AN

CN : AN : : AN : Am = ~

CN

C'est-à-dire , que km qui représente à ta foU la force centrale et la force centrifuge , égale le quarré de la force tangendelle , divisé pat le rayon.

Avec le oaisonnement qu'on vient d'employer on verra qu'en prenant AN=NN—N'N''..., et faisant agir sur CN, CN', CN".... une nouvelle force centrale toujours égale à km^ le corps parcourra, dans des intervalles de temps égaux, les espaces AN, NN', N'N".... Donc, le corps conserve toujours la même vitesse tangentielle et reçoit à chaque instant, de la force centrale , une impulsion nouvelle et constante, quand il parcourt un

SEPTIÈME L£ÇON> ï 7^

cercle donné : tel est le mouvement circulaire uniformCé

Dans ce mouvement, la vitesse tangentielle égale l'arc parcouru , divisé par le tenops mis à le parcourir.

Si l'on divise l'arc par le rayon , Ton a la mesure de l'angle. Ainsi, langle qui correspond à l'arc parcouru égale la vitesse tangentielle divisée par le rayon de cet arc, et multipliée par le temps mis à le parcourir. Cet angle divisé par le temps , donne la mesure de ce qu'on appelle la vitesse angulaire d'un corps qui tourne autour d'un centre. Donc : i*. avec la même vitesse tangentielle, la vitesse angulaire est en raison inverse du rayon; ;2°. avec le même rayon, la vitesse tangentielle et la vitesse angulaire sont proportionnelles.

Quand les rayons diffèrent, le temps mis à parcourir le cercle entier est en raison inverse de la vitesse angulaire ; donc le temps mis à par*courir le cercle entier est proportionnel au rayon divisé par la- vitesse tangentielle.

Ces résultats trouvent leur application dans une foule de questions de méchanique , impot*tantes pour l'industrie.

Rappelons encore avec soin, que lorsqu'un corps , circulant autour d'un centre, est retenu par un fil, un cordon, ou une tige quelconque^ là force centrale est la tension qu'éprouve le fil, I0

l8o MÉCHAiriQUE. (

cordon , etc. , du côté du centre , et que la force centrifuge est la tension opposée qu'éprouve le fil pour s'éloigner du centre.

L'écuyer qui fait tourner un cheval au manège , se place au centre du cercle , et , d une main , tient le bout de la longe attachée au bridon du cheval. Ici , la force tangentielle est la force même du cheval qui tend sans cesse à s'échapper par la tangente ; mais l'écuyer tire la ' longe avec une force centrale, égale à la force avec laquelle le cheval tire cette longe, c'està-dire , e'gale à la force centrifuge du cheval. Quand le cheval double de vitesse, la force centrale est quatre fois plus grande; quand le cheval triple de vitesse, la force centrale est neuf fois plus grande, etc. La même explication, les mêmes rapports , conviennent au jeu de la fronde , dont nous parlerons bientôt.

Un cheval qui tourne librement dans un cercle ne s'y tient pas droit, parce que la force centrifuge qui anime à chaque instant toutes les parties de son corps , le pousse horizontalement, en dehors du cercle, et tend à le faire tomber» Pour résister à cette tendance, effet de la force centrifuge, le cheval incline le haut du corps vers le centre du cercle qu'il parcourt, et cette inclinaison doit augmenter comme le quarré de sa vitesse. Aussi , remarque-t-on qu'elle est trèsconsîdérable quand ie cheval court au grand ga-

SEPTIÈME LEÇON. l8l

lop. Afin que le cheval puisse marcher sans trop de difficulté, en se tenant penché vers le centrp du, cercle, on incline par fois le chemin circulaire qu'il doit parcourir. Voyez fi g. 2.

Le faiseur dp tours , qui se tient debout sur son cheval , est de même obligé de pencher le haut du corps vers le centre du manège , pour n'iêtre pas renversé par l'effet de la force centrifuge. La fig. 2 démontre quelle composition se fait entre la force de la pesanteur et la force cen-. trifuge, pour qu'il y ait équilibre dans la position du cheval et du voltigeur.

