I. Des cordes

Pour faciliter l'étude des cordes employées à ^^^nsraettre des forces , les géomètres supposent " ^ord qu'elles sont flexibles , inextensibles , ^^ Sans pesanteur. Puis, suivant qu'il importe

T. II. — Mkciian. 19

}à6 MÉCHANIQUE.

de faire entrer en considération , leur roideur plus ou moins grande , leur extensibilité ou leur pesanteur, ils recherchent (tant par la théorie que par l'expérience ), quelles altérar lions peuvent être produites dans Içs résultats primitifs , par les propriétés de la matière doni les cordes sont composées.

Cette manière de venir à bout des questions les plus compliquées, en les ramenant d'abord à leurs éléments les plus simples , n'a rien <jue de très^phjlosophique ; elle aide à la faiblesse de notre intelligence , et double l'efficacité de nos moyens d'opérer. Nous allons suivre la même marche dans l'examen des propriétés des cordes et de toutes les autres machines simples.

Considérons donc une corde parfaitement flexible, inextensible et sans pesanteur.

Commençons par appliquer une seule force à chaque extrémité de la corde. Ces deux forces tirant la corde en sens opposés, supposons- lefii égales. Par leur etièt, cette corde est tendue en ligne droite; ligne dont les deux extrémités se trouvent à la plus grande distance possible. Alors les deux forces se font équilibre, puisqu'il n'y a pas de raison pour que la corde , également tirée des deux bouts , s'avance d'un côté plutôt que de l'autre.

- Faisons agir une troisième force qui tire dans le même sens qu'une des deux premières ; que

SIXIÈME L£ÇOIC. .147

1â seconde , par exemple. UeSet opposé de Ja prenlière /étant détruit par la second^, )h coîpde se mouvra du côté de la troisième , comme si les deux premières n'agissaient pas. Dans ce mouvement , exécuté suivant la direction de fe corde, il est évident que fcette corde ne cessei*a pas d'être en ligne droite. La troisième forpp Xiie fêta qu'entraîner la corde; et les deux preinières forces qui se font équilibre , produiront Cet équilibre en exerçant sur la corde une tension Représentée par chacune de ces deux forces.

Les résultats auxquels nous venons de parve- ^iair étant les mêmes, quelle que soit la longueur ^e la corde, il s'en suit que la tension qu'elle éprouve est la même en chacun de ses points , ^j A..«.

En effet,pour connaître la tension éprouvée par la corde, au point quelconque C^ fig. i , l'on pour- Tait y supposer applique'es les deux forces AX^ 3Y; de même, pour connaître la tension éprouvée au point A, on peut supposer les deux forces AX, AY, appliquées en A. L'effet des forces ne changeant pas, quel que soit leur point d'application , il en résulte que la tension e'prouvée par la corde en un point quelconque C, est (comme BOUS l'avions avancé) la même qu'à l'extrémité A; doneelle est égale dans toutes ses parties. Maintenant, supposez que la corde ait partout 'Jûe force constante, excepté dans un seul point

t/iS méchànique.

plus* faible que les autres. En accroissant graduéliémentet delà même quantité, lesdeux forces opposées , on atteint un terme où la tension exercée sur la corde (tension supposée la même pour tous les autres points de cette corde ) est trop peu considérable pour rompre cette côrd^ en aucun point , excepté le plus faible. Donc lat. corde rompra dans ce point faible , et Téquili^ — bre du système 'sera détruit. *

' Ce moyen est précisément celui qu'on emploie dans les arts , pour mesurer la force des cor*-' dages. Quand les cordages doivent servir , soi.t à fixer; soit à susj>endre des objets dont la tenue est d'une grande importance , il devient indispensable de s'assurer que les cordages suppor-r tcront sans se rompre les plus grands efforts auxquels on devra les soumettre. Il est donc edsentiel de connaître, avant tout, la résistance dont ils sont susceptibles. C'est ce qu'on doit faire avec un soin particulier, pour les cordes ou câbles de fer, câbles que j'ai eu le bonheur de faire adopter, depuis 1817, par la marine française. Car il suffirait qu'un seul chaînon , par mauvaise qualité du fer ou par mauvaise fabrication , eût une force très-inférieure, pour exposer le câble à casser, comme si tons les autres chaînons étaient également faibles.

Quand une corde est courte , il y a moins de chances pour qu'elle se trouve, en quelque poittt:>

SIXIÈBIE LEÇON.

lîeaucoup plus faible qu'en tout autre. Ai marque-t-on qu*en prenant deux bout même corde , inégaux en longueur , pour mettre à des tensions égaies, le bout • court est généralement susceptible d'é] un plus grand effort, avant d'être rompu bout le plus long.

