X X 0A= Y X OB... X : Y : : OB : OA

Menons mOn perpendiculaire à la direction des forces parallèles , on aura OB : OA : : On : Om. (Géométrie \\ leçon : lignes proportionnelles) Donc aussi X : Y : : 0/z : 0/w. et X X O/n = Y X 0/2.

X et Om restant les mêmes , on peut supposer la distance On, sou^-double ; alors il faut que la force Y double, pour que le produit reste constant et qu'il y ait équilibre. On peut supposer la distance On, sous-triple-, alors il faut que la force Y triple. On peut supposer la distance On, sous-quadruple; alors il faut supposer la force Y quadruple, etc. Ainsi, l'ac-

QlTATRliME LKÇOîf. lOÎ

tîon d'une force Y, sur une résistance TJ égale et opposée à Z , pour ÎTaîre éqùîKbre à une force pHiraUèleX, s'accroît : i**- proportionnellement à la force même Y; ^o. propôrtîonnelliément à là distance 0^2 de la direction dé cette force au point où se trou te placée la résistance. Ce produit , qui mesure Tefficacité de la force sur une résistance placée en 0, est ce qu'on appelle le moment de la force^ par rapport au point 0.

X X 0/72 est le moment de X, de même que Y X On est le moment de Y. La condition d'é- 'quilibre X X 0//2 = Y x On, s'exprime en disant :

Pour que deuàc forces parallèles^yX^soienf en équilibre autour dùn point résistant 0 , tt faut que le moment des deux forces , pris par rapport à ce point , soit égal de part et d'autrèi^

Il faut, de plus, que les deùV forces* X, Y^ tendent à faire tourner la droite en sens opposés.

On poui^rait placer la résistance en A;'fig/ n^, et considérer l'équilibre de deux forces Y," Z% agissant en sens contraires. En menant A/?^ jierpend^ctilairè à la direction des forces paralfèl^il,^ on aurait Y : Z' : : AO ; AB : : kp : h.q. * ' • Donc Y X Aj^Z'X A^. . . ;'^

' Ainsi, dans ce cas comme dans le précédent^ le produit des moments est égal entre la force. Y êi là foi'ce Z' qui fait équilibre à X et Y, ainsi qu'entre la force Y et la force Z résultante de X et Y.

;io4 MÉCHAiriQUf-jo

Menons, à présent^ uoje droite quelconque ^mn^ flg. a 5, par le point Â, et les perpeiodicur laires Om^ B/z, à cette droite. Les propriétés des ^gnes proportionpelles (V% leçon ^ .GÉOMÂT?iif), nous donneront :

Y : Z' : : AO : AB : : Om : B/i.

d'où YxB/2=Z'x Oot,

Le produit de la force Y, par la distance 4^ * son |)oint B d'iapplication , à la droite ii^mn^A^ Ifi produit de la/orce Z' par la dista^^ce dç son point 0 d'applicatipn à la droite A/nifi^ sont les js^opiçnfs 4e Y et /Z , pris par rapport q la droite Â^ifffl^ droite qu'on appelle alors l'axe des mome^ffi. .

Ainsi : I ^. jQuand l'axe des moments passe par }e po^Qt ^'application de )a force X^ en équilîb^ av(;ç les.forces parallèles Y et Z', le moment de.Y égale le moment de Z', et les deux moments agissent en jsens contraires.

Si npuj$ menons LMN parallèle à A/72/2 , puis AL^ OpM f BrîH, perpendiculs^ires 21 ces parallèles j nous aurons AL = ]}î^ = IjArn ; mVis . X-f. Y =Z';

dpn.iî; X X AL+Yx N/z =;? Z' >< M/n.

Déjà, yxB« = ZxOiîi/

Par conséquent, X X AL -|- Y X JîN r^? Z* X QM .

