DA:DB: : Y:X

Ensuite , R et Z auront pour rés\il(ante S = R4-Z = Xh-Y + Z,. et le point d'application E, de S, sera tel que DE : ËC : : Z : R,

Cela posé, changeons à la fois la direction de toutes les forces, sans changer leur parallélisme 2 puisque la position des points D et E est indépendante de la direction des forces, cette position restera la même. Ainsi, de quel*que manière qu'on change la direction des forces parallèles agissant sur A, B, C , pourvu qu^^ le parallélisme ne soit pas détruit, la résultante aura toujours le même point d'application Eé

Si j'avais quatre , cinq ou six forces, au Keu de deux, je trouverais, de même, que le point d'application de toutes les forces ne saurait changer, quoiqu'on changeât à la fois la direction de toutes les composantes : pourvu que ces forces restassent parallèles.

On peut considérer un corps comme étant l'ensemble c|'un très -grand nombre de petites parties de matière, poussées vers la terre, par des forces dont les directions sont à, très-peu

7^ MlêCHAWlQUE.

prés parallèles; et peuvent, sans aucune erreur sensible^ être considérées comme telles.

Lorsqu'on tourne et retourne le corps , si p dans chaque position, on cherche le point ou ^ devrait être appliquée la force unique résultante du poids de chaque petite partie du corps, oa trouve toujours un même point : ce point remarquable est ce qu'on appelle le centre de gravité.

On s'assure^ par l'expérience, de cette propriété des corps, en les suspendant par un fil dans différentes directions; le fil suit évidemment la ' direction de la résultante du poids de toutes les parties du corps, et l'on reconnaît que le fil est toujours dans une direction qui passe pai* ua point unique ;. c'est le centre de gravité.

La propriété des centres de gravité a des conséquences très-importantes pour les arts, dan& Iç mouvement des corps.

Supposons qu'un corps de figure quelconque se meuve en ligne droite, et sans tourner. Chacune de ses petites parties, appelées molJculeSp est animée d'une force proportionnelle : i*. à lu. vitesse commune ; 2». à la quantité dq matiéro que contient cette molécule.

Dans le mouvement rectiligne que nous eau^ minons , chaque molécule se meut en ligne droite ; elle est animée d'une force dirigée daa& le sens de «^ette droite, et proportionnelle : i®- à sa massé ; 2^. à sa vitesse.

TRQlSliME LEÇON, 77

Con^déronSj par ^xempl^, un corps qui ail un mètre de longueur. Si l'on prend cette longueur pour base d un triangle dont le sommet séit au centre de la terre ^ on va former un , triangle dont la base ne sera pas la six-milKon* niéme partie de sa hauteur ; et les deux l<»ig8 côtés y qui représenteront la direction de la pe- ^auteur» ne feront pas un angle égal au cent miUihne d^un degré : angle que nos meilleurs instruments ne sauraient parvenir à mesura".

Toutes ces forces ont une résultante unique, parallèle à'Ieur direction commune> égaleàleui" somme, et passant par le centre des forces , qui est ici le centre de gravité du corps.

Ainsi le corps se meut de la même manière ^ c'est-à-dire , en ligne droite et sans tourner :

i". Si l'on anime à la fois chacune de ses mon lécules par une force proportionnelle à la masse de la molécule et dirigée dans la direction donnée.

a®. Si Fon anime le corps entier par une seule JorcCj parallèle à la dit ectiort donnée j et passant par le centre de gravité du corps .^

Z^^ .^ Si l on anime le corps par plusieurs forces: parallèles , ayant une résultante uni(pêe qui passe par le centre de gravité du corps.

Par conséquent, pour arrêter complètement^ au moyen dune seuleftn-cey le mouvement d'un corps qui s'avance en ligne droite, il faut que

la direction de cette force passe par le centre de gravité du corps.

Pour arrêter y au mojen de plusieurs forces f le mouvement d^un corps qui s avance en ligne droite, il faut que la résultante de ces forces passe par le centre de gravité du corps.

Nous avons prouvé qu'en suspendant ou soutenant un corps par un seul point ^ la condition d'équilibre est que le centre de gravité du corpi» se trouve sur la même verticale avec le point de suspension. Quand on veut suspendre un corps dans une position déterminée, il faut, par conséquent, concevoir une verticale qui passe par le centre de gravité de ce corps , et placer le point d'attache sur cette verticale'. Dans la leçon où je ferai connaître la position des centres de gravité du quarré , du rectangle, du lozarTge , du cercle , de l'ellipse , etc. , vous verrez que les cadres auxquels on donne cette forme, et qu'on suspend dans nos appartements , ont leur point de suspension et leur point d'attache placés sur une même verticale avec le centre de gravité des ea- . dres. Il en est de même des lustres suspendus aux dômes des églisçs, ainsi qu'aux planchers des salons, et des seaux suspendus à des cordes pour puiser de l'eau, pour descendre dans les mines.