Au lieu d'une force agissant à chaque mité de la corde , supposons qu'il y nombre quelconque de forces.

Soient Ajc', kai\ kx"\... fig. 2, les fore

sautes d'un côté, et By, B/', B/",.... les

agissantes de l'autre côté. On pourra rer

d'une part toutes les forces kx\ Ax'', kx"'.

lautre, les forces B/ , By , By^\... par un

unique qui sera leur résultante , et que n

terminerons d'après les lois ordinaires de

position des forces. Pour cela , nous fer

polygone dont les côtés soient égaux et ]

les aux droites représentant les forces. L<

lignes droites AX, BY, qui ferment ces

nés , représenteront les deux re'sultai

faudra que ces deux résultantes : i"*- soie

gées ensens opposés , suivant la dircctior

de la corde AB; a**, soient égales entr elle

Si les forces ne sont pas égales^ il y aur

vement dans le sens de la plus grandi

vitesse sera en raison inverse de la masî

corde à mouvoir^ etc. , II*. leçon.

l5o HiCQANIQUE.

Application à la sonnerie des cloches. Le( cloches que Ton sonne dans les églises sont firéei par une corde verticale ÂB, fig. 3. Quand la cloch< est trop grosse pour que deux ou trois hommes tirant à la fois sur cette corde, puissent sonne avec facilité , Ton file au bas de la corde princi pale AB, des cordes plus petites Aa:', A*r'', A-r'^',* V,n Jstomme saisit chacune de ces cordes , et ton tirent ensemble pour donner à la doche le moi vement qui lui convient. Afin d obtenir la résul taate, il.Quffit de former un polygone Aa?^"X?'dont les côtés hx\ xX'\ X'X'',-i. représentea tin)graiidmj|r et en direction , les fprces kx' y kx

Eix menant la ligne droite AX'''> par le point et par l'extrémité du dernier côté, on fermera € polygone des forces^ polygone dans lequel ceti liigne droite AX"' représentera la résultante. Ei fin 9 pour le cas que nous examinons^ il £aiu(d] que cette résultante soit dans la direction de \ corde verticale AB;

Ordinairement les sonneurs, dont la force est peu près la même \ se placent en cercle , à dii tance égale les uns des autres , de manière qi le centre du cercle soit à l'aplomb de la çord AB. Par cette disposition , la résultante de leui forces passe nécessairement par la ligne AB.

Moutons ou sonnettes pour battre les pieux. C que je viens de dire sur la sonnerie des cloche

SIXIÈBfB LEÇOIf. l5l

s'applique également lorsqu'on veut tirer avec des cordons , la corde principale qui fait agir lé mouton mis en usage pour battre les pieux. Aussi cette machine est-elle souvent appelée sonnette^ parce quonla sonne comme une grosse cloche d'église. Mais pour compléter l'explication de cette machine, il faut connaître les poulies. Jusqu'ici nous avons envisagé les cordes comme tire'es seulement par leurs extrémités. Supposons qu'elles soient en outre tirées en un point intermédiaire.

Soient AX et BY, fîg. 4 > les forces appliquées aux extrémités A,B, d'uae corde ACB, et CZ la force appliquée au point intermédiaire C. Ces trois forces se feront équilibre, si, en transportant BY en Cj^ AX en Cx, le parallélogramme formé sur les cotés Qx , Cy^ a précisément sa diagonale CZ' égale et opposée à la force CZ'.

Supposons que la force AX , fig. 5, représentée par Cx\ » €tla force BY représentée par Cj*, soient égales entr elles, A^Ws le parallélogramme Ca:'Zy sera ce qu'on appelle un losange, etles angles j:GZ',^CZ', seront égaux; c'est-à-dire, <lue les lignes droites CAX , CBY , feront le même angle ^^ec la direction de la résultante CZ'.

Mais , suivant que Cy sera plus grand ou plus petit que ^^ , la force CZ' sera plus rapprochée ou plus éloignée de ^^Y que de CAX ; et cela dépendra de la forme des trian-* (îles égaux CxTJ , Qfl! ,

Si nous avions quatre forces AX , BY, A' X et li'Y, fig. 6, appliquées en C,C', il faudrait qu'il y eût équilibre autour de chaque point G , G'....

l5a MÉCHAWIQUE,

Par exemple, autour du point C, Ton aurait les force AX e.t BY , dont la résultante devrait être dirigée suiyaiii le prolongement de CC, et représenterait la tension exer cée'par ces deux composantes sur le cordon CC'. Constmi sant donc le parallélogramme C^Zx , où Cx égale AX Cj"-—J\Y^ on aura CZ égal à la tension de la corde BC.