Ppnp, en.prenant une ^roil^;quelœnque IJtfN pour axe des ipomeu^s^ la somme des pioiifç^U de deux forces parallèles X, Y, éqvivaut fLU mpr ment de l^ fqrjçe Z' qui ,l^^r f^i^ ^q^ilî^/^.» !^^

QUATRiiftîlC LEÇÔN^ 1 6$

par eon^quent au moment de là réstiltanle Z de X et. de -Y, puisque Z:2=:Z'.'

Supposons à présent que nous ayoflà tix)is f6f-' ces composantes X, Y, U, fig^ ii6. ftappoi^tonsles à l'axe quelconque des moments M/n :

doncXxAx+Y xBj ^-UxCw = >Z XÈz.

Ainsi, le^ moments de trois forces ^ présentent une somme égale au moment de leur résultante*

On prouvera de même que> sur nn plan, la somme des moments de quatre, de cinq, de six... forces , en un mot d'un nombre queiconcjùe de composantes , est égal au moment de leur résultante : quelles que soient et la position et la direction de l'axe des moments.

Par conséquent , en menant > de chaque point d'application des forces ^ une perpendiculaire à l'axe des moments , le produit de la résultante par la distance qui correspond à son point d^ap^ plicaiion , est égal à la somme des produits cor-^ respondants pour toutes les composantes.

Cette belle propriété fournit les applications les * plus importantes aux calculs du mouvement des corps, ainsi qu'au jeu des machines. Il est donc essentiel que les élèves la gravent dans leur mémoire, et s'en forment une idée bien précise.

Cette même propriété sert pour connaître im^médiatement la position du* point d'application

T. IL — MtCHAn. 14

lo6 MiCHANIQL'E.

(le la résultante d'autant de forces parallèles qu on le désire ^ sans être obligé de les prendre deux à deux ^ trois à trois ^ etc.

On mène deux lignes à angle droit OX, OY, fig. 27 ; puis , des points d'application A , B, C, D... des forces P, Q, R, S...,on abaisse surOX et sur OY, les perpendiculaires Aa, Bb , Ce...., et Aa', Bb', Ce',.'*- Cela posé, G étant le point d'application de la résultante Z, on a

Gg^ X Z==Aa xP-4-B*xQ + CcxR-f-...

Gg'xZ=Ac'x P+B6'xQ+Cc'x R+...

Donc

r.v ^ AflXP-4- B&XO-f-CcXR-f-....

(i;. ijg =

(II). Gg = ^

Rappelons-nous que la résultante Z est égale à la somme de toutes les composantes.

Si les forces P, Q, R, S,...., sont égales, et qu'il y en ait un nombre n ; leur résultante = nX P. Alors l'égalité des moments donne

G^' X Z = AaxP+BèxQ+CcXR4.,..

Gg^XwxP=i=AaxP+B6xQ+CcxR+...

D'où, wxGg = Aa-f-Bô-f-Cc4- ..••

-^ ^ A/i H- BA -+- Ce -f- ...

Donc, Gfi- = •

Ainsi, quand des forces composantes sont égales entr elles , si l'on prend pour chacune la distance de son point d application à Taxe des

QUATAlItME LEÇON. lOJ

jnomenis^ et quon divisa la somme de ces^dis" tances par le nombre" des firces, on a la distance de V axe au point dappliêaiùm de la résultante. C'est un résultat qui pefrt étfe d'Un fréquent usage dans les arts. :-..

Si l'on n'a que trois force» égales à P, appliquées aux trois sommets A, B, C, d'uiï triangle, fig. 28, et qu'on prenne la base ÀB du triangle pour axe des moments ; alors , la distancé de cet âxe aux points d'application des 'forces appliquées aux Sommets A, B, devient nulle , et par conséquent aussi leur produit par f. Donc il reste simplement , erï appelant R la résultante;

R xGg^^=P X Ce. Mais R = 3P. Donc, par compensation , Gg" = ^ Ce.

Ainsi, le centre de graçité de trois forces égales , appliquées aux sommets d'un triangle , est au tiers de la distance de chnquè sommet à lahàse opposée. Donc ce centre est le même que le centre de gravité de Taire du triangle (i) : conséquence fort-remarquable , et qui trouve souvent son application dans les calculs de la méchanique.

