I. Des cordes

Pour faciliter l'étude des cordes employées à transmettre des forces , les géomètres supposent d'abord qu'elles sont flexibles , inextensibles , et sans pesanteur. Puis , suivant qu'il importe

T. IL — MÉcHAxN. ' 19

j/|6 IMÉCH A NIQUE.

(le faire entrer en considération , leur roideur plus ou moins grande , leur extensibilité ou leur pesanteur, ils recherchent (tant par la théorie que par l'expérience), quelles altéralions peuvent être produites dans les résultats primitifs , par les propriétés de la matière dont les cordes sont composées.

Celte manière de venir a bout des questions les plus compliquées, en les ramenant d'abord à leurs cléments les plus simples , n'a rien que de très-philosophique ; elle aide à la faiblesse de notre intelligence, et double Tefficacité de nos moyens d'opérer. Nous allons suivre la même marche dans l'examen des propriétés des cor- (^cs et de toutes les autres machines simples.

Considérons donc une corde parfiaitement flexible, inextensible et sans pesanteur.

Commençons par appliquer une seule force à chaque extrémité de la corde. Ces deux forces tirant la corde en sens opposés, supposons- les égales. Par leur etFet, cette corde est tendue en ligne droite; ligne dont les deux extrémités se trouvent à la plus grande distance possible. Alors les deux forces se font équilibre, puisqu'il n'y a pas de raison pour que la corde , également tirée des deux bouts , s'avance d'un côté plutôt que de l'autre.

Faisons agir une troisième force qui tire dans le même sens qu'une des deux premières : que

la seconde , par exemple: L'effet opposé de la première, étant détruit? '^r* la seconde, îa corde se motivra du- côté die la troisième , fcotti^ -me si les' deux'ppemières' n'agissaient pas. Dand ce mouvement , exécuté suivant la diinaotîofti'diç la corde, il est évident que^ cette corde ne çé^-^ ra pas d'être en ligne droite. La troisième force ne fera qu'entraîner la corde; et les ' deux prc* mières forces qui se font équilibr^iy-produiro^ni cet équilibre en exerçant sur laqorde une tension représentée* par chacune de ces deux forcés. ■

Les résultats auxquels nous venons de parvenir étant les mêmes, quelle que'soit là longueur de la corde, il ^'en suit que la tension qu'elle éprouve est la même en chacun de 'ses points ,

, xm.. t • I

En effet^pour connaître la tension éprouvée par la corde, au point quelconqueC, fig. i , l'on pourrait y supposer applique'es les deux forces AX> BY; de même, pour connaître la tension éprou* vée au point A, oripeiitsupposer les deux forces AX, AY, appliquées en A. L'effet des forces ne changeant pas , quel que soit leur point d'appli* cation , il en resuite que la tension éprouvée par la corde en un point quelconque C, eât (comme nous l'avions avancé) la même qu'à l'extrémité A ; donc elle est égale dans toutes ses parties^

Maintenant, supposez que la corde ait parfont une force constante, excepté dans un seul poin*

l48 MÉÇHAJHfQUE.

pflus fai|>le que les autres. En accrpissant gra- (liiellemeqt et de la même quantité, les deux force^ opposées , on ^atteint un terme où la tension exercée sur la corde (tension supposée la même pour tous les aatres points de cette corde) est trop; peu considérable pour rompre cette corde en aticun point, excepté le pliis faible. Donc la corde; rompri daps ce point faible , et l'équilibre du système sei^détruiti : Ge 133 oy en est précisément celuiqu on emploie dans les: arts:,î pour mesurer la force: des cor" dagej. Quand les cordages doivent servir , soit à fixçr^ soit à suspendre des objets doiit la tenue est d'une grande importance , il devient indispensable de s'assurer que les cordages siipportcrpnt sans se rompre les plus grands efforts auxquels on devra les soumettre. Il est donc essexitiel de connaître, ayant tout, la résistance, dcmt ils sont susceptibles. Cest ce qu'on doit fairefavec un soin particulier, pour les cordes ou câbles de fier, câbles que j'ai eu le bonheur de faire adop* ter, depuis 1817, par la marine française. Car il suffirait qu'un seul chaînon , par mauvaise qualité du fer ou par mauvaise fabrication , eût une force très-inférieure, pour exposer le câble à casser, comn^e si tous les autres chaînons étaient également faibles.

Quand une corde est courte, il y a moins de chances pour qu'elle se trouve, en quelque point.

SIXIÈME LEÇON. l49

beaucoup plus faible qu'en tout autre. Aussi, re-^ niarc[ue*t-on qu'en prenant "deux bouts d'une mémêûdrde, inégaux en longueur , pourles soumettre à des tensions égales , le bout le plus court est génératement susceptible d'éprouver un plu3 grand effort, avant d'être rompu, que le bout lé plus long.

Au lieu dHme force agissant à chaque extrémité de la corde ^ supposons qu'il y ait un nombre quelconque de forces.

Soient Ar', Aa:^/, kx'^\... fig. 2, les forces agis^santés d'un côté, et Bj', Bj-", By,.— l^s forces agissantes de l'autre côté* On pourra remplacer d'une part toutes les forces kpc\ kx'\ Ajc%... et de l'autre, les forces Bj% '&y\^y\,., par ime force unique qui sera leur r^ultante , et que nous déterminerons d^après^les lois ordinaires de la composition des forces. Pour cçla , nous ferons un polygone dont les côtés soient égaux et parallèles aux droites représentant les forces. Les deux lignes droites AX, BY, qui ferment ces polygones , représenteront les deux résultantes. Il faudra que ces deux résultantes : i*. soient dirigées ensens opposés , suivant la- direction même de la corde AB; 2**. soient égales entr'èlles;

Si les forces ne sont pas égales, il y aura m 6 u-^ vement dans le sens de la plus grande, et la vitesse sera en raison inverse de la masse de la corde à mouvoir, etc. , II'. leçon.

j5o m^chanique.