Lorsqu'une voiture avance en décrivant un arc de cercle, ou, comme on dit, lorsqu'elle tourne, elle éprouve aussi l'action d'une force centrifuge qui tend à la renverser. Si elle circule sur une route L qui descende vers le centre O du tournoiement , la force centrifuge et celle de la pesanteur trouvent à cette disposition le même avantage que le cheval, fig. 2 , tournant sur les chemins AB, ED, autour du même axe 00".

Si la route M est horizontale , rien ne diminue la tendance de la force centrifuge à faire verser la voiture. .

Enfin , si la route N descend en s'éloignant du centre de tournoiement, cette pente joint à son effet défavorable , celui de la force centrifuge : alors existe le plus grand danger de verser.

Les routes de France ont ie grand inconvé-

l8a MÉCHANIQUE.

nient d être bombées au milieu , de manière à présenter deux pentes très-fortes en sens opposés. Dans les tournants, où deux voitures se rencontrent, la voiture conduite sur la pente qui regarde le centre du tournant, est favorisée par cette pente; mais la voiture conduite sur la pente extérieure , est défavorisée d'autant, et risque beaucoup de verser.

Ce devrait être une règle générale , dans les tournants, de ne jamais faire de pente extérieure; et de pratiquer, au contraire , toutes les fois que la chose est possible, une seule pente descendante vers le centre du tournant.

La force centrifuge étant en raison inverse du diamètre de l'arc parcouru, il en résulte qu'elle est peu considérable quand ce diamètre est grand , et qu'elle croît d'autant plus que ce diamètre diminue. Dans les tournants fort-courts, ceux dont l'arc n'a qu'un très-petit diamètre, la

force centrifuge est donc considérable, et par conséquent il y a grand danger de verser.

En même temps , ce danger augmente comme le quarré de la vitesse des voitures.

Voilà pourquoi les cochers et les cavaliers prudents ne lancent jamais leurs chevaux avec une grande vitesse , dans les tournants courts ; et pour peu qu'ils aillent vite , ralentissent le pas lorsqu'ils vont tourner.

Remarquez avec quelle précision , avec quelle

SEPTIEME LEGOir. l83

facilité^ la méchanique apprécie toiis les efïets du ibouVement circulaire , dans les cas les plus importants à la sécurité des transports et de^ voyages. La méchanique fait aussi connaître des principes de construction des voitures, fondes sur les lois du mouvement.

Quand une roue, fig. 3 , se meut avec rapidité, dans te sable ou dans la boue, elle enlève des portions^de cette boue ou de ce sable, qui prennent la Vitesse tangentielle de la roue, et qui, n'étant pas retenues contre les bandes: ou les jantes^ avec une force e'gale à la force centrifuge , cèdent à cette force , et sont lancée» avec la vitesse tangentielle qu'elles ont acquise. £n avant des roues des voitures de luxe , on place une large plaque circulaire en métal , XY, qu on appelle parabùue^ et qui arrête toutes^les parcelles de boue lAncées par leflèt de la force tangentielle^

Si les jantes ides roues n'étaient pas unies en tr elles par des chevilles enfoncées moitiq par moitié dans leurs bouts en contact^ etpai! les bahdes en fer qui recouvrent ces joints >. la force centrifuge, qui tend sans cesse à les éloigner du centre, les arracherait des i*ais,; et.leà lancerait^ comme le sable et la boue, quand les roués prendraient une grande vitesse. Si les clotis qui fixent les bandes sur les jantes , tieniient peu dans te bois de la jante, la force centrifuge les arrache et lè$ lance dans la direction des

l84 MÉCHANIQUE

rais prolongés. Par conséquent, la solidité des assemblages des jantes , des bandes et des clous qui fixent ces bandes sur les jantes y a des règles données par les rapports de la force tangentielle et de la force centrifuge. Il en est de même pour beaucoup d'autres roues employées dans les ma-chines : comme on le verra par la suite.

