SEPTIÈME LEÇON

férence de Téquatciir ; ce qui est la du jour. Divisons 628 mètres par aurons la quantité dont le haut d< avancé vers Torient, plus vite qn tout, pendant la chute de ce corj vêtons ainsi que le corps pesant non pas exactement au bas de la t< verticale; mais à l'orient de celi

.net.

la distance d'environ 7777^= 36 m

Comme la résistance de l'air rai rablement la chute des corps grav beaucoup plus de cinq secondes corps tombât de 1 00 mètres. Par corps grave tomberait à plus de 3 à lorient du pied de la tour, et l'exp dautant plus concluante.

Quand un corps solide tourne \

^ïitour d'un axe , tous ses points faiî

*co>ps un tour complet, leur vîtess

tonnelle à la circonférence , et pa

^^ rayon des cercles qu'ils parcoui

IVlais, sur deux cercles différent

^Otre au centre même du mouven

S^s uniformément de parties m

4^antité de ces parties est propc

^^yon; donc, pour ces deux cercle

de mouvement, c'est-à-dire, le \

^asise par la vitesse, est propoi

19^ uicnkWiQv^.

rayon multiplié par le rayon : ç'isst-JtHiirer/ ^u quarré du rayon. • \

Il suit de là que , dans les machines où l'on emploie des roues évidées, qui présentent des bandes circulaires d'égale . largeur , ABC, abc^ fîg. 8 , la . quantité de mouvement dont ces bandes sont animées , lorsq'uelles font cbacubc leur tour dans le même temps , est proportionnelle au quarré du rayon de ces roues.

A masses égales , il est donc beaucoup plus pénible de Élire tourner de grandes roues que de petites. Par exemple, lorsque ABC est trois fois aussi grand et trois fois aussi lourd que abc , si l'on veut que ABC fasse un tour complet dans \t même temps que abc , il faut trois fois trois ou neuf fois autant de quantité de mouvement. Maïs, si l'on rendait abc trois fois aussi lourd sans l'agrandir, il suffirait de tripler cette quantité pour conserver la même vitesse. Cette quantité triplée serait encore plus petite que qelle dont ABC est animé, puisque cette force est neuf fois aussi grande.

Par conse'quent , si j'ai pour objet d'accumuler dans une masse donnée de matière une grande quantité de mouvement , j'ai d'autant plus d'avantage , que je distribue cette matière sur une circonférence de plus* grand diamètre. Pour beaucoup de machines, il est d'une extrême importance d'accumuler ainsi la plus

SEPTli:]»* LEÇON. 193

grande quantité possible de mouvement , dans une masse dont le poids ne surcharge pas trop les points d'appui. Par ce moyen, si des irrégularités accidentelles, ou naissant de l'inégalité des mouvements , tendent à produire des accélérations ou des ralentissements fâcheux , ime grande roue animée d'une rotation constante , pouvant acquérir ou perdre une quantité de mouvement assez considérable , sans que sa altesse en soit beaucoup altérée , cette roue , dis-je^ agit comme un conservateur , comme un régulateur, qui jproduit souvent des effets extrêmement utiles : on appelle frôlants ces conservateurs de forces.

Au lieu de leur donner la forme d'une bande continue, ABC, fig. 8 , on concentre souvent sur trois ou quatre points équidistants A^ B, C, fig. 9, ou A, B, C, D, fig. 1 o, toute la matière qu'on de- ^vrait répartir sur la bande ABC. Alors cette matière restant à la même distance moyenne du' centre de rotation , conserve , pour une même "vitesse, la même quantité de mouvement.

!Nous allons démontrer, dans un moment, que le centre de rotation O des volants, doit être aussi leur centre de gravité. Sans cela, la roue serait à chaque instant tirée d'un côté plus que de l'autre; son mouvement ne pourrait avoir ni régularité, ni uniformité. On satisfait de la xnanière la plus avantageuse à la condition que

T. II. MÉCHAN. 75

ig4 MjéCHANIQUfi.

nous indiquons , en prenant le centre d^ yobot pout centre de symétrie des poids dont on vent composer le volant. Telle est la règle suivie dans les fig. 9 et lo.

La théorie qui i/a suivre e$t indispensable aux constructeiin de navire^ aux horlogers ^ aux construeteurs de machines ;' mais y dans beaucoup de villes ^ elle sera peut-être au-dessus de la portée actuelle des ouvriers : alors le professeur 1^ omettra.