Application à la sonnerie des cloches. Les cloches que Ton sonne dans les églises sont tirées par une corde verticale AB, fig. 3. Quand la cloche* est trop grosse pour que deux ou trois hommes ^ tirant à la fois sur cette corde, puissent sonner avec facilité , Von fixe au bas de la corde principale AB, des cordes plus petites A;r', A^", AJt"^. ..= Un homme saisit chacune de ces cordes , et tous tirent ensemble pour donner à la cloche le mouvement qui lui convient. Afin d'obtenir la résul-. tante, il suffit de former un polygone Aa^'X^'X'^'... dont les côtés kx\ x'X", X''X''',... représentent, en grandeur et en direction , les forces kx^ , Aar'V j\^f •• • •

En menant la ligne droite AX"', par le point A et par l'extrémité du dernier côté, on fermera ce polygone des forces, polygone dans lequel cette ligne droite AX"'. représentera la résultante. Enfin, pour le cas que nous examinons ^ il Êiudra que cette résultante soit dans la direction de la corde verticale AB .

Ordinairement les sonneurs, dont la fœxe est à peu près la même, se placent en cercle, à distance égale les uns des autres , de manière que le centre du cercle soit à l'aplomb de la cordé AB. Par cette disposition , la résultante de leurs forces passe nécessairement par la ligne AB.

Moutons ou sonnettes pour battre les pieux. Ce que je viens de dire sur la sonnerie des cloches

SIXIÈME LEÇON. IDI

s'applique également lorsqu'on veut tirfîr avec des cordons , la corde principale qui fait agir le mouton mis en usage pour battre les pieux. Aussi cette machine est-elle souvent appelée sonnette; parce quonla sonne comme une grosse cloche d'église. Mais pour compléter l'explication de cette machine, il faut connaître les poulies. Jusqu'ici nous avons envisagé les cordes comme tirées seulement par leurs extrémités. Supposons qu'elles soient en outre tirées en un point intermédiaire.

Soient AX et BY, fîg. 4 j les forces appliquées aux extrémités A,B, d'une corde ACB, et CZ la force appliquée au point intermédiaire C. Ces trois forces se feront équilibre, .si , en transportant BY en Cy, AX en Car, le parallélogramme formé sur les cotés Cx, Oy, a précisément sa diagonale CZ' égale et opposée à la force CZ'.

Supposons que la force AX , ûg. 5, représentée par Car, et la force BY représentée par Cj", soient égales entr'elles. Alors le parallélogramme Cj:Zy sera ce qu'on appelle unlozange, et les angles a:CZ', j-CZ', seront égaux ; c'est-à-dire, que les lignes droites CAX , CBY , feront le même angle avec la direction de la résultante CZ'.

Mais , suivant que Qy sera plus grand ou plus petit que Cx , la force CZ' sei^a plus rapprochée ou plus éloignée de CBY que de CAX ; et cela dépendra de la fortae des triangles é^gaux Cx2i\ Oy7j\

Si nous avions quatre forces AX , BY, A' X' et B'Y', fig. 6, appliquées en C,C', il faudrait qu'il y eût équilibre autour de chaque point

l5a MIÉCHANIQUE.

Par exemple , autour du point C , Ton aurait les forces AX et BY , dont la résultante devrait être dirigée suivant le prolongement de CC, et représenterait la tension exercée par ces deux composantes sur le cordon CC'. Construisant donc le parallélogramme Ç*yLx , où Ca: égale AX , Cr==BY, on aura CZ égal à la tension de la corde BC.

De même, pour le point C, en construisant le'parallélogramme OlfUj avec les côtés C'a:'= A'X', Cy =B'Y', on aui^a G'Z' égal à la tension de la corde. Il faudra, pour que ce reste en équilibte , que les deux teusions opposées CZ, GZ% soient égales.

Remarquons ici que la détermination des diverses tensions de AC, ce, C'A', etc. , étant indépendante de la longueur des parties AB , BC, CD, etc. , ces tensions ne changent pas , non plus que l'état d'équilibre de tout le système, lorsqu'on augmente ou qu'on diminue la longueur de ces parties. On peut donc supposer nulles une ou plusieurs d'entr' elles , sans que pour cela l'équilibre soit détruit. Par conséquent , lorsqu'un nombre quelconque de forces sont appliquées à divers points d'une même corde, en appliquant toutes ces forces au même point, sans changer ni leur grandeur, ni leur direction, toutes les forces ainsi transportées parallèlement , et débarrassées de la corde, sont en équilibre.

Lorsqu'une corde est tirée par des forces appliquées à divers points , elle présente la figure d'un polygone, et, pour cette raison , prend le nom de polygone funiculaire : du mot Isiiin Jimi" culum^ petite corde ou cordon. Il faudra que les forces agissant autour de chaque point, soient en équilibre avec les tensions éprouvées par les côtés du polygone dont ce point est le sommet.

SIXIEME LECOIf. 1 55

Nous avons de fréquents exemples de l'équilibre du polygone funiculaire, lorsque nous suspendons des poids à une cofde dont les deux bouts ne sont pas sur la même verticale. Les ponts suspendus, dont nous parlerons à la fin de cette leçon , nous offriront un autre exemple des polygones funiculaires et de l'utilité des évalualions qui s'y rapportent.

Soient ky y B2, Ce, Dw, fig. 7, des forces verticales; leur résultante Rr sera pareillement verticale , égale à leur somme , et pourra se déterminer immédiatement par la théorie des forces parallèles. Pour que l'équilibre existe dans le polygone funiculaire , il faut que la force Rr, qui représente l'ensemble des forces A.jr , Bz , Cv et Dw , fasse équilibre à la tension dies bouts A, D, de la corde. Ce qui exige : I®. que les directions des deux forces extrêmes A^,Dm , aboutissent au même point O sur la résultante Rr des forces parallèles; 2°. qu'en prenant Oj/=Aa:, et Ou* = Dm, sur les droites Okx et ODm, la diagonale du parallélogramme formé sur ces deux côtés , soit précisément égale ^ Rr, et verticale comme toutes les forces composantes.

Quant aux tensions éprouvées par les diverses parties de la corde ABCD , il sera toujours très-facile de ies détermincr, en regardant chaque force parallèle A^, Bs, etc., comme la diagonale d'un parallélogramme dont les côtés sont kx et AB prolongés , AB et BC prolongés, BC et CD prolongés , etc. ; les côtés de ces parallélogrammes représenteront les tensions de ces cordons. On déterminera de la sorte la tension de chaque cordon AB , BC , CD , à ses deux extrémités. Si l'équilibre subsiste, il faudra que cette T. II. — MicHÀw. ao

l54 M^CH A N IQUK.

tension soit ]a même aux deux extrémités de chaque cordon. Sans cela, le cordon s'avancerait du côté de la tension la plus grande, comme s'il était immédiatement sollicité par deux forces inégales.

