Moment de Cc^<;^'=4 /X ' X Ce
P). Moment total ^V" {ka + 3Bô + 5Cc + 70*?+ ....) Si nous faisons les tranches échelonnées plus grandes que l'aire continue ttiûABCDE.,.. , nous aurons : Moment de a"abh == ^ / X / X B^. ^ Moment de b'bcC = 4 / + / X Ce* Moment de c WD = 4 ^ X ^ X ^d.
Donc le moment total est
fil)... f/» (B6 + 3Cfr 4- 5Cc 4- 7D^+ ....)
Prenant la demi-somme des deux moments (I) et (II), on at
pn). i. /« { Aa + 2Bi + 4Cc + 6D^ + 8Ec.. .. }
En continuant ainsi jusqu'à M/ra , qu'il faudra multiplier, non par le douhledu nomhre des .tranches auxqaellet il correspond, mais parle s.imple nomhre.
Ce moment (III) divisé par surf. ABCDj... égale Gg^.
Les constructeurs de navires ont besoin de déterminer la superficie, le centre de gravité, et le moment de diverses sections horizontales, faites dans la carène, et terminées par les contours qu'ils appellent lignes deau et lignes de flottaison. La méthode la plus simple qu'ils puissent employer est celle que nous venons d'exposer. Cette méthode, familière à tous les officiers du génie maritime , devrait l'être également à tous les constructeurs du commerce. Il en est de même de la méthode que nous allons présenter^pour déterminer la position du centre de gravité des solides et le moment de ces solides.
Rapportons la position du centre de gravité du cpips
QUATRli^-MK %llCOSf. tl3
lolide, à den\ plans de projection qui se coupent à angle droit: tels qa'on lés emploie dans la géométrie. Voyez Gio^ viTui, Xin^. leçon.
Coupons le corps par tranches verticales d'égale épais-. secr, I, II, m,... et par tranfchcs hori^sontales i, a, 3..^ aussi d'égale épaisseur ^ l'ordre dts chiiî'res maixjuant celui des tranches^
Supposons, û^, 3i , quç Faire ABCD... soit la base d'un cylindre droit, le centre de gravité du cylindre se projettera liorizontalement sur le centre de gravité de Taire» Les formules précédentes nous donneront sur-le-champ
h distance du centre de gravité de ce cylindre , par rapport
ideox axes perpendiculaires cntr'éux.
Imaginons qu'on divise un volume quelconque, un iia-, vire, par exemple, en beaucoup de tranches horizontales èquidistantes, représentées en plan, £g. 02. Imaginons que ^a surface du navire , au lieu d'être continue, soit échelon- Xàée de manière à présenter comme des marches d'escalier contournées suivant la forme du solide ; plus ces marche* <]ae nous appellerons échelons , seront multipliées , et i&oins le corps échelonné différera du corps dont la surface est continue. Enfin, supposons que A soit la hauteur verti* cale de toutes les tranches ou échelons :
x". Le volume de chaque marche d'escalier sera A >< la surface de la tranche qui sert de base à l'échelon ;
2^. Le centre de gravité de la marche se projettera horilOQtalement sur le centre de gravité de la tranche qui seii de base à cet échelon ;
3**. La hauteur A, multipliée par le moment de la tranche est égale au moment de l'échelon même ayant pour base l'aire de cette tranche ;
4^. La somme des volumes des échelons représente le volume total V du corps proposé ; '
T. II. — MicHAN. tS
Ïl4 M^C HANIQUE.
•. âP; Ea somme des moments des écli^loms représente !• Hiaâieat total du corps proposé.