La connaissance de la position du centre de gravité est, comme on voit , nécessaire aux artistes, soit qu'ils posent des corps destinés à res-

THOISIÈMX LEçorr^ 79

ter en repos dans une situation doi^née^ soit qu'ils doivent faire a\^ancer des corps en ligne droite et sans tourner; soit qu'ils doivent arrêter le mouvement des corps qui s'avancent ainsi. . Le corps de Thomnrë a son centre de gravité, copfime tout autre corps.. Mais ce centre de gravité change de place quand Thommie remue quelqu'un de ses membres , ou quand il porte quelque fardeau* Alors le corps de l'homme et le fardeau ^ considérés ensemble, ont un centre de gravité par lequel passe la résultante du poids de cet homme et du poids de son fardeau.

Quand, l'homme se tient debout et droit, fîg. 9 et lo, on peut regarder la plante de ses pieds comme les points d'application de forces parallèles agissant de bas ei^ haut, et représentant la force de résistance du terrain sur lequel l'homme est placé. Toutes ces forces de résistance ont une résultante verticale uniqjue,en un certain point A.

Pour qu'il y ait équilibre, il faut que cette résultante passe par le çetître de gravité G de notre corps ; sans cela le corps est entraîné du coté vers lequel se trouve ^son centime de gravité. Nous tomberions infailliblement , si nous ne nous hâtions de ramener ce centre à l'aplomb dé là résultante des forcesL de résistance , £n rejetant quelques-uns de nos membres vers le côté opposé à celui vers lequel notre chute commence.

Le centre de gravité de notre corps, doit

Sn MÉCHANIQCF.

donc être considéré comme variant presque à chaque instant, par les mouvements divers qu'exigent nos besoins ou nos plaisirs.

Dans les beaux-^rts et dans beaucoup de branches de l'industrie > il est important d'étudier les diverses positions que peut prtodre notre centre de gravité.

U faut que les peintres et les sculpteurs con-' naissent assez exactement ces positions, pour ne jamais poser leurs figures, ce qu'on appelle en porte à faux , c'est-à-dii*e , dan^ une situatioA telle que de vrais personnages ne pourraient s'y tenir sans tomber : défaut qui suffit pour ôter toute grâce aux compositions des beaux-»arts.

Supposons qu'un artiste représente, dans une situation parfaitement droite, un homme qui porte sur son dos, fig. 11^(1) un fardeau considé* rable et volumineux ; il péchera contre les lois de la méchanique, et contre la vérité d'observation. En effet , l'équilibre exige qu alors le centre de gravité g du corps de l'homme et du fardeau , réunis comme un seul corps ^ soit sur la même verticale que la résistance éprouvée parla plante* des pieds de l'homme. Mais , si l'homme reste droit, le centre de gravitégest porté vers l'arriéré

rf^i

(1) Dana toutes les explications et pour les figures qui T^it suiTre, nous représentons par G le centre de graTÎté du corps dû rhomme, par H, celui du fardeau , et par g le centre de graytté du corps de l'homme eC du fardeau pris ensemble.

tboisiÉmï: leçon. 8i

jusqu'à «OFtir de l'espace occupé sur le teirrain par la plante despieds ; alors il faut que l'homme tombe en arriére avec son fardeau.

Le porte-fàix connaît parfaiteihent cet effet méchanique. Âussi> dès qu'il appKque un fardeau contre son dos , commence-t-il à pencher en af ant le haut de son corps, ainsi qu'on le voit dans la fig. la; afin que le centre «de gravité commun du corps et du fardeaU , soit ramené sur la verticale convenable.

Le fardeau conservant le même poids^ plus son centre de gravité se trouve éloigné de celui dû corps de l'homme, plus le Centre commun est en arrière; plus, par conséquent, le portefaix doit se pencher en avant : ce qui finirait par l'obliger à prendre une position très-incommode et presqu'impossiblé avec un fardeau trop volumineux, comme dans la fig. 12;

Quand un corps est plat d'un c^e et large de l'autre, le porte-faix appuie le côté plat contre son dos; il porte ainsi le plus en avant possiWe, le centre de gravité du fardeau. Par conséquent, avec une charge donnée, il peut se pencher le moins possible en avant , pour être eâ équilibre malgré sa charge.

Le sac du soldat est un poids ass^z considérable, placé contre le dos. L'ancien sac, trèsbombé , présentait un inconvénient analogue à celui du fardeau de la frg. 12, Le centré de gra-

T. II.^-MicBAN. II

Si MiCHANIQUE.

vite de ce poids était fort en arrièrej ce qui contraignait le faotassin à marcher en penchant beaucoup le haut du corps en avant , suivant les pénibles préceptes d'une gothique ordon* nance. En réfléchissant sur les propriétés des centres de gravité, l'on a senti tout l'avantagé qu'il y aurait à donner aux soldats, des sacs larges et plats , fig. i3, dont le centre de gravité se trouvât moins en arrière, en les posant par leur large face contre le dos du soldat. Cette amélioration essentielle est une application bien facile, bien simple, delà théorie des centres de gravité; et pourtant les soldats ont porté péniblement des sacs mal configurés, pendant prés de deux siècles , avant qu'on ait fait cette applicaticm en leur faveur.