Actuellement, nous sommes en état de faire entrer en considération la pesanteur des cordes. Examinons, d'abord , une corde fixée à ses deux bouts, et qu'on laisse pendre librement.

Nous pouvons regarder cette corde comme étant composée d'un nombre infini de petites lignes droites , égales entr*elles, très-peu inclinées l'une sur l'autre, et formant la ligne courbe que doit alors suivre la corde pour se placer dans un état d'équilibre et de repos. Considérons deux de ces petits cotés consécutifs AB et BC , Gg. 8 , la résultante du poids de chacune d'elles est une force qui passe par leur milieu , en M et N. On va donc avoir une suite de forces parallèles Mx, "Nj, Oz, égales, et telles que leurs points d'application M , N , O, sont équidistants.

La résultante de toutes ces forces est égale à leur somme et dirigée verticalement : soit Rr cette résultante. Il faudra, d'après ce que nous avons vu précédemment, que les deux derniers côtés F/", Gg, du polygone funiculaire, par leur prolongement, se rencontrent sur la résultante Rr.

Ainsi, les tangentes , en F et G, à la courbe FAB....G, se coupent toujours sur la direction de la résultante du poids de la corde librement pendante : résultante qui passe par le centre de gravité de la corde (i).

La courbe formée par la corde pliée librement en vertu de sa pesanteur, resterait la même,

(i) Celte propriété sert aux mathématiciens à trouver une équation différentielle de la courbe que forme la corde y librement abandonnée à sa pesanteur. Mais malheureusement , les

soit que cette courbe fut un fil éminemment flexible et continu, soit qu elle fut une chaîne ou chaînette composée de chaînons infiniment petits. Ce qui ferait de cette chaînette un polygone composé d'un nombre infini de côtés infiniment petits. C'est même ainsi qu'on a d'abord considéré le problême. On a nommé spéciale^ j[iient chaînette^ la courbe suivie par une telle chaîne , ou par une corde parfaitement flexible, fixe à ses deux bouts , et librement abandonnée à l'action de la pesanteur.

Les arts méchaniques et les beaux-arts font un fréquent usage de la chaînette.

Les câbles, les chaînes, AB, fig. 1 4» avfec lesquels on tient les navires en équilibre contre les forces du vent et du courant, prennent la forme de chaînettes plus ou moins courbes, selon leur tension. Il en est de même des cordes employées pour le halage , et tirées par des hommes ou dea chevaux, au moyen de cordelles attachées en divers points aux cordes principales. L'examen des tensions supportées par ces cordes et par ces cordelles , et la transihission ainsi que la perte des forces

méthodes dont nous sommes en possession, ne sont /pas asg/çz puissantes pour donner en quantités finies Téquation qui doit déterminer la figure de cette même courbe. Quant à nous q ùî, daiis les arts , pouvons opérer sur la courbe même , et déterminer tous ses éléments au moj'eu de mesures immédiates, nous parvenons ainsi ^ par le fait et de la manière la plus simple, aux résultats où la science analytique ne saurait nous conduire.

l56 MECHANIQtJE.

de halage, sont des questions importantes ^qu on résout au moyen des principes exposés dans cette leçon. Nous expliquerons cet emploi des chai* nettes, au sujet du gréement des navires.

Il faut aussi rapporter à la chaioetre et au polygone funiculaire , 1 équilibre des irailles ou cordes tendues d'un bord à l'autre des rivières, EUe&sont attachées à des points assez élevés pour qu'un bateau maté passe dessous. Sur la traille peut courir ( au moyen d'une poulie) le bout supérieur d'un cordage dont le bout inférieur retient tin bac. Dans chaque position où cette corde se trouve, elle éprouve une tension causée par l'action que l'eau courante exerce sur le bac. Cette tension fait équilibre à deux autres ten* sions éprouvées par les portions de la traille situées à droite et à gauche de la corde qui tient le bac. Pour connaître la force nécessaire à donner, soit à cette corde, soit à la traille, il faut calculer les plus grandes tensions qu'elles aient à supporter : les' propriétés de la chaînette et du polygone funiculaire en donnent le moyen.

Une des applications les plus importantes de la chaînette et des cordes en général ^ est celle qui se rapporte aux ponts suspendus^ fig. i5 ; mais, UvaQt de la faire connaître, il faut expliquer les propriétés géométriques de la chaînette , propriétés si fécondes en conséquences.

Si les deux extrémités A , B , d'unç çhainettç

SIXIÈME LEÇGir. 187

AECFB, fig. g, sont placées à la même hauteur, cette courbe sera symétrique par rapport à la verticale DC, menée par le milieu D de AB. On voit , en effet , qu'il n'y a pas de raison pour que la partie de gauche AEC , diffère de forme ou de /

grandeur avec la partie de droite BFC.

Les guirlandes et les cordons d'or, de soie , dé rubans, de franges et de fleurs, suspendus à des points qui ne sont pas sur la même verticale , forment des chaînettes dont la symétrie est heureusement contrastée par une variété de cour» bures et de positions ; variété dont l'élégance est un des secrets de l'art ayant pour but la décoration des appartements et des édifices publics.

Il est utile que le peintre et le dessinateur étudient le genre de courbure qui caractérise la chaînette; afin qu'ils donnent à la représentation de ces objets d'ornement, des contours qui ne soient pas dépourvus de vérité.

Maintenant, regardons comme fixe, le point E, fig. g, et supprimons AE ; la partie restante EGB n'en sera pas ^loins en équilibre. Or, si Ton mène l'horizoutale EF et qu'on prenne le point F, au lieu du point B, pour $econd point fixe, la partie EC sera eqcore symétrique à FC.