EqQii , st les moments sont pris par rapport k l'axe OY ,• et que leur somme soit M , on a sur-le-champ Gg* = ?*. gj les moments sont pris par rapport à Taxe OX, et que leur somme soit m , on a sur-le-champ O^ = ^»
On voit combien cette n^éthode est simple et facile. Elle n'est pas seulement emploj^ée par les théoriciens; eilt est utile à tous les ingénieurs , à tous les aitisles , qui veu* lent calculer avec précision la position du centre de gravité d'un volume quelconque. Ne craignons pas de répétée que cette étude est particulièrement essentielle pour le^: constructeurs de navires ; elle pourrait souvent donner aux marins, des lumières précieuses sur les qualités de leurs bâtiments, s'ils connaissaient et s*ils appliquaient de pareilles^ méthodes.
Je me e(Hitenterai d'indiquer la position marquable du centre de gravité de pliisiebr9 surfaces et de plusieurs solides importants pour riridustrîe; laissant aux élèves qui VouJronf pousser plus loin leurs études, le soin de voir dans les livres spéciaux , la démonstration des résultats que j'énonce.
Le centre de gravité d'un prisme ou d'un cylindre est à égale distance de la base supé* rieure et de la base inférieure. En coupant le prisme ou le cylindre en deux parties égales, par un plan parallèle aux deux bases , le centre d% gravité de la section est le centre même de gravité du prisme ou du cylindre.
QUATRIÈME LEÇON. tlS
Si ion prend le:.cwtre de gmyité de chaque
base d'un prisme ou .d'un cylindre, et qu-on
j'oigne les deux centres par une droite ^ le mi*^
Jieu.de; cette droite est le centre de gravité, soit
du prisme, soit du -cylindre (i). .■ .
La somme des arêtes d'un tronc de prisme triangulaire ou:,pajnâllélipipèd^ ,:diyisét p<ir*ie i:ioimbre des arêtes , donne le distance' de la base
I * ■ ». m ht,
(i) Si le prisme' ett droit, le plïrn qui le co«|>e psirallÈleiheAt ^1» bases, à ^*^ale djlsuuce <iU[ ces hases , est ud plan de vyiné- ^xie; donc il contient le centre de gravité du prisme.
Supposons <]u\)n ait dîyisé le prisme en uii. nombre très-grand
^e tranches parallèles snix iMse^, les centres de gravité des tran-
dlies deviendront, pour ainsi dire, identiques avec ceux de la
Surface des tranches. Les tranches auront leur cenire de gravité
«or ose ligne drohe palraillële aux arêtes du prisme ^ e^le centre
^0 prisme seqa sur le-tniliev de cette dpoke. Si Ton snppose que
les trdfedtes gUssent parallèlement les unes snr les autres, de
inuiière que les centrés des traùches restent toujours en ligne
^rbitt, on Ta former un vohime échelonné 'dont le centre de
giarité sera tonjonrs sur la ligne droite qui- joint- ces centi^s.
' Plus on suppose que les- franches sont minces et nombreuses,
plus le Tolume échelonné approche 'd*un prisme oblique, sans
que la position du centre de ce volume cesse, pour cela, d'être
à (^gale distance des plans qui terminent les tranches extrêmes.
Donc, enfin, dans le prisme oblique comme dans le prisme droit , IjM centre de gravité se trouve au- milieu de la droite qui passe par le centre de gravité des bases.
La même décomposition du cylindre droit en cylindres éclie^ loonés, dont les échelons fussent de plus en plus petits, ferail voir que le centre de gravité d'un cylindre, oblique ou droit, est an milieu de la ligne droite qui joint les centres de gravité des deux buses.
Il6 MÉCMAllIQfJB. '
f|u . centre de gravité du tronc de prisme , en mesurant cette distance par une droite parallèle aux arêtes.
Si Ton prend le centra de gravité de la base d une pyramide ou d'un cône , et qu'on la joigne par une droite avec le sommet; puis, c|uon prenne le quart de cette droite à partir de la base, ou les trois quarts à partir du somm^^ le point qu'on trouve est le centre de gravité y soit de la pyramide, toit du cône(i)..
Le centré de gravité de la surface et du.volume delà sphère, est au centre de symétrie.