L'ouvrier, en frappant à grands coups de hache ou de marteau , fait parcourir un cercle à son instrument, qui, lâché tout à coup, s'échapperait par la tangente de l'arc qu'il parcourt. C'est ainsi qu'on brandissait circulairement, et qu'on lançait la masse d'armes , la hache (tar^ mes ^ le pilon ^ la dague ^ etc.; c'est ainsi qu'on employait la fronde.

Avant l'invention des armes à feu , la /ronde était une arme de jet fort-importante ; aujourd'hui , c'est un amusement pour les enfants. Au milieu d'une corde légère AGB , fig. 4? est une espèce d'œil C,où l'on pose une pierre. L'on joint les deux extrémités A et B que l'on saisit d'une main; après quoi, l'on imprime un mouvement de rotation à la fronde. Si l'on emploie une force constante : i®. la fronde tourne avec une vitesse constante; a", la corde de la fronde est toujours tendue f et elle exerce sur la main un effort qui représente la force centrale néces-! saire pour tenir la pierre C toujours à la même distance du centre A. Lorsqu'on lâche une des

SEPTIÈME LEÇON. l85

parties dé là corde , cette force centrale cesse de s'opposer à la force centrifuge ; la pierre cesse de se mouvoir circulairemenl , et la force tangentielle pousse librement la pierre, qui parcourt une ligne droite, lorsqu'on la lance verticalement.

Dans tx)ut ce que nous venons de dire , nous avons fait abstraction de Teffet de là pesanteur sur le corps A. Si l'on tenait compte de cet effet, le problème serait beaucoup plus compliqué.

Si l'on obligeait un corps à tourner dans un cercle creux , il se mouvrait contre la circonférence du cercle avec une force constante qui serait la force tangentielle , celle qui détermine la vitesse de sa marche progressive. Cette force tangentielle , qui pousserait le corps à s'échapper par la tangente, trouverait, à chaque instant, une résistance contre la circonférence du cercle creux. Cette résistance, perpendiculaire à la circonférence et par conséquent dirigée vers le centre, serait la force centrale, égale et directement opposée à la force centrifuge.

L'artillerie emploie des barils, tournants sur leur axe , et contenant lf)s balles de plomb qu elle veut ébarber. Il faut que la solidité de ces barils soit proportio\inée : lO. à la masse des ^Ues qu'on y renferme à la fois ; 2°, à la force centrifuge des balles, laquelle est proportionnelle au quarré de la force tangentielle employée pour foire circuler les balles dans ce baril.

T.n. — MçcnAN. ' 34

l86 MÉCHANIQUE.

On doit en dire autant des tambours tournants qui contiennent les boulets à dérouiller , ou les balles de cuivre placées au milieu de la poudre qu'on veut granuler.

Jusqu'ici , nous n'avons examiné que le mouvement circulaire d'un corps obligé de se mouvoir en ligne courbe , parce qu'une corde , une tige , un contour massif , l'obligeaient à suivre cette ligne , en vertu d'une action toujours dirigée vers le centre du mouvement.

La nature nous offre de grands exemples de corps qui se meuvent en ligne courbe , sans être retenus par aucun de ces liens intermédiaires ou de «ces contours extérieurs. Ainsi se meuvent librement dans Fespace , la lune autour de la terre , et la terre autour du soleil. Voyez fig. 5.

Dans ces mouvements , il y a d'abord la force tangentielle T qui tend sans cesse à pousser en ligne droite la lune et les planètes ; ensuite la terre est pour la lune le foyer d'une force centrale C , qui s'exerce à chaque instant contre la force centrifuge de la lune , de même que le soleil est pour la terre le foyer d'une force centrale qui s'exerce à chaque instant contre la force centrifuge de la terre.

