SEPTIÈME LEÇON

Cette propriété n'est pas vraie seulement pour deuit points mal^rieby mais pour un nombre quelconque de points formant un corps, dont la figure et la masse peuvent pareillement être quelconques. Ainsi, pour une direction donnée ^GYdel'axe de rotation, le moment d'inertie estle plus petit possible^ quand cet axe passe par le centre G de gravité du corps; et , lorsqu'il ne passe pas par le centre de gravité , ^ moment d'inertie s'accroît d'une quantité égale à la iQasse du corps multipliée par le quarré de la distance de l'axe au centre de gravité du corps. Représentons par MK' le moment d'inertie du corps, dont la masse est M , quand l'axe passe par le centre* de gravité : K représentant alors uoe certaine longueur. Si Von appelle D la distance du œntr^ de gravité à un axe de rotation quelconque , on a , par cQnsé({uent, pour moment d'inertie , par rapporta cet axe, M X (t>* t K.*)j valeur qui sera facile à calculer, dès qu'on connaîtra le moment d'inertie pris par rapport à une ligne droite parallèle à l'axe et menée par le centre de gravité. ^

Tous, les axes parallèles à une direction donnée , et qui seront à la même distance D du centre de gravité , auront évidemment le même moment d'inertie.

On peut comparer entr'eux les moments d'inertie d'un corps, pris par rapport aux divers axes qui passent par le centre de gravité. Parmi tous ces axes , il en est un pour lequel le moment d'inertie est plus petit que pour tous les autres. On pourrait l'appeler taxe de moindre inertie. Perpendiculairement à cet axe, il en existe un second qui passe pareillement par le centre de gravité , et pour lequel le moment d'inertie est le plus grand possible : on pourrait l'appeler Vaxe déplus grande inertie. Enûn , un troisième axe , perpendiculaire aux deux autres ,

aoo . MJfcHAiriQUir.

et qu'on pourrait appeler axe intermédiaire^ jouit de la propriété que , dans un sens , son moment- d'inertie est le plus grand possible , et dans l'autre sens le moindre possible , par rapport aux axes menés : i°. dans le plan de ce troisième axe et de celui de mojindre iaer* tie; 2^. dans le plan de ce troisième axe et de c^ni de plus grande inertie» Les trois axes très-remarquables qu^ nous venons d'indiquer, sont ceux qu'on appelle ies axes principaux des corps , et pour lesquels nous avons fai^ observer, p. 196, que , dans aucun sens , parallèle oup^i^'pendiculaire à Taxe , les forces centrifuges n'agissaient pour changer la position de ces axes.

n résulte de là qu'un corps, mis une fois en monve* ment autour d'un de ses axes principaux de rota,tion, doit continuer éternellement à se mouvoir autour de cet axe ; puisqu'aucune force centrifuge n'agit dans aucun sens pour dévier la position du corps par rapport à cet axe. De là, nous concluons que dans les machines de rotation, dont l'axe doit rester fixe , les parties tournantes doivent avoir pour axe de rotation l'un de leurs axes principaux d'inertie.

Lorsqu'un corps , dont la densité est la même dans tontes ses parties, est terminé par une surface de révelution, ce corps étant symétrique par rapport à l'axe de cette surface , il est facile de voir qu'en faisant tourner le corps autour de cet axe ,' les forces centrifuges ne peuvent agir pour changer la position de l'axe de rotation ; et cet ax« est alors un des axes principaux du corps.

Quand nous expliquerons les machines de rotation t telles que la poulie , le treuil, le cabestan , etc. , nons verrons qu'on a soin de donner aux parties mobiles, la figure d'une surface de révolution ayant pour axe l'axe même de rotation, afin d'éviter tout eflPet désavantageux des forces centrifuges.

