MN , MN ;^^ — MN

aleurs simples et faciles à calculer.

Les deux forces P' et R', passant par un

oint M , et les forces P'' et R'', passant

lême point N, il est aisé d'avoir leur rési]

est la pression totale exercée sur les

[, N, par la puissance et par la résistant

Dans le cas le plus simple et le plus co:

puissance P est parallèle à la résist

lors P' et R', F' et R'', sont aussi pa:

Si résultante de P' et de R' est P' + R'; 1

nte deP" et de R^' est F' -|- R''. C'est U

s appuis éprouvent la plus grande f

276 MÉGHAIflQTJE.

possible, pour une valeur donnée de la sance et de la résistance.

Quand la puissance et la résistance ne s pas parallèles , P' et R', P'' et R'' ne seron non plus parallèles; on aura la résultante de P' et R', et la résultante NX'' de P" et R moyen du parallélogramme des forces repi tées par les côtés MP', MR' ; NP", NR''.

La puissance étant toujours appliquée di plan de la roue ^ la pression qu'elle fait é{ ver aux appuis ne change pas. Mais qua résistance est; exercée au bout d'une cord 8*enroule ou se déroule par degrés, en foi une spirale sur le cylindre du treuil , k stance est portée tantôt vers un appui , 1 vers l'autre : ce qui augmente la pression 1 premier appui , pour diminuer la pression cée sur le second, d'après les rapports que avons indique's. Ainsi, quand la résistant très-voisine d'un des appuis , elle exerce si appui une pression presque égale à sa for< taie , tandis que la pression exercée sur 1 appui devient presque nulle. Les deux prei deviennent égales, quand la résistance set: à égale distance des deux appuis ; etc.

Il faut évidemment construire le treuil une solidité' suffisante pour que ses appui sistent à la plus grande pression possible.

Pour le treuil, comme pour les machine^

DIXIÈME LEÇQJH.

nom avons précédemment examiné l'efl £Û8ons d'abord abstraction du poids d chine.

' Nous avons pareillement fait abstra diamètre de la corde , que nous avons inÊDiment petit. Lorsqu'il n'est pas tel par la pensée , considérer la puissano résistance R comme appliquées suivant tion de l'axe de la corde ; et , par con< ajouter au diamètre du cylindre et mètre de la roue , le rayon de la corc emploie.

En effet , lorsque la puissance?, fig. 2 une corde ABP d'une grosseur détermin die tire également toutes les parties , ce étant ronde , la résultante de tous le exercés dans chaque partie , sur chaq la corde, doit passer par le centre de On peut donc substituer à la force P, d sée pour agir sur tous les fils de la c wéme force accumulée sur l'axe < ^rde. Alors le moment de cette for (CA ^ Au:) X P, c'est-à-dire , le 1 ^roue plus le rayon de la corde, mult ^ puissance.

Si je considère , à présent , l'effe ^^de IR tirée d'un bout par une résis ^t de l'autre bout enroulée sur le cylint ^erra , par les mêmes raisons , que Te

378 MÉCHAlriQtJfi. '

force R, sur ce cylindre ^ est représ<»tité pif U moment (CI 4- K) XR, c'est-à-dire, le rtyoïi du cylindre plus celui de la corde, multiplié par la résistance agissant sur cette corde.

Enfin, dans le cas de l'équilibre d'un treià ayant GA pour rayon de la roue , CI pour rayoH du cylindre, Aa pour rayon de la corde tiïée par la puissance P qui agit sur la roue, li pont rayon de la corde tirée par la puissance R qui agit sur le cylindre, la condition de l'équilib* sera : Le produit de la puissance par la somme des rajons de la roue et de la corde tirée par cette puissance , doit égaler le produit de la rési^ ^ stance , par la somme des rayons du cyUndrt ^ de la corde qui tire cette résistance.

Lorsqu'il s'agit de faire parcourir de grand* espaces à la puissance ou à la résistance, il d^ suffit pas de former sur la roue un seul rang de tours de cordes ; il y en a souvent deux et trois rangées. On conçoit qu'à chaque rangée nouvelle, la puissance est successivement écartée de l'axé d'une distance égale, pour chaque tour, au diamètre de la corde : ce qui augmente d'autant la distance du centre à la direction de la force. Il faut avoir soin d'effectuer un tel correctif j lorsqu'on évalue d'une manière rigoureuse le rapport de la résistance à la puissance, dans le calcul de l'équilibre du treuil simple ou d'uo système quelconque de treuils.

DIXIÀHE LEÇON.

r'Lb grosseur des cordes ne change:

à la position du centre de la roue, puissance , et du point de l'axe où 1' concevoir la résultante projetée , pour les appuis , la pression exercée sur le n'est en rien changée par la grosse cordes.

' Mais, lorsque le treuil doit être mis<

cernent, la (grosseur des cordes ajoute

^oce particulière à toutes les autres i

<** relie est^ comme on l'a vu, p. 261, e

wecte des simples tensions et du quarn

®^tre des cordes , et en raison inverse

W^tre où du rayon tant du cylindre q

■■^^t^e du treuil. On voit par là combien il i

^ïis l'usage du treuil , qu'on puisse f

^^ cordages dont la force soit la plus

possible, pour un diamètre donné.

' Observons un effet très-remarquat

Puissance et de la résistance sur T arbre <

^te* l'action de I^ puissance P, le cylin<

tîomme on dit , Y arbre du treuil est s

"tonrner en O, fig. r, dans le sens pp'

fmissance. Par Faction de la résistance

brc est sollicité à tourner en I , dans 1

de cette résistance, opposé au sens de

aaoce. Si Tarière n'est pas com|K)sé d'un

inaltérable, il cède plus ou moins à

effets contraires; il se tord y et la tor

â8o MEGBAiriQnE.

éprouve est proportionnelle aux moments de la

puissance et de la résistance. ' ^

Dans la leçon spécialement consacrée à la mf , nous offrirons de plus grands détails sur l'effet de la force de torsion et sur la figure spirale quelle tend à faire prendre aux fibres rectilignes ' des arbres employés dans les machines : c'est une considération de la plus haute importance pour la solidité et la durée des constructions.

Effets de la pesanteur sur le treuiL Tout cô que nous avons dit des effets de la pesanteot* sur les poulies, s'applique aisément aux meniez effets , sur le treuil et les roues dentées. ■

Il faut compter d'abord , parmi lès forœs perdues , celles qui sont employées à vaincre l'inertie du cylindre et de la roue. ■.

. Il faut, ensuite, ajouter aux pressions supportées par chaque axe et par chaque point d'appui , la pression verticale exercée par k poids de la roue du cylindre et des cordes.

Quant à la corde qui s'enroule d'un bout sur le cylindre du treuil ou du cabestan, et qui de l'autre est attachée à la résistance , lorsqu'elle s'enroule sur le cylindre, son poids cesse, par de* grés , de faire partie de la résistance proprement dite , et fait partie de la résistance qu'oppose le cylindre : ce qui , dans beaucoup dé cas , tend à diminuer la valeur totale de la résistance.

Afin de maintenir cette valeur totale toujours

DIXIÈME LEÇOSr. ^83

cylindre dun grand diamètre , sur la circon«fer^tice duquel de petites marches saillantes ^ofïî :douées à égale distance , et de manière à ce cfu'tm homme 9 dont les mains sont appli* cjiiées sur une barre horizontale , pmsse aisé^^ meotvpar des pas successif, monter sur ces cltTerse» marches , sans avoir besoin de iormér d'enjambées trop grandes. On place les hommes <ju les femmeis « déstiaiés k faire mouvoir le Kafm- Jboup.^. à coté les uns des autres, et se tenant ^ous à là même; barre horizontale , avec leuti mains; tandis que leurs pieds, mus en cadehce^, se j[)osent alternativement sur les marchés paires ^t sur tes marches impaires /pour faire tournât* le ejiindpe: Cle moyen de trai^il, imaginé po«r exei'eer la force des prisonniers >, est regardé comme: uil. châtiment très-efficace. On conçoit €jue la foriae des hommes, ainsi, mis^e en^ actiofa^ -peut être employée à produire, toute espèce dîet lèts utiles. Si la résistance e^t appliquée sur: la eirconférence dé l'arbre du tambout, .la ré^ stance est à la puissance, comme la distance* de Taate du tambour à la verticale meftée par le centre de gravité des travailleurs , est au rayon de Tadbre du tambour.

Le- mrei^au est une machine , représentée , fig». 4,. qui. se compose d'un arbre horizontal , comme. celui du treuil, et de barres ou levieîrs quon;6nfbnce d'un bout dans des mortaises pra*»

:i84 ■ MSCHANIQVE. ^

tiquées vers les deux extrémités et sur le oontoiJLT <le Tarbre; tandis que des hommes font efifovrt avec leurs mains. à lautre bout de ces barrées. Ici, la puis;^nce est à là résistance, comme le rayon de> l'arbre plus le rayon de la corde à Laquelle est attachée la résistance , est à ladistaiftco de Taxe au point où sont appliquées les mains des manouvriers.

i On fait usage du virevau à bord des navires; on s'en sert aussi sur des voitures de. charge, étroites et longues , appelées camions. Dans ces voitures ,, l'arbre du virevau se trouve placé en * avant des roues. Deux cordes enroulées sur Tarbre et retenues d'un bout à l'extrémité postérieure de la voiture , sont posées par-dessm les marchandises. Lorsqu'on fait effort avec les bar-* res de ce virevau, pour enrouler.de plus ea plus les cordes , on les contraint d'embrasser un moindre espace, et de serrer les marchant dises de manière à ce qu'elles ne puissent s'é*chapper et tomber par l'effet des secousses du roulage.

• IjC treuil et le virevau sont fréquemment eni* fAoyés dans beaucoup d'usages de l'industriel En Angleterre , les grands magasins du com-^ merce présentent sur leur façade des files verti* cales de portes-fenêtres ; au-dessus du sommier de la fenêtre la plus élevée , se trouve une pou* lie absolument fixe, ou du moins fixée au bout

DIXIÈME LBÇON. !l85

c3\ine potence qu'on peut à volonté rebdre saillante^ ou rabattre contre le miir. Quand on veut monter ou descendre des marchandises, on les attache au bout d'une corde qui passe sur la poulie fixe et vient dans le magasin s'enroulet* sur Farbre d'un treuil. Ce treuil même est mis en mouvement tantôt par des manivelles , tantôt par des roues, etc. Il serait important que Le commerce de France fît un plus fréquent usage des machines simples , et surtout du treuil.

La gru€y fig. 6, est une application du treuil , par laquelle on remplit un double objet : celuide monter ou de descendre un fardeau, et celui de poser ce fardeau dans un endroit qui n'est pas sur îa verticale correspondante à sa position primi» tive. On construit une' potence qui tourne sur an arbre vertical. Le bout supérieur de cette jJôtence porte le rouet d'une poulie fixe; le;botit inférieur porte l'arbre d'un treuil où virevau, qu'on met en mouvement par l'un des moyens que nous avons précédemment décrits , c'est-à- 4ire , avec des barres , ou des tambours , etc.

S'agit-il , par exemple , de décharger des navires j et de mettre à quai les marchandises qui composent leur cargaison? Des grues sont éta-. bUes sur le bord des quais, près desquels accostent les navires; on fait tourner la potence dé la grue jusqu'au point où le rouet fixé au bras su-

a88 héchaniquë.

bout à saisir le ËEU'deau ; l'autre bout Vient s'en, rouler sur larbre du treuil que l'on met ^n mouvement par le moyen de barres ou levier*»; La chèvre est surtout employée fréquemment dans les manœuvres de force de l'artillerie. On peut en voir le dessin dans la fig. 7, Gèoms* TRIE , IV'. leçon.

Le cabestan, fig. 8, est un treuil dont l'axe est vertical. La barre ou les barres qu'on emploie pour le mettre en mouvement, sont horizontales.

L'équilibre subsiste, dans la chèvre, le virevau et le cabestan , lorsque la puissance multipliée par la longueur du bras de levier, aii bout duquel elle est appliquée , égale la résistance multipliée par le rayon du cylindre, plus le rayon de lî* corde à laquelle cette résistance est attachée»

S'il y a plusieurs barres et plusieurs puissances appliquées à chaque barre , il faut multiplier chaque puissance par la longueur de son bras de levier, et prendre la somme de tous ces produits. Cette somme doit être égale au moment de la résistance.

L'effet de la pesanteur de la machine sur les points d'appui n'est pas le même dans le treuil et dans le cabestan. Dans le cabestan, l'arbre, qui porte le nom de cloche^ est vertical; la puissance et la résistance sont dirigées horizontalement : leur effet sur les points d'appui

DIXIÈME LEÇON. 28g

st de produire une pression horizontale. La lesanteuE de larbre et des barres du cabestan iroduit une pression verticale, non plus sur le lontour circulaire destiné à recevoir les tourilons de l'arbre , mais sur une base placée au-des«îoiis de l'arbre et dans la direction de l'axe. Hette base , qui est ordinairement creuse comme me calotte de sphère , porte le nom de saucier.

Dans le cabestan, comme on voit^l^ pression horizontale, supportée par les deux appuis, ne peut provenir que des effets de la puissance et 3e la résistance ; le poids de la machine n'y sntre pom: rien.

On emploie souvent le cabestan dans les tra- W2MX civils , pour traîner horizontalement des Fardeaux. On fait glisser ces fardeaux sur des rouleaux cylindriques en bois ou en fer, quelquefois sur des roulettes, ou même sur des Bphères qui courent dans des rainures creuses. On a pratiqué ce dernier moyen pour transporter l'énorme -bloc de granit sur lequel est érigée la statue de Pierre premier, à Saint-Pe'terslourg.

Les arts militaires , et particulièrement l'artillerie, se servent aussi du cabestan pour exécu- 'ter des manœuvres de force, dans les arsenaux , sinsi qu'en campagne, et dans les sièges.

C'est surtout à bord des vaisseaux qu'on en fait un usage important pour les manœuvres.

T. II. — MÉcnAN. 5^

agO MÉGHANIQUE.

Le grand cabestan des vaisseaux, fig. 7, présenté un arbre yertical qui traverse deux ponts, et qui repose sur un saucier établi dans le fiaiux poftt Cet arbre est garni, dans un des entre-ponts, dune cloche dont la forme, au lieu d'être cjlin* drique, est conique. Sur le contour de cette cloche , on fait faire un certain nombre de tours au cordage qui sert à tirer la résistance. U 6lt nécessaire d'expliquer id re£fet de cette fcmne conique.