Si la force centrale et la force tangentielle se balançaient^ étaient dans le rapport qui convient au mouvement circulaire, la lune décrirait un cercle autour de la terre, de même que la terre

décrirait un cercle autour du soleil. Mais il y a des positions où la force tangentielle est un peu plus forte; alors la lune s'éloigne de la terre, et la teri*e du soleil. En s éloignant^ leur direction centrifuge devient oblique par rapport 4 la direction centrale. Par conséquent , la force centrale s'oppose à la force centrifuge, et la diminue; de manière que c'est, au contraire, cette dernière qui finit par, l'emporter un peu sur la première. Alors l'astre mobile se rapproche du centre de son mouvement. Voilà comment la lune autour de la terre, et la terre autour du soleil , décrivent une courbe allongée , une ellipse dont la terre est le foyer pour l'ellipse que suit la lune , et le soleil le foyer pour l'ellipse que suit la terre.

La force centrale de la terre , par rapport à la lune^ c'est la force que nous avons appelée pesanteur et attraction. C'est la force qui tend sans cesse à faire redescendre une bombe lancée de bas en haut, et qui lui fait décrire une courbe ABC, fig. 6, quand on la lance obliquement.

Si la force de la pesanteur était constante , et si l'air n'opposait aucune résistance au mouvement des corps qu'on y lance , une pierre , une bombe, un volant, en un mot un coi^ps quelconque , ayant reçu l'impulsion d'une force primitive , parcourraient une parabole ABC.

La résistance réelle de l'air diminue beaucoup

l88 MJËGHANIQUÈ.

l'espace enfermé par la courbe; elle aplatit sut*tout la sffèbnde branche de là patabole idëàle , et ^oduit la courbe AEF.

Vh objet d'expériences inîiportatit pour f artillerie, ^st de détêr/iiinèr, d'après la liià^ste et lé volume des bôùléts, des bombes^ des balles, etc., d'apfrès la force qiii lès lanl^e, et la direction de riïtipulsioh primitive, les points où peut atteindre le projèclile , à dîterses hautetiirâ ainsi qu'à divfetses distances. Nous ne pouvons, ici, ([{u'indiqûer ces grandes et belles ap|>licàtiods de la méchahique ; elles composent la théorie qu'on âppélte spécialement ballistiqUe.

Il est aujourd'hui bien démontré que la terre, au lieu d'être 6n repos et placée, ainsi qu oii Fa cru si long-temps , comme un point fixe au centre de l'univers , tourne sur elle-même avec une telle rapidité , qu'elle achève chacun de seà tours dans la durée totale d'un jour et d'une nuit. Ainsi , par la seule rotation du globe, les habitants de la terre placés a l'équateur, sont efiiport^, d'occident en orient, avec une vitesse quatre cents fois plus grande que celle d'un piéton qui mar* che au pas ordinaire.

Chacun des points de la tei^re e^t donc anittië d'une force tangentielle qui tend à remporter loin du globe , et d'une force centrale qui tend, au contraire, à le précipiter vers le centre de la tei're. Cette force centrale , c'est Fat*

SEPÏIÈME LEÇON. 189

traction du globe. Quant à la force tangentielle , comme elle est à tf è&-peu près la même pour tous les ôôrps placés dans te Voisinage les uns des autres, ces^ corps, etflporttés d'un mouvement près-» que égal , se tienfient , les nus par rapport aux autres, dans un état approchant du repos parfait.

Soil, fig. 7i» une projection de la terre, parallèle à l'éqUateur; de sorte que 1 equateur et les parallèles sôi&ût représentée par des cercles. Com^ parons le mouvement des points £, A, situés Ynû surréquatèurEE^E''> l'autre sur un parallèle quelconque AA'A". Soit mené le rayon Orï» infini*ment près du diamètre £0£^ Abaissons les perpendiculaires xjTj XY, sur EOE' ; il est évident v que leis rayons OA, OE^ seront proportionnels aux lignes EX, Aa:, qui représentent les forces centrifuges des points matériels E, A. Donc, dans le mouY^ment de la terre autour de son axe , la force centrifuge, qui sollicite chaque point, est proportionnelle à la distance de Taxe à ce points

Ainsi, la force centrifuge est la plus grande possible pour lès pdiâts E, E', situés sur Tëquatedr. Cette force détruit une partie de la pesanteur des corps. Èiiôti ^ la pesanteur des corps est moindre à l'équateur qu'en tout autre )>6int de la terre. Nous verrons bientôt comment l'expérience peut justifier ce résultat.