SEPTIEME LBÇOTr. "SOt

*>' Tous les corps qui ^possèdent un aie dé'symëtHë' dnt leurs points disposés deuf à deux à égale distancé deTaxé^ sar aiie pert)endiculàire à'cet axe. Si Ton fait tourner le corps autour de son axe de symétrie , ces deux peints ainsi disposés sontanînl^és chacun d'une force trenlrifnge' égale et directement opposée. Ces^ forces se détruisent donc deux^i d^x et ne produisent aucun effet sur l'axe.- Par con*> séqaeniiv toutes les fois qu'on fait tourner un corps an tout de son axelde symétrie , il doit continuer ce mouvèmeilt autour du même axe^ lorsqu'on Tabandonne à lui-même. Tel est Teffçt^du jeu .des toupies et des totons, qo^ tournent autour de leur axe de sjmctrie placé dai^s une position verticale, et qui continuent de se mouvoir avec régularité, apr^'s qu'on leur a ctonné une première impul* sioik ad moyen d'une corde « d'an fouet^ où simplement em faisant tourner la queue du toton entre le ponce et l'intdex , puis abandonnant ce toton à lni*mèmei - *

Nous avons déjà remarqué que les lustres sont syihétHqùe^ par rapport à l'axe vertical qrii passe par leur point de sui^ pension. Ydilâ pourqupi les luëtre^ peuvent tourner libres ment autour de cet axe sans s'incliner d'un coté plutôt que d'un autre : efiFet qu'on peut surtout remarquer dans le^ lustres suspendus à des voûtes fort-élevées.

Dans les machines de rotation , telles que les chevaux de bois, les chevaux et les fauteuils destinés pour les.per;sonnes qui veulent courir à la bague , sont disposés symétriquement autour de l'axe Vertical de rotation. Par conséquent, lorsqu'on imjprime un mouveme|;it succès machines, elles- doivent continuer à se n^ouvoir sans. que leur inertie exerce aucun effort , d'un coté ni de l'autre de l'axë.

Une force Mi* transporte dîretteinent avec là vitesse tr le çtfrps M sdppdïé libre. Si Ton -applique là ïkêmé fbi'ce T. II. — Mkchan. a6

tkOf% M£CHAiriQ1JK.

Mi\ an corps M Bnpposë retenu pftr utk asc> et fâe/mt la

distance de la force à cet «x€, oU.aMW, nombnt dslafoieè

par rapport à l'axe, = oM (D>-j-K>) =:a X^

d inertie da corps , par rapport à l'axe.

. Supposons qae le corps soit telleineiit {daeé «pi^il

sur so» axie y sans le presser dans àncnn selM ; et àaépt it

jpeut comme s'il était libre , et éon centre àé gnvUé

prend nne vitesse égale à cr ^ mais sa vîteaae eat D»; Amit

«» = Da, et M(^ zr: UDal = iM (D* + Id^}) d^o^

OH ttt^peltë c^</v Oè rotation le point qni , Mir !é proloÀgetnent de la pîas conrtc Astandé de l'aie au centré de

gravité, se trouve it — du centredejgDnyité, etaD-ltjT

de l'axe. Quand une force agit en ce point peiPpimiicibricment k cette droite ^ eUe fait tottrner le corps sans p&î^ser Faxe dans aucun sens. Donc , une force égale: et directe meut opposée détruit toute la f(Hrce de rotation pro* duite par la première , sans causer non plus ancvne pression sur l'axe. Telle est la propriété dn centre de rotatîpa:

Soit -^ tszd, nous aurons D == •y et l=za^ -^j ce q»' nous montre que nous pouvons transporter paratlèlaiuM Taxe , au centre de rotation , et qu'aJors le centre de roio^ tien se transpotte à F autre bout de l^ sur t ancien axe» Cette Réciprocité est importante.

Pendule

Suspendons , avec un fil trèà-mincc ti triHr léger, un cdtps ofirant une grande masse sons un petit volume , par exemple , une balle de ier, de plomb ou de platine. Retenons par un point fixe l'autre bout du fiL Dans Tétat de repot^ U

SSPTiiMB LXÇOir. 9o3

balle prend une position telle, que le itl rfévîepi

Vertical , et que son centre de gravité se trouve

dans la direction verticale du fil : tel est le fila

plomb. Voy^z^ IV*. leçon , p. loa et fig. ^8 bh\

On fait ^ du fil à plomb mis en moùveoieatf

un usage non moins important que celui dil- fi|

à plomb tenu en repos. LoFsqu^on éoarte un fi|

à plomb^ de la verticale, ce fil étant fixe ep C et

tendu , voici ce qu <>n remarque , aussitôt ^lUV»!