Nous avons dit que les lignes spirales traoéei sur U surface d*un ^lindre sont les lignes les pltis courtes qu'on puisse tracer, dW point à un autre, sur de telles surfaces. Par consé quent^ des forces appliquées aux deux extrér mités d'une corde pliée en hélice autour d'un cylindre, suivant la direction de cette hélice, tendront nécessairement la corde suivant la di" rection même de cette hélice. Dans cette position, les deux forces devant agir tangentiellement à l'hélice , sont obliques par rapport aux arêtes du cylindre , ou par rapport à Taxe. Mais , dans la définition du treuil et du cabestan, telle que nous l'avons donnée , la direction de la puissance et de la résistance est perpendiculaire i la direction des arêtes et de Taxe de l'arbre. Par conséquent, la résistance, appliquée au bout libre d'une corde pliée en spirale sur l'arbre du treuil ou du cabestan^ n'agit point suivant Is

DIXIÈME LBÇON. ^l

direction même de la spirale. Donc> Teffet de cette fiH*ce est de déranger la corde pour lui £aûre quitter la direction de spirale qu'elle suit. L'effet de la résultante est de presser fortement la partie du cordage , déjà pliée en spirale sur le conl^our de Tarbre, de manière que si cette partie de cordage éjjait compressible, Thélice 8€ resserrât de plus en plus, jusquà ce que la tangente à cette hélice fut dans la direction de la résultante qui serait elle-même dérangée.

Dans la manoeuvre du cabestan , comme il s'agit, au moyen de cette machine, de £siire par-» courir un très-grand espace à la résistance, un espace égal , par exemple , à la longueur d'un câble de plusieurs centaines de mètres, on conçoit que, si le câble s'enroulait immédiatement sur la cloche du cabestan , il faudrait qu'il fît un nombre de tours considérable sur hii-même; ce qui augmenterait beaucoup le diamètre de la cloche , et diminuerait d'autant l'effîcacité de la puissance.

On remédie à cet inconvénient au moyen d'une corde sans fin qu'on appelle tourn^j-i/ire. Cette corde présente, d'espace en espacée, des nœuds ou pommes qui servent de points d'arrêt pour attacher le câble qu'on veut tireir> à la corde du tourne-vire. Cette corde fait cinq ou six tours en spirale sur la cloche du cabestan. A mesure qu'on vire au cabestaa^ le

293 MÊCHAifIQUE.

vire s'enroule sur la cloche par sa partie infé<« rieure et se déroule par sa partie supérieure. Si la cloche était cylindrique , ce mouvement se continuant de la sorte , la corde du tourne-vire arriverait bientôt au bas de la cloche, et alors il s'engagerait entre la cloche et la sur£aice du pont du navire, ou serait obligé de s'enrouler en sens contraire pour former un second rang de cordage appliqué sur le premier. - Mais rappelons-nous que la cloche du cabestan est de forme conique, 'évasée par le bas. Or, ainsi que nous le verrons en traitant du plaît incliné, Is décomposition des forces produit cet effet que, pins la tension de la corde du tourne-vire, par l'action de la résistance, est considérable, plus est grande la pression de cette corde pour soulever la partie du tournevire , déjà pKée en hélice. Cette pression devient suffisante pour que, de temps à autre, la totalité des tours de spirale soit soulevée et repoussée vers 1« haut.

Ce dernier effet est produit aussi, parce que la cloche du cabestan, au lieu d'être strictement un cône, ce qui ne donnerait pas plus de faci- . hté, dans un moment que dans l'autre, pour ce relèvement de la corde, est une surface de révolution , concave dans sa partie intermédiaire comme la surface d'une cloche, d'où la cloche du cabestan a tiré sa dénomination. A mesure

DIXIÈME LCÇON. 29?

que la corde s'enroule sur cette cloche et des- L^end plus bas, elle se trouve sur une portion ironique plus évasée; et, comme nous lever- E»>ns, en traitant des plans incline's, cette obliijuité donne d'autant plus d'énergie à la tension de la corde, pour soulever tous les toiA*s de spirale formés sur la cloche et les transporter vers la partie supérieure du cabestan. Par cette disposition inge'nieuse, on évite l'inconvénient que nous avons signalé.

Enfin ^ dans le cas où, malgré la forme de la cloche , la corde du tourne-vire s'enroulerait en descendant jusqu'au bas de cette clQche, elle xencontrerait des roulettes saillantes , r, r, dont l'essieu se trouve établi sur la circonférence même de la base des cloches; ces roulettes portent un plan incliné 1,1, qui pousse le tournevire, et l'oblige à remonter.

Snpposons , maintenant , qu'on ait une suite de treuils ou de cabestans, ABC, A'B'C, A''B"C^ etc., fig.9 et I ï, tellement disposés que Pétant la puissance qui agit sur la corde du premier treuil, la corde BA' s'enroule d'un bout sur le cylindre du premier treuil^ de Tautre sur la roue du second; que, de même, la corde B'A'' s'enroule sur le cylindre du deuxième treuil et sur la roue du troisième, et ainsi de suite ; enfin, soient R, R', R'',.... les tensions éprouvées par ces divers cordons. R, R', R'',.... devront être consî-

^94 MÊCHAIflQUE.

dérés successivement comme puissances do deuxième, du trqisième, du quatrième... treiûL On aura donc les propartions suivantes , qui exprimeront Tétat d'équilibre ,

P:R : : CB : CA; g-i= ~ RiR'rrCB; C'A'; ^ = §5^.

R';R^:a'B":Cr'A"î £>=S^

En multipliant ensemble tous les premieri membres de ces égalités d'une part , et tous les seconds membres de l'autre , on aura donc;

• II. Sx •••• VilS>vi XI «Vi D ••••

A* Il ■ xi ••■• vâAaCt A »Vj> a ••••

EfiEEiçant les termes qui se détruisent,

p CB. CB'. CB"....

on aura = _____

Ainsi , dans un système de treuils ou de ca^ bestansy la puissance est à la résistance , comme le produit des rayons de toUs les arbres , est au produit des rayons de toutes les roues.

Si Ton veut faire entrer, dans cette évaluation, le diamètre des cordes, il faudra dire que l'équilibre existe lorsque le produit de la puissance par les rayons de toutes les roues, augmentés chacun du rayon de la corde enroulée sur la roue correspondante, est égal au produit de la résistance par les rayons de tous les cylindres, augmentés chacun du rayon de la corde enroulée sur le cylindre correspondant.

DIXIÂMB LEÇON.

On emploie souvent le système suivant ransmettre un mouvement de rotation te donné à un axe parallèle. On fixe sur cl ce, C, c, fig« iO| un rouet CA, ca. On les »ppe d'une corde sans fin Aâf^B, qui ait de Têts très-rapprochés pour s'accrocher rvilés pre'parées sur le contour des rou< unpécher de glisser. Appelant P la puis li met en mouvement la grande roue ( lit au bout -du bras de levier CD , alors ( sera le moment de la puissaàice. Si noi "ésentons par T la tension des cordons , i "a qu'on ait, pour la roue CAB,

CD

P X CD =T X CA. DoncT=P. ^a

Représentant ensuite pair R la résistant [it au bout dkm bras cd^ nous aurons i utement pour condition d'équilibre ,

R X cû? = TXea; doncT = R. '

Mais la tension de T exercée par la ince est la même que la tensiop T exero

CD

résistance. Par conséquent P. ^^ = R.

Si Ton supposait CD = crf, on aurait d< Cfl=i:R. CA; condition d'équilibre ext

en t simple.

Dans le cas du mouvement , supposon bras CD , où est appliquée la puissai

:296 MËGHAlflQUE.

mette un temps t à faire un tour, voyons cornbien le bras cd^ où est appliquée la résistance R fera de tours durant ce temps.

Pendant un tour de CD , le rouet AB fait un tour complet ; et chaque point A , sur la corde sans fin , s'avance d une longueur égale à la circonférence de cette roue. Mais chaque point de la petite roue se meut aussi vite que la corde sans fin; puisque la corde est supposée ne jamais glisser le long des roues. Donc le point a, pendant le temps t, parcourt, sur la roue abe , une longueur égale à la circonférence ABE. De plus , la longueur des circonférences étant proportionnelle à la longueur des. rayons, la petite circonférence abe sera contenue dans la grande, autant de fois que le petit rayon Test dans le grand. Par conséquent, le point a, pour parcourir sur la petite roue un espace égal à la circonférence de la grande roue , devra faire autant de tours que ca est contenu de fois dans CA.

Si l'on multiplie ce nombre par le moment de la résistance = R X cd, on sl

R X cd. — X circonférence EAB.

ca

Quantité précisément égale à P x CD x cir. EAB; puisque P X ^ =z=R x ^

CiA ca

donne P xCD = R x 1^. c^

ca

Et par conséquent PXCD X cîrc.EAB=RXcrf£^ X cire.

ca

Id vous retrouvez encore l'égalité q lujours subsister entre les quantité^ de ement de la puissance et de la résistance ! mouvement continu des machines.

La machine que je viens de décrire e uemment employée dans Tart du toui Ueest encore employée par le gagne-peti' epasser les couteaux , et par la fileuse , p tMiet avec lequel elle forme son fil.

Dans le rouet de la fileuse , la puissanc 9 pied qui agit au bout d'une manivelle, doyen d'une pédale sur laquelle elle pè i^b à chaque révolution du tour.

Dans les ateliers où de grands efforts d tre produits, on emploie souvent de mières , au lieu de la corde sans tin qui 3tir des deux roues. D autres fois , au ] ordes, on emploie des chaînes.

On fait quelquefois usage de chaîne '^s. Les maillons de ces chaînes sont )r des axes ou boulons saillants de < autre. Ces boulons s'engagent dans des ^atiquées sur les deux rebords du rou< ^r conséquent , ne peut plus se mouvoi ^ndamment de la chaîne.

On peut, au moyen des roues dentées,

T. II. — MicHÂH.

supprimer tout-à-fait ces cordes, ce^ jajQiièiies et ces chaînçs; et transmettre, saus intermédiaiie , le mouvement d'une roue à l'autre; en effet, comp^PQS 1^ deuxToues AB£^ o^, quaûd elles spntjnjj^s en mouvement par la corde AabB ^ ^g* 1 9> PU quand, elles ont^des dents qui s'eagre^ nent immédiatement, fig. 12. r :.• ...-. # :. Dafqa l'un et l'auU^ ca», les points d^ ASE, {é^ i^TmoiiYTOnt avee la même vitesse; mais ABf)vfis> 1 ^y tournera de gauche à droite^ quand ^e tQAir^era de xlrodte à gauche ; tandis que les roues isolées, fig. 1 o, tournent dans le même seos^ ' ' Les vitesses des points A et a , fig. 10, étant les fit^éipeç^ A fera sur ABE un tour complet , quand ^ fera syir ahe autant de toure que le rayoujU! contient de fois le rayon ac. La vît^sde angttl^re.de.^e^ sera donc à celle de A£B, oomme }.e rayon CA est au rayon ca. -

Si la corde sans fin , au lieu de suivre la direo tion AabB.^ fig. i o , suivait la direction AèaB^ les rapports des forces ne cesseraient pas d'être les ii^émes entre la puissance et la résistance qu elle eqntre-ba lance lorsqu'il y a équilibre. Il y aurait aeulement cette différence dans l'état de mouvement : suivant le premier mode, les deux roues . ABË , a^e ^ tournent dans le même sens; tsuxdis.que suivant le second , elles tournent en sens contraires.

Nous pouvons, avec cette combinaison, pro*

DIXIÈME LEÇON. Qf^J)

liire un système composé parfaitement analoue au système de treuils, fig. i3. En fixant, sur $ même axe, de grandes roues dentées et de etites roues qu'on appelle joignons CA etca, fAf et cV, C'A" et ^V,.- , on troùVèifa, pour galité des moments de la puissance P, et de là ésistance, R, en appelant R', R", les efforts, apportés aux divers points d'engrenage,

P. CA = R'. ca W. C'A' = R". cV.

R".C"A"=R'^ cV

'. R'.R".... CA. C A'. G" A"... «rj\'. R". R'".... ca, c'a'. c"a

1^1 ji ^11

D'où effaçant les multiplicateurs qui se détruisent , P. CA. C'A'. C'A" = R. ca. da\c"a"

Donc la puissance est à la résistance comme e produit des rayons de toutes les petites roues^ tst au produit des rayons de toutes les grandes 'X)ues. '

Si l'on appliquait au point d'engretiage de deux roues , fig. 1 4 , une force M dirigée dafts le sens du mouvement de CAE, et une force N dirigée ians le sens de la résistance éprouvée par la sei^onde roue cae^ alors, pour qu'il y eût équilibre^ il faudrait évidemment que ces deux forces fussent égales.

Soit donc la puissance P agissant sur , AE , au bout du bras de levier CD, et R agissant sur ûe^ au bout du bras de levier câ?^ on auraw

3oa MBCHANIQUE»

PxCD = M XCO R X crf =5 M X cO

Donc px^ = Rx5

Diaprés cela, nous voyons : i^. que CD et ci étant donnés y plus cO est petit ,

plus est grand.... 5;=^X^-

79. que CD et c^ restant les mêmes, P etR sont en raison inverse du rapport des rayons CA et ca des roues dentées. Ainsi , quand la première est double, triple, quadruple delà seconde , la résistance R , contre-balancée par la puissance P, est pareillement double, tripk, quadruple de cette puissance P.

Une machine qu'on peut rapporter à la roue dentée : c'est la roue des çoîtttres. '

. Tous les corps de la nature sont terminés, non point par des surfaces parfaitement unies , mais par des surfaces parsemées d'aspérités plus ou moins nombreuses et plus ou moins saillantes. Les corps mêmes qui nous paraissent d'un poli parfait , regardés avec un microscope , nous semblent hérissés de pointes. Cest l'effet de ces pointes qui détermine le mouvement des roues d'une voiture.

En effet , si la roue était d'un poli mathématique, ainsi que le terrain horizontal, une force horizontale tirant la roue, celle-cî

DIXIÈME, LEÇQN. 5qI

loucherait toujours le terraÎD , sans en éprouver aucune résistance. Mais, la pesanteur faisaht eiH grener les aspérités ou dents de la roue entre les aspérités ou dents du terrain qui reste immobile , la roue est forcée de tourner. A chaque instant , une nouvelle résistance fait perdre à la roue une partie de sa vitesse ; et bientôt cette roue s'arrête, si l'on ne renouvelle pas la force perdue*

J'ai remarqué, dans plusieurs établissements d'Angleterre , des routes en fer , dentées , sur lesquelles roulaient des chariots à roues dentées. Ces routes et ces roues dentées sont une image sensible de ce qui se passe entre les aspérités presqu'invisiblesdes ^urfacesplus ou moins unies des routes plates et des roues ordinaires.