Dés qu'on a les distances Gg^, Gg*', fig. 27, du point G aux deux droites OX, OY, on a la position du point G centre d'application des forces.

< I ■■ ■■ I Ml .1 tu f I » I f^^^i^ , Il 1 II I — — I. I II . ■ I ■ I

(i) Oii démontrerait par la même méthode aussi facilement ^ue le centre de gravité de quatre forces égales , appliquées auju som^ mets d'une pyramide , est le centre m^me de gravité du volume de la^ ^^arntdè.

D'aprà$ la d^aiûôa oième de8 centres de granité, ce point. G est le centre de gravité des forces P> Q, R^ S: . .,^ppliqiiées en A ^ B, G , D. . , . (r).

Le principe que nous venons d'eïposer, et la méthode qu'il fournit, s'appliquent donc immédiatement pour trouver la position du centre de gravité de tant de forces qu'on veut, distribuées avec ou sans continuité, sur des lignés, des SMrfaces ou des volui^es^ :

Pour trouvei^^le centjre de gravité d'une ligue pesante AB, fig. 2g, on la pqirtage en trçs-petites parties d'égal poids ; on multiplie chacune de ces parties par sa distance, à une première idroite OXr, puis à une seconde OY. On divise successivement la somme des premières et des^ecândef, par la somme des forces, et l'on a ; 1°. G^' ; !i!^\Gfg\

l*es méthodes ^suii^antes^f pour trousser lecçntre ;de gravité des surfaces ^t des. wlumes., ne sont indispensables à expliquer, que dans les poris^^

Les constructeurs de navires ont besoin de mesurer la surface des voiles et de Gxer : i®. la position du centre de gravité de chaque voile.;

^pi— ■— i^pi^i ■ 1 ^1^1 I — ■!■■■ !-■■■» ■■ nmii^ ^ .^1 I ■ ■ ■— ^pi^M ■ Il ■ ■ I ^■■■^w ^ ■ ■ ■■ w^— NM^^..^^M^p^ ■ I I 1^

(i) Si les forces parallèles De soot pas toutes dans un méiae plan f ou substitue aux axes des moments , des plans de moment^^ perpendiculaires cntr*eux. Alors on remplace les perpendiculaires aux axes Aa.B^...^ par des perpendiculaires aux plans. Dans tons les cas y la somme des moments des composantes , est égale au momeat de la résultante. C'est ce qu'il serait très-facile ' de démontrer par les i^ropiiétés des lignes proportionnelles : GioMÉTKiB y. leçon.

^•» le centre »de gravité de l'ensemble de ces voiles. En effet, toutes choses égales d'ailleurs, plus ce dernier centre, qu'on appelle centre de voilure y se trouve élevé au-dessus du centre de gravité, plus la force du vent a d'énergie pour incliner le navire et. le faire chavirer. On admet que toutes les voiles, tournant autour de leurs points de suspension, sont à la fors Rabattues dans le plan de symétrîedûnavîre. On divise ces voilés en Triangles dont on détermine aussitôt la superficie et le centre de gravité. Supposons, fig. 2jf que les forces parallèles P, Q, Jl,,.i, représentant la surface de. ces jtfiangles > soient ap- ^ pliquées aux points A, iB>.Cy.;., centres de grafvité des mêmes triangles j'^^ les deux formules (l), (II), de la page io6, dpianeront immédiateinent les distances G^-, Gg\ du centre G de la voilure, à deuxaxesOX, OY, l'un horizontal et l'autre vertical; ce qui suffira pour faire connaître la position du centre de voilure dans le plan de symétrie du navire.

Soit l'àire plane AMwa, fig. So, tei^minée par une courbe AM et par trois droites à angle droit A«, «m, mM; oti demande le moment de cette aire par rapport à la droite anp.

Divisons la droite am en un très-grand non^bre de, parties dont la largeur égale /, et menons, par les points de division, les droites B^, Ce, Dr/,..» parallèles à Aa et Mm.

