centres de gravité n'y jouent pas un rôle moins important que dans le mouvement de translation.

QUATRIÈME LE

Du cniii'c de gravité des machin duiis d industrie; des me

Quelques exemples donnés dan

cédente ont suffi pour montrer c

porte, à beaucoup d'arts et de met

teriûine exactement la position du

vite, dans un grand nombre de c(

%ure. Il n'est pas moins importa

Bïine le centre de gravité des pa

des parties mobiles de toutes les

lorsqu'on charge une voiture

^lest essentiel que le poids du chai

placé ni trop en avant ni trop en ;

^i^u. Dans le premier cas, le chai

^3it le cheval , ou du moins lui f

^ïie charge inutile, qui ne dimii

'effort nécessaire pour tirer la v<

^<icond cas, le poids de la partie

Portant sur le poids de la partie <

^Vire tendrait à basculer , et hase

^li du moins tendrait à soulevei

*tii faire perdre terre. Cet efibi

^îiitmême devenir dangereux, si

^<)te à pente très-prononcée.

T. ]J. MiCIlAN.

Ç)a MKCUA.mQUK.

droite 1.3 , on trouvera le centre x de gravité des deux droites AB, BC, par la méthode qu'on vient de donner. Menant x 3, et regardant le poidis des deux droites AB, BC^ comme concentré en a:, dans leur centre de gfavité , on trouvera le point jTy ceiitre de gravité de AB +BC, et de CD; On trouvera de même le point z\ centre de gravité de AB^-BC + CD et de DA. Ce sera le centre de gravité des quatre droites AB,BC,CD,DA.

Il serait utile que les élèves s'exerçassent à faire un polygone ABCD. • ., en fil de fer, et qu'ils y attachassent des fils de soie, 1.2 , x.5 , j".4> ^^c. Ils trouveraient exactement la position du centre de gravité du polygone. Ensuite, avec un nouveau fil, ils suspe;ndraient tour à tour le po-: lygone par le point A, par le point B, par le point C... ; alors, ils verraient qu'un fil à plomb, mis à côté du fil de suspension , passe toujours par le centre de gravité du polygone. Ils se formeraient ainsi , par l'expérience , une idée plus claire et plus facile de la propriété des centres de gravité. Cet exercice leur apprendrait d'ailleurs une opération très-utile, et les forcerait de pratiquer la méthode géométrique des lignes proportionnelles. (Voyez Géométrie, V* Leçon.)

Dans notre cours de géométrie , nous avons soigneusement examiné la figure et les propriétés des lignes symétriques, d^s surfaces symétri-

QUATRIIlMK LUC

qucs et des volumes symétriqu de la symétrie des formes, est cpre pour le méchanicien que p( C'est un objet sur lequel on ne tirer l'attention des artistes.

Soit, fig. 4 > wne figure quelc Ç'FA, symétrique par rapport S', le centre de gravité du contoi à gauche de Taxe de symétrie.

Si nous replions cette partie partie de droite, elles s'applique 1 une contre l'autre. Puisqu'elle alors, ni de grandeur, ni de form il faudra que leur centre de gra même point. Donc g', centre AB'C'D'E, est dans une positior rapport à g-, c'est-à-dire queg-, g' distants de Taxe, et situés sur perpendiculaire à cet axe.

Les deux contours syméti AB'C'D'E, étant d'égal poids , î par deux forces égales a ppliqui Tautre en g'; et leur résultani somme , est au milieu de gg', c'c sur l'axe de symétrie. Donc..,.

Le centre de gravité d'une l quelconque 9 est nécessairement de symétrie.

Remarquons que la superficie

96 MiGCAXIQU£.

Tout arc de cercle ABC, fig. 9, est symétrique par rapport au rayon OB, qui passe par le milieu de cet arc. Donc le centreG (1) de gravité, soit du contour, soit de la surface de cet arc de cercle , est placé sur le rayon OB. Par conséquent , si Von suspend Tare de cercle ABC par son milieu B , les deux extrémités A , C » seront sur la même horizontale, dans la position d'équilibre.

Il en sera de même pour la superficie du segment ABC, et pour celle du secteur OABC. En renversant la figure, on 6bti(^nt une seconde position d'équilibre, fig. 10. Si le point de suspension est toujours sur le rayon OB , ce rayon conservé , dans ce cas comme dans le précédent , une position verticale.

La parabole et l'hyperbole étant symétriques par rapport à l'axe qui pafse par leur sommet, si l'on prend, à partir du sommet B d*une de ces courbes, fig.i 1 , deux perlions BA = BC^ de cette courbe, le centre de gravité de la courbe sera sur l'axe. Donc, si l'on suspend cette courbe par son sommet B, elle sera en équilibre, quand Ya%e BD suivra la direction verticale.