Que les roues dentéeis soient cylindriques ou coniques, et, par conséquent, que leurs axes soient parallèles ou divergents, le rapport de la puissance à la résistance iTen est pas moins toujours celui des distances du point où s'opère le contact des dents aux arbres respectifs qui communiquent avec la puissance et la résistance.

La fabrication des roues dentées est un travail d'art fort-délicat , qui demandé l'emploi de méthodes géométriques rigoureuses , lesquelles se rapportent à la division du cercle, Géométrie, IIP. leçon, aux propriétés des cylindres, VIIl'. leçon,, et des cônes, ÏX.% leçon.

502 MÉGHANIQUE.

Lorsqu'il est question de construire des rouesB d'un diamètre considérable , la figure des dént^ devient un objet essentiel^ qu'on doit soumet — tre à des méthodes géométriques. On s'imposela condition que les roues tournent dé manière que les points de deux dents en con-> tact ne puissent que s'appliquer l'une contre l'aiitre , comme une roue de Toiture s'appliquesur le terrain, sans que l'une glisse, frotte sur l'autre , pour avancer plus vîte ni moins vite.

Il y a des ouvrages de méchatiique qui. con^ tiennent des solutions fort-complètes de ces questions, et nous y renvoyons. Voyez le trèsutile Traité des machines , par M. Hachette.

Au lieu d'employer un petit nombre de dents grosses, saillantes , et courtes , comme on le Êdsait autrefois , il vaut mieux multiplier le nom bre des dents, et les rendre moins- saillantes ^ moins larges et plus longues , afin de leur conserver une solidité suffisante. Alorâ la figure des dents devient beaucoup plus simple à tracer. Il sufGit de donner à leur profil la figure d'un rectangle , dont les angles saillants soient rendus un peu obtus par un léger arrondi des deux faces perpendiculaires au contour de la roue. La machine elle-même, par son jeu, usant dV bord les parties plus saillantes que la théorie ne l'indique , elle s'améliore par l'usage même.

C'est ainsi qu'opèrent la plupart des construc-

DIXIÈME LEÇON.. SoS

leurs de machines, et même les horlogers, pour leurs roues dentées ordinaires; seulement, dans ces roues ordinaires, l'arrondi est complet.

Les horlogers emploient des roues dont les dents ont des figures variées et fort-différentes, [l y en a qui sont taillées sur le contour d'un cylindre, fig. 17. Les roues d'enclfquetage ou d'arrêt, fig« 16, ont des dents pointues et toutçs inclinées vers le cliquet ou bras de levier, qui empêche la roue de rétrograder.

. Toutes les fois qu'il y aurait inconvénient grave ou dangei à la rétrogradation , dans un mouvement circulaire, il faut i*ecourir à Vendis quetage ;^ vaoms de faire usage du frein, dont nous^parlerons au sujet du frottement , Xlir. leçon.

On emploie souvent la combinaison suivante : on remplace une des roues dentées par un cylindre denté à jour, qu'on appelle lanterne^ fig. J 5. ïl se compose d'une suite de bâtons tournés circulairement ; les axes de ces bâtons sont également espacés sur un contour circulaire. Deux plateaux , taillés en cercle , reçoivent dans des mortaises quarrées,le bout de ces bâtons équarri en tenon. La lanterne n'étant qu'une roue dentée, le rapport de là puissance avec la résistance, s'estimera suivant la règle générale que nous avons démontrée.

Le cric , fig. 18 , est une machine où l'axe de la

3o4 MÉCHANIQUE.

roue dentée AB est fixe, tandis qu'une tige droi et dentée EF, est mise en mouvement par la roixe. Dans le cric simple , une manivelle CBB' fait mouvoir la roue dentée A, engrenée sur la barre dentée EF. Dans cette machine j on a pour

rapport de la puissance à la résistance , — == — •'

égalité dans laquelle ^ est le rapport des espaces parcourus, dans un même temps , par la puissance et par la résistance. . j

Dans le cric composé, fig, ig, la manivelleagit sur un premier pignon , lequel s'engrène avec une roue. L axe de cette roue porte un second pignon qui s'engrène directement avec là barre du cric.

En appelant D , D', les rayons de la manivelle et de la roue , d^d\ les rayons des deux pignons, on a pour condition d'équilibre , dans ce nouveau cas, P X D X D' ==R X â?X df'.

Ainsi , par exemple , si D est triple de d et D' triple de d\ on aura 3 fois 3 fois P = i fois i fois R , ou 9 P = R • donc une force P fait alors équilibre à une force 9 fois aussi gineinde. Tandis que , avec les mêmes dimensions, si !> barre dentée eût été immédiatement appliquée au premier pignon, la puissance P n'aurait pu faire équilibre qu> une force 3 fois aussi grande. Mais il faut que la puissance P parcoure 9 fois autant d'espace que la résistance, lorsqu'on veut qu'il y ait mouvement.

ulibre sur des plans J^xes ; plans inclinés ; rouées en fer^ ai'ec leurs plans inclinés.

Iabts Téquilibre du levier, nous avohsfait èî>la considération d'un point fixe. Dans Téibre du rouet de poulie, du trpuil , etc., nous [is fait entrer la considération d'ufie ligne ilè ou axe fixe, A présent, nous allons éxami^ quefl peut êti^e Té^ûilibre de fortJes'agl^ttstkr un plan fixe. Nous supposerotisrd^aillears )laYi d'un poli parfait.- .^" -î ■ -; ;-' -!

•isdr. qii-utié forcé HC- fîg.-iv;poùé^tit>1ft Ta fnatériel C, contre un plan fixe AB»; ne ^uise aucun mouVeniênt , cette force d6ît ï'fterpfcndiculaîre aiipfen.

itffequ'en effet la forcé éét perpéndiéulairé au 4 fixëy coitfriic^tout est symétriqtté dai*? ïà ^m f«e la^fôWiè, et dàtiâ ^lafi^AWi^' dùpllrtf|, (Sidâ^éésdiis I^Hes'i^eli^f^s^lëf^; I^^iA:

\\. sollicité à sié^fâd^Vbiir^ftns-aûcciil setolT^plifls î- dan3 lé' séins'^ dp^oaîéj 'Vkr coii&éqU«ri il tirtirtêr en*^ repos. '' • i ''^* "' ' ':' ''■'^'' «"î k la- foî^cfei PC eà't< obliqVie , fig. n , àvt pmit fe oiifpdsep ëti deiiii fj lÊMHë CQ^Ïirigée ^î^âl^ 4^ dib^é^ i'ûûtrèCPIf ipiér{)enâieuraï^eàc^

T. II. — MIcHA». 39

ONZIÈUË LEÇON. .Sq7

d^entraiûer ainsi tout le corps C£F : donc il n'y aurait pas équilibre.

Il Ëiut aussi que la force PC ne cesse pas d^étre perpendiculaire au plan fixe, afin d6 tiêttt pas décomposée en deux autres : la premièrie , perpendiculaire et détruite par le plâii ; la se- ::onde 9 dirigée dans le sens même du plan et que rien ne contrarierait.

Si plusieurs forces agissaient sur le ODrp»,. il Faudrait que leur résultante passât par le point C 7 et fut toujours perpendiculaire iu plan fixe ^ pour que le corps restât en équilibre.

A présent , supposons que le corps touche le plan fixe, en deux points Â, B, fig. 6. Il faudra que la résultante unique de toutes les forces qui sollicitent le corps, puisse être décomposée en deux autres qui passent par ces deux points.

En effet, soit, en projection verticale , Br , fig. 6^ la résultante de toutes les forces; soit, en projection horizontale, A^, B^, ft, la position des deux points fixe^ A, B et du point r, où la résultante rencontre le plan fixe»

On pourrait d'abord mener par B^ et r^ une droite Ba rj, Ch , et décomposer la force Br en deux forces parallèles à Br : Tune P appliquée en B , l'autre Q appliquée en un point quelconque C de BrC. La force P étant perpendiculaire au plan fixe , et passant par un point B où le corps touche le plan , ne peut rien dianger à

3o8 'M.ÉcnAKIQUE.

l'équilibre du plan. ,11 resterait donc la.fi>co&Q , qui ferait nécessairement tourner le corps^si le point C n'était pas commun à ce corps et au plan fixe : k moins que C ne se trouvât entre A el^. En effet, $i le point C se trouvait au-delà de A ou de B, il tendrait à renverser le corps de ce côté.

Soit un corps appuyé par troispoihtsA^B^G, fig. 7, sur un plan fixe. Joignons les points A, B, C, par les lignes droites AB, BC, CA. Pour que " le corps , sollicité par une force quelconque PG, j^it en équilibre, il fiaiudra : i"". que cette force soit perpendiculaire au plan fixe ; 2^. que le point où elle rencontre le plan fixe , ne soit pas en . dehors du triangle ABC. Sans cela, rien n empêcherait cette force de faire tomber le corps du côté où elle se trouverait.

Si , au lieu de trois points d appui, le corps posé sur un plan fixe en avait un nombre quelconque , il faudrait joindre ces points deux à deinc par des droites ; de manière à former un polygone fermé complètement et n'ayant pas d'angle rentrant. Alors les conditions d'équilibre de c^ corps, poussé par une force quelconque, seraient : J ®. que cette force fût perpendiculaire att plan fixe;20. que sa direction prolongée jusqu'au plan fixe, ne tombât pas en dehors du polygoa^ que nous venons de former.

Ces divers cas d'équilibre trouvent des applications importantes et nombreuses, lorsqu'on

ONZIÈME LEÇON. SoQ

Ëiit entrer la pesanteur des corps tlans la com^ paraîson etJe calcul des éléments des machines.

Tout ce que nous venons de dire des corps posés sur des plans, s'applique à des corps placés sur des surfaces de figure quelconque, et composés de parties droites ou courbes. Il faut toujours que la résultante des forces qui agissent sur le corps , puisse être décomposée en forces qui passent par les points d'appui et soient perpendiculaires à la surface fixe; il faut, en outre, que cette résultante ne passe pas en dehors du polygone formé , sans angles rentrants , par les lignes droites menées de chaque point d'appui aux autres points d'appui.

Vous pouvez observer, dans les arts, de fréquentes applications de ces principes. Pour tenir en équilibre un poinçon, quand on le pousse avec la main contre une surface quelconque, il faut le diriger perpendiculairement à cette surface , afin qu'il ne glisse pas ; il faut , en outre , que la force pousse le poinçon dans la direction de sa. tête à sa pointe; car sans cela il tomberait ou glisserait.

Lorsqu'un corps est poussé coatre un plan fixe , et porte contre ce plan par plus de trois points, on doit recourir à des considérations qui dépendent de la nature même des corps , pour eonnaître suivant quelles lois s'opère la répartition des pressions exercées par le corps en

3l2 MÉCIIANIQUE.

surface contre le plan, la presse suivant Taxe mérae de la surface , il est évident que tous les points du cercle de contact supportent la même pression.- Nous ne pousserons pas plus loin Tindication de ces applications à l'industrie.

Considéroiis un cor|)sBCF, fig. 9, pose sur deux plans fixes, (i)et (2), qu'il toudie en B et C. Pour que ce corps , sollicité par la force AP, soit en équilibre , il faut évidemm^t : i^. quecette force puisse se décomposer en deux, dirigées suivant les droites PM , PN , passant par les deux points d'appui B, C ; a*», que PM soit perpendiculaire au plan ( i ) , et PN au plan (a).

Quand ces conditions, seront remplies, la force PM se trouvant détrujte par le plan fixe (1)1 et.laforce^PNpavleplan fixe (3)^ iljranra équilibre. • .

Dans tout autre cas, l'équilibré ne peut fitoir lieu. £n effet, la seule résistands que chaque plan produise est dirigée^ suivant la perpendi' eulatre tnenée par *■ les deux; points d'appui du corps sur €e plan. Donc il faut que les deux ré-, sistances, ainsi dirigeesf, fassent équilibre à- b puissance. Mais, pour que trois forces sdièriteu équilibre , il faut d'abord qu'elles concouti^t en un point. Donc, dans tous leiisca^ d'ùù corps poussé par une force contre de|ix plans ^ dont chacun le touche en lin point , il &ut'<}uela droite suivant laquelle agit cette forcé 6tte$|^^

ONZIÈME LEÇON. 3îS

pendîculaires élevées de chaque point de contact, passent par un même point. Alors un parallélogramme construit sur ces trois lignes, en prenant sur la première une diagonale égale à la puissance, fera connaître les pressions éprouvées par chaque plan.

Dans le cas d'un corps touchant trois plans, en un point , il faut toujours que la puissance fasse équilibre à, des forces appliquées à ces points suivant des lignes perpendiculaires à ces plans et représentant les résistances éprouvéeis par les plans. Mais il n'est plus néceissaire que toutes les directions des résistances concourent en un même point. . < ^

Considérons le corps MN, fig. lo, sollicité par les forces P, Q, qui concourent en A et«e tiennent en équilibre autoni' du point d'appui C, contre le plan fixe XT. Supposons qii'éV sans changer ce point d'appui, Ton dérange infiniment peu la position de CA, c'est-à-dire, queronfasse tourner C A aa*^ tour de C. En menant les perpendiculaires CD, CE, sur jAPy AQ , nous pourrons regarder DCE comme un levier coudé. D'après ce que nous avons démontré pour le leviéi: , nous verrons immédiatement que Tespace \ià parcouru par le point d^ et l'espace Ee parcouru par le point £, quand le corps se dérange infiniment peu, sont réciproquement pro-i portionnels aux forces P et Q qui leur cprresponHènt: > c'est-à-dire, qu'on a ..

P : Q : : Ec î D</. D'où. ... P X I>^ = Q X Ec.

Ainsi , le principe^ des vitesses virtuelles troyve encore ici son application.

Tous léà 'corps étant animés' à'' chaqiié înstafit

T: U. — Mkciia?!. 4o

3l4 IIÉCHAHIQUE.

par la force de la pesanteur, on voit que les corps, posés sur des plans, ont besoin , pour y rçstçr en équilibre , de sati^&ire aux conditions que uous venons de démontrer. En supposant qu'aucune autre force ne sollicite ou ne retienne un corps posé sur un plan fixe , pour. qu il y reste en équilibre, il faut, par conséquent, que ce plan soit perpendiculaire à la direction de la pesanteur, c'est à-dire, à la verticale.

Ain^i , le plan fixe doit être horizontal pour qu'un corps y reste en équilibre, lorsque ce corps n'est sollicité ni retenu par aucune autre force.