1°. Si l'on regarde les petites portions AB , BG, CD, ... de la courbe ABCD... , comme des lignes droites, on a : suj"- /ace AamM ^=z L { -i Art + BZ» + €c + DU + • • • • 7 ^^ï''*' j

ItO MSCUAiriQlf ^.

Supposons d'abord qu'on remplace la %are càotiaiie maÂBCD...* par la figuré échelonnée TizoAi^'BcC^'D,.... les centres de gravité q^ q' y q"- • . de ces figures , seront distants de am , de quantités respectivement égales, à

Dtoncles moments àes rectangles qui composent la figureochelonnée, seront, par rapport à 1 axe am :

Paur Art^' = / X Aa X 7 Aa B/^cc' = / X BZr X 7 Bfr.

Ccdd' = / X C^ X-î Ce...

Moment total ^= 7 / (Aa» + B^>' + Ce» + •••• M'vi'J^-

Ainsi , le moment total est égal à la somme des quarres dès lignes Aa, B^ , Ce. . , multipliée par la moitié' de la largeur des bases e'gales.

Si loB prend la figui^e échelonnée makd^Bb''Cc",.. M^ on aura de même , pour moment total ,

^/X(B6»4.Cc^ + IV>4. .... +Mw*>.

Voilà d'eux moments entre lesquels est celui de ht surface continue npakM.,

. >•. Moment moindre \ l (Aa* -♦- B6 -»- Ce» -h .... MW*). a». Mom. plus grand 1: / ( Bi^* -b Ce* -+- .... MW* -♦- Mit»*).,

Prenant le moment moyen , on a

±/(±Aa'+BZ»»+Cc'+ Mw + {^M/»4').. -

Donc , le moment de faire ou superficie MmaA , égale tademi-largeur l de toutes les tranches , multipliée par la somme des quarrés des longueurs intermédiaires Bb , Ce. . . . , 0t par la moitié du quarré des longueurs extrêmes Aa, Mm-.

La valeur qu'on vient d'obtenir sera d'autant plus approchée de la véritable, que les tranches seront plus multi: pliées et par conséquent plus étroites.

Si, maintenant, nous divisons le momentque nous venons de trouver, par Taire /maAM, nous aurons la distance G^-, Ht l'axe am au centre de gravité G de oetle aire.

QUATAliMIt LECOTT. HT

Ainsi, n^-rA-'^U'^Cc' + ....^iU^^

Aa -f- aB6 h- aCc H- .... -4- Mni

Rien n'€st plus facile que de calculer la Taleur de cette fraétion ; ce ne sera qu'une affaire de patience.

Il serait également facile d'en obtenir la yaleur par la géométrie, au moyen des triangles rectangles, et d'après le principe que le quarré du grand côlé est égal à la somme des quarrés des deux petits côtés.

Vous voyez, ainsi, combien le» propriétés exposées dans la géométrie sont utiles pour résoudre les questions de la méchanique.

La méthode que nous venons de présenter est générale ; elle s'applique aux surfaces de figure quelconque.

Supposons qu'on demande de trouver la distance de l'axe

XY au centre de gravité G de Taire ABC Mcb'A, ûg 3i .

Menons les parallèles équidistantes Aa , B6'&, Cc'c,D/£'J... Soient G', G", les centres de gravité de maAfiCDM , et de /waAtV^'... M, nous aurons

^, , i A«* -f- Bi» -f- Ce» -4- } Mm*

° Aa -+- 'ibb -+- aCc -4- Mw

^ Aa -♦- 266' -4- ace' -h JVli»

i«. Moment ABCDMwifl... = ^ / (i Aiz» -+- Bi' -f- Ce» -4- ... \ Mm) a»». Moment a'b'c'Mma,...=r^l (jAa* -4- b'b* -h cV -♦- ... { Mm) La différence de ces moments, divisée par la différence des surfaces, c'est-à-dire, par la surface proposée ABCDMi;?'c'^'A, donneia la distance Gg du centre de gravité de cette surface , à l'axe XY des moments.