Aii^si , lorsqu'une chaînette , fig. 9 , n'a pas ses deux extrémités E, B, placées à la piême hauteur, si par l'extrémité la moins élevée E, l'on mène l'horizontale EF, la partie ECF de la chaînette , en dessous de cette honzontale , seri^ symétrique par rapport à la perpendiculaire GG , abaisséfi

l58 M^CHAXIQUE.

du milieu G de EF, et le point C sera le plus bas de tous les points de la chaînette.

* Puisque la chaînette ECF est symétrique par rapport k la verticale CG, le centre de gravité de cette courbe est sur cette verticale. Menons les deux lignes droites EO, FO, tangentes en E et en F à la chaînette. Prenons, ensuite, une partie OR verticale et représentant le poids de la chaînette ; les côtés du parallélogramme OrR/, représenteront les tensions éprouvées par la corde , en E et en F.

Demandons-nous quelle est la tension exercée en G , point le plus bas de la chaînette. Si nous menons CO , 06 , fig. i o ^ tangentes à la chaînette en C et B: i®. le centre de gravité de la chaînette CB sera sur la verticale OG , qui passe par le point O ; a®, si nous construisons sur OG , OC , OB ^ prolongés,^ le parallélogramme OPQS, lorsque OP représentera le poids de l'arc CB, OS représentera la tension éprouvée en C, et OQ la tension éprouvée en B par la chaînette. Mais, dans le parallélog^ramme OPQS, PQ=OS, et comme OPS est un triangle rectangle , OQ est toujours plus longiy* que OS , c'est-à-dire, que la tension éprouvée par la chaînette , en B , est toujours plus forte que la tension éprouvée en C.

Mais, lorsqu'on s'élève, la tangente BOQ fait, avec la verticale, un angle plus aigu ; la longueur de OS reste constante; la longueur de OP s'accroît comme le poids de la chaînette ; ainsi , le côté OQ s'accroît de plus en plus. Par conséquent, la tension de la chaînette est de plus en plus grande pour les points les plus élevés.

Si donc on suppose que la chaînette est partout d'égale force , c'est toujours au point le plus élevé que commencera la rupture ; et si la chaîne peut résister en ce point , elle peut , à plus forte raison , résister dans les parties tutermédiaircs.

sixiiîME LEÇON. iSg

Lorsque, dans un triangle rectangle POS , ûg. lo, un côté OP, de l'angle droit O , s'allonge , ^i l'autre côté OS reste constant, le grand côté PS diflFère de moins en moins de PO.

Supposons, maintenant, que la figure représentée par la chaînette CB, fig. 1 1 et 12 , augmente ou diminue tout à coup de grandeur proportionnellement dans toutes ses par-' ties ; je dis que l'équilibre ne sera nullement troublé , et que la forme de la chaînette ne devra par conséquent pas changer pour cela.

En efiPet, daifs la nouvelle chaînette, un point quelconque m étant semblablement placé par rapport au point M de la première, la tangente mo fait avec la verticale dco le même angle que la tangente MO avec la verticale DCO. D'ailleurs, la longueur des chaînettes est proportionnelle aux distances BD , bd. Par conséquent, on aura le rapport des poids des chaînettes OP : op, égal au rapport des tensions OQ : oq ^ éprouvées par les chaînettes, en M et m.

Ainsi, les tensions seront partout accrues dans la même proportion que le poids de la corde. Ces forces sont placées dans une position semblable à celle qu'elles occupaient dans la première position : donc elles se font pareillement équilibre, en agissant sur une 'chaînette de même figure. Posons donc en principe que, dans les chaînettes semblables, les tensions éprouvées par chacune d'elles, en des points semblablement placés , sont précisément dans le rapport des dimensions analogues, ou, comme on dit, homologues^ de ces deux courbes.

Si, par conséquent, je comparais deux chaînettes de figure semblable , mais l'une deux fois plus petite et deux fois plus pesante que l'autre, ou trois fois plus petite et trois fois plus pesante que l'autre, ou quatre fois plus petite et quatre fois plus pesante que l'autre , la tension

j6o méchanique.

éprouvée par les deux chaînettes , en des points semblable* ment placés , serait égale de part et d*autre.

Comparons, maintenant, les tensions éprouvées par deux chaînettes qui ne sont pas semblables. Pour simplifier nos recherches , et pour nous occuper d'ailleurs spécialement du cas le plus généralement utile dans les arts, considérons des chaînettes fort - peu courbées ; regardons - les comme ayant même poids pour la même longueur, et supposons que les points fixes soient toujours à la même distance.

Lorsqu'une courbe ACB, fig. i3, a très-peu de courbarey on peut, sans erreur sensible , regarder le centre de gravité de chaque partie CB de cette courbe , comme étant sur nne verticale EF placée à égale distance des extrémités C et B; Si l'on élève par ce centre G la verticale EGF, jusque sur la droite AB , on aura DF = FB ; et, si l'on abaisse, du point B, la verticale BI sur CE prolongé, on aura CE = EI.

Actuellement, prenons C et B pour points fixes de la chaînette , menons les deux tangentes extrêmes CE, £B ; elles seront les deux côtés d'un parallélogramme CEBF ayant FE pour diagonale. Représentons par FE le poids de l'arc CB , les côtés EB , EC , représenteront les tension» éprouvées par la corde , en B et en C.

Si la flèche CD est extrêmement petite par rapport à la longueur AB , il n'y a , pour ainsi dire , aucune différence entre CF etEB, FBetCE. Donc, alors, la tension de la corde ou de la chaîne formant chaînette, reste à très-pea près la même daiïs toute son étendue . Mais , pour que la tension fût rigoureusement la même dans tous les points , il faudrait que la flèche CD fut nulle.

Maintenant , le poids de la courbe étant regardé comme constant, et représenté par OR, la tension que la corde éprouve en B , est représentée par OQ , tn

SIXIÈME LEÇON. î6l

nienant QH honzontalement jusqu'au prolongement 0i?4ë> la tangente BE. ' rliAii

• Ifais ^nous avons les deux trUpgles semblables BEI,

OQR i dans lesquels

BF BE : Bl : : OQ : OR. Douc OQ = 0R X ^'

/BI étant égal à CD, et BE très-peu différent de i BD , lorsque BI = CD est très-petit, on a, par approximation ,

Si donc la distance des extrémités A, B, est invariable, ainsi que le poids delà corde représenté par OR, la tension OQ sera en raison inverse de la flèche CD ; donc il faudrait que la tension OQ exeixée en B ou en A fût infiiiiment grande , pour que CD pût être iuGniment petit ou nul. Par conséquent, lorsquune corde est Urée horizontalement par ses deux bouts ^ il faudrait qu'elle fût tirée par deux forces infiniment grandes^ pour qu'elle^se tendit exacte» ment eh ligne droite.