De même, pour le point C, en construisant le parallélo gramme Cyzy avec les côtés C'a:'= A'X', Çy :=:B'Y', oi au ta CZ' égal à la tension de la corde. U faudra , pour que ce reste en équilibre , que les deux tensions opposées CZ, CZ\ soient égales.

Remarquons ici que la détermination des diverses tensions de AC, CC', C'A', etc. , étant indépendante de la longueur des parties AB , BC, CD, etc. , ces tensions ne changent pas , non plus que l'état d'équilibre de * tout le système, lorsqu'on augmente ou qu'on diminue la longueur de ces parties, On peut donc supposer nulles une ou plusieurs d'entr' elles , sans que pour cela l'équilibre soit détruit. Par conséquent , lorsqu'un nombre quelconque de forces sont appliquées à divers points d'une même corde , en appliquant toutes ces forces au même point, sans changer ni leur grandeur, ni leur direction , toutes les forces ainsi transportées parallèlement , et débarrassées de la corde, sont en équilibre.

Lorsqu'une corde^est tirée par des forces appliquées à divers points , elle présente la figure d'un polygone, et, pour cette raison , prend le nom de polygone funiculaire^ du mot latin y«/wculum, petite corde ou cordon. Il faudra que les forces agissant autour de chaque point, soient en équilibre avec les tensions éprouvées par les côtés du polygone dont ce point est le sommet.

SIXIÈME LKÇOîf. ï55

Nous avons de fréquents exemples de l'équili- I>re(iu polygone funicolaire, lorsque nous suspendons des poids à une corde clont les deux bouta ne sont pas sur la même Verticale. Les ponts suspendus, dont nous^pffrlerotis à la fin de celte leçon , nous offriront lin. autre exemple des polygones funiculaires et de rutililé. des évalua* lions qui s'y rapportent. '■- .

Soient A^, Bs, Cp, Dw, ùg. y ;'^àei forces verticales ; leur résultante" Rr sera pai^illoinént verticale , (?gale à leur somme , et poûiTa se déterminer immédiatement par la théorie des forces parallèles. Pour" que réquilifere existe dans lé polygone funiculaire , il faut que la force Rr, qui représente lensémble des forces A^, Bs, Ct* et Dtv, fasse équilibre à la tension des bouts A, D, de la corde. Ce qui «xige : 1®. que les directions des- ' deux forces extrêmes kxfiii , aboutissent au même point O sur la résultante Rr des forces parallèles; 2°. qu'en prenant Ox^zzzAxy et Oii* == Dm, sur les droites OAj: et ODm, la diagonale du parallélogramme formé sur ces deux côtés, soit précisément égale . à Rr, et verticale comme toutes les forces composantes.

Quant aux tensions éprouvées par les diverses parties de ïa corde ABCD, il sera toujours très-facile de les déterminer, en regardant chaque force parallèle Aj^, B3, etc., comme la diagonale d'un parallélogramme dont les côtés »nt Ax et AB prolongés , AB et BG prolongés, BC et CD prolongés , etc. ; les côtés de ces parallélogrammes représenteront les tensions de ces cordons. On déterminera de 1* sorte U tension de chaque cordon AB , BC , CD , à ses ^«ux extrémités. Si Téquilibre subsiste , il faudra que cette

T. II. — ^ MiCHAN. QO

l54 MÉCHANIQUE. ^

tension soit la même' aux deux extrémités de tàari|trê Cordon. SaniB delà, le cordon ^'avancerait du côté de iateotî^^ la plus grandby i^mioe j'il.ét^it immédiatemeiifc soUiciftié pa^ deiûL forces in^gale^. y^*- : . /

Actuellement; QoussQniHies en état de faii:^ entrer en considération la pesanteur des .cordes ., Examinons^ â^abord ^une corde fixée à ses dçm bouts, et qu'on laisse pendre librement. . .: -

Nous pouvons regardei; cette corde comme étant compo,séc d'un nombre infini de petites lignes droites , égades entr*elles, très-peu inclinées l'une sur l'autre, et formant la ligne courbe que doit alors suivre la corde pour, se placer dans un état d'équilibre et de repos. Considérons deux 6e ces petits cotés consécutifs AB et BC , fig. 8 , la résultante du poids de chacune d'elles est une force qui passe par leur

milieu, en M et N. On Va donc avoir une snite.de forces

parallèles Mx , liy , Oz , égales , et telles que leurs points

d'application M, N, O, sont équidistants.