Avec la figure 3o, rien- n'est plus facile que d'avoir la distance Gg^ du centre de gravité G par rapport à l'axe aA perpendiculaire à am, ,

Si nous calculons par rapport à aA. , le moment des tranches parallèles échelonnées plus petites , nous aurons i". Moment de Aabbfss^lXl X Aa;

112 ]\IKCH ANIQUE.

u». Moment de Whcc := 4 / X / X BZ» ;

3<>. Moment de Ccdd'=: 4 / X ^ X Ce

(1). Moment total ^l" [ka + 5B^> + 5Cc + 7Drf+ ... J Si nous faisons les tranches échelonnées pl,us grandes que Taire continue TnaABCDE. .. , nous aurons : Moment de af'abh = 4 / X / X BA.

Moment de ^'^cC = 4 ^ "f" ^ X Ce.

Moment de c WD zz= 4 / X ^ X D J.

Donc le moment total est

(II)... ^/^ (BZ»4-3Cc + 5Cr + 7D^+ ....)

Prenant la demi-somme des deux moments (I) et (II), on a

(in).f l\{ Aa + 2B^+ 4CC + 6DJ-+-8EC..,.}

£n continuant ainsi jusqu'à Mm , qu'il faudra multiplier, non par le double du nombre des tranches aiuxquelles il correspond, mais parle simple nombre.

Ce moment (III) divisé par suif. ABCD,... égale G^.

Les constructeurs de navires ont besoin de déterminer la superficie, le centre de gravité, et le moment de diverses sections horizontales, faites dans la carène, et termine'es par les contours qu'ils appellent lignes deau et lignes de flottaison. La méthode la plus simple qu'ils puissent employer est celle que nous venons d'exposer. Cette méthode, familière à tous les officiers du génie maritime , devrait l'être également à tous les constructeurs du commerce. Il en est de même de la méthode que nous allons présenter pour déterminer la position du centre de gravité des solides et le moment de ces solides.

Rapportons la position du centre de cavité da corps

ioli^ , k deux plan» de projection qui se coupent à angle droit : tels qu'on les emploie dans la géométrieé Yojez Gào^ HSTMEy Xin^. leçon. '

Coupons le corps par tranches verticales d'égale épais-^ •eor, I> II, m,... et par tranches horizontales i, a, 3... aussi d'égale épaisseur ; Tordre des chiffres marquant celui des tranches.

Supposons, fig. 3ft que l'aire ABGD... soit la base d'un cylindre droit, le centre de gravité du cylindre se .projettera horizontalement sur le centre de gravité de Taire» Les formules précédentes nous donneront sur-le-champ la distance da centre de gravité de ce cylindre , par rapport à deux axes perpendiculaires entr'eux.

Imaginons qu'on divise un volume quelconque , an navire , par exemple , en beaucoup de tranches horizontales éq[uidistantes, représentées en plan, fig. 5st. Imaginons que la surface du navire , au lieu d'être continue, soit échelonnée de mianière à présenter comme des maixhes d'escalier <u)ntournées suivant la forme du solide; plus ces marches, que nous appellerons échelons, seront multipliées , et moins le corps échelonné différera du corps dont la surface est continue. Enfin, supposons que A soit la hauteur verti^ cale de toutes les tranches ou échelons :

î®. Lé volume de chaque marche d'escalier sera h X la surface de la tranche qui sert de base à l'échelon ;

Q*. Le centre de gravité de la marche se projettera horizontalement sur le centi^ de gravité de la tranclie qui sert de base à cet échelon ; ^ '

5". La hauteur A, multipliée parle moment de la ti'anche est égale au moment de Téchelon même ayant pour base Taire de cette tranche ;

4". La somme des volumes des échelons représente Itf volume total V du corps proposé ;

T. II. — MiciiAîi. i5

TlH llJlo HÀiriQUX.