Tçcicru nécessaire de montrer avec d4ta.il cette circonstan' ce ; parce quily a des p^soîines auxquelles on persuaderait difficilement , par exemple , quen tirant bien fort sur un", corde libre très-légère , par deux points situés" à la même hauteur-, il sera toujours impossible de la rdidir au point qu elle devienne tout-à-fait droite.

application au ^réement des- nq^^ires. Il est fort-ulile qu'on se familiarise avec les propriétés que nous venons d'exposer au sujet de la chaînette. On se rendra compte des efforts supportés par des cordes, dans une foule de cas impor* tants. Je citerai, par exemple, tout le gréemeiU des vaisseaijx. On nomme ainsi l'ensemble des

T. II. — MÉr.nAN. 21

]6a MEGHAiriQDK.

cordages employés à soutenir et à mouvoir les mâts et lès vergues d'un navire.

. Les mâts verticaux, CD, EF, GH,fig. i5, sont tenus, dans leur partie inférieure, par un système particulier de charpente. A leur partie supérieure on passe un nœud coulant fait avec un très-fort cordage, qu'on appelle élai^ parce qu'il sert pour étayer le mât. Il descend dans la direction de la pouppe à la proue , et vient se fixer en un point du navire. Dans les mouvements de tangage j quand la pouppe s'élève et que la proue s'abaisse. Tétai résiste afin d'empêcher que le mât ne casse en tombant vers l'arrière. L'étai sert de plus à contrebalancer l'effort considérable des haubans.

Les haubans sont des cordages plies par le milieu, et liés en cette partie, de manière à former un large œillet dans lequel passe la tête du mât : les deux bouts de chaque cordage forment deux haubans qui viennent' se fixer le long du même bord. On place de la sorte , alternativement, pour le même mât, une paire à tribord et la suivante à bas-bord.

Les haubans tirent à la fois la tête du mât , en descendant du milieu du navire vers les bords et de l'avant ver$ l'arrière.

Les étais et les haubans , étant inclinés, ne peuvent pas former des lignes droites, quelque tension qu'on leur fasse éprouver; ils forment des chaînettes. Les chaînettes des haubans ont

SIXIEME LB€Oi\. î63

une courbure peu sensible, parce que ces cordages s'approchent assez de la direction verticale; mais pour les étais, qui s'éloignent davantage dé la direction verticale , la courbure de la chaînette est beaucoup plus considérable.

La chaînette formée par un étai , par un hauban , varie de courbure à chaque impulsion nouvelle du vent ou des vagues.

Quand le vent pousse le navire , de l'arrière à l'avant, il diminue la courbure de la chaînette formée par les haubans, pour augmenter la courbure de la chaînette formée par les étais.

Quand le vent souffle d'un côté, il diminue la courbure des chaînettes formées par les haubans qui sont de ce côté , pour augmenter la courbure des chaînettes formées par les haubans qui sont du côté opposé.

La considération des allongements dont les chaînettes formées par les haubans et par les étais, sont susceptibles, soit d'après la matière qui compose ces cordages , soit d'après la nature des courbes qu'ils forment, est importante, et pour le gréement des vaisseaux , et pour la navigation.

On pourrait, au lieu d'employer des cordages qui soient partout d'égale grosseur, en employer dont la grosseur diminuât de plus en plus vers le bas : de manière â n'avoir, au point le plus bas, que la force nécessaire pour résister à la tension

i64 MÉcii ArriQijK.

artificielle quon procure^ dans cetto partie, à chaque hauban.

Cette nouvelle condition rendrait sans doute plus difficile la fabrication des cordages : mais elle serait d'une économie considérable , et rendrait plus léger le gréement des vaisseaux.

Il y aurait encore à produire beaucoup d'au^ très perfectionnements dont l'exposition ne doit pas trouver sa place ici. Mais ce que je viens de dire suffit pour vous montrer comment on peut, à chaque instant, calculer la tension des cordages et leur direction la plus avantageuse.

Ponts suspendus. Expliquons maintenant la structure et l'équilibre de ces ponts.

Supposons qu'on tende une corde entre deux points A , B. A partir de différents points , également espacés sur cette corde , fixons d'autres cordes verticales ou suspensoires ^ mm\ nn\oo\ pp'.... Plaçons deux cordes égales, kmnop....^^ à côté l'une de l'autre et à la même hauteur; joignons, par des traverses horizontales, le bas des suspensoires placées vis-à-vis l'une de l'autre. Enfin , sur ces traverses parallèles , fixons un plancher : ce sera le pont suspendu.

Pour déterminer les conditions d'équilibre de ce pont, il faut conside'rer que chaque corde A/7W0...B porte une partie du pont, de même poids pour un même intervalle entre les suspensoires; mais les suspensoires augmentent de poids à nie-

SIXIÈME LEÇON. l65

sure qu'on approche des extrémités de la corde.

Comme le poids des suspensoîres est peu de chose en comparaison du poids total du pont-, on admet que la corde 3upporte,^ y compris son poids, des charges égales pour des longueurs horizontales égales ; alors la courbe qu elle forme est une parabole. C'est ce que j'ai démontré le premier, dans mon traité d'Architecture navale militaire, aux XVIIP' et XIX*. siècles, ouvrage présente' à l'Institut de France en i8i5.

D'après cela, l'on peut trouver sur-le-champ la position du centre de gravité de la cbrde Am/zB et le point T où ses deux tan£;entes se rencontrent. Car, dans la parabole ayant IM pour flèche, IM = MT.

Si l'on construit le parallélôgaamme TaM6 sur les tangentes AT, BT, d'une chaîne de suspen* sion, regarde'è comme une parabole, on îCura : le poids de la chaîne est à la tension éprouvée eu T par cette chaîne , comme MT est à aï. Si nous menons ab ^ parallèle à AB, nous avons MT : aT : : 2IT : AT : : 4IM : AT : : 8IM : 2AT.

