partie du corps de révolution , comprise entre 0> et &q

Qt G'G'^ est égal à l'espace que le centre G doit parcourir pour passer du plan O^p au plau O'j, quand ces pleins sont supposés exti^êmemenC près l'un de l'autre. Donc, enfin ^.•.

La surface QmnQ vmltipliée par T espace G'G'' que parcourt son centre de gravité ^ quand eUa tourne autour de son axe 00', donne un produit égal au ifolume de la partie du solide de rém*liiiien comprise entre les plans O'p, &q. ,

Nous pouvons concevoir autant de plans qu'oa Toadra, irés-voisins les uns des autres, etpassaxit; par l'axe ; toujours le volume de la partie 4ii sdide de révolution comprise entre ces plans sen^ représenté par le produit de l'aire O/TmQpar Tesr pace que parcourt le centrede gravitéde cett eair e. Ainsi, quand un solide est formé par une aira plane qui tourne autour d'un axe 9 le sfolume du solide est égal au produit de Vaire par V espaça que parcourt, dans ce mouvement, le centre de, graifité de l'aire.

La démonstration précédente restera la mème^ si l'aire OmnO tournant autour de 00'^ afin d& passer de ,&p en O'q, tourne çnsuite autour d'un second axe tracé dans le plan de l'aire, pour décrire une portion plus ou moins grande d'une nouvelle surface de révolution, puis autour d'un troisième axe tracé dans le plan de Taire , etc.

liô MÉCHANIQUE.

Dans tous ces cas, le volume terminé par chaque nouvelle surface égalera la surface de Taire génératrice , multipliée pai* l'espace que parcourt le centre de gravité de cette aire.

Applications. Cette méthode très-simple est employée par fes architectes instruits^ pour calculer les volumes ou quantités de pierre, de bois, de fer, que contiennent les escaliers à vis/ les voûtes annulaires, etc.; par les ingénieurs des ponts et chaussées, pour calculer les déblais et les remblais des canaux; par les artilleurs, poup calculer le volume des parties annulaires dé leurs bouches à feu, etc., etc. Les constructeurs de navires ont aussi beaucoup d'occasions d'appliquer, dans le cubage des bois, la méthode générale que nous venons de démontrer.

Il est essentiel d'appeler l'attention des élèves sur ces relations intimes des propriétés de la géométrie et de la méchanique. La méchanique sans géométrie est une routine sans théorie, une étude sans lumière ou plutôt une étude impossible. A son tour la méchanique rend à la géométrie d'importants services; elle lui fournit des instruments variés pour exécuter avec une extrême précision , et pourtant avec facilité , des opérations très -délicates. Efforçons - nous donc de montrer de plus en plus les rapports indispensables de ces deux belles sciences , p9ur les appliquer de concert à iS'ndustrie.

Suite des lois du mouvement

Nous avons étudié les lois du mouvei

ouirpar des forces dirigées suivant i

''gne droite. Nous avons vu que si de

agissent sur un point matériel y dans

<lirection ^ pendant un temps donné ,

total parcouru pendant ce temps est

^e si le point matériel avait été m

P^ la première force , puis par la seco

Supposons, par exemple^ qu'un vai

va -vent arriére, et s'avance unifoj

porte un marin qui part de la pouppe e

de même uniformément vers la proue

^ûs qu'au bout d'un temps donné,

P^i*vienne à la proue, en suivant la

d^ la marche du vaisseau. L'espace

^^Uru par le marin sera le même qu

^ ^bord marché de la pouppe à la proi

^Oflps donné, le vaisseau restant en vi

^^^ , restant en repos dans le vaisseai

^ût emporté uniformément, pendant

^^Hné, avec la vitesse primitive du vj

^on-seulement les espaces parcoun

ToM. n. — Mbcbati.

itàtà uàcHAJSfiqtJE

mêmes dans les deux cas^ mais la force totale employée à ïHoïrvoir l'homme et le navire esi la même : il n'a pas fallu plus de force pour ci navire et pour Wfliarm^ sek quelèui^s niouve^ ments aient eu lieu dans le même temps ou successivement.

Dans ces deux cas, l'espace total parcouru en vert» des deux! force» a'gMsànled à là iois. e«t la somme des espaces parcourus , lorsque Sa force qui ftiit âvancet le vais^aù -dwiie part , et de l'autre celte qui feît avancer l'Komme, agissent séparément. '

Tandis que le navire s'avance, 'admcittons, au contraire, que le* marin rétrograde de là proue à la pouppc- L'effet est le même que : i^. si, le marin restant d'abord en repos, le navire exécutait son mouvement progressif ; :2**. si , le navire restant en repos , le marin rétrogradait de la proue à la pouppe. L'espace parcourq, quand ces deux mouvements s'exécutent ensemble^ est égal à la différence des espaces parcourus : i*^. quand le marin n'est animé que de sa propre force ; 2®. quand il n'est animé que de la force qui feit avancer le navire.