Tel est le motif pour lequel on fait , dans le$ arts , un si grand usage des plans, fixes et horizontaux. Les parquets de nos appartements sont horizontaux , afin que les meubles qu'on y pos^ restent en équilibre; afin que noMs-mémeSt nous ne tendions pas ù glisser et à tomber d'un côté plutôt que de l'autre. Pour un motif analogue, les tables, les étagères, etc., présentent aussi des plans horizontaux.

La résultante du poids d'un corps , passant toujours, par son centre de gravité^ cette résultante doit satisfaire à toutes les conditions d'équilibre que nous avons données, pour qu'un corps abandonné à sa pesanteur et posé sur un plan horizontal, y reste en équilibre. Ainsi :

1**. Quand un corps, posé sur un plan, ne le touche que par un point, il faut que la

pnZIÈHE LEÇOIT.

verticale, menée par ce point, passe pari ;entre de gravité du corps.

a°v Quand le corps pesant touche en <1a KBnts le plan fixe, il faut que la verticale, i lee par le centre de gravité de ce corps , pal m la ligne droite qui joint les deux pointsi ontact du corps et du plan fixe.

3'. Quand le corps pesant touche en jilii eox points le plan fixe , il faut que la vertici lenéc par le centre de gravité de ce corps [ encontre pas le plan fixe en un point qui QFS du polygone formé sans angles rentrai ir des lignes droites qui joignent deux à d<J 8 points de contact du corps et du plan fil Revenons au cas d'un corps soutenu par lul point et en équilibre. Il est facile de '' ae tout corps sphérique ABGj fig. 1 1, et d'u ladère homogène, jouit de cette propriété, qui

posant sur un plan horizontal , il s'y troil Keisairement en équilibre. En effet, le cenM i gravité de ce corps se confond avec sun ctl B de figure. Tout rayon GPG est perpenJ Jaire au plan horizontal MN qui touclu: lière en ce même point C, Donc la drt Pc, perpendiculaire au plan horizontal JMl t verticale. Donc, la force GP, équivalei l'effet du poids de ce corps sur MN , t toutes les conditions nécessaires ^i tcql

3l6 MÉCHANIQOE*

Prenons un corps ABC, fig. la, ayant la forme d'une molette , et formé en faisant tourner une ellipse autour de son grand axe. Si ïoii pose ce corps sur un plan horizontal , de manière que le grand axe AB soit horizontal , il y aura équilibre. En effet, le centre de gravité G de ce corps, supposé homogène, se confond ci, comme dans la sphère, avec le centre de figure ; et la verticale PGG , menée par le ceatre , passe par le point G où le corps touché le plan horizontal.

Il y aurait encore équilibre si je posais le corps ABC, de manière que le grand][axe AGB, fig. iS, ffit vertical; puisque la rés^ultante du poids de ce corps passant par le centre G, passerait également par le point A*

Mais il existe, entre ces deux* états d'équilibre , une différence bien remarquable. Si je change un peu la position de ce corps, fig. i^» il va sur-le-champ se mettre en mouvement pour revenir à cette position d'équilibre ; si je change un peu la position, fig. i3, le corps va s'en écarter de plus en plus , et tomber.

Le prepiier équilibre est stable , le deuxième est instable (^i\ On appelle j'/ûr^^fV/Ve et instabilité

(i) Les résultats précédemment exposés , nous permettent de résoudre le problème suivant :

Deux corps ABC, abe, ûg. i6, posés sur le plan MN, de manière ^e AG, agf fussent verticale», n'y auraient qu'un éyili-

•ce avec laquelle les corps tendent à se i ber ou à s'éloigner de leur position d'é( y aussitôt qu'ils lont perdue, sayons de mesurer la force qui ramène i

stable : on demande quelles conditions doivent être pour que ABC, abc , dérangés de leur position d^cqui ppuyés Tun sur l'autre en un point D, soient en éqni têons, pour plus de simplicité, que les deux corj's ment égaux et également inclinés; soit P leur poids. ican touchera l'autre suîirant un plan vertical, et ils ". Tan sur l'autre une même pression X =: or. Soit m. ^E, ge, les yerticales abaissées des centres de gravi ces corps. Soient C, c, les points de ooiitact de ces e plan MN. Le moment des poids P sera , pour le P X CE , et pour le corps bcd^ P X ce. Ces deu: seront égaux. Mais X, x, représentant la pressioi des deux corps, en élevant des deux points d*appui srpendiculaires CX', car', sur ces corps, on aura X > < ex' pour le moment résultant de celte pression. aut donc , dans le cas de l'équilibre , qu'où ait

P XCE = X X CX' = P X ce =: X X ex.

y avait trois corps.au lieu de deux, on résoudrait 1 ■ de la même manière. En mettant en équilibre les mo CE de chaque corps, avec la pression exercée sur ce ;s trois autres.

; soldats résolvent ce problème d'une manii're pra l'ils placent trois fusils en faisceau. Chacun de ces ait posé en équilibre sur l'angle c de la crosse, n'y e stabilité; mais, en croisant les bayonnettes demar e le bout de chaque arme exerce une pression con

autres armes , l'équilibre stable s'établit. Rieii ne facile que de calculer les pressions exercées sur c par les deux autres , pour qu'il y eut équilibre dans ion.

3l8 MÉGHANIQUE.

dans son état d'équilibre , ou qui l'en écarte, !e corps que nous considérons.

Commençons par la première position, àiipposons qu'on incline un peu le grand axe A6, fig. i4) de manière que 'te ne soit plus le poiut C, mais le point D qui touche le plan horizontal/ Alors ce n'est plus PGCqui représente la direction de la résultante du poids du corps , liiai!) ^Gd.

Maintenant , la force P' = F agit pour faire tourner le corps AB, autour du point d'appui S^ avec un bras de levier égal à Drf; donc, le tùo* ment avec lequel le poids du corps tend à Êiitc descendre la partie GAC et remonter la partie BCG, est égal à P x Drf. Mais le poids P du corps restant le riîême, plus ce cofps eSt écarté de la position primitive, plus dD est grand, plus est grand le moment P x dD ; plus , par conséquent , le corps tend avec énergie à revenir vers sa position primitive ; en l'abandonnant à luimême , il reviendra donc naturellelneiit vers sa position d'équilibre. Cet équilibre est stable.

Élevons la verticale DgO jusqu'à la droite CGP, qui est verticale dans la position d'équilibre; menons ensuite l'horizontale Gg. ïîotis aurons Hd = Gg ; par conséquent, P x Gg égale le moment avec lequel le corps tend à reprendre sa position primitive. iSti supposant que l'angle GOg soit infiniment petit , on pourra regarder Gg comme égal à l'arc décrit entre OGC, O^D,

ONZIÈME tBÇON. SlQ

du point O comme centre, et avec OG pour rayon, ! Le point O est ce que les géomètres appellent le métacentre du corps ACB. Par conséquent , lorsque Féquilibre est stable , le i^étacentre est toujours au-dessus du centre de gravité. Pour un degré constant d'inclinaison de la nouvelle verticale OD sur la primitive OC , l'arc Gg est proportionnel ^u rayon ; doqc le moment P ÎK Og est aussi proportionnel au rayon GO , égal à la distance du centre de gravité et du métacentre. 4iifisi 7 cette distance est propre à donner la mfîs^iyre de la stal^ilité des corps. tnC'

"Revenons au second cas. Supposons qu'après ayqir posé le corps ACB sur le bout A de son grand axe , on l'ait un peu dérangé de son état d'équilibre , comme on le voit 0ans la figure iS^ ou D est le nouveau point de contact du corps avec le plan horizontal. En menant la verticale Gû?, elle tombe en dehors des points A fit D ; et l'on a , poi^r mesure de la force avec laquelle le poid^ P tend à tirer le corps afiu de le: faire tomber , P x Dû? = P x Gg.

Ici, comme daqs le cas précédent^ si l'angle GrOgr «st infiniment petit , on peut regarder Gg comme un are ayant O pour centre. Alors, pour une inclinaison donnée de AB, par rapport à la verticale , le rayon OG est propor-^ tipnnel à li^ distance Gg == Drf.

Le point O est encore ce «que nous avons

3!X0 MÉCHANIQUÉ.

appelé le metacentre. Mais ce métacentre, au lieu d'être au-dessus , se trouve au-dessous du centre de gravité. Du reste , sa distance au centre de gravité , est aussi propre à servir de mesure à Xinstabilité^ que, dans le cas de la fig. i4> elle était propre à donner la mesure de la stabilité du corps ACB , posé sur le plan MN.

Si le métacentre O et le centre dé gravité G se confondaient, il faudrait que les verticales ODet Gd se confondissent. Mais^ alors, la verticale qui passe par le centre de gravité G, passant aussi par le point d'appui D , la distaàoe "Dd serait nulle ; ainsi le moment P x Drf = o. Donc il n'y aurait plus d'effort pour faire mouvoir le corps , qui resterait en équilibre.

En résumé : Quand le métacentre se confond avec le centre de gravité, lequilibi^ subsiste après le dérangement du corps, comme auparavant : l'équilibre est ce qu'on appelle indifférent. Quand le métacentre est au-dessus dû centre de gravité, le corps, s'il est dérangé de son état d'équilibre, tend à reprendre sa première position ;^16rs, l'équilibre est stable. Quand le inétacentre est au-dessous du centre de gravité, le corps., s'il est une fois dérangé de son état d'équilibre, tend à s'en écarter déplus en plus-; alors, l'équilibre est instable.

Enfin, dans tous ces cas, la mesure de la stabilité ou de rinstabilité est donnée par le pro-

tluit du poids du corps par la' distance du centre de gravité au métacentre^ lequel est ici le centre de courbure de l'arc AD tracé sur le corps, entre A et D.

Par là , les propriétés de la stabilité des corps oscillant sur des plans fixes, se rattachent k celles de la courbure des surfaces. (Voyez Gio- HJÉTRiE, XVMeçon.) De raême qua partir d'un point fixe , la courbure d'un corps ^est symétrie que par rapport à deux directions placées à angle droit , de raéme la stabilité d'un corps sur un pl^n horizontal est symétrique par rapport à deux directions placées à ang!'e droit. Une de ces directions appartient à la plus grande , et rautre à la moindre stabilité. Les stabilités intermédiaires sont égales quand elles- sont prises par rapporta deux axes horizontaux, faisant un même angle avec la direction de plus grande stabilité ; et par conséquent , aussi , faisant un même angle avec la direction de moindre stabilité; etc. ' .

, La the'orie de la stabilité des corps qu'on dérange un peu de leur position d'e'quilibre , présente des applications d'une extrême importance pour la richesse et la vie des citoyens , pour l'honneur et la force de l'état. Quand les vaisseaux gardent sur la mer un équilibre stable, ils naviguent avec sûreté pour l'industrie publique ou pour la défense du pays. Au con-

ToM. II. — Méchan: 4'

322 ifÉCHAHIOVE.

Ccaire , dès rrnstant où cet équilibre devient in^' stable, le vaisseau tend à se renverser, à chaivirer, à engloutir avec lui tous les matelots et les soldats qui le montent La théorie de la stalnlité des vaisseaux a des relations intimes avec les

principes que nous venons d'exposer (i). Mais,^ pour être complète ^ elle a besoin d'autres priacipes fondés sur la force des âuides. Voyez Ifl'. vol. , Forces motrices.

Après avoir considéré l'équilibre d'un corp^ sur un plain horizontal , il faut considérer Tétai: de ce corps sur un plan incliné. On nooune aioaâ tout p)an qui n'est ni horizontal ni veriicaL

On mesure son iuclinaison par l'angle qu'it fait avec un plan horizontal , et la gjêomstr» <» vue. LEÇON , ramène facilementla mesure deoeC angle de deux plans à la mesure de l'angle formé par deux lignes droites. La i""". droiite est sur le plan horizontal , la a^ sur le plan incliné ; et tou- ' tes de>ix sont menées , d'un même point, perpendiculairement à l'intersection des deux plans.

(i) Depuis i8ao, j*expose chaque anuée cey principes dtns ' mon cours^ et je montre comment on peut y ramener ja reche^ che des conditions d'équilibre des corps flottants. Je place ici cette remarque , parce que l^estini'able auteur des Annales de Mathématiques, auquel ce fait n'était pas connu, a présenté, comme une simplification qui m'avait échappé , un semblable rapprochement, que je n'ai pas inséré dans mon mémoire saria stabilité des corps bottants, applications d9 Géométri; In-^***» iropriméés à Phiîb, chez fiAdietier.

ONZIÈMB LEÇON.

Représentons le plan horizontal par une hc atale MN, iBig. 17, et le plan incliné par ne droite AG, qui foit avec MN le même ; \ que le plan incline avec le plan horizon tî Posons un corps quelconque X , sur C A. Si rp6 n'est relenu par aticune force étrange pourra décomposer son poids GP en d< •6es Gç , Gpy l'une parallèle , l'autre perpeu laire au plan incliné. L'effet de celle-ci s truit si la perpendiculaire G^ ne tombe pas bors du polygone qu'on forme en joignant ints de contact par des lignes droites. Ai us pourrons appfrquer à la force Gp toutes isidérations que nous avons présentées [uilibre stable, instable et indifférent, ps appuyés sur des plans horizontaux.

}uant à la force Gç^ comme elle agit para lènt au plan CA , elle n'éprouve aucune ance de la patt de ce plan ; si donc elle n ibattue par aucune force étrangère , elle 1 ser lecorps le long du plan incliné.

4'espace que parcourra ce corps sur le pi; à l'espace qu'il parcourrait dans le ini ips, s'il tombait librement suivant GP, coit brce Gg qui le tire parallèlement à AC a force GP qui le tire verticalement.

Jue le corps se meuve en vertu de la fc , ou bien soit retenu pay une force i Ift attirant en sens coutraire, il iaut toujo

3^4 MÉGHAIIIQIJE.

si l'on veut que l'équilibre ait lieu , que la perpendiculaire Gp tombe sur le point où le (»rps touche le plan incliné AC, s'il n'y a qu'un seul point de contact. S'il y a plusieurs points de contact, il faut que la ^perpendiculaire Gp tombe dans le polygone formé , sans angles rentrants, en joignant deux à deux les points où le corps touche le plan incliné. Cette théorie troure une application très-utile dans la stabilité des Toitures en repos ou en mouvementé

Quand un corps G, j&g. i8, est tenu en équilibre sur un plan incliné AC? par une seule force GQ parallèle à ce plan , il faut , en décomposant GP poids du corps , en Gp et G^ :

1°. Que la force Gp, supposée agir seule pjerpendiculairement à AC, y tienne en équilibre le corps G, suppK>sé sans pesanteur; a**. Que Gq passant par le centre de gravité G , on ait Force Q : force P :: Gq : GP.