La résultai^te de toutes ces forces est égale à leur somme et dirigée verticalement : soit Rr cette résultante. Il faudra, d'après ce que nous avons vu précédemment, que les deux derniers côtés F/", Gg, du polyjjone funiculaire, par leur prolongement, se rencontrent sur la résultante Rr.

Ainsi, les tangentes , en F et G, à la courbe FAB..k'.G, se coupent toujours sur la direction de kt résulta iilvds poids de la corde librement pendante : résultante ^ passe par le centre de gravité de la corde (i).-

La courbe formée par la corde pliéelibremttit en vertu de sa pesanteur, resterait la^tnéin'é,

(i) Cette propriété sert aux mathématiciens à trouverai* équation différentielle de la courbe qoe forme la iMyrde, lilw meut ubandoDuée à sa pesanteur. Mais ma]keupe«iaemeitt, I^

SIXlii-.ME I.KCON. l55

3^it; que Q^tte courbe fut un fil éminemment fl^lEiible çt continu, soit quelle fïil ui^e chaîne ou chaînette composée de chaînons infiniment pe^tits. Ce qui ferait de cette chaînette un polygone composé d'uq nombre infini de côtéa infinî- Xq^nt petits. C'est même ainsi qu'on a d'abord Goqsidéré le problème. On a nommé spécialem^rUi chMnetie^ la courbe suivie par une telle chaîne, ou par une corde par^itement flexible, ^eà ses deux bouts, et librement abandonnée à l'action de 1^ pesanteur.

Lçs arts i^échaniques .et les beàux-arts font \m fréquent us^ge de U chaînette.

Les c4ble^, les chaînes, AB, fig. iJ^ avec lesquels on tient les navires en équilibre contre les forces duyent et du courant, prennent la forme de çhaî'^ nettes plus ou moins courbes, selon leur tension. U en est de même des cordes employées pour le balage, et tirées par des hommes ou des chevaux, %\k moyen de cordelles attachées en divers points W% cordes principales. L'examen des tensions supportées par ces cordes et par ces cordelles , et la transmission ainsi que la perte des forces

méthodes dont nous sommes en possession, ne sont pas assez paissantes pour donner en quantités finies Téquation qui doit déterminer la figure de cette môme courbe. Quant à nous q ui, daras les arts, pouvons opérer sur la courbe même , et déterminer to^s ses élénsents aumô^en de mesures immédiates, nous parvenons ainsi, par le fait et de la manière la plus simple, aux résultats 0^ la science analytique ne saurait nous conduire..

l56 ' MECH \rC IQUE.

de halage, sont des questions importantes ^qu^Mi résout au moyen des principes exposés dans cette leçon. Nous expliquerons cet emploi des cnsd"nettes, au sujet du gréement des navires.

Il faut aussi rapporter à la chaînette et at polygone funiculaire , l'équilibre des traïUes oi cordes tendues d'un "bord à l'autre des rivières Elles sont attachées à des points assez élevés poim qu'un bateau maté passe dessous. Sur la traill peut courir ( au moyen d'une poulie) le bou supérieur d'un cordage dont le bout inférîeu retient un bac. Dans chaque position où cetti corde se trouve, elle éprouve une tension causifc par l'action que l'eau courante exerce sur le bac. Cette tension fait équilibre à deux aiïtres tensions éprouvées par les portions de la traille situées à droite et à gauche de la corde qui tient le bac. Pour connaître la force nécessaire à donner, soit à cette corde, soit à la traille, il faut calculer les plus grandes tensions qu elles aient à supporter : les propriétés de la chaînette et du polygone funiculaire en donnent le moyen.

Une des applications les plus importantes delà chaînette et des cordes en général , est celle qui se rapporte ^x\x ponts suspendus ^ fig. i5; mais, avant de la faire connaître, il faut expliquer les propriétés géométriques de la chaînette , pro priétës si fécondes en conse'quences.

Si les deux extrémités A, B, d'une chaînette

SIXIÈME LEÇOir, i57

i£CFB, fig. 9, sont placées à la même hauteur, cette courbe sera symétrique par rapport à la verticale DC , menée par le milieu D de AB. On voit , en effet , qu'il n'y a pas de raison pour que la partie de gauche AEC , diffère de forme ou de grandeur avec la partie de droite BFC.

Les guirlandes et les cordons d'or, de soie , de rubans, de 'franges et de fleurs, suspendus à des points qui ne sont pas sur la même verticale , forment des chaînettes dont la symétrie est heureusement contrastée par une variété de courbures et de positions ; variété dont l'élégance est un des secrets de l'art ayant pour but la décoration des appartements et des édifices publics.

