fois M X

Les valeurs prises de gauche à droite donnent les forces vives croissantes pour le corps qui tombe ; ces mêmes valeurs prises de droite à gauche donnent les forces vives décroissantes pour le corps qui monte. -

. La différence de ces forces est évidemment la même entre les mêmes hauteurs, soit qu'on monte , soit qu'on descende.

Ainsi , quand un corps tombe librement avec une force vive acquise depuis un point À jusqu'à un point B, si on lé lance de bas en haut avec cette même force, il s'élève de B jusqu*en A avant que la force retardatrice de la pesanteur ait consommé tout ce que, d'abord , elle avait produit en faisant descendre le corps.

Vous voyez , par là, qu'on ne peut pas tirer avantage : i®. de la force acquise par un corps qui descend , pour le faire remonter plus haut que son point de départ; 2". de la forcé perdue par un corps qui monte, pour regagner

DEUXIfiMK LBCON. 6i

plus de force par la chute de ce même corps , s'il doit revenir à son point de départ.

Ces vérités sont bien simples^ et pourtant , si vous en pénétrez votre esprit , elles vous éviteront une foule de combinaisons fausses , et de if ai nés recherches de mouvement perpétuel.

Lorsqu'un corps est en repos, et qu'il est soumis à l'action du vent, c'est une force qui le pousse en renouvelant sans ces^e ses impulsions , jusqu'à ce qu'il ait acquis une vitesse égale à celle même du vent. Mais, à mesure que le corps acquiert une vitesse plus considérable , il reçoit de la part du vent une impulsion moins forte. Ainsi, dans ce cas, la force accélératrice n'est plus constante; et les lois mathématiques , qui règlent les rapports du temps avec les vitesses et les espaces parcourus , ne sont , paf conséquent^ plus aussi simples que celles dont nous avons donné la démonstration et l'application , relativement à la pesanteur (i).

Lorsqu'un corps se meut dans l'air, supposé calme, ou/ bien se meut dans une direction contraire à celle du vent , à mesure que le corps augmente de vitesse, il éprouve, de la part de l'air , une résistance croissante. Ainsi, l'air agit

(i) Nous verrons plus tard que la force même de la pesanteur n'est pas constante , à diverses distances du centre de la terre.

6a mi£ghantqu£«

non pas seulement comme une force retardatrice constante; mais comme une force retardatrice qui croît de plus en plus.

Nous développerons davantage ces observations, qu'il nous suffit d'indiquer maintenant , lorsque nous ferons connaître la nature plus particulière de la force de l'air et ses applications à l'industrie, dans le III«. volume, qui traitera des forces motrices applicables à l'indu strie.

Il nous reste un troisième cas à présenter, que nous ne pouvons encore traiter; c'est celui où la force primitive est dirigée dans un sens difflérent de l'action des forces accélératrices- ou retardatrices. Alors, le corps ne parcourt plus une ligne droite; il décrit une courbe, dont la nature et la courbure dépendent de la loi d'action des forces accélératrices ou retardatrices , et de l'intensité de ces forces.

Je n'ai cité que deux forces, la force de l'air et celle de la pesanteur , qui agissent pour accélérer ou retarder le mouvement des corps. L'industrie fait usage d'un grand nombre d'autres forces, ou bien doit vaincre la résistance de semblables forces, pour obtenir les effets qu'elle désire. Je me contenterai d'en citer quelques-unes.

Quand un navire est mis en mouvement dans l'eau, il l'est, généralement, par une force constante (fui le fait partir de Tétat de repos pour ar-

river à la plus grande vitesse qu'il puisse atteindre. Il est obligé, pour cela, de vaincre'par degrés les résistances de l'eau , qui agit comme foixîe retardatrice. Il n'atteint l'état d'un mouvement uniforme, que quand la perte de vitesse, éprouvée par l'effet de la force retardatrice, est précisément égale à Tacquisition de vitesse qu'il recevrait de la force impulsive supposée renouveler à chaque instant son action.

Dans toute espèce de machines, l'on distingue pareillement une force impulsive, laquelle, à chaque instant, ajoute une quantité donnée d'action, pour détruire des résistances, lesquelles, à chaque instant , doivent détruire cette même quantité d'action.