Si nous menons NO perpendiculaire au plan horizontal MN, les triangles ANO , et PG^ seront semblables ; et l'on aura AO : NO : : GP : Gq = GQ ; c'est-à-dire , le poids du corps est a la force GQ qui lui fait équilibre y comme la longueur AO du plan incliné est a sa hauteur NO.

Si la force GQ, fig. 1 9, était horizontale, il faudrait que la résultante Gp de GQ et de GP passât par le point p de contact du corps et du plan ; ce qui donnerait la proportion GP : GQ = P/>

ONZIÈEE LBÇOIC. 3!l5

; : MN î NO, c'est-à-dire, le poids du corps est à la puissance qui lui fait équilibre , comme la base du plan incliné est a sa hauteur. Ces théorèmes , d'une expression très-simple , sont d'un usage continuel dans la méchanique.

Nous terminerons cette leçon par un extrait de nos. ^ojrO'gcs dans la Grande-Bretagne ^ Fobc£ conihebcialb , voies publiques, en présentant ce que nous avons dit déplus essentiel sur les routes à ornières enfer et sur les plans inclines y tels qu'on les emploie dans la Grande-Bretagne. Ces routes et ces plans inclinés peuvent être du plus grand avantage pour les établissements d*industrie , en France.

Le tracé des routes-ornières , en fer, se présente sous deux points de vue très-distincts : i^. quand les transports s* opèrent tous suivant une seule direction ; '2^. quand ils s* opèrent également suivant les deux directions opposées.

Dans le premier cas, ce qu on trouve de plus simple, est de monter verticalement avec des machines , tous les far-

deaux à transporter, jusqu'au sommet de la route inclinée ; sommet d'où les chariots n'ont plus ensuite qu'à descendre.

Lorsqu'il s'agit seulement de descendre pour conduire des chargements jusqu'aux rivières, aux canaux, ou bien auxgrandes routes , quelle que soit la distance , il est facile , par des routes-ornières bien ménagées , de rendre le transport avantageux. Voilà ce que nous pourrions faire avec un grand succès , en exploitant les bois nécessaires à la marine ainsi qu'aux constructions civiles , dans les lieux élevés et trop éloignés de toute rivière, pour qu'on puisse, au moyen de routes ordinaires , arriver sans trop de frais ^ux cours d'eau qui permettent le flottage. C'est un objet de la plus haute importance pour notre force navale, pour

3a6 MÉGHAVIQDB.

notre commerce maritime , et pour une foule d'taln ches de notre industrie.

Quelle est la pente la plus avantageuse qui conyi< rOutès-orttîèrès?^ C*est ceïle qui permet aux chario gé9, de prendre^ tifrtito'ûVeûient ùniforiUe , par le s^ de leur poids. Eb k suiyàlM, un clievalr <fui eoudi jQle de chariots , n'a besoin d'exercer que la forcé sàire pour vaincre l'inertie des masses qu'il transp ïes petits arrêts que des inégalités légères pourraic senter suf* la route.

Le non^re des chariots char^s qu un cheval doit est égal au plus grand nombre des chariots vides cheval peut remonter sur la même route. Ainsi, p clinaison de la route est considérable , moins le ch€ cend de chariots, k chaque voyage. On voit par existe une certaine pente plus avantageuse que to autres ; c^est celle qui, sans aucune perte, emploie force du cheval , pour aller vers le haut et vers le b un chariot chargé est pesant, moins est grande l'i son suivant laquelle il commence à descendre de lu plus est grand aussi le nombre des chariots vide cheval peut remonter suivant cette inclinaison. J point de vrte , il y â donc plus d'avantage à se se grands chariots^. On doit préférer ceux qu'on erop environs de Newcastle, lesquels portent 2, 5oo kilog et pèsent r,5o6 kiIogramme$, à ceux qu'on ettipl environs de Glasgow , lesquels ne portent que 6c gratiimes et pèsent 3oo kilogrammes^

La caisse dé ces chariots est un tronc de p; quadfangtdaire évasée et découverte par le haut, geûr et la longueur du fond sont respectivement , et 2 mètres ; la longueur dé la base supérieure est w k 3 mètres. Enfin les côtés , inclinés à l'horizon d

ONZIÈME/ lEÇON. 3^7

pte de 4'5>o, ont i"**-,6 de largeur. Le fond du chariot est garai d'un sabord de déchargement , placé vers Textrémité qui regarde les navires en chargement. Le sabord est fermé par. deux pattejs de fer qui tournent à charnière et se rabattent sur la face inclinée antérieure du chariot ; là , elles 'etf boitent Tœil du piton. Une même goupille traverse les deux yeux de ces pitons, lorsqu'on veut fermer le sabord, En retirant la clavette et dégageant les deux pattes de fer , lé sabord s'ouvre par l'effet de la charge qu'il supporte , et ceVte charge descend entre les quatre roues.

Il y a des crochets à l'avant et à l'arrïère du chariot , pour y fixer à volonté la corde de traction. Les roues , enfer coulé , ont 6 à j décimètres de diamètre ; leur largeur horizontale est de 1 5 à 1 6 centimètres ; elles présentent un rebord qui reste en dedans de la route en fer : enfin la largeur de la voie est de i4 à i5 décimètres.

Je vais maintenant décrire plusieurs particularités d'une route ornière très-remarquable , qui vient aboutir sur les bords du Wear, près de Sunderland.

La mine de charbon d'où p^rt cette route est éloigpée d'environ lo kilomètres du point d'embarquement. Dans toute cette longueur, le terrain qu'on avait à parcourir n'offrait pas de très-fortes pentes ; néanmoins , lorsqu'on a rencontré des monticujcs un peu tjrop accidentés , on a fait une coupée pour les traverser. La route aboutit sur la côte escarpée qui borde le Wear , par une levée horizontale qui se rend au premier étage d'un vaste mia^gasin bâti sur la erête de cette côte. Ce magasin, long d'environ 5o mètres , sur 25 à 5o de large , est élevé au moins de 4o mètres audessus du niveau moyen des eaux du fleuve ; il est composé de trois parties longitudinales , séparées par deux rangs de piliers. Les trois planchers du premier étage sont garnis chacun d'une route en fer^ allant d'un bout à l'autre du

3a8 MÉCHANIQt)E« \

magasin. Des écontilles équidistantes sont ouTertés^ntre les supports en fer de cette route. Les chariots, arrivant chargés de la mine, entrent donc au premier étage. Us parviennent à des plateaux circulaires et tournants qui , respectivement, ont leur centre sur chacune des trois routes en fer. Les chariots font un quart de conversion sur ces plateaux circulaires ; puis on les conduit à la main sur les routes longitudinales de cet étage, jusqu'à Taplomb d'une des écontilles, pour faire tomber le charbon dans tel endroit du rez-de-chaussée qu'on le désire. Chacune des trois parties longitudinales de ce rez-de-chaussée» contient^ une nouvelle route en fer, qui sort du magasin et descend jusqu'au Wear. Deux des trois routes sortant du magasia 9 se réunissent en une , qui plus bas se réunit à la troisième # puis elles se divisent en deux , et se réunisent encore avao^ d'arriver à leur terme. Les chariots chargés et conduit* jusqu'au commencement de la descente , passent d'aboi^ sur un pont de cent mètres d'ouverture , jeté sur un pro-* fond ravin; ensuite ils traversent un rocher, dans no^ étendue de près de quarante mètres.

Dans toute cette partie , la route en fer est composée\d^ plates - bandes simplement clouées sur des longrines ^^ bois , ayant vingt mètres de longueur.

Le pont en charpente établi sur le ravin réunit la haï" diesse et la légèreté. C'est un système très-simple de materaux plantés verticalement, avec des traverses et des soutiens obliques pour les consolider. jLa plate-forme du pont est composée de pièces longitudinales recouvertes par des bordages de navires démolis.

Quand un charict descend , l'autre monte ; ils se rencontreraient à moitié chemin, s'il n'y avait qu'une route; mais il y en a deux en cet endroit; ainsi les deux chariots, pour se croiser, suivent une route différente, puis chacun prend celle que l'autre vient de quitter.

OirziEME LEÇON. 3^

L'intervalle entre les deux routes présente , de distance

en distance , de gros rouleaux dont Taxe , horizontal , est

perpendiculaire à la direction de la route. Ils supportent

2a corde qui sert à retenir les chariots dans la descente, et

il les tirer dans la montée. '

Au has de la route , les chariots arrivent sur une plateforme au-dessus de l'endroit où se placent les navires qu'on veut charger de charbon. Au milieu de la voie de la route en fer, il y a sur cette plate-forme trois ouvertures : ce sont les bouches d'autant d'entonnoirs en fer , inclinées d'à peu près 45*.

La partie inférieure de l'entonnoir est mobile autour d'une charnière horizontale qui l'unit au fond de la partie supérieure. Les rebords de la partie mobile emhoitent ceux de la partie fixe ; on empêche ainsi le charbon de se perdre , soit vers la droite, soit vers la gauche. TDoie vanne verticale qu'on élève et qu'on abaisse à volonté, par l'effet d'un levier , sert à fermer la partie fixe de l'entonnoir. Deux palans, lin de chaque bord de l'entonnoir, sont frappés en haut d'un balcoa en bois qui s'avance jusqu'à l'aplomb de la vanne. La corde qui sert de garant à chaque palan vient s'enrouler sur le cylindre d'un treuil établi sur le balcon ; avec ce treuil l'on hausse ou l'on baisse la partie mobile de l'entonnoir. Par ce moyen Ton place toujours l'extrémité inférieure de la partie mobile , à distance convenable de l'écoutille par où l'on charge le navire , quoique ce navire s'élève avec le flux et s'abaisse avec le reflux.

Plans inclinés. On appelle ainsi les parties de route dont la pente très-forte , exige le secours de machines , pour monter ou descendre les chariots. La structure de ces plans est semblable à celle des autres parties des routes-ornières.

Voici par quel méchanisme j'ai vu monter les chariots sur les plans inclinés des environs de Newcastle, en Angleterre. ToM. If — MÉCHAN. 42

350 MÉCHANÏQUÈ.

Au hant de la rampe ou plan incliné , est un petit édifice composé do deux murs places l'un à droite et l'autre à gauche de la route, et couverts par un même toit. Sous ce toit est établie , sur des poutres transversales , itne grande roue horizontale en hois. Cotte roue présente une gorge sur laquelle se plie une corde un peu plus longue que la descente à faire parcourir au chariot chargé. An-dessoui de cette corde et sur le contour de la roue , Ton ûue un frein semblable à celui des moulins hollandais : un seul homme le fait agir avec un levier Ce frein est tenu à hauteur coa** venable , par des chaînes verticales qui pendent des pou* très du petit édifice. Lorsqu'un chariot chargé parvient au commencement de là descente , l'homme qui le conduit trouve un autre chariot vide récemment ramené. Il décroche le bout de la corde de traction qui avait servi pour re* monter ce dernier ; il passe le crochet qui termine ce bout dans la main de fer ùnée à l'arrière du chariot chargé qu'il s'agit de faire descendre.

Avant que ces opérations soient achevées , un chsuriot vide est revenu de l'embarcadère au pied de la descente j là; son conducteur trouvant un cliariot chargé , l'a décroché pour y atteler son cheval , puis a fixé la corde de traction au chariot vide , et est parti.

Ces préparatifs étant finis à la fois , le conducteur da chariot chargé qui doit descendre , lance avec la main son chariot sur la descente , et monte lestement sur le côté de ce chariot, en saisissant le levier qui sert de frein à l'une des roues. Ce levier porte à son petit bout un arc de cercle en bois, et de même rayon que la roue contre laquelle il doit frotter quand on veut ralentir la vitesse du chariot. Lorsque le conducteur parvient au bas de la descente, il crie . fortement d'arrêter; aussitôt le surveillant du grand frein , sous le (letit édifice , fait agir ce frein. En

ONZIÈME LEÇON. 35l

siiite on répète la même suite d'opérations pour deux x^onveaux chariots, l'un vide et l'autre chargé.

D'après les principes que nous venons d'exposer, un clie-

'val employé sur une route en ftr, doit mettre toute sa

force pour remonter un nomhre de chariots qui ne saurait

être fractionnaire. Si la figure du terrain oblige à varier

les pente», il faut donc le faire de manière que chaque

pente soit celle qui convienne à un tel nom&re. Ainsi les

routes-ornières doivent se composer de lignes droite^ > fof r

maot un polygone rectiligne, ou du moins de lignes courbes

dont chacune ait la même pente dans toute sa longueur.

C'est d'ailleurs par des expériences bien faites , qu'on peut

détermiaer les divers degrés d'inclinaison suivant lesquels

on doit .cheminer.

Aûa de ne pas perdre de t;emps pour atteler et 4ételei' inutilement, il suffit qu'op donne à chaque partie de rpi^tf ayant une pente constante, assez de longueur pout former un relai. Le nombre de chevaux qi^i serviront' au- tra^âport, doit être en raison inverse' du nombre des chariots vides qu'ils peuvent remonter et du temps qu'ils mettep^ k parcourir ce relai , soit pour aller, soit pour revenir. P^r ce moyen , le même nombre de chariots parcourra danj; W mèine espace de temps, toutes les parties du chemin •'^t nulle part les chevaux ni les conducteurs ne sei^out oMi^ gés d'attendre ceux qui les suivent ou les précèdent. . .

Il importe surtout de tracer l^ route avec une telle' har bileté , q[u'on ne monte jamais pour ixîdescendre : à moins que les localités ne rendent ces alternatives indispensables. - On évite parfois ces descentes et^îes montées' ," en érigeant à travers des vallées étroites et profondes, des bâtis d^ charpente, hardis et léfjer- , =qu'on doit i-cvjarder comme de véritables ponts. Ces balis portent une plate-fornic horizontaie sur laquelle passe la route-r»rnière.

332 MÉGHAIflQtJE.

n serait facile de continuer les routes - ornières sur des ponts suspendus par des chaînes de fer (i).

' Dans les endroits où le terrain ne présente que des ondulations peu prononcées, on pourra, suivant les cas, foi'mer des routes horizontales , ou des relais à pentes constantes : 1°. par des déblais et des remblais bien étudiés, afin d'abréger la longueur du chemin ; q®. par des détours et des déviations générales qui satisfassent à la condition de la moindre dépense dans la construction de la i*oate , afin d'obtenir, quant aux transports, des avantages déterminés d'avance. A cet égard , les principes sont les mêmes relativement à toutes les espèces de routes.