Tabandonne à lui-même : en faisant abstracttoi|

de toute espèce de résistances.* ^

Le plomb A , fig. 1 3 , t;omménee à descendre

avec une vkesse insensible. Cette vitesse s^acçroit

de plus en plus, lorsque le plomb, passant

par les points A^ A'', k!"*.^ s approche d^ la yer^

ticale CO ; arrivé là, il continue sa marché efe se*

lève en d'^ d\ ci^ jusqu'en a^ précisément à la

même hauteur que le point A. Aussitôt après

avoir atteint cette limite, il redescend en ^/a^V^..»

Comme il était descendu de A ; puis, remonte en

A'^^A'^A'A, comme il était monté en ai"al'ti<i ,; . ;

l^tis s'arrête en A, pour redescendre comme là

t^remièrp fois ; et ainsi de suite y jusqu a l'infini.

Xid mécbanique peut dëmontner les lois de eo lE^iaouvemenC alternatif, quonâppeUe«frii/^/o«. On lionne le nom de penduiesLU fil k plomb, toiis-» ^u'oa l'emploie à iaire des «oscillations , au liehi remployer à marquer la vertical^ A chaque instant de ia deaceaté du pcttdule ,

Û04 BIJâCHA.NlQ,US.

à partir de A jusqu'en O, rattraotion: de -U terre donoe une nouvelle impulsion à ce pendule pour 1^: rapprocher du centrQ^dela terre; cette attrac* ^ tioti se combine avec la force tangentielle acqviisje^ et produit une accélération qui n'aurait point de limites, sans l'action du fit AC qui produit l'effet d'une force centpaleir

Représentons par A^, fig. 1 4 ? l'action de la pe^ oantpur, et par AX, la force tangentielle acquise par le fil à plomb , lorsqu'il arrive en A; soit A/?, la force centrale :

~ »°. Nous avons Ap «=5 -j^.

:k*. Les deux forces Ag^ et kp se combinent avec la force tangentielle A. Kn projetant en kg' \ sur la tangente du cercle au point puis ,' en ajoutant cette projection A^ k AX si \e peiidule descend ; mais, au contraire, en retranr chant la même projection si le pendule remonte, on a la force tangentielle, au bout du temps que le pendule met à parcourir un arc égal a AX.

C'est pourquoi y quand le pendule. rémonte, à chaque même intervalle de temps, on re^ tranche successivement les mêmes quantités qu'on avait ajoutées à la force centrifuge. Donc cette force est égale dans la descente et dans la montée, pour les points également éloignés de ce point le plus bas; par consé* quent, lorsqu'elle est nulle d'un côté, elle ïtsi de L'autre , à la même hauteur.

. S]tPTI^.ME LEÇON. SoS

Ainsi la tLcprie démontre ce que Texpërience avait indiqué^ savoir : l'égalité et la symétrie de ^-montée et de la descente du pendulei f

Une autre propriété fort -belle du pendule^ c'est que la durëe totale de deux petUes oscillations reste à très-peu près la même, quoique iarc parcouru dans une de ces oscillations, soit double, triple, quadruple, etc. , de l'arc par^ co tiru dans lautre oscillation : en un mot, quel ^^.^e soit le rapport des arcs parcourus.

Tour démontrer cette propriété , concevons d^Tix pendules égaux CA,r^J5, fig. i5 et i6, diffère wiment éloignés de la verticale; au commencement de loscillation. Soit , pour les deux ires, l'effet de la pesanteur représenté p«r == ag qui agit seule au premier instant, Pror jetions AG en AG' sur l'arc AV, et ag tn ag' sur r«^Tc ai^; nous aurons AG' et ag' pour forces tan* geiilielles.

Menons deux horizontales AY et i7/, jusqu'aux verticales CV, cv. Le triangle AGG' étant supposé infiniment petit, l'arc AG' peut être pris pour une ligne droite perpendiculaire à GG'», ®*i3si qu'à CA; alors les deux triangles rectan- &'^s ACY, AGG', sont semblables , comme ayant *®urs côtés correspondants perpendiculaires.^ •

On démontrera de même, fig. 16, que les ^^Ux triangles rectangles ^zc;^ , ûgg^, sont sembla» *^*^s. Oq a donc les proportions

ao6 XiCHAH IQlfK.