5*. Jka fommc des moments des échelons représente le moment total da corps proposé.

£nGn , si les moments sont pris par rapport à Taxe OY^' et que leur somme soit M » on a sur-Ie-cbamp G^' ^^= S. St les moments sont pris par rapport à Taxe OX, et qne leur somme soit m , on à sur-le-champ O^ = Ç,

On voit combien cette méthode est simple et facile. Elle n'est pas seulement employée par les théoriciens ; elle est utile à tous les ingénieurs , à tous les artistes, qui veulent calculer a,vec précision la position du centre de gravité d'un volume quelconque. Ne craignons pas de répéter que cette étude est particulièrement essentielle pour les^ •onstructeurs de navires ; elle pourrait souvent donner aux marins, des lumières précieuses sur les qualités de leurs bâtiments, s'ils connaissaient et s'ils appliquaient de pareille» méthodes.

Je me contenterai d'indiquer la position ttiarqiiable du centre de gravité de plusieurs surfaces et de plusieurs solides importants pour rindusfrie ; laissant aux élèves qui voudront pousser plus loin leurs études^ le soin de yoir dans les livres spéciaux, la démonstration des résultats que j'énonce.

Le centre de gravité d'un prisme ou d'un cylindre est à égale distance de la base supérieure et de la base inférieure. En coupant le prisme ou le cylindre en deux parties égales, par un plan parallèle aux deux bases , le centre de gravité de la section est le centre môme de gra** vite du prisme ou du eylindre.

QUATKIÊBIE LEÇON. ît5

i. Si Tan. prend le centre de gravité de dhraqiie basé d'un prisme pu d'un cylindre ^ et qu*ôti joigne les deux centres par une droite , le milieu de cette droite est le centre de gravite, soit du prisme, soit du cylindre (i).

La somme des arêtes d'un troiic de prismci triatigulaire ou parallélipipède ^ divisée paq le nombre des arêtes, donne le distance de la base

(i) Si le prUme est droit , le plan qui le coupé parallèlement liuK basés, à égale distancé de ces bases , est un plan de sylnétrie; donc il contient le centre de gravité du prisme. .

Supposons qu*on ait divisé le prisme en un nombre très-grand de tranches parallèles aux bases , les centres de gravité des tfancbes deviendront , pour ainsi dire , identiques avec ceux de la surface des tranches. Les tranches auront leur centre de gravité sûr une ligné droite parallèle aux arêtes du prisme^ et le centre an prisme sera sur le tniileu de cette droite. Si Ton^^suppose que lés tranchés glissent parallèlement les unes sur les autres , de Bfiaiiîère que les centres des tl*anches restent toujours en ligné dfbité, du va former un volume échelonné dont le centre dé gravité sera toujours sur la lijgne droite qui joint ces centres.

Plus on suppose que les tranches sont minces et nombreuses, plus le volume échelonné approche d* un. prisme oblique, sané que la position du centre de ce volume cesse , pour cela , d*étre à égale distance des plans qui terminent les tranches extrêmes.

Donc, enfin, dans le prisme oblique comme dans le prisme droit , le centre de gravité se trouve au milieu de la droite qui passe par le centre de gravité des baseSv

La même décomposition du cylindre droit en cylindres échc" lônnés , dont les échelons fussent de plus en plus petits , ferait Toir que le centre de gravité d*un cylindre, oblique ou droit, est au milieu de la ligne droite q,ui joint les centres de gravité des deux bases.

^ l6 WÉOHANiQUE, .

au centré de gravité du tronc de prisme ^ en mesurant cette distance par une droite parallèle aux arêtes.

Si l'on prend le centre de gravité de la base d'une pyramide ou d'un cône, et qu'on la joigne par une droite avec le sommet ; puis , qu'on preaine le quart de cette droite à partir de la base , ou les trois quarts à partir du sommet j le point qu'on trouve est le centre de gravité , soit de la pyramide, soit du cône(i).

Le centre de gravité de la surface et du volume de la sphère , est au centre de symétrie.