Lorsqu'on commence à mettre en jeu la machine , la force impulsive l'emporte nécessairement sur la force retardatrice, pour qu'il y ait mouvement. Ce mouvement s'accélère par degrés, jusqu'au point où la perte de vitesse, à chaque moment, causée par les résistances, est précisément égale à l'acquisition de vitesse , causée par la force impulsive. Quand on arrive à cet état, la machine prend un mouvement uniforme; tel est celui qui sert aux travaux ordinaires de l'industrie.

Il faut donc bien distinguer, dans le jeu des machines , les premiers mouvements variés^ qui commencent avec une vitesse nulle , et croissent

par degrés , jusqu'à la vitesse consîante qui doit servir aux travaux habituels.

Cette considératiou n'est pas un vain objet de curiosité. Dans la première partie du mouvement, une portion de la force impulsive est employée pour communiquer à chaque partie de la machine, le degré de vitesse qui correspond à l'état constant du travail habituel. Il faut, par conséquent, que la force impulsive détruise : i^. la force d'inertie de la machine ; 2^. les premières résistances des forces retardatrices. Si l'on imprimait tout à coupa la machine une force constant te , susceptible de la mettre à l'instant méine en mouvement, avec toute la vitesse qu'elle doit avoir dans l'état habituel , il faudrait un effi>rjt ' instantané , extrêmement considérable , pour vaincre à la fois , les résistances propres à cette machine, et celles qui naissent de la force d'inertie de ses éléments. On risquerait de briser des parties importantes ou, du moins, d'ébranV 1er la solidité de tout le système. Lorsque Aouis expliquerons le jeu des engrenages, nous ofirir rons un exemple remarquable de l'importance qu'on doit attacher a de telles observations.

TROISIEME LÇÇON.

Forces parallèles.

Jusqu'ici nous n'avons considéré que des forces dirigées Suivant la même ligne droite. Nous avo)3S vu que leurs actions s'ajoutent ou se retran-r chenty suivant que \e& forces agissent dans le même sens ôU en sens contraire. ,

Des effets pareils sont produits lorsque les forces agissent, non plus suivant la même lignp droite , mais suivant des Ugnes parallèles.

Ainsi, par exemple, deux chevaux tirant à la file et sur la même ligne droite^ produisent le même effet que deux chevaux attelés de front et tirant parallèlement : trois chevaux attelés à I« file et tirant sur la même ligne droite, produisent le même effet que, trois chevaux attelés dct front et tirant parallèlement, etc.

Donc : i"*. plusieurs forces parallèles et dirigées dans le même sens , produisent le même eflFet qu'une force unique égale à leur somme et tirant dans la même direction ; cette force est leur résultante.

T. II. MÉCHAIS. Q

66 MÉCHANIQUB.

S'il y a des forces parallèles qui tirent en avant et des forces parallèles qui tirent en arrière, on réduira les premières à une seule force égaie à leur sommé , les secondes à une seule pareillement égale à leur somme ; la résultante définitive sera égale à la différence des deux sommes et dirigée dans le sens de la plus forte.

Je vous donne ces résultats comme démontrés par l'expérience : j'aime mieux suivre cette marche que vous présenter des démonstrations peu faites pour satisfaire des esprits justes. Ainsi, par exemple, je pourrais dire, avec quelques auteurs élémentaires , qu'il faut regarder deux forces dont les directions sont parallèles, comme concourant en i^n même point, à V infini^ et comme ayant , à Vinfiniy une seule et même direction. Mais , en parlant ainsi , je vous dirais certainement des choses peu rigoureuses et fort-peu sensibles à votre intelligence.

Il est facile de voir que la résultante des forces parallèles , a la même direction que les composantes , et qu'elle est égale à la somme de celles qui font avancer, moins la sommé de celles qui font reculer; mais il n'est pas aussi facile de voir, dans tous les cas, quelle doit être la position précise de la résultante. L'on a besoin, pour trouver plus aisément cette position , de recourir à la géométrie.