Soit une tour EF bâtie en E. Décrivons, du centre O, l'arc FY', et menons Y'X' perpendicu-

IQO MÉGHANIQUE.

laire à OF, nous aurons OE : OF : : EY : FY'; c'est le rapport des forces tangentielles.

Supposons que je fasse tomber, du sommet de la tour F, un corps quelconque, lequel arrive au bas de la tour quand le sommet arrive en Y'. Ce corps est animé d'une force tangentielle qui lui ferait aussi parcourir FY'; donc il doit tomber, non pas en Y, quand le pied de la tour arrive en ce point; mais en Z, à une distance EZ=:FY'. Rendons ce résultat sensible par des chiffres.

Le rayon de la terre, à lequateur, égale 6,376,466 mètres. Supposons que, dans une des villes bâties sous la ligne ëquatoriale y on ait construit une tour élevée de cent mètres, et demandons-nous la différence de vitesse de deux points matériels placés l'un au pied, l'autre au sommet de la tour.

Le rayon de la circonférence parcourue par l'un sera de 6,376,466 mètres, et par l'autre de 6,376,566 mètres. Le rapport inverse de ces deux nombres est celui des vitesses. Il est facile de voir qu'en un jour, le point le plus haut aura parcouru de plus que le point le plus bas, cent mètres multipliés par le rapport de la circonférence au rayon : ce qui donne 6a8 mètres et quelque chose. Maintenant, un corps pesant, abandonné dans le vide à son propre poids, mi^trait presque cinq secondes pour descendrede cent mètres, à partir d'un des points de lacircon-

SEPTIÈME Li;ÇON. IQl

férence de Féquateur : ce qui est la 17280*. partie du jour. Divisons 628 mètres par 17280, nous aurons la quantité dont le haut de la tour s'est avancé vers l'orient, plus vite que le bas de la tour, pendant là chute de ce corps. Nous trouverons ainsi que le corps pesant doit tomber , non pas exactement au bas de la tour, suivant la verticale; mais à l'orient de cette verticale, à

met.

la distance d'environ 7777^= 36 millimètres.

Comme la résistance de l'air ralentit conside'rahlement la chute des corps graves , il faudrait beaucoup plus de cinq secondes pour qu'un corps tombât de 100 mètres. Par conséquent le corps grave tomberait à plus de 36 millimètres à Torient du pied de la tour, et l'expérience serait d'autant plus concluante.

Quand un corps solide tourne uniformément autour d'un axe , tous ses points faisant en même temps un tour complet, leur vitesse est proportionnelle à la circonférence , et par conséquent au rayon des cercles qu'ils parcourent.

Mais, sur deux cercles différents , ayant leur centre au centre même du mouvement, et chargés uniformément de parties matérielles, la quantité de ces parties est proportionnelle au rayon; donc, pour ces deux cercles, la quantité de mouvement, c'est-à-dire, le produit de la masse par la vitesse, est proportionnelle au

igi MÉCHAiflQUE.

rayon multiplié par le rayon : c'est-à-dire , au çuarré du rayon.

Il mit da là que , dans les machines où Ion emploie des roues évidées, qui présentent des bandes circulaires d'égale largeur, ABC, abc, fig. 8 , la qmstntité de mouvement dont ces bandes sont âpimées ^ lorsq'uelles font chacune leur tour d^ns le même temps , est proportionnelle au quarre' du rayon de ces roues.

A masses égales , il est donc beaucoup plus pénible de faire tourner de grandes roues que de petites. Par exemple, lorsque ABC est trois fois aussi grand et trois fois aussi lourd que abc , si l'on veut que ABC fasse un tour complet dans le même temps que abc , il faut trois fois trois ou neuf fois autant de quantité de mouvement. Mais, si l'on rendait abc trois fois aussi lourd sans l'agrandir, il suffirait de tripler cette quantité pour conserver la même vitesse. Cette quantité triplée serait encore plus petite que celle dont ABC est animé, puisque cette force est neuf fois aussi grande.