Il est utile que le peintre et le dessinateur étudient le genre de courbure qui caractérise la chaînette; afin qu'ils donnent à la représentation de ces objets d'ornement , des contours qui ne soient pas dépourvus de vérité.

j^aintenant, regardons comme ûxe, le point E, fig. 9, et supprimons AE ; la partie restante ECB n'en sera pas moins en équilibre. Or, si l'on mène l'horizontale ËF et. quon prenne le point F, au lieu du point B^ pour second point ùi.e, la partie EC sera encore symétrique à FC.

Ainsi, lorsqu'une chaînette , ûg. 9 , n'a pas ses deux extrémités E, B, placées à la même hauteur, si par l'extrémité la moins «levée £, Ton mène l'horizontale GF, la partie ËCF de la chaînette , en dessous de cette horizontale , sera symétrique par rapport à la perpendiculaire CG , ahaissée

l59 If^CHAI^IQCK. ^

di| |RUi?a G da EF, et le point C sera )e plus bas de tous lef

points de la chaînettç.

Puisque la chaînette EC F est symétrique par rapport à la verticale CG, le centre de gravité de cette qpurbe est sur cette verticale. Menons les deux lignes droites EO, FO, tangentes en E et en F à la chaînette. Prenons, ensuite , une partie OR verticale et représentapt le poids de la ckaSh nette ; les côtés in parallélogramme OrRr', représenteront les tensions éprouvées par la corde , ^n £ et en F.

Demandons-nous quelle est la tension exercée en C , point' le plus bas de la chaînette. Si nous menons CO, OB, fig. lo, tangentes à la chaînette en C et B: i^. le centre de gravité de la chaînette €B sera sur la verticale OG, qui passa par le point O; 9^. si nous oonstruisoqs sur OG, OC 9 OB, prolongés, le parallélogramme OPQS, lorsque OP représeii-: tera le poids de l'arc Cfi, OS représentera la tension éprouvée en C, et OQ la tension éprouvée en B par la chaînette. Mais, dans le parallélogramme OPQS, PQr=OS, et comme OPS est un triangle rectangle , OQ est tcmjours plif longue que OS , c'est-à-dire, que la tension éprouvée par ]% chaînette , en B , est toujours plus forte que la tension éprouvée en Ç.-

Mais, lorsqu'on s'élève, la tangente BOQ fait, avec la verticale, un angle plus aigu ; la longueur de OS reste constante; la longueur de OP s'accroît comme le poids de la chaînette ; ainsi, le côté OQ s'accroît de plus en plus. Par conséquent, la tension de la chaînette est de plus en plus grande pour les points les plus élevés.

Si donc on suppose que la chaînette est partout d'égale force, c'est toujours au point le plus élevé que commencera la rupture ; et si la chaîne peut résister en ce point, ette peut , à plus forte raison , résister dans les parties inteiv médiaires»

SIXI^.MB LEÇON. îSg

Lorsque, dans un triangle rëchmgle* POS , fig. 10, f|à «6té OP, de l'angle droit O, s'allonge, Birautw c6t6 Qg ^c^ifUé constant ,' le griud ebié PS di£fère de mpioK'en tnôinsdèPà. ' •

Stipposotti, maintenant, que la figure représentée par I4 chatnette CB , fig'. ^Ij et ti ^ augmente ou diihinub toutjk coup de gi^«i'^uy^6portiofini|ll^nekit éamatotutes les^^Mv tres"^ je diif^què<ré<|fuilibre ne seta nullement treubl^i..^ ffie hi fctâie dé la chatnette ne dcrvDa: par ocinséquent p^ changer pour cela. ,;

£n effet, dansilà'tféuveile chaîéiéit^^^fi'poia.tqufslcopque m étant semBIableihëttt placé par rappoi^t au poiiiit M de la première, là tangente mo fait avec la ^efticaie, ^Ico le raêoiç aûgléque fd batogèiite MO avecla^ertiCîaleQCOf p'ailleujcff^ U t'ôbguéu'^ des ch;âîhe%tes est préportkinfielle am^^stanc^ B&',>^. Parcoliiié^eilt, on akiTa le itaipfM^ct des poid^ dfjf chaînettéy (H*.: '«ii^,'ëgaji au rapport dçR tensions OQ ijo^r^ é]pi^oliVéé9 pitf'le^ triuiipettes , en M et m.