On démontrerait pour tout corps solide qui tourne antour d*un axe , comme on Ta fait pour le globe de la terre, p. 1 89 , que la force centrifuge est proportionnelle à la distance de l'axe à chaque point matériel.

Soit lé plan de la fig. 1 2 , perpendiculaire àr cet axe représenté par le point G^ Soient les points matériels éfpsa en masse, m , m',... M, M',.*- lesquels composent le corps ABCD : les distances Gm, Gm', . . . GM, GM'. . . seront proportionnelles aux forces centrifuges, et pourront les représenter.

Supposons que le centre de gravité se trouve sur Taxe G, et menons les perpendiculaires mn, mn\ . . MN, M'N', . . . sW une droite quelconque , XGY, prise pour axe des moments

de poids égaux m^ m\ M , M' U faudra qu'c^i ait

I». «X Gn +m' XG/i'...=:MxGN+M'x GW'...

Q«. m-pK^mn + m' X m'/i'... =M X MN + M' X M'N'...

C'est-à-dire que les forces centrifuges Gm, Gm',... GM, GM'.t. décomposées : 1°. perpendiculairement; a", paral- IMement à la droite XGY, ont une résultante nulle , suivant qtrel^ué direction qu'on le^ décompose parallèlement ai plan delà figiiire. Donc, paraUèlement à ce plan, la résultante dtsjajrces centrifuges ne tire dans aucun sens plus que dans un autre , Vaxe qui passe par le centre de gravité du corps.

Supposons, maintenant, que le centre de rotation^ soit à la distance Gg du centre de gravité G, sur l'ax^ xgY V*-

SKPTiiKE LVCOir.

XGY. Les nouTcUes forces oentrifages

, . . . . décomposées parallèlement à Ggy a

té

+ m'X »w'^+ . . — M X ML — M'

s change pas cette résnHante si l'on en

-f- 'n' X ''i'a' 4* • • * -9 puî^ *^ ^'on j ajoni X MN + M' X M'N' 4- .... Mais remai zrxnfV^mfn', . . aMN— MLsMlf '— M it de l'addition et de la soustraction prop< les noasses m -|- m'. . . -f- M -|- M'. . . mnitip , quand un oarpt tourne autour éCun axe 'S par son centre de gravita G^ la réndta ifiMges augmente proportionnellement à la centre ; elle est la même que si ton suf au centre G , toutes les parties du corps.

(Pet de la force centrifuge tend à déplac ler sans cesse du côté du centre de gr nyénient qu'il faut éviter dans la plnpi le rotation , et snrtoat dans celles où 1 ints. Ainsi , règle générale , il faut que dkun volant soit sur Taxe de rotation, idérons, à présetit, l'effet des forces 3arallèlement à Taxe. Supposons , fig.

: la figure devienne celui de l'axe. R lant cet axe par XGY , en admettant soit le centre de gravité du corps.

»ons le corps par une suite de plans ...perpendiculaires à Taxe. Soient, sur les points m', m\ wf\.,, représentant ] tre de gravité des points matériels co plan. La résultante de toutes les forces présentée par la résultante des forces m i"y<,m'n' .,.. Ensuite , pour détermii

196 MiCHANlQUE.

taote de ces forces , il faudra d'abord trouver la rësi P des- forces, placées d'un côté de l'axe , et la résult des forces placées de l'autre côté de cet axe. SI k forces P, .Qy se trouvaient sur une ijpême perpeodi à Taxe f et que cet axe passât par le centre de gra^ corps, les deux forces se feraient nécessairement éqi Par conséquent , l'axe ne serait sollicité à se monvo aucun sens, par l'effet des forces centrifuges. H comme on l'a . représenté dans la fig. la , les peipi laires Pj?, Qq , i^ienéès sur l'axe XGY, n'appartienn à la. même. ligne droite, l'axe sera sollicité à toori l'effet des forces P et Q, multipliées respectivement distances Gp et Gq. On trouve les moments de P < par rapport au centre de gravité G , en multipliant force m X 'w» par G« , m X ^'nf par Gn'; m" X *» Gn"^ etc. ; puis , en voyant si la somme des moraei forces qui agissent dans un sens , égale la somme d ments des forces qui agissent dans le sens opposé.