Par conséquent , si j'ai pour objet d'accumuler dans une masse donnée de matière une grande quantité de mouvement , j'ai d'autant plus d'avantage , que je distribue cette matière sur une circonférence de plus grand diamètre. Pour beaucoup de machines, il est d'une extrême importance d'accumuler ainsi la plus

- SEPTIÈKE LEÇON. i^

grande quantité possible de mouvement ^ danis une masse dont le poids ne surch^u^ge- pas trop les points d'appui. Par ce moyen, si des irré-^ gularités accidentelles , ou naissant de Finégalité des mouvements , tendent à produire des accélérations ou des ralentissements fâcheux , une grande roue animée d'une rotation constante, pouvant acquérir ou perdre une quantité de mouvement asse2 considérable , sans que sa vitesse en soit beaucoup altérée , cette roue, dis-je^ agit comme un conservateur , comme un régulateur , qui produit souvent des effets extrêmement utiles : on appelle isolants ces conservateurs de forces.

Au lieu de leur donner la forme d'une bande continue , ABC, fig. 8 , on concentre souvent sur trois ou quatre points équidistants A^ B, C, fig, 9, ou A, B^ C, D, fig. jo, toute la matière qu'on devrait répartir sur la bande ABC. Alors cette ma» tière restant à la même distance moyenne du centre de rotation , cohserve , pour une même vitesse, la même quantité de mouvement.

Nous allons démontrer, dans un moment, que le centre de rotation O des volants, doit être aussi leur centre de gravité» Sans cela, la roue serait à chaque instant tirée d'uii côté plus que de l'autre ; son mouvement ne pourrait avoir ni régularité, ni uniformité. On satisfait de la manière la plus avantageuse à la condition que

T. II. — Mkchan. a5

194 MKGHANIQUE.

nous indiquons , en prenant le centre du volant pour centre de symétrie des poids dont on veut composer le volant. Telle est la règle suivie dans les fig. 9 et lo.

LêU théorie qui va siuVre est indispensable aux constructeurs de navire y aux horlogers, aux constructeurs de machines ;, mais, dans beaucoup de villes, elle sera peut-être au-dessus de la portée actuelle des ouvriers •• alors le professeur r omettra.

On démontrerait pour tout corps solide qui tourne autour d'un axe , comdie on l'a fait pour le globe de la terre, p. 189, que la force centrifuge est proportionnelle à la distance de l'axe à -chaque point matériel.

Soit le plan de la iig. la , perpendiculaire à cet axe représenté par le point G. Soient les points matériels égaux en masse , m , m\ ... M, M', . . . lesquels composent le corps ABCD : les distances Gm, Gm', . . . GM, G]V1^ . . seront proportionnelles aux forces oentk'ifuges , et pourront les représenter.

Supposons que le centre de gravité se trouve sur Taxe G, et menons les perpendiculaires mn, m'n,.. MN,M^',.*- ^ui" une droite quelconque , XGY, prise pour axe des moments

de poids égaux m, m\ M, M' Il faudra qu'on ait

I^ mXG« 4-w' XG/i'...=MxGN4.M'xGW'...

i\ m X rnn + i»' X m'n'... =M X MN + M' X M'JV'...

C'est-à-dire que les forces centrifuges Gm, Gm',... GRÏ, GM'... décomposées : i®. perpendiculairement; a*, parallèlement à la droite XGY, ont une résultante nulle, suivant quelque direction qu'on les décompose parallèlement apt plan de la figure. Donc, parallèlement à ce plan, la résultante des. forces centrifugea ne tire dans aucun sens plus que dans un autre , l'axe qui passe par le centre de gravite' du corps.