Un caractère particulier des routes-ornières destinées à conduire des chargements suivant une direction qui reste toujours la même, c'est qu'on peut, au moyen d'un plan incliné , s'élever subitement à toute la hauteur nécessaire pour n'avoir plus qu'à descendre jusqu'au point' d'arrivée, en suivant la pente la plus économique.

Si la quantité totale des transports est la même , dans l'allée et le retour, il ne faut pas combiner les pentes aux dépens d'un sens, afin de favoriser le sens opposé. La seule condition qu'on doive chercher à remplir, est d'abaisser les points culminants et d'adoucir toutes les rampes, sans pour cela rendre la route trop longue , ni trop dispendieuse. Ordinairement, on établit cote à côte deux routesornières ; l'une pour aller, l'autre pour revenir.

Passons à la structure des routes-ornières en fer. Elles

(i) M. Stevenson propose de faire franchir les ravins étroits et profonds qui croisent la direction des routes en fer qu'il ^ projetées, par un châssis de suspension sur lequel on placerait les cbariots. Le châssis avancerait, avec le secours des poulies, le loug d^uu plan incliné composé de chaînes ou de barres en fer, tendues depuis un bord du ravin jusqu'à Tautre bord.

stînguées en deux espèces , d'après la flgure c L^s tram-'Way's ou plates-ways , ornières -pfat( ées de plates-bandes en fer coulé. Un rcbon ms , le long du dehors de l'ornière ; en de rvure donne à h plate-bande assez de fore ter sans se rompre , le poids de la roue des ch; •eue cylindrique porte à plat sur l'ornièrt ajrs^ ornières en relief y sont formées d'une posée de champ , grossie et arrondie en desi u chariot présente une gorge comme celle , pour emboiter l'arrondi du barreau. Les o ont ce grand désavantage, que le frottem ap augmenté par la terre , la poussière , le s loux qui tombent et s'arrêtent sur le plat < Les ornières en relief sont exemptes de ce gi ient. Toutes choses égales d'ailleurs , elles se es de porter les poids les plus considérablej >loie-t-on de préférence , pour les grandes e îlles sont surtout adoptées dans le pays de .virons de Newcastle on se sert encore généra lières plates, barreaux qui composent les ornières en rel

forgé , larges d'environ 4 centimètres ; Téi le , toujours plus grande que la largeur , est ; aux charges à supporter. Non-seulement 1 ïf occasionne moins de frottement ; mais , poi

elle résiste à de plus fortes charges, que :e plate, soit à raison de sa âgurc , soit, parc née d'une matière moins fragile.

>tevenson recommande une route-ornière < isse porter deux tonneaux, y compris le de cette route pèserait soixante kilograui courant de double ornière unie. De moin

554 nsciiiAnfiQUE.

mensipns seraient i la rigueur suffisantes ; mai» , pour une route publique , les ornières doivent être plus solides ^'il n'est strictement néce3saire. On évite par-là de fréquenjies réparations, sans accroître la main-d'œuvre de première pose.

D'après les renseignements qu'a recueillis M» Gallois ^ il suffit de donner à chaque barreau d'une ornière pUte, i"*^',^o de longueur (i). Deux barreaux et leurs supports pèsent de 4^ «^^ ^^ kilogrammes pour les routes-ornières en * relief destinées aux grands chariots ; q5 kilogrammes poiir des Qrnières plates destinées au transport fait par des chevaux avec de petits chariots ; et |8 kilogrammes seulement) $ï le transport n'a lieu qu'avec des chariots traînés p«r des hommes.

I4a pose et la consolidation des ornières mêmes, sont m objet essentiel dans la construction des routes ornié^. Concevons , en effet, qu'à cause de mauvaises dispôsitioitf, ou d'un défaut des localitési, quelques supports s'enfoncent de 3 centimètres seulement , par l'effoi-t que feront surem les roues des chariots chargés. Dans ces parties , un ïwf' reau/ d'ornière pourra facilement prendre un soixantième de pente. Alors, pour traîner les chariots, il faudra plw du double de la force employée quand la route était horizontale.

(i) Cette dimension et toutes les autres varient suivant la nature des lieux et le genre des transports : en voici que je dois encore à M. Gallois, auteur d'un Mémoire plein d'intérêt , sur les chemins de fer. — Les barreaux placés de champ pour les routes en relief /ont 89 centimètres de longueur, et 33 millimètres de largeur : ils passent sur des traverses en hc^ ou en fonte, callées ou portéeaeUe&-mémes par des dez en maçonnerie. Les barreaux des FQutei^ plates Qpt i"»*ît-,a de long et o«»«'-,8 de largeur, poixr la partie sur laquelle cuurl. la roue; l'épaisseur de cette partie -jQmèt.^Qj5 Le rebord a o«"èt jo54 de haut «t o^èi-^or d'çpî^isaeur moyenne.

ONZIÈME LfiÇON. S55

Dans les premiers temps , le système des roates-ortiières en fer , * malgré tous les avantages dont il est susceptible , resta sans fruit réel , parce qn'on ne sut pas surmonter les difficizités de ce genre (i). On perdit des sommes considëi-ables , pour avoir fait servir comme supports , des pierrM tendres et friables qui , placées an ra£ da soi , étaient sujettes à toutes les variations de température et d'hygrométrie de Fatmosphère.

Afin d'obvier à cet inconvénient , on a pris le parti de ' soutenir les ornières par des madriers transyersaax en fer coalé ; les abouts des pièces d'ornière sont chevillés snf les extrémités de ces madriers.

Il paraît que , pour les routes , l'emploi du fer forgé présente beaucoup plus d'avantages que l'emploi du fer coulé. - Les ornières en fer forgé ne sont pas , comme celles en fer coulé, sujettes à se casser par les ressauts des chariots, lorsqu'une pieiTC ou quelque pelit caillou se trouve jeté sur romière. Depuis plus de huit ans , une route en fer forgé sert aux travaux de Tindall Fell en Cumberland , où l'on voit aussi deux routes en fer coulé. Or la première est en tout d'un meilleur usage ; on l'a trouvée à la fois plus économique dans sa construction et dans son entretien. I>es expériences comparatives faites au même sujet , en Ecosse , ont conduit à la même conclusion. ^

Voici comment M. Stevenson , dans un de ses projets, éalcnte la largeur d'une double route -ornière.

Deux entre-ornières de i^*-,3 a*"**^,6

Distance entre les deux routes. . •i"'***,2

Débord de chaque côté , pour le sentier de conduite, les ruisseaux, les garde-fous, etc.,

(i) Il faut avouer aussi que la nature et la ténacité du sol ont une grande influence sur la solidité de la route.

336 MÉGHANflQUE.

TOTAL. . 6"*^,r

On peut former par empierrement à petits fragmeits recouverts de gravier, l'entre-deux de chaque paire d'orinères. Quant au sentier destiné pour les conducteurs, on le consolide , suivant les localités, avec du gravier, ou des scories^ ou du charbon fossile, etc.

U existe une troisième espèce de routes dont les ornières en fer sont tout-à-fait plates , sans aucun rebord , sans nervures , et simplement incrustées au milieu d'une route or* dinaite ou d'un pavé, au raz de cette route ou de ce pavé. Un tel système convient particulièrement à la circulation dans les rues et sur les places d'une ville , où des voitures de toutes les formes et de toutes les grandeurs croisent à chaque instant la voie publique , sôus les directions les pins variées. On a fait usage de ces routes-ornières dans la ville de Glasgow , pour la grande rampe qui conduit au bassin du canal de Forth-et-Clyde , sur le port Dundas. En montaût cette rampe , un bon cheval peut traîner jusqu'à trois tonneaux , et travailler journellement avec un tonneau et demi de charge.

On a proposé d'employer les ornières plates dont nous parlons , sur les. grandes routes ; particulièrement dans les « rampes fort inclinées. Ce moyen dispenserait de prendre des chevaux de renfort en arrivant à ces rampes , ou d'être obligé de décharger en partie les voitures , pour franchir les montées suivant lesquelles le roulage serait aussi facile que sur une route horizontale ordinaire.

La fig. 20 , (a)^ (b) , (c) , représente , dans ses détails , le tourniquet placé vis-à-vis les rebords d'une ornière en fer. La fig. 2 1 représente une double route-ornière avec les roues et les essieux de deux charriots. La fig. 22 représente une double route-ornière croisée par une autre route.

.r ' <r m 'K,aaMeat— — — jggaea?

e la vis , i/^x torsions , rfe> cordages ; dic coin et des oiUils qui s'y rapportent^

Pour comprendre cette leçon , il faut revoir rec attention la leçon XII'.;,; Géométrie, qui aite des lignes, et des sur/aces spirales^ .

Rappelons en peu de mots les propretés k>métriques de ces lignes-;Qt de ces surfaces, hélice ou spirale cy^inidrique €st une ligne mrbe , tracé» sur le,:Çontour d'un cylindre ^ 3 manière à faire partc^itkjl.e, mémo angle ayçç s arêtes de Ce cylindriç. Qu^nd Je cyliucjire , ei^t llement posé que sçs .^r^tes, sont verticale^, lélice fait partout le même angle avec^ Ik îrticale : s^ pente est oo^stante^

Si Ton supposa qu'une iignçi droite dont! l'ininaison soit aussi co,nst9^t€}y,s^. meuve le long 8 l'hélice V en faisant: jt0Mjf)^i^rs ;Ie même, abgle irec cette courbe , elki 'va' former une suisface )irale. Le plan tangent; à cette surface spirale >t également incliné par rapport à la verticale^ our tous les ppints de rjhélic^.

Si l'on veut qu'un corps de3cendc ou monte ) long de .l'hélice , en s'appuyaiit 3ur la surÊic^e

T. II. •— MicHAïf . 43

spirale ) il se mouvra cotnme il te ferait Te}ong irnn plan incliné , sur une Hgpe droite ayant pour pente celle de l'hélice : ce plan même ayant f^ur pente celle de ^us les plans tangents à la surface spii*ale«

Soit AMoby fig. I , le développement du cylindre sur lequel on a taillé la vis à filet triaagulaire , fig. 2 , ou la vis à filet quadrangulaire ^ fig. 3. Chaque tou^ de filet se développe, fig. i -» smvtAnî une ligne droite dont la longueur es** constante , èB === cGx^ dD :t=3 .

Vh Corps pesaiït qui serait assujetti ii descendra <5U à ttkmter sur uiie^dè ces drôles; sur wM, par M etn pl(d , s'il étai« ^eCen u ei^ équil>t<e piar.une puis^ satree P horizx^ntalie'j-e^riiraift cette propMtion : La puissance 1^ est aâ'potdê cht eôrfs^^ comme k /iauteuf ma dii pas dé ta i>is èsi à oM qtUigak là circonférence du cylindre sur lequ,el est trati ièjilèti

Ces préliminâittes èn^posés, examifiOM Fiisage <]ue IToti faift dé la vi^. Ofi \^ combine avec Té- Ci»o«, qui pyésfente étt ctièirx le même t^j^àn et le môme filet ^nj&iâ vis. ïantôt on fixe i ttX écnroa wa^ i^ii^ à ébe^illes^ pour 1» tourner» ebdittte'iôm totirriela rbuë^ dti ti[>eudb lan«ètion feie à l'écMu tïR ou pluisiewrs leview ëompara* blés aux barres d-u treuil' et du* ^be^àti.

D'ÂU«res £é>ïd oa se 'C4>»tente A^ lâfe^éi^à ta tête de l'^fetdtt safdrttï^^Hlàrrée; ptiis, aleouoeeW

DOUZIÈME LEÇO]!f.

>rësentant un quarré creux ile uhème ilir ion, on emboîte l'écrou pour le faire toui >it<lans un sens, soit daiis un autre.

Ainsi que nous l'avons fnit observer, Gb iiE, XII®. leçon, il y a des vis et des e< ►limés à droite, fig. 2 et 3, qui sont le laployés ; il y en a d'autres tournés à gai Kie vis tournée dans un sens ne peut pas liîter dans un écrou tourné en sens contj

On forme deux systèmes de vis et d ecr(

I. Système à écrou statiormaire. Dans ce ïme on fait tantôt avancer , tantôt recul LS, en touroant dans un écrou qui n'a van e recule. Alors la puissance est fixée à l'un Rtrémités de la vis. Cette extrémité, qui d' aire est quarrée , reçoit le nom de tête de la

II. S j sterne a vis stationnaire. Dans ce me, lavis est obligée de tourner sans av; ; reculer; c'est l'écrou qui devient mob ng de la vis.

Pour ces deux cas comme pour l'équilib an incliné , auquel nous avons ramené V >re de la vis , la puissance et la résista quelle elle peut faille équilibre , sojit da apport ini^erse des espaces parcourus , dura ême temps f par ces deux forces.

Mais 9 quand la puissance fait un tour coi itour de l'axe, elle parcourt une circonfé /^ant pour rayon la distance d(3 Taxe à

34o MBGHINIQCF.

puissance; et^ durant le même temps ^ Ia rési' stance agissant parallèlement à Taxe , parcourt un pas de la vis. Donc, la puissance muàipliée par la circonférence qxielle parcourt autour de taxe de la vis j égale la résistance multipliée par le pas de la pis.

Ainsi y plus le pas de la vis est petit et plus est long le bras de levier au bout duquel agit la puissance , plus, avec une puissance donnée, on peut faire équilibre à une grande résistance.

Qnand les vis et les écrous ne sont pas exécutés avec une extrême précision , dans certaines parties il y a du vide entre la vis et Técrou; dans d'autres parties il faut que les filets en relief se copoptiment, ou que les filets en creux s'élargissent , pour que le mouvement puisse avoir lieu. Aussi les instruments qu'on emploie pour tailler les vis demandent-ils une rare exactitude de formes et de mouvements.

Il y a deux genres d'actions exercées sur la vis et sur son écrou, quand on les soumet à l'effort d'une puissance , pour vaincre une résistance.

Un premier^genre d'action tend à rompre le filet de la vis , par une force de pression exercée parallèlement à l'axe : force égale à la résistance même que la vis produit , soit en poussant , soit en tirant. Cette force se décompose en autant de parties qu'on peut concevoir de points de contact entre la vis et l'écrou. La partie de la

DOUZIÈME LEÇOrr. Sji

résistance transmise en chacun de ces points est en liaison inverse de la suH'ace des filets , estimée perpendiculairement à l'axe : surface proportionnelle à la saillie des filets ^ pour une même longueur de filets. Mais , il est une saillie qu'on ne peut guère dépasser sans s'exposer à voir les filets brisés au moindre choc. Lorsque le profil de ces filets est un triangle, on préfère ordinairement le triangle dont les trois côtés sont égaux. Quand le profil du filet est un rectangle, on lui donne autant de largeur que d'e'paisseur, c'est-à-dire qu'on en fait un quarré*. On distingue lés deux vis ainsi formées, en disant que la première est une m a filet triangulaire^ fig. 2, et la seconde une vis a filet quarré,^ fig. 3.