Un fardeau placé en avant , produit l'effet opposé, de nous obliger à nous rejeter en arriére pour conserver notre équilibre sur nos pieds, si nous ne voulons pas être dans une position où nous ne puissions nous trouver placés sans risquer de tomber, comme dans la figure 14.

Regardons une poissarde , par exemple, fig. 1 5, dont l'étalage tenu par des bretelles, est horizontalement suspendu devant elle. Elle se tient très-droite , porte le haut du corps et la tète en arrière. Souvent, appuyant les poings sur les hanches, elle porte pareillement ses coudes en arrière : habitude qu'elle ne prend pas, d'ordinai-

Troisième leçoit. 83

rty pour se donner une attitude quinteuse et menaçante ; maïs pour porter sans fatigue le centre de gravite du corps et des bras, aussi en arriére que possible, afin de faire contre-poids à son étal .

Regardons une femme enceinte, fig, i8.

Lorsque sa grossesse augmente , le fardeau plus pesant qu'elleporte en avant, l'oblige, comme la poissarde, de tenir le haut du corps plus en arrière. Si Tusage le permettait, elle marcherait aussi fort'Souvent en appuyant ses mains sur ses hanches , pour rejeter ses coudes en arrière.

' Les hommes incommodés par un embonpoint extraordinaire , fig. 1 7, sont obligés de se tenir d'une manière analogue à la position de la poissarde et de la femme enceinte.

Afin qu'on puisse porter en avant un poids considérable, il faut avancer beaucoup les pieds et rejeter beaucoup en arriére le milieu du corps pour porter le plus possible en arriére , le centre de gravité, fig. 16.

J.-J. Rousseau remarquait que les femmes ne savent pas courir , et qu'elles tendent, en courant> les coudes en arrière. C'est parce qu'en courant , elles portent le haut du corps trop en avant ; ce qui exige cet emploi des bras pour contre-poids.

Quand un porteur d'eau n'est chargé que d'un seau, fig. 20f qu'il tient à la main , le centré de gravité de son corps et du seau se trouve dé-

94 MéCHANIQtr.

placé non plus en avant ou en aiTiére, comme dans les cas précédents , mais de côté; alors il doit se pencher du côté opposé ^ ce qui est toujours pénible. Il en est de même d'une personne qui porte un enfant sur son bras^ fig. 19^

Nous évitons les fatigues perdues , dont nous venons de parler^ en chargeant également deux parties opposées de notre corps. Par exemple ^ en donnant deux seaux au porteur^ fig. 72, et deux enfants d'égal poids à la bonne qui les porte ^ fig. 21.

De faibles femmes portent avec aisance des poids ^ souvent considérables, en les posant sur leur tète y fig. 2?i, de manière que le centre de gravité du fardeau soit àTaplomb du centre de gravité du corps. Alors le centre de gravité du système se trouve plus élevé, n!iais reste toujours sur la môme verticale. La porteuse n'a donc besoin de se pencher d'aucun côté pour conserver réquilibre de sa position naturelle.

Une invention méchanique fort-ingénieuse pour les personnes qui jadis travaillaient à ne rien faire, était la besace. La besace ou bis-sac se compose , comme son nom l'indique , de deux sacs égaux, ou d'un sac unique, percé au milieu, pour passer la tète du quêteur, fig. 24 .A mesure que les tributs arrivent à la besace, on la remplit également par devant et par derrière, et le centre de gravité du système ne change fias de

verticale. On peut donc , avec Temploi de la besace, accumuler sans fatigue^ dans les deux poches qui la composent^ un très-grand fardeau.

Supposons qu'un homme droit sur ses deux pieds se tienne tout à coup sur un pied ; si son corps reste droit , il va tomber inévitablement du côté du pied levé. Mais^ pour prévenir cette chute , rhomme rejette un peu son corps vers le côté du pied qui reste à terre, et le centre de gravité se trouve sur la verticale qui passe dans la partie du terrain occupée par ce pied.

Voilà pourquoi, lorsque les hommes marchent, ils se jettent, sans s'en apercevoir, et alternativement , un peu vers la droite et un peu vers la gauche : suivant que c'est le pied gauche ou le pied droit qui est levé , fig. ^5.

Ce mouvement alternatif est extrêmement sensible lorsqu'on se place en avant d'un peloton, et dans l'alignement de la marche. On voit le peloton osciller vers la droite et vers lagauche à chaque pas, avec d'autant plus de régularité , qu'il marche avec plus d'ensemble.