Enfin, lorsque la flèche IM est peu considérable par rapport à la longueur ^I, l'on peut regarder sATet AB comme égales. Donc, enfin, dans ce cas, le poids de la chaîne est à la tension d^e la chaîne , en A, comme huit fois la flèche de la chaîne, est à la distance AB des pointa d'appui A, B.

i66 îHicHArriQUE.

Il faut remarquer que cette valeur n'est qu'approximative. Dès qu'on ne poutra sans erreur sensible, confondre Tune pour l'autre les longueurs AT, AI, on devra reprendre le rapport AT : 4 IM au lieu de AB : 8 IM.

On calculera bien plus aisément la force des suspensoires verticales , en divisant le poids de la plate-forme du pont , par leur nombre. Il faudra proportionner leur grosseur au nombre de kilogrammes qu'on trouvera pour quotient de cette division.

Les grands ponts suspendus, construits pour le passage des rivières considérables, sont exécutés par les ingénieurs des ponts et chaussées ou par des entrepreneurs spéciaux. Mais les petits ponts économiques , servant au passage d'un ravin , d'un ruisseau , pour porter des pié*tons , des brouettes , etc, ou servant pour com-» muniquer d'un édifice à un autre dans une manufacture, intéressent toutes les branches d'industrie.

Souvent , pour ces ponts économiques, au lieu de chaînes, on emploie des fils de fer (i) qu'on réunit en faisceaux , et qu'on entoure d'un fil en hélice spirale, comme les cordes mé-» talliquesdes instruments de musique. Des tiges

(i) Ou pourra supposer pour moindre force du fil de fer, qa*i|t porte 4^ kilogr. par millimètre quarré de section avant de 8^ïompjcei et ne charger qu'avec ao kilogr. par millim^t.

SIXIÈME LlîÇOIf. 167

de fer servent de suspensoires; de petites traverses inférieures portant de simples planches

. longitudinales, suffisent pour cotnpléter le ponL Ces constructions réunissent au plus haut d^gré l'économie à la solidité , quand on en proportionne la figure et les dimensions, suivant les lois établies , dans cette leçon , sur l'équilibre des cordes .

M. Se'guin d'Annonay , qui , le premier en France , a construit des ponts suspendus avec des fils de fer, en a présenté l'exemple le plus avantageux, dans sa manufacture où il a fait exécuter un pont de ce genre, ayant près de dix-huit mètres de longueur sur six décimètres de largeur. Ce pont , destiné au passage des piétons , n'a. coûté que cinquante Jrancs. M. Séguin a publié» un ouvrage élémentaire fort-utile à consulter par les personnes qui voudront construire de petits ponts suspendus. Pour les travaux plus importants du même genre, nous indiquerons : les mémoires du colonel Dufour , mémoires dont l'analyse fait partie de nos Voyages dans la Grande-Bretagne; le savant et profond travail de M. Navier, membre de l'Institut; enfin, la troisième partie de nos Voyages, Force commerciale , dans laquelle nous avons donné les plans

'et la description des grands ponts suspendus

exécutés pour l'Angleterre et pour nos colonies.

Après avoir considéré des cordes isolées, sou-

l68 MÉCHAWIQ.UE.

mises à l'action de forces quelconques, ainsi ' qu'à l'action de la pesanteur, considérons les cordes comme devant être appliquées sur la surface des corps solides. Lorsqu'une corde est appliquée sur une surface , et tirée par ses deux extrémités, il est évident que cette corde doit changer de position , autant qu'il est possible^ à chaque force qui la sollicite d'avancei^ dans le sens de sa direction propre, et, générale? ment, autant qu'il est possible, à la corde même , de prendre une position où elle occupe plus de longueur sur la surface. Il ne peut y avoir équilibre que dans la position définitive - où la corde occupe, sur la surface, la position de la ligne la plus courte qu'on puisse mener entre deux quelconques des points de contact de la corde et de la surface. Les lignes les plus courtes que l'on puisse tracer sur des surfaces ont ^ par conséquent, une relation nécessaire avec la position d'équilibre des cordes appliquées sur des surfaces, et tirées par leurs extrémités (i).

(i) Le caractère géomctriqoe de ces courbes est qu'en cha* cnn de leurs points ^ si Ton mène un plan qui leur soit osculateur^ ce plan doit être perpendiculaire à la surface sur laquelle la courbe est tracée. Par conséquent , si l'on plantait nue suite de jalons, dans les différents points de la courbe, perpendicalairement à la surface r,en regardant suivant le sens de la courbe, de \ manière à ce que les rayons visuels formassent un plan qui pass&t à la fois par la tangente à la courbe , et par le jalon perpendiculairc au point que Ton considère,- le plan formé par les rayons visuels serait osculateiir à la courbe , laquelle paraîtrait

SIXIÈME LEÇOir. 169

Lorsqu'utie cîorde est pliée sur une surface , et sollicitée f>arime forcé à chacune de ses deux extréknitég» il faut que ces deux forces soient égales^ pour qu il y ait éqiiilitwë. Si elles n'étaient pas ég«*\les, la corde se Okouvraltdans le sens de la plus grande : de la même manière que s'il n'y avait en tout qu'une $eule force, agissant en ce iens , et qu'elle fut égale à la différence des*^deux forces primitives.

Les arts font un grand usage de cordes ainsi tendues sur des surfaces. Lès constructeurs de navires, lorsqu'ils veulent donner à la surface dé la membrure y ainsi qu'à la surface des bordages , une courbure parfaitement continue , tendent des cordeaux suivant le sens longitudinal, en leur donnant une direction bien régulière dans le sens de la longueur des bordages. Ils enlèvent successivement les parties trop saillantes des pièces de bois qu'ils veulent parer, entre les différents clous qui fixent la corde sur la surface. Cette corde, tendue par ses deux extrémités, prend la direction et la courbure d'une ligne la plus courte qu'on puisse tt*acer sur la surface du navire , entre les clous consécutifs.

comme si elle n'avait aucune courbure an point que Ton -eonsi* dère. Cette propriété peut servir pour tracer par approximation ^a -courbe la plus courte qu'on puisse tracer sur une surface , à partir d'un point donné» luivant une direction pareillement donnée.