Cette propriété que possède la matière, de parcourir le même espace total dans un temps donné, lorsque plusieurs forces agissent à la fois suivant la même direction , et lorsque chaque force agit successivement durant ce metae

temps; cette propriété^ 4'^-]^^ n^appartieat pas seulement aux corps sollicités à se .mouvoiiS par des forces dirigées suivant UDC n^éme ligoe droite i elle est générale , quelkque soit la direction d^ forces.

Voulcz-Yous un ex^^npk bien simple et biçn familier de .ces mouvements combinés. Plaoez-^^us. sur un bateau^ et promeâez-vous d'un bord à lautre;^ quand il e^t en repos. Lorsque le bateau s'avancera dans le sens de sa longueur/ votre mouvement transversal n'^ contiQUorâ pas ipoins avec la même vitesse uniforme : taut> <iue vous emploîrez la même quantité de force pour vous naouyoir.

Si vous tirez un coup de fusil ou de pistolet / dW point du navire à un autre , la balle n'ira pas moins frapper le point ajusté^ si le navire est ea repos, ou s'il est en mouvement; pourvu que ce mouvement ne change pas durant le trajet que parcourt la balle , depuis l'arme jusqu'à l'objet ajusté.Voyons quelle route cette balledoit suivre. Supposons que la balle ou corps quelconque A, fig. I , soit poussé par deux forces que repré- BCûtént les flèches AX et A Y. La première force , agissant seule , fera parcourir en temps égaux, au corps A, des espaces égaux A6 , bc, cdj... sur la ligne droite kx y prolongement de AX. La'Seconde force, agissant seule, fera parcourir durant les mêmes temps égaux, au corps

I2l4 MjfCHAIflQUS.

A, des espaces égaux A6', h'd^ d(ïj . . . sur la ligne droite Ajr, prolongement de A Y.

Si^ durant le premier temps , la force AX agît seule ^ elle transporte le corps A en b} ensuite^ si la force A Y agit seule durant un temps égal, dans sa direction propre , elle fait parcourir au corps A une ligne bB égale et parallèle à Ab\

Si la force AX agit seule durant les deux premiers temps , elle transporte le corps A en c ; ensuite , si la force AY agit seule durant deux temps égaux aux deux premiers , elle fait parcourir au corps A une ligne cC égale et parallèle à Ad; et ainsi de suite.

Enfin, les points B, C^ D;... où le corps se trouve transporté lorsqu'on fait agir ainsi tour à tour les deux forces AX et AY , sont les points où ce corps arriverait, si l'on supposait que le^ deux forces agissent à la fois durant un même temps. De plus, la propriété des lignes proportionnelles^ Géométrie, V% leçon,

Ab : bB : : Ac : cC : : Ad : dD.... exige que les points A , B, C,'D,.... soient e^m ligne droite , et que les figures AbBb' , Acdc^ AdDd'j..... soient des parallélogrammes ayai3 tous leur diagonale placée sur la ligne droL'C ABCD.... Donc , quand un corps est sollicité pa.J deux forces , il se meut en ligne droite, e\ suit la diagonale du parallélogramme dont chaque côté représente l'espace que parcourrait

GINQI7IBMB LEÇON. laS

ce même corps, s'il n'était poussé durant le même temps que par une des deux forces composantes.

Ainsi, quand les deux forces composantes sont représeQtées en grandeur et en direction par des lignes droites Ab, Kb' ; leur résultante est également représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme A^Bi', dont Aby kb\ sont les côtés. Voilà ce qu'on doit entendre par \^ parallélogramme des forces (i).

. (t) On peut démontrer rigoureusement la propriété du parallélogramme des forces.

Soient deux forces quelconques X, Y, fîg.a, représentées par les droites ÂM , AN. Ayec ces droites comme côtés , achevons le parallélogramme AMIN. Appliquons en N, sur IN et sur son prolongement, deux forces opposées x^y-y égales à Y; elles se détruiront mutuellement , et ne changeront rien à la résultante de X et Y.

Combinons à présent X avec :i: , et Y aTec^%

i^ S, dirigée suivant HK, étant la résultante des force<ï pa^ ïallèles X, x, on a..;, a: : X : : AN : NT : : AH : HN.