C'est ce léger mouvement vers la droite et vers la gauche, commandé par la position que doit garder le centre de gravité, qui rend très-pénible, pour deux personnes, de se donner le bras et de marcher un peu lestement, à moins d'aller au pas. Car, sans cela , le centre de gravité de l'une tend à tomber vers la gauche, précisément quand

86 MÉCHAK4QUE.

le centre de gravité de l'autre tend à tomber vers la droite. Par conséquent , lorsque les deux pieds de dedans sont à terre , les deux personnes se choquent ou se poussent Tune l'autre; au contraire , quand les deux pieds de dehors sont à terre , les deux personnes se tirent et tendent à se séparer; ce qui fatigue leurs bras.

Les mêmes raisons , appliquées aux soldats d'infanterie, qui, dans Tordre actuel , doivent marcher en se touchant les coudes , ont fait une nécessité indispensable d'obliger tous les hommes en contact, à marcher au pas. Sans cela, jamais leurs coudes ne pourraient conserver ce contact, puisque le corps de l'un se porterait à droite , quand le corps de l'autre se porterait k gauche : alors l'ensemble de la ligne serait bietitot rompu. Afin que , dès le commencement de la marche, il s'établisse une teiie harmonie dans tous les mouvements, on fait constamment partir les soldats d'un même pied : c'est le pied gauche qu'on a choisi. Ainsi, vous voyez que la raison , qui force à faire partir les soldfUs du même pied, dans les marches régulières, tient à la théorie des centres de grasfité.

La danse offre des applications de cette théorie, qui sont beaucoup plus variées encore que la marche. Vous concevez que ce n'est pas ici le lieu d'examiner les leçons des maîtres de ballet ou de contredanse , pour y chercher de telles appli- '

cations. Cependant , il est un principe de mouvement qui , se retrouvant dans la marche , dans la danse et dans les exercices de voltige, mérite de trouver ici sa place.

Supposons que le danseur ou le voltigeur élève le pied droit , par exemple du côté droit , il doit aussitôt porter quelque partie du corps vers le côté opposé pour maintenir son équilibre; mais, comme il faut que les mouvements du corps même soient aussi petits que possible ^ afin que TefFort soit mieux dissimulé, et qu'on y trouve de l'aisance et de la grâce , il faut que le bras gauche soit étendu vers la gauche. Si Ton ramène le pied droit en arrière, il faut que le bras gauche soit ramené en avant. Telle est l'attitude de la belle statue du Mercure volant, fig. 26; telle est celle des Renommées.

L'opposition des mouvements des bras aux mouvements des pieds, pour conserver le centre de gravité dans la même verticale, est indispensable aux sauteurs de corde qui voltigent sans balancier; aussi, peut-on l'y remarquer beaucoup plus sensiblement. Le balancier a toujours pour objet de ramener sur une verticale passant par la corde, le centre de gravité du corps et du balancier réunis.

J'ai souvent remarqué des hommes qui marchent Vite, qui balancent beaucoup leurs bras kl qui les jettent sur le côté, au lieu de les jeter

88 MéCHANIQOE.

en avant et en arriére, comme font la plupart des hommes. D'après les observatioDS que je viens de présenter sur la manière dont^ à chaque pas, notre centre de gravité se trouve jeté vers le côté du pied qui pose à terre , on voit que les bras, par un mouvement naturel, se portent vers le côté du pied levé, pour ramener le centre de gravité dans la direction de la marche. Ainsi, ces hommes-là marchent plus droit que les autres.

La considération du centre de gravité est d'une grande importance dans Fart de Tescrime. Le poids du corps devant porter habituellement sur le pied gauche, qui reste en arriéré, il &ut. que le centre de gravité du corps soit sur une verticale qui passe toujours par ce pied. Cette condition oblige de porterie haut du corps très-en arrière , et d'étendre en arrière la main gauche pour faire équilibre au bras droit et à la jambe droite, qui sont en avant. Le moindre coup de fleuret renverse le tireur, s'il a son centre de gravité trop en arrière. Au contraire, lorsque ce centre est trop en avant , le tireur éprouve une grande fatigue quand il doit porter son corps en arrière , et la lenteur de ce mouvement peut aussi mettre sa vie en danger.

Dans la leçon que nous consacrerons au mou-* vement de rotation , nous verrons que les centres de gravité n'y jouent pas un rôle moins important que dans le mouvement de ti^anslàtion.

Du centre de gras^iié dès machines et des produits d industrie ; des moments.

Quelques exemples donnés dans la leçon, pré* cédente ont suffi pour montrer combien il importe, à beaucoup d'arts et de métiers, qu'on détermine exactement la position du centre de gra* vite, dans un grand nombre de corps de diverse figure. Il n'est pas moins important qu'on détermine le centre de gravité des parties stables et des parties mobiles de toutes les machines.