Il y a des figures qui ont deux axes de symtftrie, AB, CD. Tels sont les rectangles, fig. 1 2 et

^ (i) Il faut bien remarquer pour Tare de cercle, comme ponr le trapèze, que le centre de gravité du contour n*a pas la méine position que le centre de grayité de la superficie.

QUATAlèME LKÇOir. 97

tSy tels sont les lozanges^ fig. 14 et i5. Dians ces figures^ le centre de gravité G, devant se trouver sur chacun des axes de symétrie , * se trouve néoessairement sur le point G qui leur est commun, c'est-àrdire , au centre de symétrie. .

Donc , le centre de graçité des contours et des . superficies , symétriques par rapport à deux axes, se trousse au croisement de ces axes , ù'est-^i^ire , au centre de symétrie.

Les polygones réguliers sont tous symétriques pir rapport à plusieurs axes; ce c|ui présentie autant de suspensions symétriques différentes qu'il y a d'axes de symétrie. Donc, Le centre de ^(mté du contour et celui de la superficie des pdjrgones réguliers , sont l'un et Vautre placés ou centra de symétrie de ces polygones.

L'ellipse y. fig. 16 et 17^ est symétrique par (apport à ses deux axes ÂB^ CD. Donc, Le centre de groi^ite G , du contour et de la superficie de tdlipse, est au centre de symétrie de cette courbe.

Le cercle, fig. 18, est symétrique par rapport à chacun de ses diamètres ÂB, CD... ; donc...

Le centre de gravité du contour et de la luperficie d^uri cercle, est au centre du cercle.

Ainsi, par quelque point du contour d'un cadre polygonal régulier, ou d'un contour elliptique , oad'un contour circulaire, qu'on suspende ce cadre , son centre de symétrie se placera toujours à V aplomb du point de suspension.

T, II. -— MÉCHAN. l5

t60 ' MÉCHANIQÙE.

parallèles entr'elles et perpendiculaires \ l'hxe de symétrie, le centime de gravite de chaqtté lÀndi^ serait sur l'axe ou sur le plan de symétrie. Dono le centre de gravité d'une aire symétrique est ^ui^ l'axe ou sur le plan de symétrie.

'Quand une aire a deuit axes ou deux plans symétrie , son centre de gravité est à Tinter^ sfection des deux axes : c'est le centre de là figure.

• Par conséquent, pour les aires planes, qui ont deux axes de symétrie , le centre de gravité est atf centre de symétrie, ainsi que nous Tavions démontré en parlant des contours symétriques. Pa$sons aux aires ou surfaces courbes.

Une surface courbe, ou composée de plusieurs plans, est symétrique par rapport a un axe, quand toute section faite dans la surface, perpendiculairement à Taxe, a son centre de symétrid placé sur cet axe. Le volume terminé par la surface symétrique , est également symétrique par rapport à cet axe.

Si l'on fait, dans la surface ou le volume, un très-grand nombre de sections perpendiculsiire^ à l'axe, et trés-rapprochées, on pourra regarder les sections du solide comme de simples surfaces pesantes , dont le centre de symétrie sërîl sur Taxe. Par conséquent, la résultante de letrr poid^ seï*a sur le même âxe; et toutes ces réstiltotifes passeront par Taxe supposé vertical. I)onc leur

QUATRIÈME LEÇON. fOt

réstaftante uniqiie sera dirigée suivant cet axe ; donc y enfin. •••

Les volumes y ainsi que les surfaces courbes ^ qui sont symétriques par rapport à un axe , ont leur centre de gravité sur cet axe de symétrie*

Quand un volume a deux axes de.symétFie , il possède un centre de sjrmétrie qui se trouve sur ces deuic axes; c'est aussi le centre de gravité de la surface ou du volume.

Les arts nous ofirènt un grand nombre de figures qui ont un axe de symétrie : par exemple^ toutes, les surfaces de révolution. Quand on suspend ces surfaces par un point quelconqiie de leur axe^ la position d'équilibre de la surface ou du volume est celle pour laquelle l'axe est vertical.

Les lustres qu'on suspend soit avec un cordon^ soit avec une chaîne^ dans les maisons^ les palais et les temples , sont toujours symétriques par rapport à un axe. On attache le lustre par un des points de cet axe ; et^ dans la positipn d'équilibre, l'axe prend une position verticale. Il en est de même dujfîZ à plomb AB, fig. i8 bis : le plomb B est un corps syméti^ique par rapport à nu axe auquel le fil est attaché.

. Non^seulement Taxe est vertical quand le lustre est en repos. Il reste vertical : i**. si le lustre est descendu ou monté, lorsqu'on fait mouvoir verticatement son point d'attache; a®, si le lustre tourne sur lui-même. Par conséquent, à moins

194 UEGHANIQUE.

,.! Menons, à présent , une droite quelconque hmrif fîg. 35, par le point A, et Içs perpendiqur LairesOm, B/z, à cette droite. Les propriétés des lignes proportionnelles (y% leçon, Géqmèjeiiç), nous donneront :

Y : Z' : : AO: AB;:0/ii2B/i.

d'où ; YX B/?= Z'x Om.