Ainsi, fes tension» seront' partout acçr^çp.,^ps.U même prOportS^»ttqne Je poids de lia cptde. jCfes iarqes sont pbcî^eè dieins^tiiié position semblable à celle qu'elles pcçupaient djrii's îa'prtîmiètiK pdsitioA ; donp ellea se font pj^reijUinent équilibre , en agissant sm* «ne çt^aîoettc, de même figure. ' PoistoAs d6n<i enïpHneâpe.que, dans lô» «haîjiettes semblables, les tensiods éprouviée^par cbacune d'elles* en des. pbitit«*feÉribteldemfentiplacés , «ont précisément daosle rap- ^d^tdesditiien6ion6anal&)gues, oq, cpi^me of^ dit,, homofegTJfiM , de ces deux'fidurbes. • *. '■ r. . ■■

Bi, ipi* ettttfeéqwënt., je comparais deux chaînettes dé figure semblable , majs l'un» dettx fm plufi petite et deux fois plus 'pesante que l'autre, ou trois fois plus petite et bbls fois plus pesante que l' autre p ou quatre fois plus pefSte et qiMfH-e fois pliu çewnte que l>utre ,, la tension

(]6o HÊCIIANIQUE.

éprouvée par I^s deux chaînettes, en des points semblable^ ihent placés , serait égale de part et d'autre.

Cotnparons, maintenant» les tensions éprouvées par deux chaînettes qai ne sont pas semblables. Pour sipopIiÇer nos recherches, et pour nous occuper d'ailleurs spécialement du cas le plus généralement utile dans les arts, considé; roua des chaînettes- fort r peu courbées .\ ; regardons -- les e'omïue ayant même poids pour la même longueur., et supposons que- les* points fixes soient toujours à la même distance.

' Lorsqu'une* coûtée AGfi, fig. i3, a tr^s^peude courbure, on peut, sans erreur sensible , regarder Je centre de gravité de chaque partie QB de cette courbe, comme étant sur une verticale £F placée à égale distance des extrémités G, et B. Si Ton élève par ce centre G la verticale EGF, jusque sijr Ja droite ÀB , on aùrn DF = FB ; et, sil'/^n aj^aisse , du point B , là verticale BI sur CE prolongé; on. aura CJB =:;;EI. ^

Actuellement, prenons G et Rpoér pdiots fi^es de la. chaînette \ menons les deux tbfigcntee extrêmes CE* EB ; elles seront lès deux c6tés d'un' ^rallélograrai^e CEBF ayant FÉ^pour diagonale. Représentons par FiE le ppid^.^^ l'arc CB ,' Tes côtés EB , EC , représenteront Je» tensionii éprouvées par la corde j en B et en G. ,

'Si la floche CD est extrêmement' petite- par .rapport k la longueur AB ; ' il n'y 'a, pour ainsi dire, aucune dîffé-* rence entre CF et EB, FBetCE. Donc, alors^ la 'tension de

la corde ou de la chaîne formant chaînette, reste à très-peu près la même dans toute son étendue. 'jVfais, pour que la tension fût rigoureusement la même dans tous les points , il faudrait que la flèche CD fût nulle.-

Maintenant ', le poids de la courbe étant regardé comme constant , et représenté par OR , la tension qo« la corde éprouve en B , est représentée par OQ , en

sixii^Mii; Li:coir. i6i

n^^^nant-QR honzontalcinent jusqu'au prolongement QQ de la t:âDgente BE. » . ,

IMais -nous avons les deux triangles semblables BÇI, OC^tl, dans lesquels « *1

BF BE : BI : : OQ : OR, Donc OQ z=: OR X gf'

M étant égal à CD , et BE trcs-peu différent de i. BI> V lorsque BI = CD est ti?ès-petil, çn a^ parapproximAtiotf;'

Si donc la distance des extrémités A, B, est invatiàble» siinsi que le poidâ delà corde représenté par OR, la tension OQ sera en raison inverse de la fl^chc CD ; donc il faudrait que la tension OQ exercée en B ou en A fi\t inimU' n^^nt grande, pour que CD put être inGnimentipetit on '*'t^. Par conséquent, lorsquwie corde est iirte horizof^Ut^, ^f^^ent par ses deux bouts , il faudrait quelle fût tirée par dci£X forces infiniment grandes^ pour qu'elle se ILendit exacte*^ ^^^^nt en ligne droite.