Lorsqu'on charge une voiture à deux roues, il est essentiel que le poids du chargement he sbit placé ni trop en avant ni trop en arrière de l'essieu. Dans le premier cas , le chargement écraserait le cheval , ou du moins lui ferait supporter une charge inutile, qui ne diminuerait en rien l'effort nécessaire pour tirer la voiture. Dans le second cas, le poids de la partie d'arrière l'emportant sur le poids de la partie d'avant , la voiture tendrait à basculer, et basculerait en effet, ou du moins tendrait à soulever le cheval et à lui fkire perdre terre. Cet effort pénible pourrait même devenir dangereux, si l'on montait une côte à pente trés-prononcée.

T. II.— MÉCHAH. la

go MKCHANIQUE.

Dans la construction , dans l'arrimage , d«ns l'installation , dans le gréement des navires, il est indispensable de calculer la |X)sition du centre de gravité de chaque partie du bâtiment et de chaque objet qu'il renferme, pour connaître le centre de gravité de l'ensemble ; et pour i'as^ surer qu'il satisfait aux conditions d'équilibre et de stabilité, comme on l'expliquera , III*. vol. , Forces motrices.

Quand deux poids égaux, considérés comme des points matériels, sont attachés aux deux bouts d'une verge inflexible et supposée sans pesanteur , le centre de gravité de leur ensemble est au milieu de la droite.

Une ligne droite pesante, ÀB, fîg. i > représentée par un fil métallique, partout d'égale grosseur , a son centre de gravité G plac^ au milieu de sa longueur. En effet , si l'on suspend la droite par son milieu , il n'y aura pas de raison pour qu'un côté de cette droite l'emporte sur l'autre côté. L'équilibre subsistera , quelle que soit l'inclinaison de la ligne pesante. Le point autour duquel a lieu cet équilibre constant, est le centre de gravité de la ligne droite pesante.

Chacun sait , en effet , qu'en posant le milieu d'un bâton horizontal sur le bout du doigt ou sur une pointe quelconque , on le tient en équilibre. On le tient également en équilibi*e lorsqu'on le suspend par son milieu. Quand nous parlerons

du levier, nous verrons que Féquilibrc de la balance est une application de ce principe^

Supposons, à présent, qu'on démande le centre de gravité rfu système de deux lignes droites AB, CD, fig. a, uniformément pesantes dans toute leur longueur; de manière que les longueurs AB, CD^ représentent les Jioids mêmes de ces droites.

On pourra regarder l^ poids de la droite AB, comme étant concentré en son milieu E, et le poids de CD comme étant concentré en son milieu F.

Alors on aura deux forces parallèles, appliquées l'une en E, l'autre en F, et représentées par AB, CD. Leur résultante sera représentée par AB + CD; elle aura son point H d'application sur la droite EF, déterminé par la proportion

AB : CD ::HF:HE, et AB + CD : AB : : EF : HF;

j, ^ AD X FF „^

dou, — =: HF

Or nous savons trouver la valeur d'un quatrième terme d'une proportion. Voyez GioM., V leçon. Avec la méthode que nous venons d'indiquer, il sera très-facilc de connaître le centre de gravité dautant de lignes pesantes qu'on voudra , en les prenant deux à deux. S'agit-il, par exemple, d'avoir le centre de gravité des lignes droites qui forment le polygone rectiligne ABCl), fîg. 3? On prendra les points i , :2, 5,*.,.., au milieu des côtés AB, BC , CD ; puis, sur la

9^ MÉC1IA.NIQUK'.

droite 1.2 , on trouvera le centre x de gravité des deux droites AB, BC , par là méthode qu'on vient de donner. Menant x 3, et regardant le poids des deux droites ÂB^ BC^ comme concentré en X, dans. leur centre de gravité , on trouvera le point j^, centre de gravité de AB-+-BC, et de CD. On trouvera de même le point % , centre de gravité de AB + BC + CD et de DA. Ce sera le centre de gravité des quatre droites AB,BC,CD,DA.

Il serait utile que les élèves s'exerçassent à faire un polygone ABCD. . ., en fil de fer, et qu'ils y attachassent des fils de soie, 1.2 , x.5 ,^.4> ^^• Ils trouveraient exactement la position du centre de gravité du polygone. Ensuite, avec un nouveau fil , ils suspendraient tour à tour le polygone par le point A, par le point B, par le point C... ; alors, ils verraient qu'un fil à plomb , mis à côté du fil de suspension , passe toujours par le centre de gravité du polygone. Us se formeraient ainsi t par rexpéjience , une idée plus claire et plus facile de la propriété des centres de gravité. Cet exercice leur apprendrait d'ailleurs une opération très-utile, et les forcerait de pratiquer la méthode géométrique des lignes proportionnelles. (Voyez Géométrie, V* Leçon.)