Le prodviit de la force Y, par la distance de son point B d'application., à la droite Ath/i , €t le produit de la forée Z^ par la distance 4q son point 0 d'applic|(tion ^ la droite Ain/i, sontles moments 4^X et ?4, pris par rappQjt à In droite Anm, droite qu^on appelle alors l'axe des momenfSé . ,. AiflW • ^^. jÇuand l'axe de^ moments passe par 1^ poi^t d'application de la force %., en équilibra aypc les forcer parallèles Y et Z^le moment de Y égale le mqment dçZ', et les deux moments agissent çn jsens cpptraires.

Si,;nou%.me9P^ LMN parallèle à Amn, puis AL, OmRI fr B/îN,. perpendiculaires à ces ppnillèles ;,nou$ ^pçons i^L :i= N« = M/» ; wis ; î; X,+ Y =Z';

do^ie ; .. , X ^AL.+Y X N«=:Z' ><!«[/». béjàV . /, ; \: . YxB« = Z' xO/îi>

Par conséquent, X X ALt^Y X BN = Z' «X OM.

Dpnc, en prenant, uqLe^^^!^^ q^ielçonque LMN pour 9xe des xqomaits^ la somme des mpmen)Sr de deux force* parallèles X, Y, équivaut ?>i;i:?poment de la force Z' quî l^ur fait équilibiif^^i ^^\

QUÀTRlicMK LEÇOir.

par coliséqueQt au mojnent de la de X et de Y, puisque Z == Tl.

Supposons à présent que nous a^

ces composantes X, Y, U, fig., 26.

les à l'axe quelconque des mooien

t^ XxAx+YxBj

^\ TI xDz-4-UxC

doncXxAjc+Y xBj+UxC

Ainsi, les moments de trois ford

me somme égale au moment de le

On prouvera de même que , sui

tomme des moments de quatre, de (

forces, en un mot d'un nombre q

composantes , est égal au moment <

tante : quelles que soient et la positi

tion de l'axe des moments.

Par conséquent , en menant , de d'application des forces , une perp^ Vaxe des moments , le produit de par la distance qui correspond à se plication, est égal à la somme des respondants pour toutes les compos ..Cette belle propriété fournit les a] plus importantes aux calculs du mi corps , ainsi qu'au jeu des machim essentiel que les élèves la grav< mémoire, et s'en forment une idée Cette même propriété sert pour médiatement la position du point

T. lî. — MiciAR.

ia6 MiCHANIQUE.

Diaprés la définition même des centres de gravité , ce point G est le centre de gravité des forces P, Q, R, S...,appliquéesen A,B, C, D.... (i).

Le principe que nous venons d'exposer, et la méthode qu'il fournit, s'appliquent donc immédiatement pour trouver la position du centre de gravité de tant de forces qu'on veut, distribuées avec ou sans continuité, sur des lignes, des surfaces ou des volumes.

Pour trouver le centre de gravité d'une ligne pesante AB, fig. 29, on la partage en très-petites parties d'égal poids ; on multiplie chacune de ces parties par sa distance, à une première droite OX, puis à une seconde OY. On divise successivement la somme des premières et des seconde^, par la somme des forces, et l'on a : i^.Gg; 2?. Gg\

Les méthodes suivantes y pour trouver le centre de gravité des surfaces et des volumes ^ ne sont indispensables à expliquer ^ que dans les ports.

Les constructeurs de navires ont besoin de mesurer la surface des voiles et de fixer : i*>. la position du centre de gravité de chaque voile ^

({) Si les forces parallèles De spat pas toutes dans lia même plan y on substitue aux axes des mpmciUs, des plans de moments, perpendiculaires entr'eux. Alors on remplace les perpendiculaires aux axes Aa^ B^...^ par des perpendiculaires aux plans. Dans tous les cas, la somme des moments des composantes, est égale au moment de la résultante. C'est ce qu'il serait très-facile de démontrer par les propriétés des ligues proportionnelles : GjèoMÉTKiK V. leçon.

QU/iTRlÈMB LKÇOrC

r. le centre de gravité de l'en:

voiles. En effet, toutes choses éga

plus ce dernier centre, qu'on ap]

voilure, se trouve élevé au-dessu

gravité, plus la force du vent a

incliner le navire et le faire chavi

que toutes les voiles, tournant a

points de suspension, sont à la

dans le plan de symétrie du navire

voiles en triangles dont on déte

la superficie et le centre de gravi

fig. 27 , que les forces parallèles 1

présentant la surface de ces trianj

pliquées aux points A, B, C,..., pei

desfflémes triangles; les deux foi

de la page 106, donneront imn

distances G^, Gg\ du centre G <

deux axes OX, OY, l'un horizon ta

tical; ce qui suffira pour faire co

tiondu centre de voilure dans le \

du navire.