Supposons, maintenant, que le centre de rotation ^soit à la distance Gg du centre de gravité G, snr l'axe xgy pa-

SEPTIEME LHÇOl^r. IçS

rallèie àlCGY. Les nouvelles forces centrifuges gm^ gm\..

gM, gM', .... décomposées parallèlement à Gg, auront pour

résultante

m X ^w/ -f. rn"X m'I' + .... — M X ML — Mr X M'L'....

On ne change pas cette résultante si Ton en retranche

m X 'W/1+ m' X ^'ti! + , puis fi l'on y ajoute la valeur

égale M X MN + M' X M'N' -f- ... . Mais remarquons que m/— »w/i=:m'A-<m'7*'. . . =sMN— ML=1M['N'— M'L':. .Donc, le résultat deTaddition et de la soustraction proposées seira la somme des masses m -|- wi'. . , + M -j- M'. . . multipliée par Gg,

Donc , quand un corps tourne autour âtun axe xgjy qui ne passe pas par son centre de gravité G ^ la résultante des forces centrifuges augmente proportionnellement à la distance de Vaxe au centre ; elle est la même que si ton supposait con • densées au centre G , toutes les- parties du corps. ^

Cet effet de la force centrifuge tend à déplacer l'axe et à l'entraîner sans cesse du côté dii centre de, gravité. C'est un inconvénient qu'il faut éviter dans la plupart des machines de rotation , et surtout dans celles où l'on emploie des volants. Ainsi , règle générale , Ufaut que le cenlHi de gravité d*un volant soit sur l'axe de rotation:

Considérons, à présent, l'effet des forces centrifuges estimé parallèlement à Taxe. Supposons, fig. X2, que le plan de la figure deviennç celui de l'axe. Représentons maintenant cet axe par XGY , en admettant , d'ailleurs , que G soit le centre de gravité du corps.

Coupons le corps par une suite de plans mn y min' ^ m"n' ,.,. perpendiculaires à Taxe. Soient, sur le plan de la figure, les points 7?^, m\ m''',... représentant la projection du centre de gravité des points matériels Contenus dans chaque plaii. La résultante de toutes les forces centrifuges, sera représentée par la résultante des forces m X w/i, /w' X /»«, m"X'w"«'-... Ensuite , pour déterminer la résiil-

196 MliCHANIQUE.

tante- de ces forces , U faudra d'abord trouver la résultante P des forces placées d'un côté de l'axe , et la résultante Q des forces placées de l'autre côté de cet axe. Si les deux forces P, Q, se trouvaient sur une même perpendiculaire k l'axe f et que cet axe passât par le centre de gravité du corps y les deux forces se feraient nécessairement équilibre. Par conséquent , Taxe ne serait sollicité à se mouvoir dan» aucun sens, par l'effet des forces Centrifuges. Mais û, comme on l'a représenté dans la fig. 12 , les perpendicalaires P/i, Q^ , menées sur Taxe XGY, n'appartiennent pM à la même ligne droite, l'axe sera sollicité à tourner par l'effet des forces P et Q, multipliées respectivement par les distances Gp çt G^. On trouve les moments de P et de Q par rapport au centre de gravité G , en multipliant chaque force /» X »i» par G/*, m' X m'n' par Gn', m" X m '*" P»r G/t", etc.. ; puis , en voyant si la somme des moments de» forces qui agissent dans un sens , égale la somme des mo^ ments des forces qui agissent dans le sens oppoisé.

On démontre , par des méthodes de calcul que nous ne pouvons pas présenter ici, que cette égalité de moments ordinaires , est la condition indispensaMe pour que le moment d'inertie du corps , pris par rapport à l'axe XGT^ soit un maximum ou un minimum.

Si Ton veut que l'axe des volants , et généralement les axes employés dans les machines de rotation ^ n'éprouvent de pression dans aucun sens , par l'effet des forces centri^ fnges , on voit qu'il faut s'arranger de manière que les forces P, Q , soient toujours placées sur une même ligne droite , perpendiculaire à Taxe , en même temps qu'on fait passer cet axe par le centre de gravité.