3^ ai cru tuîcessaire de montrer avec détail cette circonstan-

^c ; parce quily a des personnes auxquelles on persuaderait "jîfficilement , par exemple , quen tirant bien fort sur une ffor'de libre ires-lcgèm, pat deux pùinis situes ù 7n meiHêhtiH'' '^*«/', Usera, toujours impossible , de la roidir au point queUa ^^ctficnne tout- à^f ait droite. \

jipplieatioh au gréement des fiavires-. Il est foit-ulile qu'on se familiarisé avec les propriétés ^l^e nous venons d'exposer au sujet de la chaî- "^^tte. On se rendra compte des efforts supportes par des cordes, dans une foule de cas impôr* ^^nts. Je citerai, par exemple, tout le gréement ^^.s- vai&seaux. On nomme ainsi l'ensemble des

T. II. MÉCHAN. '1\

l6a MEGHANIQUE.

cordages employés à soutenir et à moavoir les mâts et les vergues d'un navire.

'Les mâts verticaux, CD, EF, GH,fig. i5, sont tenus, dans leur partie inférieure, par un système particulier de charpente. A leur partie supérieure on passe un nœud coulant fait avec un très-fort cordage, qu'on appelle étai^ parce qu'il sert pour étayer le mât. Il descend dans la direction de la pouppe à la proue , et vient 5e fixer en un point du navire. Dans les mouvements de tangage , quand la pouppe s'élève et que la proue s'abaisse. Tétai résiste afin d'empêcher que le mât ne casse en tombant vers l'arrière. L'étai sert de plus à contrebalancer l'effort considérable des haubans.

Les haubans sont des cordages plies par le milieu^ et liés en cette partie, de manière à former un large œillet dans lequel passe la tête du mât : les deux bouts de chaque cordage forment deux haubans qui viennent se fixer le long da même bord. On place de la sorte , alternativement, pour le même mât, une paire à tribord et la suivante à bas-bord.

Lias haubans tirent à la fois là tête du mât , eh descendant du milieu du navire vers les bords et de l'avant vers l'arrière.

Les étais et les haubans , étant inclinés ^ ne peuvent pas former des lignes droites, quelque tension qu'on leur fasse éprouver; ils forment des chaînettes. Les chaînettes des haubans ont

SIXIÈME LEÇON. l63

1113e courbure peu sensible, parce que ces cor^ dages s'approchent assez de ia direction vertî*cale; niais pour les étais ^ qui s'éloignent da- -^antage de la direction verticale, la courbure de la chaînette est beaucoup plus considérable: La chaînette formée par un étai , par un l^iuban , varie de courbure à chaque impulsion nouvelle du vent ou des vagues.

Quand le vent pousse le navire , de l'arrière ^ l'avant, il diminue la courbure de la chaiiiette formée par les haubans, pour augmenter la Courbure de la chaînette formée par les étais. • Quand le vent souffle d'un côté, il diminue la Courbure des chaînettes formées par les haubans qui sont de ce coté , pour augmenter la courbure des chaînettes formées par les haubans qui sont du côté opposé.

La considération des allongements dont les chaînettes formées par les haubans et par les étais, sont susceptibles, soit d'après la matière qui compose ces cordages , soit d'après la nature des courbes qu'ils forment , est importante, et pour le gréement des vaisseaux , et pour la naviga^ tion.

On pourrait, au lieu d'employer des cordages qui soient partout d'égale grosseur, en employer dont la grosseur diminuât de plus en plus vers le bas : de manière à n'avoir, au point le plus bas> que la force nécessaire pour résister à la tension

'l64 MjBCHAIflQUE.

artificielle qu'on procure , dans cette partie j chaque faàuban.

Cette nouvelle condition rendrait sans doi plus difficile la fabrication des cordages : m elle serait d une économie considérable , et n drait plus léger le gréeraent des vaisseaux.

Il y aurait encore à produire beaucoup d'à très perfectionnements dont l'exposition ne d pas trouver sa place ici. Mais ce que je viens dire suffit pour vous montrer comment on pe à chaque instant, calculer la tension descorda{ et leur direction la plus avantageuse.

Ponts suspendus. Expliquons maintenant structure et l'équilibre de ces ponts.

Supposons qu'on tende une corde entre de points A, B. A partir de différents points, éga ment espacés sur cette corde , fixons d'aut: cordes verticales ou suspensoires ^ mm' ^ rm\i pp'.... Plaçons deux cordes égales , Kmnop,... à côté l'une de l'autre et à la même hauteur; j gnons, par des traverses horizontales, le bas d suspensoires placées vis-à-vis l'une de l'autre. ï fin, sur ces traverses parallèles, fixons un pla cher : ce sera le pont suspendu.