La géométrie sert à représenter , par des lî-

gnes proportionnelles ^ non-seulement des espaces parcouinis ou à parcourir, non-seulement des espaces occupés par des machines et par des produits d'industrie, mais d'autres éléments de méchanique qui semblent n'avoir rien de commun avec la science de l'étendue. Il importe, avant tout, de bien fixer vos, idées à cet égard.

A coup sûr, il n'y a rien de commun entre la durée d'un temps et la longueur d'une Ifgne. Mais divisons le temps en parties égales , par exemple, en heures. Divisons ces heures en parties égales, en minutes, en secondes, etc. Divisons une ligne , droite ou courbe , en parties égales, numérotées par i, a, 3..^., comme les heures qui se suivent à partir d'un instant déterminé. Divisons chaque portion de ligne en autant de parties égales qu'il y a de minutes dans une heure ; ces nouvelles divisions représenteront les minutes de chaque heure. Subdivisons ces nouvelles portions de ligne, en autant de parties qu'il y a de secondes dans la minute ; les subdivisions formées de la sorte représenteront les secondes; et ainsi de suite.

Si je numérote avec des chiffres toutes ces divisions, je pourrai représenter le temps : i®. par des nombres; 2^. par des longueurs de lignes; et, si j'ajoute, 011 retranche, ou multiplie, ou divise les portions de ligne, comme j aurais fait des portions mêmes du temps qu'elles repré-

68 MIÊOHANIQUE.

sentent;^ il est évident que la ligne finale, résultat de toutes ces opérations , indiquera Ip temps final qu'il fallait calculer. Voilà comment la géormétrie sert à représenter le temps par des lignes. '

Les cadrans des montres et des horloges por-rtent un cercle gradué , divisé en douze parties égales, qui désignent les heures, et subdivisé ep. soixante parties égales qui désignent les minutes. Mais l'unité de mesure n'étant pas la même pour les minutes et pour les heures, il faifC deux aiguilles pour suivre les deux mouvements^ et laiguille qui marque les minutes va douze fois plus yîte que l'aiguille qui marque les heures.

Sur les cadrans solaires, la durée du temps est aussi représentée par des éléments géométriques : . ce sont des angles.. On mène, par le centre du cadran, une ligne droite parallèle à l'axe de la terre. On supposé qu'un plan passe à la fois par cette droite et par le centre du soleil. Il tourne uniformément, et les angles qui mesurent son mouvement, mesurent les espaces parcourus.

Les vitesses, comme les temps, sont suscepti* blés d'être représentées par des lignes. Ainsi ^ dans la figure i, seconde leçon, les hauteurs OA, AB, BG , . • . représentent les temps écoulés, tandis qu'un corps acquiert des vitesses représentées par des parallèles AI, BU, Clll

Alors , ainsi que nous l'avons vu , les espaces parcourus sont représentés par des svirfaces.

i/. Quand * on Yëut.tpie issr' espaces' pàrcouras soient : repfétentési par ^ des lignes . propicxrtionr^ nelks à ces espaces mémesy et è[ue'lés'teinp9 ^ient aussi représentés- ptr'des ligne», ies'lvîtesses deviennent les ràppwts-de cesiigàM/ et pe sont plus i^présentées que par d«6>ndmbi^i

he$ forces; né isbnt ni\ des temps; -ni ^d^¥ites- «es^mî des>espapeâyODniais des agents <p eïnpfoietlt le tempspbùrfaice'patcourir auk'CorpSyCertblitts espaces , en certain temps, arec certaines vîtësieèl

Les ;forces, coinode le tempa, connne les vîtes* ses ^ comme les espaces, peuvent étrereprésentëfei par des lignes qui leur soient proportiènnelles»; et qui aient la direction même de ces forces.'

Ces notions sont simples et faciles /elles vous font tout à coup découvrir une immiénselltililîë delà géométrie. La géométrie sert ici peut' faci-. liter rintelligence.de la mécfaanique , et poorVeprésenter, pour peindre à nos yeux des choses trés-réelles , mais qui n'ont pas dî'appàrencé que nos sens puissent saisir. Ainsi , nous ne poùvoris ni voir, ni toucher, ni entendre le temps; mais nous pouvons voir des lignes, des points, dés chiffres marqués sur un cadran. CTefet alors k géométrie qui rend visible, en quelque sorte, et qui nous permet de mesurer le temps.

