partie du cûrp» de révolution , comprise entre &p et O

Or G'G" est ëgal à l'espace que le centre G doit parcourir pour passer du plan O'/i au plaur O^q, quand ces plans sont supposés extrêmement prés l'un de l'autre. Donc, enfin^...

La surface OmnO multipliée par T espace G'G'* que parcourt son centre de gravité ^ quand elle tourne autour de son axe 00', donne un produit égal au volume dé la partie du solide de révo^ lution comprise entre les plans 0'/?, 0'^.

Nous pouvons concevoir autant de plans qu'on voudra, irès-voisins les uns des autres, et passant par l'axe; toujours le volume de la partie du solide de révolution comprise entre ces plans sera représenté par le produit de l'aire O/w/iO par l'espace que parcourt le centrede gravi téde cett èaire.

Ainsi, quand un solide est formé par une aire plane qui tourne autour d'un axe , le volume du solide est égal au produit de Vaire par r espace que parcourt j dans ce mouvement ^ le centre de gravité de l'aire.

La démonstration précédente restera la même, si l'aire OmnO tournant autour de 00', afin de passer de O'p en O'ç, tourne ensuite autour d'un second axe tracé dans le plan de l'aire, pour décrire une portion plus ou moins grande d'une nouvelle surface de révolution, puis autour d'un Iroitième ai:e traeé dans le plan de Taire, etc<

I«IO MÉCHAPriQUE.

Dans tous ces cas, le Tolume terminé par chaque nouvelle surface égalera la surface de Faire génératrice , multipliée par l'espace que parcourt le centre de gravité de cette aire.

Applications. Cette méthode très-simple est employée par les architectes instruits^ pour calculer les volumes ou quantités de pierre, de bois, de fer, que contiennent les escaliers à vis^ les voûtes annulaires, etc.; par les ingénieurs des ponts et chaussées, pour calculer les déblais et les remblais des canaux; par les artilleurs, pour calculer le volume des parties annulaires de leurs bouches à feu, etc., etc. Les construc^ teurs de navires ont aussi beaucoup d^occasions d'appliquer, dans le cubage des bois, la méthode générale que nous venons de démontrer.

11 est essentiel d'appeler l'attention des élèves sur ces relations intimesdes propriétés de la géométrie et de la méchanique. La méchanique sans géométrie est une routine sans théorie, uneétudd sans lumière ou plutôt une étude impossible* A son tour la méchanique rend à la géométrie d'importants services; elle lui fournit des instruments variés pour exécuter avec une extrême précision, et pourtant avec facilité, des opérations ti es -délicates. EiForcons - nous donc de montrer de plus en plus les rapports indispensables de ces deux belles sciences , pour les appliquer de concert à l'industrie.

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CINQUIÈMJE LEÇON.

Stdte des lois du moiiuemenii

Nous avons étudié les loié du mouvement produit par des forces dirigées suivant une même ligne droite. Nous avons vu que si deux forces agissent sur un point matériel , dans la même direction , pendant un temps donné , l'espace total parcouru pendant ce temps est le même que si le point matériel avait été mû d'aj3ord par la première force, puis par la seconde.

Supposons f par exemple , qu'un vaisseau qui va vent arriére, et s'avaqce uniformément, porte un marin qui part de la pouppe et s'avance de même yniformément vers la proue; supposons qu'au bout d'un temps donné, le marin parvienne à la proue, en suivant la direction de la marche du vaisseau. L'espace total parcouru par le marin sera le même que s'il eût d'abord marché de la pouppe à la proue, dans le temps donné, le vaisseau restant en repos ; puis que , restant en repos dans le vaisseau , le vent l'eût emporté uniformément, pendant le temps donné, avec la vitesse primitive du vaisseau.

Non-seulement les espaces parcourus sont les

TOM. II. MÉCHAN. l6

122 MECUAlfIQUF.

mêmes dans les deux cas, mais la forcq totale employée à mouvoir l'homme et le navire est la même : il n'a pas fallu plus de force pour ce navire et pour le marin ^ soit que leurs mouvements aient eu lieu dans le même temps ou successivement.