Le centre de gravité d'une <:alotte sphérique
(i) 'Ea divisant la pyramide par tranches ex^émement minces» au moyen de pl&ns parallèles à la Base, cm Terra qnc les ccptie^ de ces tranches sont au centre de gravité de tectiont parallèlee à la biise. Mais ces sections sont semblables, et lears points ooc* respondants sont en ligne droite avec le sommet de la pyramide | donc tous les centres des tranches , et par conséquent le cenCrtf même de la pyramide, sont sur la ligne droite qui joint le centre de gravité de la base avec le sommet ; ce qui sera vrai des quatte sommets et des quatre faces qui leur sont opposées.
Soit ^, %. 93, le cenjrre de gravité de la base ABC de la py« ramide S ABC. On a K^ = 7 KB ; de même, g* étant le centre de gravité de SAC, on a Kg^' = f KS. Donc, si l'on mène ^GB et gg', les deux lignes KS et KB sont coupées proportionnellement; ainsi gg' est le tiers de BS; de même que K^ est le tiers de KB, et K^ le tiers de KS. Donc, à cause des triangles semblables G^g', GBS, G^=:{ GS, et par conséquent Gg^^Sg. Donc , enfin , le centre de gravité de la pyramide est au quart de la distance du sommet au centre de gravité de la base.
çit situé sur l'axe de symétrie ou flèche de U eabtte ; il e3t au milieu de celte flèche.
te centre de gravité de la surface et du to* lame des surfaces de révolution est situé sur leur axe de symétrie. : '
Menons un plan coupant par l'axe d'un epne droit circulaire , entier ou tronqué , le triaçglq^ ou trapèze de la section a pour centre de gravité celui de la surface du cône ou tronc de cône.
Le centre de gravité du volume de la demisphère est aux trois huitièmes du rayon, à partir du centre.
Le centre de gravité d'un segment de parabole est aux trois cinquièmes de la flèche, à partir du sommet.
Le centre de gravité d'un segment de volume paraboloîde engendré par la révolution de la parabole sur son axe , est aux deux tiers de l'axe à partir du sommet.
Emploi des centres de gravité ^ pour trouver le volume de certains corps.
Il faut maintenant expliquer et démontrer une très-belle analogie entre la détermination , de certains volumes et le centre de gravité de certaines surfaces.
Supposons qu'on ait déterminé le centre de gravité G, fig. 55, d'une superficie qui tourne autour d'un axe 00'. Dans ee mouvement, le
It8 MÊCHAKIQUE.
éotàovLV OmnO décrit une surface de révolu,tiG»li.
Le volume compris dans la surface de pé?oittlion, égale la superficie Om/iO , multipliée par lè€erclequ'a parcouru le centre G.
Pour le démontrer, menons par l'axe 00' deux plâlâte- O'p y 0*q , extrêmement voisins et faisant, fetiit^^eux un angle très-pelit. On pourra regarder iè corps comme terminé par une cote, cyliii-»di4que ètitre ces deux planB. Lé tronc de cylindre aillra pour baseOm^, sur le planO'/?. Décompo- 'è{yôè cette 1>asé en petits quarrês égaux, chacuA sera la base d'un petit prisme rectangulaire ter* Thmé ptfr îéplan 0'/^.
' Soit \^xfz un de ces petits qaarrés; par le centre i du quarré, menons ii't parallèle à l'axe 00, nous aurons : volume du prisme ci&crf, ayant Vjrrz pour base et i'i^' pour hauteur=rf^^jZXiV.
Or ce produit est le moment de ^xyz transporté sur le plan 0^/, par rapport a 0/?. Donc la somme des volumes des prismes, c'est-à-dire, le volume de la section pO</, égale la somme des moments de l'aire OmnO, dans le plan Oy , par rapport au plan Op.
Projetons en G'G'', le centre de gravité G de V.mîiO; nous aurons
Surface 0?nnO X G'G" = la somme' des moments de OmnO placée en Oq par rapport à 0/;.
Donc le produit
Surface OmnO x G'G', égale le volume de la
QU^THIÂME LKÇON. ^19