Dans notre cours de géométrie , nous avons soigneusement examiné la figure et les propriétés des lignes symétriques, des surfaces symétri-

QUATRlfeMF Lï-ÇON. g%

qu€S €t des volumes ^métriques. L'importance de la symétrie des formes, est plus grande encore pour le méchanicien que pour le géomètre. C'est un objet sur lequel on ne saurait trop attirer l'attention des artistes.

Soit, fig. 4f une figure quelconque ABCDED' CB'A , symétrique par rapport à Vaxe AE. Soit, g^, le centre de gravité du contour ABCDE, situé à gauche de l'axe de symétrie.

Si nous replions cette partie de gauche sur la partie de droite, elles s'appliqueront exactement l'une contre l'autre. Puisqu'elles ne différeront alors, ni de grandeur, ni de forme, ni de position^ il faudra que leur centre de gravité se trouve au même point. Donc g*', centre de gravité de AB'CD'E, est dans une position symétrique par rapport à g-, c'est-à-dire que^, g', sont également distants de l'axe, et situés sur une droite gg-' perpendiculaire à cet axe.

Les deux contours symétriques ABCDE, AB'CD'E, étant d'égal poids , sont représentés par deux forces égales appliquées, l'une en g, l'autre en g'; et leur résultante, égale à leur somme , est au milieu de gg', c'est-à-dire, en G, sur Taxe de symétrie. Donc...

Le centre de gra^^ité d'une ligne symétrique quelconque^ est nécessairement placé sur l'axe de symétrie.

Remarquons que la superficie plane, terminée

94 MÉCIl AlilQU E.

par un contour symétrique, est symétrique par rapport au même axe que le contour.

Nous pouvons supposer que ce contour termine une surface plane, partout ëgalement pesante , comme une feuille de papier, de métal , etc. Alors, si g, g\ représentent les centres de gravité des superficies placées à droite et à gauche de Taxe de symétrie, la droite ^i^g^' est toujours perpendiculaire, en G, à Taxe, etG^ égale Gg^. Donc, le centre de gravité de toute superficie plane symétrique ^ est placé sur l'axe de sjinétrie. Par conséquent, Si Von suspend par un point de raxe, des cadres de Jigure quelconque f niais symétriques , Vaxe de symétrie se placera toujours dans une position verticale. En effet , le poids de la figure agit comme s'il était concentré tout entier au centre de gravité; de plus, la direction verticale de cette force est supposée passer par le point fixe de suspension ou d'attache. Donc la force est détruite par l'obstacle , et par conséquent le cadre reste en équilibre.

Nos appartements sont décorés par un grand nombre de cadres. Quelle que soit leur figure, ils sont tous de forme symétrique : tous doivent avoir leur point de suspension placé dans Taxe de symétrie; et notre œil est choqué, quand on n'a pas bien observé cette règle.

Pour fixer les idées sur les considérations générales que nous venons de présenter, offrons

QTIATR1È3IE LEÇON. qS

«[uelqûes exemples simples. Dana toutes les figures dont nous allons parler, nous désigneroi^s par la lettre G le centre de gravité.

Le centre de gravité G, tant du contour que de la superficie d'un cadre triangulaire symé^r trique ABC, fig. 5, eÉt placé sur la Verticale qui passe par le sommet A , et par le milieu de ]a base BC du triangle ABC.

Soit qu'on suspende ce cadre par le sommet A, fig. 5, ou par le milieu D de la base BC^ fig. 6, ces deux points étant sur l'axe de symétrie, la position d'équilibre du cadre estcellç où l'axe AD devient vertical.

Suspendons un cadre ayant la for^me.d'un trapèze symétrique ABCD : i". par le milieu £ de sa petite base AB, comme daos la figure 7; 2°. par le milieu F de sa grande base, CD , comme dans la figure 8. L'équilibre exigera que Taxe de symétrie EF, qui ccmtient le centre de gravité G du contour et celui de la surface du trapèze, se place dans une position verticale. ' >-^

La démonstration que nous avons donnée pour faire voir que le centre de gravité d'uri contour plan et dune superficie plane, symétritriques par rapport à ua axe, est nécessaire* ment placé sur cet axe, s'applique également aux figures terminées par des lignes droites ou par des lignes courbes. De là résultent les conséquences suivantes :

96 Ml^CnANIQU£.

Tout arc de éercle ABC, fig. 9, est symétrique par rapport au rayon OB^ qui passe par le milieu de cet arc. Donc le centre G (i) de gravité, soit du contour , soit de la surface de cet arc de cercle , est placé sur le rayon OB. Par conséquent , si l'on suspend Tare de cercle ABC par son milieu B , les deux extrémités A, C, seront sur la même horizontale , dans la position d'équilibre.

Il en sera de même pour la superficie du segment ABC; et pour celle du secteur OABG. En renversant la figure, on obtient une seconde position d'équilibre, fig. lo. Si le point de suspension est toujours sur le rayon OB, ce rayon conservé, dans ce cas comme dans le précédent , une position verticale.