T. II. — lAwcukn. il

170 ' Ml^CUAlflQUE.

Il y a des surfaces quon peut enceindre complètement avec une corde dont on réunit les deux extrémités , qu'on serre ensuite forte*ment par im nœud ou par tout autre moyen. La corde u arrive à sa position d'équilibre que quand elle suit exactement la direction de la ligne la plus courte que Ion puisse mener, depuis le point où se trouve le nœud, en faisant le tour du corps, pour revenir à ce même nœud«

L'habillement des hommes et des femmes présente une application continuelle des cordes appliquées ainsi sur des surfaces. Les ceinturons et les ceintures sont les lignes les plus courtes que l'on puisse tracer sur ^a surface immédiate du corps , ou sur la surface du corps couverte de nos vêtements. Si la ceinture était placée plus haut, elle tendrait à descendre; si, au contraire , elle était placée plus bas , elle teadrait à monter.

Plusieurs parties de la parure des femmes et des hommes sont composées aussi de cordes ou cordons tendus sur la surface de la tête ; comme les chaînes , les rubans artistement passés dans les cheveux , dans les coèffures grecques et romaines , comme les diadèmes asiatiques ^ comme les lacets des corsages , comme les rubans ou lanières des cothurnes , etc.

Les jarretières , les bracelets, les colliers^ les anneaux 9 doivent être assimilés, tantôt à des

SIXIÈME LEÇOJX. f^I

chaînettes libres posées sur des surfaces variées^ tantôt aux lignes de striction qui ceignent la sur« face des jambes , dès bras, des doigts et du cou , flmivant les directions les plus courtes que puis^ sent offrir ces parties de nos membres.

' Lorsque nous expliquerons le jeu des poulies, on verra que les cordes se placent dans la gorge des rouets de poulies, suivant la ligne la plus côûrtr'iqu'on puisse tracer dans cette gorge.

L'attelage des chevaux présente des applications intéresiâanteç et très- variées de la combinaison des lignes les plus courtes qu'on puisse tracer sur la surface du corps de ces animaux. Les colliers, les Sangles, les brides, et généralement toutes les parties des harnais sont assujetties à la règle que nous avons donnée pour l'équilibre des cordes appliquées sur des surfaces.

Après avoir considéré une çôrde appliquée sûr une surface^ et tirée seulement par ses extre'mités, supposons qu*élle soit en oiitre tirée par un point intermédiairei On trouvera les conditions de l'équilibre en ce point, si l'on suppose que les forces qui tirent la corde aux extihémités, soient transportées, suivant la direction même de la corde, au point où la force intermédiaire agit. Il faut que ceK trois forces soient dirigées et proportionnées de manière qu'eFlçs

17^ MliCUANiQU£.

se fassent équilibre en ce point, comme $î la corde n'appartenait à aucune sur&ce.

Les principes donnés au sujet des poly^gones funiculaires, pour légalité des tensions ^ en chaque point intermédiaire sollicité par une force particulière y sont les mêmes que les pfiiv cipes qui s'appliquent auK polygones fiuniculai-** res y dans lesquels les portions des cordes «put pliées sur une surface quelconquet II hmin toujours : i^. que les tensions exercées sur deim parties de cordes ^ à droite et à gaiu^ : d'une force intermédiaire^ fessent ^quili^u^ ft^F^O cel^e force; a^. que les tensions exercées «sw ebaqoe partie de corde, entre deux ioroes . tnterioé* diaires, soient égaler et directement opposéCiS.^

Les harnais, que nous venons d^ citieiv offirent des exemples variés de polygoa.es; fiiiiicul^Hres.

La condition de Tiéquilibre et de 1^ propbrtitioi des forces , dans ces polygones funiculaires ^n'ent pas un objet de «impie cutiosite : car il est évident que la solidité de chaque partie d'ua harnais doit être proportionnée aux efforts queoette paiv tie doit supporter 9 et que le harnais .ddit avoir' ses différentes parties taillées de telle manière qu'elle restent enéquilibre^ malgré 1 -action de la pesanteur eft des forces du tirage:; sans quoi le harnais, changec^it nécessairement dé position , et Tattelage serait mauvais.

C'est en appliquant la géométrie et laraéclianif

que à h proportion, k la coupe des hariiais ^ iju'oDrestpair^^mi^ surtouidans Ibsi artsmiiîtaireft^ il rendre lej^ids de ces harnài&iu» mininnam, et Iftur &>Txne aussi fav<^rable que possible à L'appUcatîpn dfQ }a:£9TCe du chenal. ; Les Ainglais et ^ AU^nlands ont lesi premiers; fait cette étude; il 601 est résulté f pourieuDSnpoursiers et l^urs «litelages , uae grande supélwdlé idjactioà- iNous avons eDocare beaucoup à^lkite «pus <:« point, de vue ^. surtout pour les harnais «des da^evaux ëoi*fioyés aux transports^dè l'âgrit^iUumiiet idni oomiBerceJ Ge$t . .un objet esBentiel Tara ieopièl 0on5 Appelons toute; l'attentiGiD dés artistes. >/ Lorsqu'au lieu de cordes., /cpn&idéroes comme des lignes malkématiques'^;on c]oit employer des cordes >qui aient: tin ivdkiCQ|e>déteirmibé:et xokf forme. part içuiôièrei, comme les cbni^rpies^ Ipi Umiêinssy étc*, il bpt que ces laniètes étiûos cpart: r(ûlespofi«ni ^ plat surjleé isurfaoes contyefliis^çii^leseUesappui]ent;iSûnsK}i6L0tielkis se défiorin^ raient nécessaâremei^t* Aknrs «jn doit cohsîdém' las laftières et lesnoomiroias^ comme tj^leiâjstwfaces déveloippablçs 4angente& à Jaaàrface4iiicaflpi»uff lequel on Usfo&fe.i C'est encora une applipalion dea cionsidératipns . pnésentées dans 'l«^GÉi»in^^

La aianière de ^U6()endt6. lés ifaardeanx:«vec des cordes ^ .pour donne[r aux ibonpimes b :&irU lité 4e les porter, n^ér^te un* attention sjië-