La grande utilité qu'ont, pour le jeu des machines, les axes relativement auxquels cette condition est remplie v justifie leur dénomination d'axes principaux

S£PTI£M£ LfiÇOlC. ig^

Après avoir détermiaé la direction la plus avantageuse qu'il convienne de donner à Taxe des volants , il faut voir quelle vitesse ces volants peuvent prendre lorsqu'on eni> ploie , pour les faire mouvoir, VLue force déterminée , «t que le volume , ainsi que la masse des volants , sont pareillement déterminés.

Soil pour plus de facilité Taxe de rotation perpendiculaire au plan de la û^, x i , et représenté par le point O ; le corps tournant autour de cet axe en vertu de la force 'F/* et à la distance OJ'de l'axe. Nous supposons F/* dans le plan de la figure.

L'effort, le moment de F/'pour-^aire tourner Taxe sera représenté par FfX, Of,

La vîtesçe angulaire a, prise par le corps , sera Tare parcouru durant l'unité de temps , sur le cercle dont le rayon est aussi pris pour unité. Le point matériel m du corps , va parcourir durant l'unité de temps un arc /»»=: a XOm. La quantité de mouvement de m , sera donc m X ^ X Owi-, et la quantité totale de mouvement des points m, m'^ jn",^, du corj/s sera

û^x{'»X07»+m'X Omf 4- m" X Ow" + ....|

Pour mesurer l'effet que chaque molécule, en vertu de cette quantité de mouvement , exerce pour faire tourner

l'axe y ramenons tous les points rit , m' sur la ligne

droite yb, et d'un même côté de l'axe, sans chabger leur distance à cet axe. Alors tontes lés forces tangentiellés qui animeront tw, m^, m''...., forces représentées pai* les quantités de mouvement que nous venons de trouver , seront , parallèles et dirigées dans, le même sens ; leur résultante Br sera donnée d'après le principe des moments , en multipliant chaque force par sa distance à Taxe \ donc Rr X Or=: a ^ m X Om X O^i + »»'X Om XOm'4m''XO/»"x Om"....}.

igS MEGHAiriQUE.

Ou , pour écrire plus simplement ,

RrX Or=« { mX 0/n'-^ m'x Om'» ^ m"XOm"»H ' }

La force Rr = F l'estant la même , plus la somme m X Oni* + m' X Om'» + .... augmente , et plus a diminue ; au contraire , plus cette somme diminue , et pins la vitesse angulaire a augmente.

Par conséquent , cette somme représente la résistance qu'en vertu de l'inertie, le corps oppose au mouvement de rotation, quand ce corps est sollicité par une force donnée. Telle est la raison qui l'a fait appeler moment triner" tie. Donc , un point matériel a pour moment d'inertie sa masse m , multipliée par le quarré de sa distance à Taxe de rotation. Le moment d'inertie d'un corps quelconque égale la somme des moments d'inertie de chacune des parties infiniment petites qui le composent. Enfin, la vitesse angulaire, autour d'un axe, prise par le corps ^ en vertu (V une force quelconque, égale le moment simple de cette force^ divisé par le moment d'inertie du corps. Telle est la vitesse que nous nous étions proposé d'évaluer.

Les moments d'inertie jouissent de propriétés générales extrêmement importantes pour la méchanique. Mais nons n'en pouvons donner qu'une idée , parce que cette matière suppose des connaissances trop relevées pour notre cours. Considérons seulement deux points matériels m, ira% fig. 1 2 , dont le centre de gravité soit en G , et faisons les tourner autour de l'axe XG Y perpendiculaire à mGira : nous aurons pour somme des moments d'inertie de m et m\ m X Gm» -+- Gm' X rn""- Soit, à présent. Taxe xgy parallèle à XGY , le moment d'inertie , par rapport à ce nouvel axe, sera m X g^* -f- 'w' X g^'*'

La différence de ces deux valeurs est mXGg''*'/» XGg' ; c'est-à-dire, le quarré de la distance Gg, de l'axe au centre de gravité, multiplié par la somme des masses m et m.