On démontre , par des méthodes de calcul que n pouvons p$is présenter ici, que cette égalité. de m< ordinaires , est la condition indispensable pour que ment d'inertie du corps, pris par rapport à l'axe soit un mapcimuni ou un minimum.

Si Ton veut que l'axe des yolants , et généraleih axes employés dans les machines de rotation , n'épr de pression dans aucun sens , par l'effet des forces < fuges, on voit qu'il faut s'arranger de manière c forces P, Q , soient toujours placées sur une mêm< droite, perpendiculaire à Taxe, en même temps fait passer cet axe par le centre de gravité.

La grande utilité qu'ont, pour le jeu des machin axes relativement auxauels cette condition est rei

justifie leur dénomination à* axes principaux

SEPTIÈME LECOIf.

Après avoir déterminé la direction la pli

^'il convienne de donner à l'axe des volan'

quelle vitesse ce» volants peuvent prendre

pioie,ponr les faire mouvoir, une force d

<pie le volume , ainsi que la masse des volant

Peinent déterminés.

Soit pour pins de facilité l'axe de rotatio Uire an jplan de la fig. 1 1 , et représenté par corps tournant autour de cet axe en vertu d< * la distance Clfde l'axe. Nous supposons Fy de la figure.

L'effort, le moment de F/* pour faire toui

représenté par F/'X Q/".

la vitesse angulaire a , prise par le corps , <^ura durant l'unité de temps , sur le cerch C9t aussi pris pour unité. Le point matériel ^a parcourir durant l'unité de temps un arc i *^ quantité de mouvement de m , sera donc et la quantité totale de mouvement des poin ^ïi corps sera-

aX-jwiXOm+TO'X Om' -|- 771" x C ï^our mesurer l'effet que chaque molécul»

^^tte quantité de mouvement , exerce poui

^xè, ramenons tous les points m, m',..

^^o\teJby et d'un même côté de l'axe, san:

^istance'à cet axe. Alors toutes les forces ta

^ïiimeront /w, mfy m'' , forces représentée!

^^tés de mouvement que nous venons de

''Ont parallèles et dirigées dans le même

^Ultante Rr sera donnée d'après le principe

^O multipliant chaque force par sa distance

ï^rXOr= a-{m X 0/wX Om + m'X

IQB lilSCHAiriQIIE.

On, pour écrire plus simplement, BrXOrssr>{ mX Om*-t-»*'xOm'» ^ mf'XOiW/*-*. -.-7

La force Rr sss F restant la même , pins la sorniae m X 0«* '^ fi^ X Omf* -4- .. .. augmente , et plus a aiminue ; an contraire , plus cette somme diminue , et plus la vitesse angulaire a augmente.

Par conséquent , cette somme représente la résistance qu'en yertu de l'inertie, le corps oppose an moùyement de rotation, quand ce corps est sollicité par une forcé donnée. Telle estïa raison qui l'a fait appeler moment ^0Kflie. Donc, un point matériel a pour moment d'inertie sa masse m , multipliée par le quarré de sa distance à l'axe de rotation. Le moment d'inertie d'un corps quelconque égale la Somme des moments d'inertie de chacune des parties infiniment petites qui le composent. Enfin, la m&se angulai>e'j autour d'un axe, prise par le corps ^ en vertu d* une force quelconque^ égale le moment simple de dette force, divise par le moTnent d'inertie du corps. Telle est la ■vîtèJïe que nous nous étions proposé d'évaluer.

Les moments d'inertie jouissent de propriétés générales extrêmement importantes pouy la méclianiqiie. Mais nous n'en pouvons donner qu'une idée , parce que cette matière suppose des connaissances trop relevées - pour nqti;e cours. Considérons seulement deux points matériels m, "^i fig, 12 , dont le centre de gravité soit en G, et faisons Je* tourner autour de l'axe XGY perpendiculaire à i»Gf» ' nous aurons pour somme des moments d'inertie de tn et m'y m X G'w' + Gm' X rn\ Soit, à présent, l'axe^f©^ parallèle à XGY, le moment d'inertie, par rapport à ce nouvel axe, sera m X gfn* -f- ''*' X g^n'*.

La différence de ces deux valeurs est mX^g'*"*"»» X"^' (i'est-à-dire , le quarré de la distance Gg^,- de l'axe au centre degravité, multiplié par la somme, des masses m et m.