Mais HK. étant parallèle à NI, la propriété des lignes proportionnelles, Géométrie , V*-. leçon , donne AN : NI : : AH : HK; donc HK s= HN. En menant la droite KNR , le triangle KHN a ses angles HKN^ HNK, égaux entr*eux , ainsi qu'à l'angle KNJ. Doncla droite KNR divise en deux parties égales les angles ANI, on YN^. Les forces Y,^, étant égales, leur résultante R est située snr KNR ; puisqu'il n'y a pas de raison pour qu'elle se rapproche plus de Tune que de l'autre des deux forces Y,^.

Ainsi, les deux forces X, Y , d^inepart; de l'autre, les deux forces S et R ont la même résultante. Mais la résultante des deux premières passe par le point A , qui leur est commun ; la résultante des deux secondes passe par le point K, qui leur est comnaon; donc, enfin ^ la résultante de X et de Y passe par A et K,|

ia6 . , MÉCHANIQUE.

A chaque instant le parallélogramme des forces trouve son application; dans les moindres mouvements de nos membres, dans le jeu des outils que nous employons, et dans les mouvements extérieurs auxquels nous sommes obligés, de participer. Il est essentiel de bien considérer, dans chaque cas, si les forces composantes dont, nous faisons usage sont dirigées de manière à produire une résultante, dirigée elle-même dan«^^ lé sens qui nous paraît convenable; et si laquan-^ tité de forces perdues est la moindre possible.^ J'ose assurer que cette étude faite ayec atten-^ tion et persévérance , produira, dans les ateliefit et dans les manufactures, une économie de force et de temps qui aura les conséquences bs pli^s^

•«'est-à-dIre , par AK.I diagonale du parallélogramme AMIN^ dont les côtés AM, AN, représeuteat les deux forces compOf santés X et Y. - " •

Pour trouver la grandeur de larésuUanieZ dirigée suîvakt AI» ûg. 3, prenons Z' égale et directement opposée à cette forée. Alors X, Y, Z', se font équilibre, et chacune de oes trois forCes cit^ égale et directement opposée à la résultante des deux autres.

Construisons ur paralLélograMme ayant : sa diagonale dirigée suiyant AM',deux côtés dîrig;és suivant XN,et AVz=AI, avec AN pour un de ces côtés. Si l*on veut que AN représente une première composante et AM' la direction d'une résultante X, la te* conde composante Z', étantdirigée suivant Al', lisant que AI' soi( ' un côté du parallélogramme ANMT. Donc Ar^NM' = AI. Donc enfin la résultante Z = Z' est représentée en grandeur ainsi qu'en direction, par la diagonale Al du |imrallélogramrae AMIN, lorsque les côtés AM, AN^ de ce paraliéiogratiMne repréaeiioeiit deux composantes.

CINQUltMï: t ECO If. 127

importantes et qui pourra même faire éviter les plus gravés dangers. Il suffît d*en indiquer un exemple qtii, par malheur, ne se reproduit que (rop fréquemment.

Quand une personne qu'effraie le mouvement trop rapide d'une voiture, saute par la portière, soncorpàeSt animé: i®. par le mouvement horiïontâl de la voiture ; ^^. par la force verticale * de la pesanteur. La i*ésultahte oblique de ces (leux forces fait presque toujours tomber la per- Simne qui saute ^ au moment où elle arrive à terre. Comme la diagonale ^qui représente la ré- ' sçfltante des deux forces agit obliquement, cette diagonale, qui passe par. le cçntre de gravité de la personne, ne passe point par lés pieds de cette personne, si elle se tient droite. Elle, devrait donc, afin de ne pas tomber, se jeter en penchant beaucoup le haut du corps vers le côté d'où vient la voiture. C'est par ignorance de ce principe , et par défaut de présence d'esprit, au moment du danger, que tant de personnes font des chutes qui fracturent leurs membres , et parfois leur coûtent la vie , lorsqu'elles sautent d'une toiture emportée par des chevaux dont la vitesse les effraie.

Quand deux côtés AB, AC, fîg. 4> d'un parallélogramme , sont égaux entr'eux , ce qui forme alors un lozange, la. diagonale divise en deux parties égales l'angle formé par les côtés. Ainsi,

ia8 MiÊCHANTQUE.

quand deux forces sont égales , leur résultante divise en deux parties égales l'angle formé par ces forces. On' conçoit, en effet, qu'alors il n'y a nulle raison pour que la résultante soit plus rapprochée d'une composante que de l'autre.

Tous les oiseaux ont une figure symétrique par rapport au plan vertical AD , fig. 5, qui. va - de leur tête à leur queue , quand ils se tiennent debout et droits. Lorsqu'ils volent, leurs ailes exckîutent des mouvements symétriques , et frappent également l'air, qui réagit contre ces ailes ' avec deux forces égales, symétriquement disposées par rapport au plan AD. Donc la résultante des deux forces est dans ce plan , et pousse l'oiseau suivant la direction indiquée par ce plan.