Le centre de gravité d'une calotte spbérique

(i) En divisant la pyramide par tranches extrêmement mincM, au moyen de plans parallèles à la base, on verra que les centres de ces tranches sont au centre de gravité de sections parallèles i^ la base. Mais ces sections sont semblables, et leurs points cor^ respondnnts sont en ligne droite avec le sommet de la pyramide; donc tons les centres des tranches , et par conséquent le centrc| même de la pyramide , sont sur la ligne droite qui joint le centre de gravité de la base avec le sommet ; ce qui sera vrai des quatre sommets et des quatre faces qui leur sont opposées.

Soit ^, fjg. !i3, le centre de gravité de la base AfiC de la py-: ramide SABC. On a K^ =: \ KB ; de même, g' étant le centre de gravité de SAC, on a ^g' = -^ KS. Donc, si Ton mène /Ga et gg\ les deux lignes KS et KB sont coupées proportionnelle^ ment; ainsi gg' est le tiers de BS; de même que K^ est le tiera de KB, et K^' le tiers de KS. Donc, à cause des triangles sem^ blables Ggg, GBS , G^ = | GS , et par conséquent G^ = J S^, Donc , enfîu , le centre de gravité de la pyramide est au qua^ d^ la distance du sommçt au centre de gravité de la bas^

QtJAT&iiaiB Lcçoir. 117

e$t situé sur l'axe de symétrie ou flèche de la calotte : il est au milieu de cette flèche.

Le centre de gravité de la surface et du to^ lume des surfaces de révolution est situé sur leur axe de symétrie.

Menons un plan coupant par l'axe d'un cône droit circulaire , entier ou tronqué , le triangle ou trapèze de la section a pour centre de gravité celui de la surface du cône ou tronc de cône.

Le centre de gravité du volume de la demi-* sphère est auxtroié huitièmes du rayon, à partir du centre.

Le centre de gravité d'un segment de parabole est aux trois cinquièmes de la flèche, à partir du sommet.

Le centre de gravité d'un segment de volume paraboloïde engendré par la révolution de la parabole sur son axe , est aux deux tiers de l'axe à partir du sommet.

Emploi des centres de gravité ^ pour trouver h volume de certains corps.

Il faut maintenant expliquer et démontrer une très-belle analogie entre la détermination de certains volumes et le centre de gravité de certaines surfaces.

Supposons qu'on ait déterminé le centre de gravité G, fig, 53, d'une superficie qui tourne autour d'un axe 00\ Dana ce mouvement, le

Il8 MÉCHAKIQUS.

eontourOmnO décrit une surface de réyoluttoB.

Le volume compris dans la surface de révcH lutîon^ égale la superficie OmpO ^ multipliée par le cercle qu'a parcouru le centre G.

Pour le démontrer, menons par l'axe 00' deux plans O'p y O'q , extrêmement voisins et faisant entr'eux un angle très-pelit. On pourra regarder le corps comme terminé par une cote cylindrique entre ces deux plans. Le tronc de cylindre aura pour base OmnO, sur le planO'j!i. Décomposons cette base en petits quarrés égaux, chacum sera la base d'un petit prisme rectangulaire teiv miné par le plan O'q.

Soit vxfz un de ces petits quarrés; par le centre i du quarré, menons ii'i" parallèle àl'axie 00, nous aurons : volume du prisme abcd^ ayant vxjz pour base et i'i'^ pour hauteur=(^j^zXiV.

Or ce produit est le moment de i^xjrz transporté sur le plan 0^, par rapport à Op. Donc la somme des volumes des prismes, c'est-à-dire, le volume de la section pOq, égale la somme des moments de l'aire OmnO, dans le plan Oq , par rapport au plan Op.

Projetons en G'G'', le centre de gravité G de GmnO; nous aurons

Surface OmnO X G'G" = la somme des moments de OmnO placée en 0^ par rapport à Op,

Donc le produit

Surface. OmnO x G'G', égale le volume ée la