Dans ces deux cas, Tespace. total parcouru en vertu des deux forces agissantes à la fois, est la somme des espaces parcourus , lorsque la force qui fait avancer le vaisseau d'une part , ot de l'autre celle qui fait avancer Thcmiixie , agissent séparément*

Tandis que le navire ^'avance > admettons, au contraire , que le marin retr^^ade de la proue à la pouppe. L'effet est le même que : 1®. si, le marin restant d'abord en repos, le navire exécutait son mouvement progressif ; 2". si, le navire restant en repos, le marin rétrogradait de la proue à la pouppe. L'espace parcoViru, quand ces deux mouvements s'exécutent ensemble, est égal à la différence des espaces parcourus : 1*^. quand le marin n'est animé que de sa propre force ; 2®. quand il n'est animé que de la force qui fait avancer le navire.

Cette propriété que possède la matière, de parcourir le même espace total dans un temps donné, lorsque plusieurs forces agissent à la fois suivant la même dii^ection , et lorsque chaque force agit successivement durant ce même

ClNQUlÈWfi xtçow. 'laS

teo^ps; celte proprifitë^disrje., ïi'appar(ie»t; pÂ3 seulement auis dor^ aolUcUés à se mouvoir^ par dçs forces dirigées- auiyarit' une piéme ligne droite : elle es4; gén#alQ> queHè qtie ^t la diriectioû des forces, : 'i i !

Youlez-vous un exemple bien simple et faiën^amilier dé ces mouvements combinés. Pl^ees-fTOJ&s sur un bateau^ et promenez«-vous ïd'mi Jjord à l'autre, quand il est en re|30S. Lorfquè te bateau s'avancera dans le sens de sa . longueur^ votre mouvement ^transviaraai n'en continuera pas moins àlvec la même vitesse uniformte r-çtarW; que vous emploîrez la mcme quan^tité de ^^forcfe pour vous mouvoir. ;:

Si voiis tirez un cmip de fusil ou de pistdlet-, d'un point du navire à Un autre, la balle n'ita pas moins frapper le point ajusté^ si ie navi^e^eet en repos, ou s41 est en mouvemej^^ : pourvu'ifibe ce mouvement ne chiànge pa?s duranlt ie trajet K|ue parcourt la baile, depuis i'arme\}nsqu*àI?objet ajusté. Voyons quelle rdikte cette balle dcntsuivre.

Supposons que la balle bu corps quteloonqiibcA , fi^-. i, soit poussé par deux forces :<fUB.r8p|Tdsentent les flèches AX et AY^rta première* fdrce , agissant seule , fera parcourir en temps égaux, au corps A, des espaces égaux A6;'2>c, cdy,.. sur la ligne droite Ajc, prolongement de AX. La seconde force, agissant seuié, fera 5parcourir durant les ménies temps égaux, au coi^ps

1^4 MiCHAiriQUS.

A, des espaces égaux kV, h'd ^ cfd'y . . . sur la ligue droite Pijr^ prolongement de AY.

Si, durant le premier temps , la force AX agit seule, elle transporte le corps A en b; ensuite, si la force A Y agit seule durant un temps égal, dans sa direction propre, elle fait parcourir au corps A une ligne BR égale et parallèle à kb'.

Si la force AX agit seule durant les deux premiers temps , elle transporte le corps A en c ; ensuite , si la force AY agit seule durant deux temps égaux aux deux premiers ^ elle fait parcourir au ,corp8 A une ligne cC égale et parallèle à fid; et ainsi de suite.