La droite et la gauche' de notre corps étant symétriques , chaque fois que nous employons symétriquement nos bras et nos jambes ; afin de produire un effet mechanique quelconque, la résultante des'* efforts de ces membres passe par le plan de symétrie de notre corps.

L'exemple le plus frappant de cet effet est donné par l'exercice de la natation. Pour suivre une route dirigée suivant le plan de symétrie de son corps, le nageur exécute des mouvements symétriques avec ses mains et ses pieds, comme, on le voit représenté dans la fig. 6. La répulsion de l'eau, contre la paume des mains et h plante des pieds, est indiquée par les flèche

f,f, P, F; et les rési^I tantes le slof^t pâPr> R.. Les pc»$sons dont la forme est syqiëtriqu'e par» rapport au plan Tertical qui vaf de leur tête à leur queue , fig. 7 ^ onl des paires de nageoires, symêtriqoement placées à droite et à gaucke. Ils les remuent simultanément ^ comme le nagear emplme ses mains et ses pieds ; de manière à ce* (}ttelles fanent le même angle arec Iç pkm de Sfnëtrie. C'est pourquoi leur résultante est dans ce plan^ et produit la marche direote.

Les navires^ qui sont des poissons artificiels^' OBt généralement un plan vertical de symétrie , dirigé de la pouppe à la proue. Quand on veut faire avancer, le navire , on emploie des forces égales et placées symétriquement dç chaque côté de ce plan. Tantôt ce sont des avirons, fig. 8^ tantôt des roues à aubes, tantôt des poids, etc. VojreZf m*, volume , Emploi des forces mo- TRiGEs« Toujours la résultante de ces forces est dans le plan de symétrie, lorsqu'on veut procurer au navire une marche directe.

< La navigation produite par la force d'un vent de oôté, nous of&e une application constante de la décomposition des forces. Soit AB, fig. 9, Taxe dun navire, où la droite MN représente Lx projection d'une voile appuyée en 0 contre un mât* OP représentant, en grandeur et en direction y la force X avec laquelle le vent pou3se la voile y construisons le parallélogramme rectan*-

Ton. U. MÉCHAN. 17

l3& MÉQHAlSlQVt»

€ur ia flèche arec «ne égale force,' «et ioi font "j^ conSëqtieîït suivre k direction dîagonâîe GFE.

Au moment àîi tir, la tension épi^oûVée 'Mp chaque demi-corde^^ est k la Force avec laq'uelfe 4^ .flèche e3t. lancée > comme la longueur GÇ oii £D est au double de GF. En effets GF est la moîiié tie ià dia^^diale du parallélogramme ée^ fi>rceSj| tori^truit avec les côtés GC et GD,

Mais ^ Tare CED étant pour iWdhifâirè un corps élastique , tend à se redresser avefe tf autant; plus d'énergie, que l'angle CGD est plus fermé; ce qui augmente encore la force avec îàijuèné'W'fléche est ïàrrcéè. Par ce tooyen, tel ïhdi vidti dont' là main né pourrait • lancer to» ôèrfie qu'à quéïqués pas, et avec peu de force, envoie cette flèche i ^es distances cô n^idéîMibïes , avec assez de vigueur pour blesser et tuer rhomme et les grands animalix.

Un arutre exemple vous montrera toute FeflBcacité d'une foreè très-petite , agissant d'une inàriièrè analogue à celle qui fait fléchir la corde de Tare,

Pour donner aux cordes d'une harpe le degré de tension qui les monte au ton convenable , il faut se servir d'une clef qui quadruple ou quintuple la force du poignet de Faccordeur, ïJeùx hommes robustes, saisissant à la main, et: tirant chacun par un bout, certaines cordes de harpe 3 auraient certainement peine à les tendra

CINQ-UtàlIC; LSÇON. l'Sd

^«Utit quiflbs 4oitetiC Tétre tq^»d «lies font ,jpftrtî« (fece bel mstramiBnt. M. fkPpDnyuidiA*- -eiilé fos tensions des cordes d'iuk piano : ia somme -^a'îl )& trouTéè est . plus grande <)âe lu force -xie 4liatrecfae^iix« Cependant, mne jeune fille <]ui ne soutient pas, sans fatigue, sé^braS teiidcfe !« long des tiotém tl'une harpe , trouvé dans ses -idoigts dëlicatB assez de force pour saisir ces ^^«lepdes et les |»incer par k milieu , de ttunière a -en Jbnteerdeux-demiMxyrdes anguleuses : ce sobt lèi deux, côtés d'un parallélogramme, fig. iS, idoiit la diagonale' représente l'efllbrt exercé pâ^; lés doigtii de la jeune fille. Quand elle ouvré ilBi .main^ cet effort de trouve assez puissant poor imprimer à la corde un mouvement de vibration «qui Ktentirail IcNQg^'temps^ s'il n'éuit étouffé .par une pédale , ou perdu dans les sons socoessife du morceau tju'on exécute.