De même , nous ne pouvons pas voir, entendre , toucher le poids de l'atmosphère; mais nous pouvons voir les divisions d une ligne droite

70 MiCHÂNlQUK.

appliquée le long d'un baromètre ^ et lire ainsi les variations du poids de l'atmosphère : c'est la géométrie qui les rend perceptibles par nos sens.

De même encore nous ne pouvons pas juger, par notre vue, de la pression que la vapeur exerce daj)S:une chaudière de machine à vapeur; mais, au mojend'unmanomètre , qui n'est autre chose qu'un baromètre à {tapeur, nous pouvons représenter ces pressions par une ligne divisée en parties égales. Voyez lll\ vol. Emploi des forges. . Ne soyez donc pas étonnés de nous voir représenter des forces par des lignes droites. La çUrëctioa;de ces lignes, sera la direction même que suivrait un corps soumis à l'actioii de la force représentée. La longueur de la ligne représentera la grandeur de la force. Revenons main>tenant à Pexamen des forces parallèles.

Quand deux forces ÂX, BY, fîg. i , tirent une ligne droite AB, qui leur est perpendiculaire, it est évident qu'une verge CR^ attachée au milieu deÂB et parallèle aux forces,, étant placée symétriquement par rapport à elles, doit représenter la direction de leur résultante. En etfet, la force de droite n'étant pas plus grande que celle de gauche , il n'y a pas de raison pour que la résultante soit plus rapprochée de la droite que de la gauche, ou de la gauche ique de la droite.

S'il y tivait trois forces tirant parallèlement en AX , BV, CZ, fîg. 2 , et placées à égale distance,

TROISU^ME LEÇOir. 7 1.

la résultante agirait suivant BV , et ainsi de suite. Ces deux cas ont leur application dans im grand nombre d'attelages.

Lorsqu'un^eul cheval tire une voiture, au moyen de deux traits ou de deux limons symétriquement placés à droite et à gauche du milieu de la voiture , le cheval tire également le trait ou le limon de droite et celui de gauche. Ainsi la voiture doit avancer dans une direction parallèle à ces limons ou à ces traits , comme si le cheval ne tirait qu'avec une corde ou un timon fixé dans le milieu de la voiture.

Quand il y a deux chevaux de front, ils sont placés à égale distance du milieu^, fig. 3. Alors les quatre traits sont ^, i\ f' ^ ('" , placés symétriquement à droite et à gauche du milieu : 1°. les deux traits t et /', ont pour résultante une force égale à < -J- ^', appliquée, en Ec, au milieu du palonnier aé ; 2®. V* et/'" ont pour résultante une force égale à f + <"', appliquée, en F/*, au milieu du palonnier cd; 3°. Les deux forces cE, ^F, ont elles-mêmes pour résultante gG , égale à leur somme , c'est-à-dire , à t + tf'\-t'^ + i'\ et placée ii égale distance de cE et de/F. Par conséquent , la ligne ^G , qui passe parle milieu de la voiture , représente en direction la résultante définitive.

Supposons qu'il y ait deux forces parallèles , «X , }Pi /inégales, et tirant la verge ah y fig. 4 ; demandons-nous la position de la résultante.

Pour représenter ce cas , supposons que xa^ et j-iC , fig. 5, soient deux prismes ou deux cylindres de même matière et de même grosseur y ^t d'une longueur telle que, mis bouta bout, ils occupent deux fois la longueur ah \ c'est ce que nous pouvons toujours faire.

*12 MÉCHANIQUK.

Cela posé 9 il est évident que le poids de Cn^ = X et de Cbjz=:Y ne changera pas, si je suspends Cax et Cby horizontaletdent par leur milieu. Alors , il y aura entre a et b i i **. la moitié de la longueur du petit poids ; 2°. la moitié de la longueur du grand poids. Or, la somme de ces demi-longueurs égale la distance ab. Donc les deux poids seront bout à bout et placés comme s'ils ne formaient qu'un poids unique. Supposons qu'ils soient tout-à-coup collés l'un à l'autre, cela ne changera rien à l'équilibre ; mais il est évident qu'un poids unique xjy également gros d'un bout à l'autre, serait en équilibre, en le suspendant avec une seule force par son milieu. Soit c ce milieu, la résultante R des deux forces X et Y passera par le point c.