Lorsque les vis n'ont que des efforts médiocres à supporter et des résistances me'diocres à vairi-r cre , on les fait en bois. Il faut choisir une espèce de bois telle que le buis, le hêtre, le poirier, dont les différentes parties -aient entr'elles une liaison suffisante dans le sens longitudinal. Néanmoins , ces vis sont exposées à ce que leurs filets s'ébrèchent facilement ; c'est un grave inconvénient auquel ne sont pas sujettes les vis exécutées avec des métaux.

Les vis métalliques ont d'ailleurs le grand avantage de pouvoir supporter une résistance donnée , sous un volume beaucoup moins considérable.

34^ ' MECIIANIQUE.

Il serait difficile d'énumérer eu détail toutes le3 applications qu'on fait de la vis, dans remploi des machines. Elles servent particulièrement pour exercer de fortes pressions. Telle est la vis appliquée à la presse du relieur , pour comprimer les feuillets des livres.

Les verrins ont aussi pour objet dexercer de grandes pressions. Dans ces machinés , Fécrou est fix€ et se prolonge comme un tronc de pyramide quarrée^ dont la base pose sur le terrain. La vis est mise en mouvement par un ou deux bras dé levier. (Voyez la fig- 4-)

Toutes les fois qu'on a besoin de tenir fortement comprimés l'un contre l'autre deux corps solides, on les fait traverser par une cheville ou boulon, fig. 5, qui, d'un côté, présente une tête saillante servant de retenue; et, de l'autre côté, un certain nombre de tours de filet de vis. Quand on a fait entrer dans le trou, préparé d'avance, la cheville ou le boulon qui doit traverser les deux corps qu'on veut unir, on engage un écrou autour de la vis ; on serre cet écrou avec une clef quarrée, semblable à celle dont nous avons parlé , page 338. Par un tel moyen , dans la charpente civile et dans la charpente navalç, on joint ensemble un grand nombre de pièces importantes.

Il y a des vis formées de filets élastiques et isolés, tels que certains ressorts de voitures,

qu'on appelle ressorte h boudin. Voyez XIV*. et XV'. leçons.

La vis peut être considérée comme un cylindre denté. Aussi feit-on usage de ce cylindre ^ pour communiquer du 'mouvement à dei roues dentées. Tel est le système de la vis sansjîn.

On fait usage de la vis sans fin , dans un^grand nombre de machines ; par exemple , dans le tourne-broche. On peut combiner la vis sans fin avec le treuil ou le cabestan, etc.

■ On combine la vis avec la roue dentée par engrétid'ge, ainsi qu*on le voit représenté, fig. 6. ftnr ce moyen Ton transmet le mouvement ii^thtf axe bc^ parallèle au plan de projection, à Hli autre axe représenté par le point o ,^et per- |iNendi<iQldiré à ce plan.

Sôit F la force appliquée: à la manivelle cpp\ nu bout du bras de levier cp; soft /la force ttansinise en m, par la vis sans fin, à la roue dentée dont te i^ayon égale mo. Enfin , soit R la rédistance a^ssànttru bout dur bras de levier no. Nous anrans

^ /• Circonf. d^or. par la matiiv. .^ -r»-. o "p ^^ /•

•'• rJM de VIS. ' no •^

-fc, • . -^ ifW ^ Qrcjonf. décrite pa# k maiiiv«U« «. ^ w

Denc R =c — X p / . . X F,

. . no rac de. .ti» t

égalité qui donne le rapport! de la puissance à b.?éftîstan€e.

344 MÉC?IANIQU£«

Un second genre d'action exercée sur la vis et sur son écrou par la puissance et la résistance, tend à produire la torsion de la vis et kl torsion de Vécrou. Pour nous former une idée juste de ce genre d'action, considérons un &isceaa de prismes égaux entr eux , teb que des fibres végétales , formant un arbre par leur réunion. Supposons qu'on veuille tordre cet arbre, en appliquant à ses extrémités deux forces F,/, fig. 7 , qui soient perpendiculaires à la direction des fibres, et qui tendent à tourner exk sen^. contraires. Si Tarbre cylindrique n^est point parfaitement rigide ^ et Ton n'en connaît a^h^in qui possède une rigidité parfaite,. î\ Y'Jkfiè^ à l'action des deux forces. Une de ses litiges va tourner dans le sens de droite à gauche, taior dis que l'autre base tournera !jans le sens de gauche à droite. Supppsons que , dans toute sa longueur, cet arbre né présente qu'un mérnf} degré de résistance, Supposo^s, de plus, ti*acé^ différentes sections faites par des plans p^ralr lèlesaux bases, et à égale distance; la première aura tourné par rapport à la deuxième , 40 même angle que la deuxième par rapport à la troisième, que la troisième par rapport à Ja qiiatrième , et ainsi de suite. Donc les points qui sur chaque base formaient d'abord une fibre rectiligne, forment une spirale par l'effet, .des deux forces agissant en sens contraires , en des

(joints . différents de la longueur de larbr appelle torsion cette déformation.

Si les fibres, au lieu d'être adhérentes libres de glisser l'une contre l'autre, o moins, ne sont retenues que par le frottei iSilors la torsion d'un cylindre ou faisceau mé par la réunion de ces fibres ^ est celle produit par la fabrication des cordages.

Ou peut demander quelle est la résis qu^opposent à la torsion, des arbres qui difi de diamètre , mais qui sont de même subs Pour résoudre aisément cette question , i concevoir deux cylindres infiniment min d'égale minceur, ou, pour mieux dire, doi paisseur infiniment petite soit égale ^ qu fièrent de diamètre, et qui, d'ailleurs, ai même longueur. Appliquons tangentiell à ces cylindres et dans le plan de leurs I des forces qui tendent à les faire tourn sens contraires , et par conséquent à les te Pour un même angle de torsion des dirigées suivant les arêtes de ces cylindr £iudra la même force afin de tordre des de même volume. Mais le nombre de ces est proportionnel à la circonférence des \ Donc: i®. pour tordre les deux cylindres infiniment minces, de manière à ce que fibres fassent le même angle avec leur dir primitive , il faut employer des forces qui s

T. n. -— Mkchah.

proportionnelles aux circonférences des basei, et par conséquent aux rayons des cyliùdrès.

Supposons qu'on ait un arbre plein et cylindrique , divisé par la pensée en crjrlindres créai d'égale épaisseur ^ et tous concentriques ; supposons, de plus, qu'on imprime une même torsion à tous ces cylindres, de manière qac chacun de lein*s points situés dans une section perpendiculaire à Taxe , conserve sa position relative. Il est facile de voir qu'après la torsion, Fangle formé par les fibres, avec leur direction primitive , éera proportionnel à la distance de ceâ fibres à Taxe. Par la torsion , chaque fibre exerce pour ^e détordre un effort proportionnel au rayon du cylindre où ellese trouve , et l'exerce par rapport à Taxe, avec un bras de levier^ à ce même rayon. Par conséquent, la force quï faut employer pour la torsion de chaque fibre est proportionnelle au quarré de sa distance k l'axé. Il suit de là que la force totale nécessaire pour donner aux cylindres un degré de tor^ sion , pris pour unité , est proportionnelle à la somme des moments d'inertie de leur base , pat rapport à Taxe; c'est-à-dire, proportionnelle i la surface de la base du cylindre , multipliée par le quarré du rayon. Donc , si les rayons sont :

i,a,3, 4» 5, 6, 7, 8, 9, lo^...

Les nomb. i, 16, 81, a56, 635, 1296, 34oi) 4^^' 6563, 10,000,...

indiqueront le rapport des forces qui peuvent

D013ZIÈMS LJBÇON.

produire un même degré de torsion , poi divers cylindres ayant une longueur û5 entre les forces qui les sollicitent à la toi

Soient deux cylindres , de différent rayon fig. 8 et 9 1 sollicités à la torsion , le premic les forces.égales^ y, le second par les i égales F, F. Les distances mg , MQ , de ces 1 étant égales , quand on aura

/: F : : Sur£ mnsx /^ : Surf. MNSXR les angles de torsion mon , MON , s égaux : ^, O, sont les centres des bases;

pia : MN : : r : R.

Si Ton voulait prçndre MN'=^/w/î, et t le gros cylindre de ipanière à faire ai en QN' la fibre QM , elle formerait av direction primitive MQ , le même angle q fibre çn avec la direction primitive mq. S la force nécessaire pour tordre le grand cyl suivant la direction QN'; on aura

F : F: MN : MN' : : R : r, d'où F = I

mais F =/. — — X -7'

Jl «T ^ . Surf. MNS ^^B

doncF=:/x -rr; X-.

•^ Surf, mns r

$i rinelinaison qn est suffisante pour duire l'arrachement ou la disjonction des i du petit cylindre , la même inclinaison QN née par la force F, prodaira le même sur le cylindre : donc les forces f^ F, qui

348 KÉCHAIflQUE.

duiseni la rupture des cjrlindres de différm diamètre^ sont proportionnelles à la swficé des bases , multipliée par le rajon de ces bases : i^ésultat d une simplicité remarquable.

Au moyen des rapports que nous venons d'indiquer, il sera toujours facile , quand on connaitrac la résistance dont un arbre est susceptible, pour une dimension déterminée, de calculer la résistance dont est susceptible nn arbre de même nature ayant d'autres dimensions. On conçoit combien de pareils résultats' ont d'importance pour fixer les dimensions que doivent avoir les arbres des machines; par exemple^ les arbres du treuil et du cabestan, les^ arbres de couche employés à transmettre h force des machines hydrauliques , des machines à vapeur, etc.

La force de torsion des bois varie suivant l'état de l'atmosphère , et suivant la nature de chaque espèce d'arbres. Lorsque le temps devient plus humide, les bois résistent davantage à la torsion , et lorsque le temps devient plus sec, ils cèdent, au contraire, avec plus de facilité, aux forces qui les sollicitent à la torsion. Ce résultat , qui semble contrarier les idées cofflmunément reçues , est démontré par de nombreiises expériences que j^ai faites sur la torsion' (ies bois, et que je ne puis reproduire ici.

'^fij(rsiçn des cordages. Nous pouvons mm^

tenant donner nne des applications les plus im^ portantes qu'offrent les propriétés des spirales. D'après ce que nous avons exposé dans la' XIP. leçon, GjÉoMjêTTiiE, on a vu que chacun des fils dont se compose un cordage, se plie, par la torsion , suivant une spirale; et que toutes ces spirales ont pour axe commun Taxe même du cordage , c'est-à-dire , la ligne qui se trouve, en tous points, également éloignée de la circon» férence du cordage supposé droit. Tous les fils qui se trouvent également éloignés de Taxe ont une même longueur, entre deux sections faites perpendiculairement à l'axe. Mais les fils placés à diverses distances de l'axe n'ont plus la même longueur, et cette longueur croît à mesure que la distance à Taxe augmente. Pour se former une idée juste à cet égard, soient ABCD, ABCIV, ABCp", etc., fig. lo, des rectangles tels que, pour une hauteur AB égale à la hauteur du pas conynun des autres spirales formées par les fils,

les longueurs AD , AD', AD", représentent la

longueur des circonférences des diverses couches des fils qui forment le cordage. Si, du point B, ^ l'on mène les obliques BD, BD', BD",.- ces obli-. ques représenteront la longueur des parties du fil formant un tour complet de spirale , sur les circonférences qui appartiennent aux joints D, D', D'', etc. Toutes ces obliques sont inégales, et doutant plus longues qu'elles s'écartent da-^

fr

35q . MÉCHANIQUB. .

vantage de la ligne AB, perpendiculaire à AD^ Si Fo^Q avait pris d abord un faisceau de£U parallèles et si Ton avait , suivant rancienTï& méthode^ tordu tous ces fils ensemble, ssm leur permettre de glisser les uns contre leS: autres, il aurait fallu que le fil du centrej représenté par AB , se fut comprimé., et que le fil de la circonférence extérijeure, représenta par BD, se fût étendu : de manière qu'entre Içs, deux sections AD et BG, les deux parties de fil,, qui primitivement étaient de même longueur,, se trouvassent réduits à AB et BD. Pour que les fils qui composent un cordage fabriqué suivant Tancienne méthode , se tiennent en équilibre , et que le cordage conserve sa forme , il faut donc : i®. qu'une portion des fils intérieurs soient comprimés ; 2°. que taus les fits* extérieurs et ceux qui les a voisinent soient allongés ; 3°. que la résistance à l'extension soit en équilibre avec la résistance à la compression. Supposons qu'on tire un cordage , ainsi fabriqué , par des forces appliquées à ses deux extrémités ; l'effet de ces forces sera d'agir pour allonger le cordage. Les fibres du centre se trouvant comprimées , les forces que l'on emploie maintenant tendront à leur faire re« prendre leur état primitif, et loin d'e'prouver de la résistance de la part de ces fils , ellçs seront, au contraire, favorisées par la coEppres:

DOUZIÈME LEÇON. 35ï

"Biion ^èxistante déjà. Il ne restera dbiic plus, |>bur s'opposer à Texténsion du cordage , que lés fibres extérieures et celles qui lés a\'oîsineht. • ' Aitisi , dans la manière ancienne de fabriquer léà cordages, il ti'y a jamais' qu'urie partie' défi fite de chaque corde , qui s'opposent à îexf éiV-î sioTi et à la rupture : ces fils s y opposent inéga-Jlément. Si donc ils n€ sont susceptibles que d'un certain degré d'allongement , quand , par l'efifet tfès nouvelles forces , les -fils qui ^e^ trôtiverit- à l'ièxtérieur dii cordage alteîghèjit cë'de^ë d'àllôngëment, ils rompent sans que le&'lili*îiàt'é«^ rieurs aient encore atteint le poinï de leur pins grande résistance. Lès premiers fils tetérieiu^ i^onipus, la couche qui se trouve ensuite ISl plus (éloignée du centre doit rompre; et aini de suite, jusqu'au centre du cordage; ' '*'

Eh se rendant compte de ces résiiitànces Récessive^, on a reconnu tout l'avantage qu'il y aurait à ce que les fi!s qui compdsefït^ ttrt cordage se trouvassent égaleitaent tendus IdW (le la fabrication de ce cordage. ï^arce toi*]fyfen, lôus les fils résisteraient à la fois à l'allongèinënt; On conçoit qu'un tel effet aurait d'autant plus d'efficacité que le cordage serait plus gros , puisqu'alors la différence entre l'allongement des fils extérieurs et des fils intérieurs serait crantant plus grande.