Jusqu'ici ikous n'avons considéré que ce qui se passe dans un simple parallélogramme des forces , c'est-4-dire , lorsqu'on n'a que deux composantes et leur résultante.

Sopposoiis, maintenant, que nous ayons trois composantes agissant sur un même point matériel A , fig. 14. Soient AB, AC, AD, les parties de ligne droite qui représentent, en longueur et en direction, ces trois composantes. Si l'on construit le paraUélogramme ABEG , avec les deux lignes AB, AC, prises pour cotés , la diagonale AE re^

i34 mien XIX iQVK.'

prëseDterala grandeur et -la direction de luré- «ultante des deux premières forces , c'estrà^dire.^ qu'un corps sollicité à la fois par les deux forr ces A6^ AG, ou par la çeuie force AE^ pisircourra le même espace , dans la même direction^, et pendant le même temps.

Combinons la résultante partielle A£> avec la troisième force AD , en formant ayec ces deux, lignes un parallélogramme AEFD. La diag^ooale AF.de ce nouveau parallélogramme est évidemment la résultante de AD et de A£, Mais l'effet: produit par A£ est équivalent à l'efiet produis par les deux forces AB et AC. Donc, enfiny F^fifet produit par la force AF équivaut, au total, à celui, que produiraient les trois forces AB, AC, AD.

Nous pouvions arriver à ce résultat par un^ autre considération. Quand deux forces AB, AC ^ fig. i5, agissent sur un corps A, la première forc^ AB agissant seule, pendant un temps donné, L^ transporte de A en B. La deuxième force AC agissant ensuite seule , le transportera deBeJ3. E, parallèlement à AC; de manière que BE= AC - La troisième force AD, agissant ensuite seule ^ le transportera de E en F, parallèlement à Aiy^ et de manière que EF = AD. Enfin , le corp^ arrivant en F, par l'efFet successif des trois far^ ces, sera précisément au même point où il serait arrivé, si les trois forces avaient agi ea même temps pour le transporter.^

. Cette nouvelle construction ne diffère de !a précédente qu'en ce qu'elle est moins compli** quée : car il y manque les 3\ et 4*. côtés des paj*allélogrammes de la (ig. 14*

S'il y avait un nombre quelconque de forces OÂ, OB, OG^... fig. 16^ agissant sur un point xuatériel , il serait transporté aussi loin dans un t:cmps donné, que dans le cas où toutes les forces sigiraient séparément et successivement^ pour le t;ransporter dans leur direction propre^ pendant ce même temps. Alors, on mènerait successivement Ab , bc^cd, etc., parallèles et égaux en longueur à OB, OC, OD, etc. Puis, joignant le premier point 0 et le dernier e de cette suite de dotés, Oe représenterait la résultante de toutes les composantes représentées par OA » OB , OC, OD...

Donc , en fermant par une droite Oe le polygone 0Abccl...eOj cette droite représente la résultante , lorsque chacun des autres côtés représente une force composante.

Si nous renversions en Oe% la résultante Oe, cette force devenant dirèctemen t opposée aux composantes , leur ferait équilibre. De là résulte ce beau théorème , qu'on doit à Leibnitz : si tant de forces qiion voudra sontappliquées au même point matériel j et si ces forces peuvent être représentées en grandeur et en direction, dans un sens qui se suive, par les côtés d'un poljrgone quelconque^

i36 MàcuÉLttiQUW.* '

r^guBerou irrégulièr^ mais complèi et fàniié f

toutes cesjbrces se font nécessairement eqmfHbrté

Dans le polygone MNPQRS, fig, 17, on re*' marque un angle rentrant, Q. Cet angle est n^és- — saire à la formation du polygpone ^ parée que- la.^ direction de la flèche QR iudique le sens dani^ lequel on doit traceF le c6lë QR , pou*^ que I forces qui doivent se faire ëquiKhre se succèden toutes dans le même sens. Enfin , chaque du polygone représente la grandeur et la tion des forces.

La manière dont nous avons considéré eempositioh des forces, a cet avantage s'applique également à des puissances qui agisae~:a3t dans un même plan et dans des plans dîfférenS:,^;. ee qui, pour beaucoup de cas, est d'une exfrêraaé importance.