, Pour déterminer les conditions d'équilibre « ce pont, il faut considérer que chaque con Am«o...B porte une partie du pont, de même poi< pour un même intervalle entre les suspeusoire: mais les suspensoires augmentent de poids à ni

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sure qu on approche des extrémités de la corde. Comme le poids des suspensoires est peu dé chose en comparaison du poids total du poiit y on admet que la corde supporte, y compris son poids , des charges égales pour des longueurs horizontales égales ; alors la courbe qu'elle forme ^t une parabole. C'est ce que j'ai démontré lé premier, dans mon traité d'Architecture navale militaire , aux XVIII*" et XIX*. siècles , ouvrage présenté à l'Institut de France en i8i5.

D'après cela, l'on peut trouver sur-le-champ la position du centre de gravité de la corde Am/zB et le point T où ses deux tangentes se rencontrent. Car, dans la parabole ayant IM pour flèche, IM = MT.

Si l'on construit le parallélogaamme TaMh sur les tangentes AT, BT, d'une chaîne de suspension, regarde'e comme une parabole, on aura : le poids de la chaîne est à la tension éprouvée ^n T par cette chaîne , comme MT est à aT. Si ïious menons ab, parallèle à AB, nous avons 3VIT : aT : : 2IT : AT : : 4IM : AT : : SIM : 2AT. Enfin, lorsque la flèche IM est peu considéï^able par rapport à la longueur AI, l'on peut x^egarder 2 AT et AB comme égales. Donc, enfiq, clans ce cas, le poids de la chaîne est à la tension de la chaîne , en A, comme huit fois la flè- Cîhe de la chaîne, est à la distance AB des points ^'appqiA,B.

}66 1I£CHANIQU£; !

Il faut FémaKtuer que cette valeur n'est qu7ap praxîinative* Dès qu'on ne pourra sanB erreur sensible , confondre l'une pour l'autre les ïaH* Clients AT,. AI, on devra reprendre le rapport AT : 4 IM au lieu de AB : 8 IM.

On calculera bien plus aisénkeiit la force dcrf sâspensoirés verticales , en divisant le p^/às à» la platC'^orme du pont , par leur nombre;, il £iudra proportionner leur grosseur au noiiibre de kilograimmes qu'on trouverai pour qùotiest de cette division.

Les gtands potits suspendus, construits poor le passage des rivières considérsables , soûfcexécutés par les ingénieurs des ponts et chaos^ sées où par des entrepreneurs sfpiéciaux. Mais lé» petits ponts économiques , savant au passage d'un ravin , d'un ruisseau , pour porter des pié^ tons , des brouettes , etc., ou servant pour conr^ nniniquer d'un édifice à un autre dans une ma-* iiufacture> intéressent toutes les branche d'in-^ dustrie.

Souvent, pour ces ponts économiques, an lieu de chaînes, on emploie des fils de fer (i) qu'on réunit en faisceaux , et qu'on entoure d'un fil en hélice spirale, comme les cordes métalliques des instruments de musique. Des t^;€9

(i) On pourra supposer pour moindre force du fil de fer, qa*ii porte 4o kilogr. par millimètre quarré de section avant de se rompre, et ne. charger qu*a\ec 3o kilogr. par millimèt.

SIXlèiMC LKÇOIf. 1G7

de fer servent de suspensoires; de petites tra>« verses inférieures portant de simples planchep longitudinales, suffisent pour complétuer le pont. Ces constructions réunissent au plus haut de« gré réeonomie à la solidité , quand on en proportionne la figure et les dimensions, suivant les lois établies , dans cette leçon , «ur T^qui* libre des cordes .

> M. S^uin d'Annonay , qui , le premier en France, a construit despûnts suspendus avec des fils de fer; en à présenté Fexemple le plus avan^ tsgBiOL^ dans sa manufacture où il a fait exf cutev un pont de ce genre ^ ayant prèf* de dix-huit mètres de longueur sur six décimètres de largeur; Ce pK>nt y destiné au passage des piétons , iï-A coûté que cinquante /rancj. M:. Sé^in a publié un ouvrage élémentaire fort-utîle à consulter pae les personnes qui voudront construire de petits ponts suspendus. Pour les travaux plus impoi>? tants du même genre, nous indiquerons : le|^ mémoires du colonel Dufbur, mémoires dont l'analyse fait partie de nos Voyages dans la Grande-Bretagne ; le savant et profond travail de M. Navier, membre de l'Institut; enfin, la troisième partie de nos Voyages , Force commer-ciale , dans laquelle nous avons donné les plans fit la 4escription des grands ponts suspendus exécutés pour l'Angleterre et pour nos colonies. Après avoir considéré des cordes isolées, sou-*