La parabole et l'hyperbole étant symétriques par rapport à l'axe qui passe par leur sommet , si l'on prend, k partir du sommet B d'une de ces courbes, fig. 11, deux portions BA = BC, de cette courbe,- le centre de gravi té de la courbe sera sur Taxe. Donc, si l'on suspend cette courbe par son sommet B, elle sera en équilibre, quand l'axe BD suivra la direction verticale.

Il y a des figures qui ont deux axes de symétrie, AB, CD. Tels sont les rectangles, fig. i a et

(i) Il faut biea remarquer pour l'arc de cercle, comme pour le trapèze , qae le centre de gravité du contour n'a pas la même position que le centre de grayilé de la fnperficie.

QUATAIÈME LEÇON. p7

j3, it^lf ffmt les lozanges^ (ig* i4 Çi^t x5. Dans ces figures ^ ^e qei^iitrç 4^ gray;ité G y c^evaut se prouver :^ur d^aquii 4es axes de $yix^étrie , se Irouve ^éOfip^î^^^ç^^t^^^Ae^fçint (f.q.ij^ leur .est commun, c'est-à-tdim^.^ucq^tre fle.^ymétrie.

Donc^ l^ centre 4'^ grifffité^t^ oontoi^^ s^^^rfici^s , sjrméUiiqM^s ^ ^p^r ra^pqr^t à. d^jipc nsLxe^. fi,e itrof^fS^ a^à croi^epfient d^ ces aa;es ,

>Lçs pplygc^ç^ ^éguU^rs sont; foius ^7,51^ triqyes

^^^ dp:^»i^eaj8ifl^is siynji^triq!^^ di^éi:^atç6 «[ulily.ft d>^ps 4? ?3^flMtrie?* Çpnç^ J^ ceii^refl^ grav^i^^fi fifinffifif fit celui f^^ \ ^ AW^'lfi^^^ 4ff polfg^Jfef riégulier;s , ^pnt Vim et tofitre J^lf'Ç^f 4ff <^mtrf? ^ ^jmetrie .de fies ,pqljf^onef. > ■

^'^l»|J$ftf.%- jÇ et:i7, est.^yflpéi^igij^p^r if?^PPPÇt:»|SQftdçiUix?i^e3 APr C^.P(^i^rJ^i:içnf^re 4^ gna^i^ Çrf Â^ fiorUçH^ ^t de la superficie de tMUi^^^^t0êikfipwref^e\^^ courfff'

Le c^^tf^e, i4fi S^(^^ du contour et do la s^eperJicifxVun Qsrclq^jfst au centre .du fercle.

Âinsi^ par ^qi^elque ppînJLflyt cpntour|d'u^,iC^re flQlygoi^^l r^guiier^. piijd'uQ^iÇPP^PHr ellipt^ue , o^ d-u^ .^oj^tpur dxcala\çe^ qu'on sa;^peadl^e x^ ^dçe y $0^ centre 4? .symé(;rie se plaçeir^. toujours à /'a/7/om6du.poipt.de.vSUSp!e]pi$iop.

T. ir. — MÉcnAN. i5

T)8 IfÉCHANIQCF.

Centre dé gravité des surfaces. Pour en déterminer la position, Ton suppose que les surfaces sont, comme de minces feuilles de papier où de métal , partout également épaisses et pe« santés pour la même sfuperficîe.

Centre de gravité du triangle. Lorsqu*on Veut trouver le centre de gravité de l'aire d'un triangle ABC, fig. 19, on divise ce triangle en un grand nombre de bandes parallèles et très-étroites, qu'on regardë'tfdmifie des droites pesantes : leur centre de gravité se trouve sur la ligne droite AE, qui les coupe toutes par le milieu , d'après Fa pro^ priété des Mgnes proportionnelles. Donc le centre G de leur ensemble, c'est-à-dire du triangle total, c^t sur la droite AE, menée dé A au milieu de BC. On démontrera de même qu'il est sur BF et sur GK, menées, de B et de C, jusqu'au' iniKeu de AC et de AB: Donc le centre de gïai^itédik triangle est au point G commun au?^ trois lignes AË, BF, CK. Maintenant, puî3<][ue les^fjîiVints K, E, sont au milieu de AB et de BO/lad^ite KE est parallèle à AC. -Léii lignés prOjitorfidn'^ Belles (Géométrie, V*. lé^on) donnent** ' -^ I : 2' : : BK : BA : • KE r-AG : : EÔ t GA.

DoncEG = ^GAetEG = i AE. . ' ':

Ainsi : \^. le centre de gravité du triante ^st

placé sur la ligne droite qui joint lé' soMtnet -et

le milieu de la base ; i^, il est tui titrs de*ééUê

ligne, en partant de la hase. ' ' \V'':!:\

QUATRIÈME LEÇON. QÇj^

Centre de gravité du qjuadrilqière ABCD- , fig.^ io. Pour le trouver, on détepmium. d'abord le. centre des triangles. ABG^ ÂDG, en m^n^nt EB, 'ED, par le milieu de AC, et prenant EQ= 7 !^^; E0' = -7ED; puis ^ joignant 0 et 0' par une droite/ oa trouvera, la résultante de deux forces parallèles^E = ABC , F' = ADC , expliquées ei^ 0 et 0'. Le point d'application G de la résuK tante , sera le centre de gravité du quadrilatère.^

Il est plus facile de trouver le centre de gravité des quadrilatères qui ont quelque régularité.