Soit Taire plane AMma, ùg, 5o, termi AM et par trois droites à angle droit A^ tHande le moment de cette aire par rap]

Divisons la droite am en un très-grar ties dont la largeur égale /, et menons division, les droites hb. Ce ^ Dd , . . . pa

1®. Si Ton regarde les petites portions la courbe ABCD... , comme des lignes face AamM = /. { ^ Xa + M + Ce ^

IIO M£CUAHlQUe«

Supposons d'abord qj'on remplace la fijpire cootiaue

maABCD par la figure échelonnée maAb'Bc*Cd'D , . . . .

les centres de gravité q, q'j q".,. de ces figures, seront distants de am , de quantités respectivement égales à

Donc les moments des rectangles qni composent la figure échelonnée, seront, par rapport à l'axe am -.

Pour Labh' =z l yc^ Aa X, ^ Aa Bùcc* = / X Bô X T B& Ccdd' = / X Ce X T Ce...

Moment total ^= ^ l (Aa* -f- Bb* + Ce* 4" •••• M'm'J*.

Ainsi , le moment total est égal à la somme des quarres. des lignes Aa, B^ , Ce, multipliée par la moitié de la largeur des bases égales.

Si l'on prend la figure é:;hclonnée maAa"Bb''Cc'' . . . M y on aura de même , pour moment total ,

7/X(BZ^» + Cc* + Dd^+ .... ^-Mm").

Voilà deux moments entre lesquels est celui de la surface continue maAM,

i". Moment inaindre 1 1 (Aa* -♦- B^ -♦- Ce» -♦- .... MW*). a®. Mora. plus grand ^ ^ ( B^* H- Ce» -+- .... MW* •+■ M m»).

Prenant le momeut moyen , on a

{ l (^ Aa> +B^» +Cc^+ Mw> + { Mm') .

Donc , le moment de faire ou superficie MmaA , égale la demi-largeur t de toutes les tranches,, multipliée par la somme des quarrés des longueurs intermédiaires Bb y Ce — > et par la moitié du quarré des longueurs extrêmes Aa, Mm.

La valeur qu'on vient d'obtenir sera d'autant plus approchée de la véritable , que les tranches seront plus multi pliées et par conséquent phis étroites.

Si, maintenant, nous divisons le momentque nous venons de trouver, par Taire maAM , nous aurons la distance (».«,', de l'axe am au centre de gravité G de celte aire.

QUATRi:feMn LKCOPT. III

Ainsi , Gg := - zZ—.

A/i -+- aB^ -+- jtCc -+- .... -»- Um

Bien n'est plus facile que de calculer la valeur de cette fraction ; ce ne sera qu'une affaire de patience.

Il serait également facile d'en obtenir la valeur par la géométrie, au moyen des triangles rectangles, et d'après le principe que le quarré du grand coté est égal à la somme des quarrés des deux petits côtés.

Yous voyez, ainsi, combien les propriétés exposées dans la géométrie sont utiles pour résoudre les questions de la méchanique.

La méthode que nous venons de présenter est générale ; elle s'applique aux surfaces de figure quelconque.

Supposons qu'on demande de trouver la distance de F.axe XY au centre de gravité Gde l'aire ABC. . . . Mcb'A, fig 3i . Menons les parallèles équidistantes Aa , Bb*bj Cdc^Dd^d... Soient G', G", les centres de gravité dewwABCDM, et de mahb'c'd^,, My nous aurons

^, , i Art* -h Bi* -h Ce» -+- 7 Mm»

^ Aa H- aB6 -+- aCc -h ..... Alm

, , \ Aa* -4- b%* -h c'c* -^ 7 Mm»

^ Aa -h ^ùù'-h icc' -+-..*... Mm

\\ Moment ABCDMnifl... = ^^ / (| Aa« -4- B^>' h- Cet ^. ... i Mm) a". Moment a'^VMnMi.... = 1 ^ (? Aa^ H- W*H- c'c^ h- ... J Mm) La différence de ces moments, divisée par la différence des surfaces, c'est-à-dire, par la surface proposée ABCDM^c'6'A, donnai a la distance G^ du centre de gravité de cette surface, à l'axe XY des moments.

Avec la figure 5o , rien n'est plus facile que d'avoir la distance Gg"' du centre de gravité G pQr rapport à l'axe ah perpendiculaire à am.

Si nous calculons par raipport à aA , le moment des tranches parallèles échelonnées plus petites , nous aurons 1'. Moment de Aa^^cr^ /X ^ X Aa;

lia MECHANIQUC.

a*. Moment de hbccf r= i / x / X B^ ;