Il en résulte seulement , quand les forces OA, OB, OG, OD ,... , fig. 16, ne sont pas toutes dstni Tin même plan , qu'alors les côtés du polygone Okbcdy . . ., qui sont respectivement parallèles aHX directions de ces foiH^es, ne sont pas dans un même plan. Mais la résultante Oe de toutes ces forces n'en est pas moins représentée en grandeur eï en direction par la ligne droite Oa, menée, da point 0 commencement du polygone OAbcd..»f jusqu'au point e où se termine le dernierdes côt^ qui représentent des forces composantes.

Autant il est simple et facile de construire;

CINQUIÈME LEÇOlf. iS^

sur le papier ou sur le terrain^ le polygone Qkbcd... ^lorsque ce polygone est tout entier dans un même plan ; autant |a construction de ce polygone serait difficile et compliquée^ si tous les cotés qui le composent ne pouvaient pas être dapsun même plan.

Heureusement qu'alors les notions données j> K volume^ Géométrie , deuxième^ septième et treizième leçons , nous offrent un moyen très - court et très-exact , pour obtenir et la direction f et la grandeur de la résultante : quels que soient le nombre ^ la direction et la grandeur des forces composantes.

Pour avoir la projection d'une ligne MN, fig. i8y située sur un plan, par rapport à deux axes OX, OY^ il suffit d'abaisser, des deux extrémités de cette droite, des perpendiculaires sur les axes de projection r les parties mn , m^n\ comprises entre ces perpendiculaires , sont les projections cherchées.

Prolongeons mM en A et m'IA en B, nous aurons le parallélogramme MAN6 , dans lequel nous pourrons regarder MN comme une force résultante, ayant ses composantes représentées par MB=m/i , et par MA = m'/ï', puisque ces derïiières lignes sont des parallèles comprises entre d'autres parallèles. Géométrie, II^. leçon.

Ce que je dis d'une force , je pourrais le dire de deux, de trois, de quatre, et d'un nombre

T. n. — Mkchah. i8

lS8 MiCHANIQtTË.

(]Ùélcoh(|uè de fô)rceâ; i^uellés que hissent leur grandeur et leur dire<^tîon^ chàeune d'elles serait rteprésentée par ses deux projections siir deux làxes à angle droit.

Lorsque nous aurons un nombre quelconquede forces telles que MN, NP, etc., fig. i8, il suffira donc dé prendre leurs projections sur les deux aixes à angle droit OX , OY; puis , de considérer, d'une pari, que le corps est mu suivant OX, avea les forceà mn, jip, pq, . . ., et de l'autre suivant OY^ avec les forces mV, n'p\ p^q\... ; l'effet résul — tant sera toujours le tiiêùie. On voit, en e(Tet ^ que la droite MQ, fermant le polygone MNP(^, ^présenté la résultante des forces MN, NP, P(^ j ^t que cette résultante à pour projections m^ ^ >nY , Somme ou différence des projections partielles. Maintenant, lorsque des forces mn, np, pq>.»*f m^n', vlp\ p'q\ . . . , agissent suivant Une même ligne droite : i^. leur résultante est dirigée suivant cette droite; 2°. elle est égale à^ la Sommé de toutes celles qui sont dirigées d'un côté, moins la somme de toutes celles qui sont dirigées du côté opposé. Piîen ne sera plus facile à faire qu'une telle distinction.

Soit, fig. 17 , un group.e quelconque de forces représentées par les droites MN , NP, PQ... Projetons ces droites sur ra)fe OX , en mn , np ^ pq,... Nous verrons que les /br- ^ cespq ^t rîf poussent en sens -contraire de mn, np^ qr^-- Aittsiy U* râMiltànte sera mn ^ np J^ qr moïtis pq + >*•

CINQUlàME l^l^ÇQN. l39

U eat éyidçnt que mn -{- ^p moins pq ç'çst mq , e^ que fr •moins rf c'est qs. Dqnc, enfin|UrésulUp^çtPt^^ç^mf l4^8 qs; c'est-à-dire y ms, Gçtte partie de Taxe ei^t en effet U projection de MS qui ferme le polygone des forces , et par <x)Bséqaent qui représente la résultante de BIN .. NP, PQ. . .

Si toutes les forces MN, P^, PQ, . ., fig, 1 8^ 9iW%

^ans le plan des axçs OX, QYj, les mouyemeats

exécutés par Lç point M sur les deux a^es d^ prç-

jectioa ^ représenteront parfaitei^eiit les ntouT^

mçnts exécutés par M , en vertu des forces wm-

|K)santes quelconques AjDlï, NP, PQ, etc.