Supposons qu'on renverse bout pour bout acb ; le point c se trouvant posé en G , on aura évidemment bC = ac = bY. '

aC=:bc = àX..

Ainsi le point C tombera sur c, au milieu de ab.

Donc , il suffît de se placer en c, à des dis^ tances de àX. et de AY, qui soient proportionnelles aux forces bX et àX. , pour ai^oir le point dUap-plication de la résultante.

Je vais vous offrir un exemple de cette vérité, dans l'attelage des chevaux.

Souvent on emploie le système suivant. On a trois che-

TROISIEME LEÇOIf. 'fi

v«n» de front X » Y , Z , fig, 6 ; Y et Z sont attelés air^paloDDÎer alfj Jkexar résultaoté cR est égale & là somme de leurs forces et placée au milieu de ab, €ette résultante agit directement avec la force simple du troisième cheval. Alors on place le point E deux fois aussi près de cR que de dX ; c'est le poitit d'application dès forces cti et dX , et , par eonséqnent , de la résultante défitiitive (}. Aussi , £Q se trouVe-t'il dirigé suivant Taxe lônghudinal de là vorture.

Supposons que, dans la figure 4 9 '^ force RrcsX + Y, surpasse de moins en moins la force Y, parce que X diminue de plus en plus. Dans l'égalité R x^C=:Xx ab^ si noliâ supposons que R et ^C ne changent pas, on voit clairement que, plus X diminuera, plus ab augmentera. Si là force X est successivement réduite à la moitié, au tiers, au quart, etc., de 6a longueur primitive, il faudra que la distance aC double, triple^ quadruple, etc., pour conserver le même produit X X ab. Quelque grand que soit ab, on trouvera toujours une petite valeur de X qui pourra satisfaire à cette égalité; et R = X+ Y,' sturpassera toujours Y, de la petite quantité X. De là résulte une conséquence bien remarquable î c'est que deut fôi^ces Y et R, quand elles sont égales , parallèle* et dirigées en sens contraires, ne peuvent paô être mWs en équilibre âtec une troisième force X. Quelque petite que soit X et quelque loin qu*on la placé, elle ne sera jamais assez petite et jamais placée assez loin. Puisqu'une force unique ne peut pas Caire

T. II. — MÉcHAi». 10

^4 MlSCH A NIQUF.

équilibre à deux forces égales, opposées et parallèles, il faut que ces deux forces ne puissent pas avoir pour résultante une force unique^ capable de faire avancer le corps en ligne droite. Les deux forces égales , opposées et parallèles , doivent donc produire, sur le corps auquel on les applique, un autre effet que de le transporter en ligne droite. Les lois du nouveau mouvement que le corps prend alors , seront expliquées dans la quatrième leçon, après que nous aurons ek-< pliqué tout ce qui concerne les mouvements opérés en ligne droite.

Revenons à l'action des forces parallèles qui peuvent avoir une résultante, et faisons connaitro à leur sujet un principe fort-remarquable.

Quand deux forces X, Y, agissent perpendiculairement sur une verge AB, fîg. 7, si Ton oblique également ces deux forces, c'est-à-dire^ qu'on les conserve parallèles, en X et F", la résultante i?, toujours égale à leur somme, reste appliquée au même point C. Ainsi, la position du point d'application , et la grandeur de la résultante , ne dépendent nullement de t obliquité des forces parallèles y relativement à la droite qui joint leurs points d'application.

Cette propriété du mouvement, bien simple en apparence, a des résultats d'une extrême importance, dans toute la méchanique^ et dans l'industrie; indiquons les principales.

TROISIÈME LKÇOW. ' 75

Supposons qu'on ait trois forces parallèles X, Y, Z, appliquées à trois points qui ne sont pas en ligne d,roite ; AX, BY^ GZ, fig. 8, représentant la direction de ces forces. D'abord, X et Y auront une résultante R appliquée en D , égale à X 4- Y , et telle qu'on ait la proportion