1^4 MÉCHANiqUE.

ciale. Un moyen simple et commode est celoî de deux courroies attachées au dos du sac des soldats /ou de la hotte et du crochet des porteurs. Ces bretelles sont passées sous Faisselle et sur l'épaule ; elles ne peuvent rester en équî libre, si elles ne prennent la direction de la ligne la plus courte qu'on puisse mener des points d'attache, en passant ainsi sous l'aisselle et sur l'épaule. C'est pourquoi l'on est souvent obligé de les retenir par une corde horizontale qui croise la poitrine , et ya de l'une à l'autre bretelle. On détermine aisément la tension que doit épFOU<ver cette corde et l'angle qu'elle doit faire ^vec les deux bretelles^ à son point d'application. Un autre moyen d'appliquçr la bretelle est celui du porteur d'eau, qui pose la sienne sur ses deux épaules y la fait descendre le long de ses bras jusqu'à la hauteur de ses mains, où la bretelle Be trouve terminée, de chaque bout, par un orodbet •qui saisit l'anse du seau* Pour empêcher lesdeta seaux de se rapprocher, par leur poids, des jambes du porteur, on les sépare au moyen d'tia oeroeauwll serait &cile de trouver, dansiee sy»^ tèmeviàlension supportée par la bretelle. U fynt qu'elle fasse équilibre : i». au poids de chaque seau; a"*, à la force de compression qu éprouvé 1& cerceau et qui détruit l'effort. qu'exercent les deux seaux pour se rappit)clier l'un de l'autre. L'art de ficeler les paquets de toute espècèi|

SfXlibME LEÇON. 1^5

est Ibndé sur les propriétés <le l'équilibre des cordes tendues sur les sur&ces. C'est une étude < Êsicile que celle de cette application, et les élèves pren4ront plaisir à la faire eux-mêmes, et à vérifier, dans les pratiques de l'industrie , les conceptions de la théorie.

L'art de tracer sur la surface du corps humain et sur la sur&ce de nos vêtements, des courbes qui soient les lignes les plus courtes qu'on puisse tracer sur ces surfaces ^ et qui , satisfaisant à cette condition, s'allient, en même temps aux conditions de la variété , de la simplicité , de l'uniformité, de l'élégance, appartient aux beauxarts qui nous offrent les applications les plus variées et les plus ingénieuses.

Nous avons vu que la spirale jouit de la pro-* priété géométrique d'être la ligne la plus courte qu'on puisse tracer sur un cylindre , entre deux points quelconques de cette ligne. Par conséquent , on peut plier des cordes en spirale sur une surface cylindrique, et tirer ensuite ces cor^ des par leurs extrémités , tangentiellement à leur direction , sans qu'elles changent en rien la courbure qu'elles affectent autour du cylindre.

On a fait une application très-étendue de cette propriété géométrique , dans les machines où l'on est obUgé de plier des cordes sur des surfaces ; par exemple dans l'application de la corde à la machine appelée treuil, que nous décrirons

inb AIECHANIQUE.

dans la X«. leçon. Les grosses cordes des vîoloi^s^ des harpes et des pianos sont formées d'imo corde à boyau, centrale, autour de laquelle on plie en spirale un fil métallique/La tension de ce fil est la même dans tous les points de sa ion* gueur, lorsqu'il prend cette forme spirale. Par conséquent , les vibrations qui ont lieu lors du jeu de Tinstrument, sont les mêmes dans toutes les parties de la corde ; ce qui resuite des propriétés de cette courbure spirale.

Les filets sont formés de cordes attachées deui^ à deux, en des points qui suivent un ordre déterminé. Il y a des filets qui sont fiûts pour s appliquer exactement sur des surfaces. Tel est le filet dont on recouvre les ballons aérostatî*ques et qui se termine au contour de la nacelU portée par ces ballons. Il est Êicile de calculer , d'après les principes exposés dans cette leçon , la tension éprouvée par chaque cordon », dans les diverses parties du filet.

La parure des femmes offre souvent des filets destinés à couvrir certaines parties de la sur&ce de leurs cheveux et de leurs vêtements. Tels sont les réseaux employés dans la coéifure ; tels sont ces tissus légers qu'on appelle organdis et tulles. Leur fal)rication , en forme de filets, les rend propres à suivre avec délicatesse les in* flexions el les courbures du corps humain;

SEPTIEME LÊCON:

Suite dès cordes. — Mowemehts circulaires dès

cotdes^ des verges^ des roues ^ dés {notants.

Moments d'inertie. -^ Les pendules: '''"'

Supposons qu'une force X soit appliquée per^^ pendiculairement au bout A d'une corde AC , inextenisible et sans pesanteur, l'autre bout <C restant attaché à un point inëbranlàËile.

Si la force X agissait librement /durant un temps quelconque , elle ferait avancer en ligne droite le point matériel A, et l'éloignerait de plqs en plus du point fixe C ; mais le fil que nous employons empêche le point matériel de s(d trouver plus loin de C que la distance première CA; donc ce fil tire le point matériel pour le tenir à une distance constante du point fixe. Par réaction, la force AX tire le. fil, lequel, obéissant à ces forces, doit toujours être tendu. Donc, enfin , l'extrémité' Adç ce fil décrit un cercliB.

Ici nous voyons trois forces bien distinctes : la première X, perpendiculaire au rayon CA , et par conséque^t dirigée suivant la tangente AX du cercle que parcourt le point matériel A , c'est \di force tangentielle ; la deuxième, tirant le fil

TH.'— Mbchah. a3

J78 MlfCHANIQUE.

vers le centre , c'est la force centrale; la troisième , tirant le fil pour éloigner du centre le point A, c'est Xz, force centrifuge^ égale et directement opposée à la force centrale. Voyons le rapport de ces dernières forces à la première.

Construisons le parallélogramme ÂN/ti/}, avec les côtés égaux AN , A/z; la diagonale km repré* sentera l'effort nécessaire pour changei* la direction de kn en celle de AN, et faire passer le corps de A en N ; cet effort km est Içi force centrale.

' Si nous menons le rayon CN , les triangles ACN, NA/w;, seront semblables^ parce qu'ils sont symétriques et qu'ils ont un angle commun A. Donc,