Maî^i i^i Iqs fprcQs ne sont pas dans Iç plaq46S dQux ^x<^ , il fapt prendre trois axes perpen4iça". laires eqtr'eux» Par exemple, on peutprepdrç «» plan vertical; ^t deux plans hori^nQnt^uXy Yvm dîr. riçe'di^ ngrdau sud| V^iitred^ l'orienta roQçîd«t,î Alors , m abaiss?ipt dw perpendiçpWirçs mx axes, des dei» extrmitéç de chaque ligne droite qui représenta une force, les projections r^pré^ senteront trois forces tellfis qu'un point matérifil mù sucçessiven^ent suivant la direction ds ^t. cune d'elles , firrivera finalepient h h wèîne ppçt : sition que s'il eût été mû par la forço pnj9Ûli|rf). unique« ;,

J)e même qu'on rend segiiiblç^ par U9 pftmUôr; logramme, I4 décomposition et la coQ]^pof»ition dt deux forces sur un plan; de même oq j^mà seniir: blés, par un parallélipipéde, la déoompûsîtidli 0t la composition de trois forces dans l'^ftp^Qe* Voyez

i4o mAghaniqub.

GÉ03MÊTRIE, Vir. leçon, dcs parallélipipédes. " Or, en menant la diagonale AG , fig. 19, de l'angle A à l'angle opposé G, il est évident que, ai je prends cette diagonale avec les trois côtés AB, AC==:BE, AD=EG, je vais former un polygone ABEGA fermé de toutes parts. Donc je puis re-* garder le coté AG de ce polygone, comme représentant , en grandeur et en direction , une forée AG, qui fait équilibre à trois forces respectivement représentées, en grandeur et en direction, par AB ^ AC, AD.

De sorte , par exemple , que si la force AG.

suffît pour transporter dans un temps donné le point A en G; dans un temps égal, la force AB transportera ce point de A en B ; puis, dans un temps égal, la force AC transportera le point A, deB en E; enfin, dans un temps égal, la force AD transportera le point A, de E en G^

Donc les trois forces représentées par AB^ AC, AD, agissant à la fois, transporteront A en G, dans le même temps que chacune de ces forces , agissant successivement, ou que la. résultante AG agissant seule.

Remarquez ici qu'en appelant axes de projection les droites AB, AC, AD, les parties AB, AG^ AD, seront précisément, sur ces axes, les projections de la diagonale AG, c'est-à-dire, de la résultante AG de ces trois forces.

Vous trouverez peut-être un peu longue la

CINQUIEME LBÇOH. X^l

marche que j'ai cru devoir suivre; mais il était indispensable d^entrer dans tous ces développements^ pour que vous trouvassiez aussi élémentaires qu'elles le sont réellement , des propriétés diont on a fa il un épou vantail pour les personnes qui commencent l'étude de la science.

En décomposant chacune des forces qui peu«- Tent agir sur un corps, en deux autres forces pa- 3rallèles à deux axes donnés^ ou en trois autres forces parallèles à trois axes donnés , on forme des groupes d'autant de forces parallèles à chaque axe^ qu'il y a de forces différentes agissant sur le corps ^ quelles que soient la grandeur et la di« rection de ces forces. Ainsi ^ l'action de forces qui n'ont aucune analogie , quant à leur direction^ se réduit immédiatement à l'examen de l'action des forces parallèles.

Si toutes les forces parallèles, obtenues par une décomposition telle que nous venons de l'indiquer, ont une résultante unique qui passe par le centre de gravité du corps , elles tendront à faire avancer le corps en ligne droite , et sans tourner : de la même manière que si elles étaient réduites à une seule, égale à leur somme et pa-

rallèle à leur direction commune.

. Si toutes les forces ont une résultante qui ne passe pas par ce centre de gravité, cette résultante agira pour faire tourner le corps. Il importe d'examiner de quelle manière ce mouvement aura

x4^ vic^JiJf^qy^.