Pour le. trapèze ABCD, fig. 22 , le centre de gravité G se trouve sur la ligne EF, qui divise^ en parties égales toutes les bandes formées, p^i> des droites parallèles aux |3ase8.

Les surfaces du paràllél(igr.ai](ime^ du lozange, du rectangle et du. quarré , ont leur centre de gravité à l'intersection de3 deux diagonales ^ Voyez^ fig. 21 etfîg. 14, )5, etc.

En effet y cbaqiie diagonale divise ces figures en deux triangles égaux, et la seconde diagonale; coupant la première par le milieu , contient les centres de gravité des deux triangles. Donc le centre de gravité de la figure se trouve sur la. seconde diagonale. On démontrerait de xnême qu'il est sur la première : donc il est sur les deux^ et par conséquent au point où elles se croisent.

Si nous divisions la surface symétrique quelconque, plane ou courbe, l^g. 4> P^* ^^^ bandes^

lOO MiCHAiriQUE'.

parallèles entr'elles et pérf^ehdîcukîres à Tixe de symétrie, le centre de gravité de chaque bàn^ serait sur l'axe ou sur le plan de symétrie. Dbnc le centre de gravité d'une aire symétrique estiiirr l'axe ou sur le plan de symétrie.

Quand une aire a deux ^Hes ou deux plan^ âé' symétrie , son centre de gravité est à f intersection des deux axes : c'est le centre de là figure.

Par conséquent, pour les aires planée, qui ont deux axés de symétrie , lé centrie dé gravité est au centre de symétrie, ainsi que nous Taivions démontré en parlant des contour^ symétriques. Passons aux aires ou surfaces courbes.

Une surface courbe, où composée de plasieuri plans , est symétrique par rapport à un aixe , quand toute section faite dans la surface, perpendiculairement à Taxe , a son centré de symétrie^ placé sur cet axe. Le volume terminé par la surface symétrique , est également symétrique par rapport à cet axe.

Si Ton fait, dans la surface ou le volume, i!i^ très-grand nombre de èections perpendicuïfifïresà l'axe, et très-rapprochées, on pourra regarder les sections du s6lide comme de simples strrïacéé^ pesantes , dont le centre de symétrie setà stii^ l'axe. Par conséquent, la résultante de leur poidsT sera sur . le même axe ; et toutes ces résultatftes passeront par l'axe supposé vertical. Donc leur

QUATRlèMK LECOir. îài

i^ùlàinté uirîqué ^erà dirigée suiVâût cet axe ; d43nCy enfinf....

Les (folutne^, ainài que les surfaces càtirotSp qui sont sjmétriques par rapport à un axe , ont leur cehtre dé granté sûr cet axe de symétrie.

Quaiid un volume a deux axes de syiiiétriè , il possédé txn ùéhire de sj^métrie qvtî se trouve sur cé^ àéttx axés; c'est ausiSi le èèntre de gravité de }à gfurfaèe ou du volume.

Les âits ûoiii offrent un grand nombre de figures qui owt un axe de symétrie : perr exemple, tolutes les surfaces de révolution. Quand on suspend ce^ surfaces par un point quelconque de leur axe y ta position d'équilibre de la surface ou du volume est celle pour laquelle Faxe est vertical.

Les lustres qu'on suspend soit avec un cordon, soit avec une chaîne, dans les maisons, les palais et les temples , sont toujours symétriques par rapport à un axe. Ou attache le lustre par un des points de cet axe; et, dans la position d'équilibre , l'axe prend une position verticale. Il en est de même dajil à plomb ÂB, fig. i8 bis : le plotnb B est un corps symétrique par rapport à nu axe auquel le fil est attaché.

Non-seulement Taxe est vertical quand le lustre est en repos. Il reste vertical : i^. si le lustre est descendu ou monté, lorsqu'on fait mouvoir verticalement son point d'attache; 2^. si le lustre tourne sur lui-même. Far conséquent, à moins

que le lustre ne reçoive quelque choc oblique et d'un seul côté ^ il gardera sa position veirticale.

Il en est de même du Jil à plomb ; et cette propriété en justifie Tusage.

Vous verrez, par la suite, que l'industrie a fait plusieurs applications fort-belles de la propriété qu'ont les axes de symétrie, de contenir le centre de gravité des corps. Avant d'aller plus loin^ faisons connaître d'autres propriétés très-importantes des forces parallèles et des centres de gravité.