Enfin, les points B, G, D^... où le corps se trouve transporté lorsqu'on fait agir ainsi tour à tour les deu?: forces AX et AY , sont les points où ce corps arriverait, si l'on supposait que les deux forces agissent à la fois durant un même temps. De plus, la propriété des lignes proportionnelles, Géométrie, V% leçon,

A^ : iB : : Ac ; dC : : Arf : ^D.... exige que les points A, B, C, D,.... soient en ligne droite, et que les figures khRb' , AcCr^, kdDd\^.... soient des parallélogrammes ayant tous leur diagonale placée sur la ligne droite ABCD,... Donc , quand un corps est sollicité par deux forces , il se meut en ligne droite, et suit la diagonale du parallélogramme dont chaque côté représente l'espace que parcourrait

CIJTQUIÈMB LHCON. ia5

ce même corps, s'il n'était poussé durant le même temps que par une des deux forces composantes.

Ainsi, quand les deux forces composantes sont représentées en grandeur et en direction par des lignes droites kb, kb' ; leur résultante est également représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme A^B&', dont kbf Ab\ sont les côtés. Voilà ce qu'on doit entendre par le parallélogramme des forces (i).

(i) On peut démontrer rigonreusement la propriété du parallélogramme des forces.

Soient deux forces quelconques X, Y, fîg.3, représentées parles droites AM , AN. Atcc ces droites comme côtés , acheyons le parallélogramme AMIN. Appliquons en N, sur IN et sur son prolongement, deux forces opposées or, ^, égales à Y; elles se détruiront mutuellement , et ne changeront rien à la résultante de X et Y.

Combinons à présent X avec x , et Y avec^. . . lo. S, dirigée suivant HK, étant la résultante des forces parallèles X, 07, on a.... a: : X : : A^ : NI : : AH : HN.

Mais HK étant parallèle à NI, laprx)priété des lignes proportionnelles, GioMiiKiE , Ve. leçon , donne AN : NI : : AH : HK; donc QK = HN. £n menant la droite KNR , le triangle KHN a «es angles HKN^ HNK, égaux entreux, ainsi qu'à T angle KNI. Doncla droite KNR divise en deux parties égales les angles ANI, ou YN;-. Les forces Y,^, étant égales, leur résultante R est située sur KNR; puisqu'il n'y a pas de raison pour qu'elle se rapproche plus de l'une que de l'autre des deux forces Y,^.

Ainsi , les deux forces X , Y , d'une part ; de l'autre , les deux forces S etR ont la même résultante. Mais la résultante des deux premières passa pa;r le point A , qui leur est commun ; la résultante des deux secondes passe par 1q point K, qui leur est commun; donc y enfin ^ la résultante de X et de Y passe par A et K,

126 MECI14NLQUE.

A chaque instant le parallélogramme de§ forces trouve son application, dans les moindres mouvements de nos membres, dans le jeu des outils que nous employons, et dans les mouvements extérieurs auxquels nous sommes obligés 4^ participer. Il est essentiel de bien considérer, dans chaque cas , si les forces composantes dont nous faisons usage sont dirigées de manière à produire une résultante, dirigée elle-mênie dans le sens qui nous parait convenable ; et si la quantité de forces perdues est la moindre possible. J'ose assurer que cette étude faite avec atten* tion et persévérance , produira, dans les ateliers et dans les manufactures , une économie de force et de temps qui aura les conséquences les plus

c est-à-dire, par AKI diagonale du' parallélogramme AMIN, dont les côtés AM, AN, représeuteiit les deax forcci composantes X et Y.

Pour trouver la grandeur de la résultante Z dirigée suivant ÈA, fig. 3, prenons Z' égale et directement opposée k cette force. Alors X, Y, Z', se font équilibre, et chacune de ceà trois forces est égale et directement opposée à la résultante des deux autres.

Construisons un parallélogramme ayant : sa diagonale dirigée suiyant AM',dcux côtés dirigés suivant AN, et AI':=:AI, avec AN pour un de ces côtés. Si Ton veut que AN représente une première composante et AM' la direction d'une résultante X, la seconde composante Z', étant dirigée suivant AI', il faut qa^ Ail' wit un côté du parallélogramme ANM'l'. Donc A['.=:NM'sà AI. Donc enfin la résultante Z = Z' est représentée en grandetor ainsi qu*cn direction, par la diagonale At du parallélogramme AMIK, lorsque les côtés AM, AN^ de ce parallélogramme représenteat deux composantes. -i