Ueu, Suppo$on8 qu'une force AX ne paaçe p^ parle centre de gravité G ^ fig. 20; GA étaiit li| perpendiculaire menée du point G à la direq^ion AX de cette force; nous ne changerons rien ^^. mouvemeni de ce corpSi en ajoutant une force unir que Gx, parallèle et égale à AX, et de w fonje^ oy, AY, parallèles h Qx, dirigées en senç cqntrfture^ égales chacune à la moitié de G^K^f et teJleiment pU"* cées que G\^==^a, puisque Gx fait équilibre k(^i Ay. Ma is la force AY étant moi tié de AX, et dirigiid en sens contraire , détruit la moitié de AX. Pw conséquent , le corps se trouva sollicité au m(HJh-> vement par troiç force» ; i^'/Gr, qui passe pat Ifl centre de gravité du corpSi=;5AXj 3\la moitié da AX^ agissant dans le sens de AX; 3\ ajr égal » la moitié de AX» et dirigée en sens contraire»

Les deux forces égales 7 AX et aj^, étant également éloignées du centre de gravité G, agiront pour faire tourner ce centre de gravité, sana le &ire avancer d'un côté plutôt que de l'autra i puisqu'il n'y a pa^ de raison pour que, de deux forces égales et dirigées parallèlement en senà opposés, Tune l'emporte sur l'autre.

Ainsi : 1°. par l'action des forces ^ AX et ajf le centre de gravité n'avance ni ne recula ? 2°. par l'action de la force Gx^ le centre de gravité est transporté en ligne droite, en vertu de l'action -d'une force égale et parallèle à AX.

Far conséquent, lorsqu'un nombre quelconque

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éû ibrces agissent sur un corps de figure aussi ^elconque : i% si l'on décompose toutes ces for- <!es parallèlement à des axes donnés; 2^. si i*on détermine la résultante totale des forces^ pour la transporter parallèlement au centre de gravité : ce ^ntre se mou vra en ligne droite, comme.si toutes les forces étaient immédiatement apj^iquées au «entré même de gravité. Tel est le principe trèsreinarquable de lu con^eriHUtion du centre dé jgm{>ii€, dénomination qu'il doit surtout à cette ^utrê propriété que tous tes mou\^ments inté* Yiturs jAY]fdaits dans un corps par les actions et tes TëMti&tts dés diverses parties de ce corps , né tkmtgéfâ rien au mouvement du centre de gra^ viié pur rapport aux points extérieurs de tes*' pâte.

Le jeu de billard offre des exemples^ variés et très-sensibles, des propriétés du mouvement impriftfé aux cwps par l'action d'une force qui ne passe point par le centre de gravité de ces corps. Frappons une bilte de billard^ non point dans la lÛrection de son centre , mais à droite , par exemple. Alors : i"*. la bille s'avance avec la mféme vitesse que si elle était frappée dans la direction tie son centre; !î°. elle prend Un mouvetnentde rotation de droite à gauche en avançant.

Si l'<m frappe la bille en dessus du centre de gravité , elle avance pareillement avec la même vitesse que si elle était frappée dans la direction

]44 M^GH A.»riQU£.

de son centre , el prend un mouvement de rotation de dessus en dessous^ tandis qu'elle s'avance

Les effets contraires ont lieu y lorsqu'on frapp la bille , soit à gauche^ soit en-<lessous du centr( de gravité.

Quand on frappe la bille au-dessous du centr( de gravité^ la résistance causée par le frottemen du tapis contre la bille est augmentée. Quand oi frappe la bille au-klessous du centre ^ en pein tant la queue de haut en bas ^ la bille s'avaac< moins vite que quand la queue agit parallèlement au billard ; alors la vitesse de rotation peu l'emporter, au point de n'être pas détruite ei totalité parce frottement, lorsque la vitesse pro gressiv^ de la bille estdéjà détruite. La résistant du tapis continuant toujours comme une fore rétrogade, une partie de cette résistance est ena ployée à diminuer la vitesse de rotation de 1 bille, et l'autre agit comme si elle était tracàj portée au centre de la bille qu'elle fait rétro grader. C'est ainsi que , d'un seul coup de queu de billard, on peut faire avancer, puis rétrogra der une bille.

Des effets analogues à ceux du jeu de billard se remarquent dans le mouvement des boulets de canon et des bombes ; ils produisent des résultats extraordinaires dont l'étude est de la plus haute importance dans l'art de la guerre- Cette étude est l'objet de la science appelée BallisUque.

^nnêpmr Chmrlef Duym

nS machines simples : les cordes , les ponts suspendus , les harnais , le gréement des vaisseaux , etc.

Ox appelle machines les combinaisons de parties matérielles propres à transmettre une force quelconque, en changeant sa direction, ^vi sa vitesse , ou l'amplitude de l'espace qu elle fait parcourir dans un temps donné.

On compte sept niachines simples, auxquelles ^>ïx rapporté toutes celles qui sont composées. Ces machines simples sont : les cordes , le levier, la poulie, le treuil, le plan incliné, la vis et *^ coin. Nous allons traiter de chacune d'elles avec toute l'étendue qu exige l'importance du ^^^jet. Nous en parlerons-^dans l'ordre que nous >^erions d'indiquer. ,