Tel est le principe d'après lequel les Atiglais

352 MÉCHÂNIQUE.

ont imaginé leurs nouvelles machines pour &bnquer les cordages; machines que j'ai le premier * fait connaître en France > et qu ensuite nos plus habiles ingénieurs ont reproduites avec des modifications qui leur appartiennent j et qui ont donné des résultais d'une grande importance pour la marine française.

Avec les machines que M. le baron Lair et M.Hubert ont fait exécuter dans les ports de Brest et de Rochefort^ on fabrique des cordages qui ont beaucoup plus de force que les anciens; ce qui rend le gréement des vaisseaux plus lé» ger. fji conservant la même force aux cordages, on peut diminuer leur diamètre et par conséquent , aussi , les dimensions des poulies em^ ployées à manœuvrer ces cordages; ce qui soulage beaucoup la mâture des vaisseaux»

Il est à désirer que nos ports de commerce adoptent ces principes nouveaux , pour febriquer des cordages : ils y trouveront , à la fois , les avantages de l'économie et ceux de la force.

Du coin* On appelle coin un prisme triangulaire dont on fait agir une arête coupante, EF^ fig. 1 1 , pour séparer deux corps ou deux parties du même corps. Cette arête est ce qu'on appelle le tranchant du coin; la face ABGD, opposée au tranchant, est appelée la tête d« coin ; on donne le nom de côtés aux deux Esices ADEF^BCEE, à droite et à gauche du tranchant.

On se sert du coin dans une foule d'arts, pour couper les corps ou pour les fendre; nos couteaux , nos ciseaux , nos sabres , nos haches , sont autant de coins employés dans les usages de la paix et de la guerre. On doit pareillement regarder comme des coins , les rabots , les tranchets, les bêches, les pelles, les pioches, etc« J^e coin est donc une des machines les plus importantes dont nous puissions nous occuper.

Soit un coin ÂBG , fig. 1 2 , qui tende à repousser , avec la force P , le point E retenu par une seule force G, et le point F retenu par une seule force K. Demandons-nous les conditions d'équilibre de ce système.

P'abord;, quelle que soit la force. P, si; les forces G , K 9 ne sont pas respectivement per^ pendiculaires aux côtés du coin AC , BC , 1^ points £, F, glisseront le long des côtés AC,BC; par conséquent l'état d'équilibre sera rompu. Donc : lo. G est perpendiculaire à AC et E. à BC ; 2^» pour que les trois forces P, G, K , agissant sur im coin ABC, puissent se faire équilibre, il faut que ces trois forces concourent en un même point-Q, et que, l'une d'elles puisse être considérée comme la résultante des deux autres.

Construisant sur OG, OK et OP prolongé,

le parallélogramme Onpq, il faudra qu'on ait

Force P : force G ; force K: : Op : On: Oq::^np.

Telle est la condition de l'équilibre du coin.

T. II. — MÉCHAn. 45

3S4 MÉCHANIQVE.

liés trois côtés an triangle Onp tiàtit tespec* tivement perpendicphires aux troiS^. côtés dô triangle ABC; donc où a ^ Force P : force G : force K : : AB : AC : BC.

Quand les deux côtés AC , BC , du coin Sont égaux , £ig. 1 3 , il faut donc que les résistances C^et K, proportionnelles à ces côtés, soient -pareillement égales entr'elles. Un tel cas se présente fort-sottvent dans la pratique. Ainsi les deux côtés des couteaux, des haches et des sabres sont en général symétriques. Alors là puissance est à là rés^tanee ëproutéé pour repousser chaque côté, éomme la lai^ûr dé la tête du coin est à la longueur du côté.

-Plus les coins sont aigus y ptàs leurs c6tés sont longs, quand la tété resté la. même; plus h téta est étroite , quand les côtés restent les mêmes. Voilà pourquoi Ton fait , avec une puissance donnée, équilibre à une résistance dlatt' tant plus grande que le coin est plus aigu : et pour détruire une résistance donnée, il suffît d'une puissance d'autant plus petite que le coin est plus aigu«

Au lieu d'une seule force EG ou FK, af pliquée à chaque point E ou F, si l'on en avait deux, c'est la résultante de Ces forces qui devrait être ..perpendiculaire à la face AC ou BC correspondante; rien ne serait plus facile que de résoudre ce nouveau problême.

. l<)ignoi>$ les points d'application E et F,fig. 1 3, des résistances £G, FK, par une ligne droite^ËFA: ; projetons , ensuite , EG, FR, sur la ligne g^EFAr^ par les perpendiculaires Gg* , Kk. Alors , % et ¥k représenteront les forces qui tendent k écarter }es points £, F, l'un de Tautre.

Quand les cotés AC , fiC , sont égaux , fig. 1 3 , les résistances £G, FK., sont égales, la ligne EF £iit le 'j;néme angle avec les directions EG et FK, ; done alors £^ et FÂ , résistances latérales , sont ^les entr'elles.

Supposons qu outre la force P , fig. 1 1 , per* pendiculaire au tranchantEF, le coin soit poussé par une force Q parallèle à ce tranchant. Le coin s'^foucera comme s'il n'éprouvait que laction de la force P; il se mouvra dans le sens du tranchant , comme s'il n'éprouvait que l'action de Q.

Voilà ce qu'indique la théorie , pour des corps dont les diverses parties auraient une contî«* nuité parfaite ; mais , dans la nature , les corps n'ont pas cette continuité. Il faut considérer leurs aspérités extrêmement petites et souvent imperceptibles à la vue simple, comme de petits coins saillants implantés à la surface.

X«orsqu'on presse le coin sur un corps plus ou moins compressible, ce corps cède à la presfiion; et la résistance augmente d'autant, parce qu'elle multiplie les points de contact entre le coin et ce corps.

356 MÉGHANIQUE.

Lorsqu'on fait glisser le coin sur le corps , diacune des aspérités de sa surface devient, comme nous l'avons dit, un coin particulier qui tend à s'introduire dans ce corps avec tout l'avantage de la puissance 1sur la résistance , qui peut être donné par la forme plus ou moins aiguë de ces aspérités. La puissance est donc employée d'une manière beaucoup plus avantageuse dans ce système y qu'en faisant pousser le coin par une force perpendiculaire à la direction de son tran* chant. L'expérience montre l'effet de ce grand avantage , dans une foule de travaux des arts.

lïous pouvons rendre sensible notre expli* cation en citant une machine où les aspérités sont façonnées exprès par l'industrie. La ma* chine dont nous voulons parler est la scie. I^ulg^ nous une plaque métallique ABCD, fig. 1 6, dont le côté CD soit taillé de manière à présenter une suite d'angles égaux a^ a, a, etc. Eny^loyons altc^ nativement deux forces égales Q , R, pour tirer et pousser la scie sur un corps MN, tandis qu'une troisième force P, laquelle , souvent nest autre chose que le poids de la scie , agit dans une direction perpendiculaire. Nous aurons l'idée du coin composé , dont on fait usage pour scier les bois , les métaux et tm grand nombre d'autres substances.

Si l'on voulait diviser ces bois ou ces métaux avec une lame ABCD, fig. i6, inoimobile, et

DOUZIÈME LEÇON. 55j

sur laquelle on ferait agir un poids extrêmement considérable, il serait généralement impossible de diviser le corps. Mais, avec une somme d'efforts très-modérée, on parvient à le diviser par un mouvement de va et vient, semblable à celui de la scie.

. La figure des angles saillants a^aj a^ qu'on appelle les dents de la scie , n'est point indifférente; elle varie suivant la naMire et la dureté des substances qu'on emploiç.

Lorsqu'il s'agit de scier des corps très-durs , on a soin de faire les dents petites, et par conséquent rapprochées : chacune d'elles étant destinée à enlever^ à chaque mouvement de la scie, une portion peu considérable du corps très-dur. Lorsqu'il est question au contraire de scier des corps peu résistants , on agrandit les dimensions des dents ^ et souvent , au lieu de leur donner la figure d'un triangle rectiligne, jOH leur donne une figure courbée telle qu'on la voit représentée dans la fig. 17-

La scie employée à diviser la pierre et le marbre, fig. i5, ne présente pas de dents artificiellement préparées. C'est une simple lame d'acier qu'on tire et pousse sur le bloc qu'il faut refendre. On supplée aux dents de la scie par du sable siliceux , dont les arêtes aiguës font Toffice de coins ; pour scier le granit , on remplace le sable par de l'émeri. La lame de la scie

35B . IfKOHAtfIQUBi

s'a pas besoin d'être très^dure, et poumit étr« en fer, Oa pourrait, de plus, introduire rooins maladroitepient qu'on ne fait ^ le sable ou fé* méri jusqu'au tranchant de la scie.

Non-seulement on forme des coins dentés è tranchant rectî ligne, on en forme dont le tranchant est circulaire » et d'autres dont le trano chant présence des courbes très<-variées. .

Les scies cii|ulaires, fig. i8 , ont leur coniotir hérissé de dents siemblables : i "*. à celles de h fig. 1 6 « pour scier des corps très-durs ; a^. à oella de la fig. 1 7 , pour scier des corps peu résistants* La &brication des scies circulaires exige beàuôoop d'habiliaté dans la trempe des métaux qu'on em^ ploie; mais ce n'est pas ici le lieu de décrii'eee travail. On &it ordinairement les petites sctei circulaires avec une seule feuille d'acier qot Ton monte sur un essieu en fer«

La scie de long a l'inconvénient de toute» les machines dont les mouvements sont alter* natifs. Chaque fois qu'elle rétrograde , le temps employé à cette rétrogradation est perdu pour le sciage. Mais nul instant n'est perdu dans k mouvement de la scie circulaire , laquelle opère avec continuité et toujours dans le même sens.

Pour que les scies circulaires produisent un effet très-avantageux, il faut qu'elles soient animées d'une vitesse extrêmement xonsidérable. On observe, alors ^ qu'il suffit de presser fort-peQ

DOUZi&MË LEÇON. , SSg

eoittre la scie le corp!^ qtfon doit scier, pour voir ce corps divisé avec une rapidité et une facilité singulières. Les scies circulaires qu'on emploie ont leur essieu établi parallèlement à la surface horizontale d'un établi et encastré dans cet établi ; de manière que le plan de là «cie soit perpendicukire au plan de rétabli. Lorsqu'on veut travailler des tringles ôu prismes doni totttigs les faces Sôttt d'équerre, on présente les pièces de bois que Ton veut débiter, de manière qu'une de leurs faces, déjà dressée, se meuve sur le plan de l'établi , tandis qu^une secondé fiu:6 se meut tângentiellement à un guide fixé parallèleiDent au plan de la roué^ et à là distance convenable. En faisant avancer la pièce de bois qu'on veut débiter, il est évident quç lé plan delà scie y trace une section parallèle à la feice plane qui s'appuie contre le guide. Cette face taillée , on l'applique elle-iûéme contre le l^otde , et elle sert à tailler une nouvelle face dans la pièce qu'on veut débiter. C'est ainsi qu'on parvient à former dés tringles quarréès ou rectangulaires, dont les épaisseurs sont dôûtléès. Ce travail s'exécute avec beaucoup d^àvantage , lorsqu'on doit débiter un grand nombre de trinl^es ayant même équarrissàge.

Les arsenaux de la marine et de l'àrtillerié Vèï

tous les grands ateKers de constructions, peuvent âiife le plus utile usage des scies circulaires, qui

36o MECHANIQUE.

commencent à s'établir en France , où je les ai le premier apportées d'Angleterre.

Nous dirons un mot des grandes sâes circor laires employées pour débiter les bois de pk-^ cage y tels que l'acajou. Qu'on imagine une roue ayant à peu près six mètres de diamètre y formée par des rayons très-minces dans le sens perpeiH diculaire au plan de l'axe, très-larges dans le sens même de l'axe , à partir de cet axe , et diminuant de plus en plus de largeur , suivant qu'on s'approche de la circonférence de la roue. Cette circonférence est garnie d'une suite d'arcs qoî sont des plaques d'acier dentées , et qui , par leur continuité, forment la scie circulaire. Cette grande roue est mi^e en mouvement par lemoyeD d'une machine à vapeur. Le bloc d'acajou qoii faut débiter est fixé sur un chariot dont la vitesse progressive est proportionnelle à la vitesse de la roue. Au fur et à mesure que cette roqe tourne , elle pe'nètre dans le bloc de bois , dont elle détache une feuille ayant environ deux millimètres d'épaisseur. Cette feuille ^ eu se détachant , se plie un peu pour suivre la forme concave présentée par une surface de révolution composée de feuilles métalliques ou de planches légères fixées sur les rayons de la roue. C'est ainsi qu'on débite des feuilles de placage dont la largeur a souvent près d'un mètre et demi. La plus belle scie de ce genre qu'on ait encore éta-

bOUZIÈMfi X.XÇOX. 36t

)blié,i est due à M. Brunel; qui la construite Yians ses atelieps de JBattersea^ près de Londres. Voyez ^ au siijet dés scies d'Angleterre, nos Voyages dans la Grande-Bretagne^ .>;:.:

IL existe un grand nombre' d'instruments qtii' sont de Véritables scies; par exemple, les fau-* cilles , les &uIk, les limes. Pour aiguiser les faucilles et lés faulx, fig. iget 30, on entaille leur contour ÂBC par une suite d'incisions qui présentent des coins très-rapprochés , et dont le tranchant forme partout le même angle avec^le contour de la faucille ou de la faulx. Chaque> brin de paille ou de foin qui se trouve en contact avec ' Tinstrument est successivement entaillé à une trè&-petife:profondeur par chacune des dents ainsi forméesw Lorsque leimouvemént a beaucoup de rapidité , la résistance est dimihuée de telle sorte que les tiges végétales B sont taillées sans être brisées; tandis, qu'il aurait fallu beaucoup plus de force pour les couper d'un mouvement perpendiculaire à leur axe. Ici , l'analogie est évidente entre l'action de la faulx , de la faucille et de la scie circulaire; . '

On a fait des sabres dont le tranchant est denté. Cette arme cruelle, qui ne convient qu'à des peuples barbares, peut produire un grand effet.

-Le cimeterre des peuples de l'Orient est mis en action suivant le système de la scie circulaire. Au lieu de frapper perpendiculairement au tran^