SEPTIÈME LEÇON. I

Cette pçopriété n'est pas vraie seulement pour deux points matériels, mais pour un nombre quelconque de points formant un corps, dont la figure et la masse peuvent pareillement être quelconques. Ainsi, pour une direction donnée XGYdeTaxe de rotation, le moraentd'inertie estle plus petit possible, quand cet axe passe par le centre G de gravité du corps ; et , lorsqu'il ne passe pas par le centre de gravité , le «moment d'inertie s'accroît d'une quantité égale à la masse dii corps multipliée par le quarré de la distance de Taxe au centre de gravité du corps. Représentons par MK* le moment d'inertie du corps , dont la masse est M , quand Taxe passe par le centrç de gravité : K représentant alors une certaine longueur. Si Ton appelle D la distance du centre de gravité à un axe de rotation quelconque , on a , par conséquent, pour moment d'inertie, par rapport à cet axe, M X (D* + K*}; valeur qui sera facile à calculer, dès

qu'on connaîtra le moment d'inertie pris par rapport à une

ligne droite parallèle à Taxe et menée par le centre de

gravité.

Tous les axes parallèles à une direction donnée , et qui

seront à la même distance D du centre de gravité , auront

évidemment le même moment d'inertie.

On peut comparer eotr eux les moments d'inertie d'uiï' . corps, pris par rapport aux divers axes qui passent par le centre de gravité. Parmi tous ces axes , il eu est un pour lequel le moment d'inertie est plus petit que pour tous les autres. On pourrait l'appeler Vaxe de moindre 17161"lie. Perpendiculairement à cet axe , il en existe un second qui passe pareillement par le centre de gravité , et pour lequel le moment d'inertie est le plus grand possible : on pourrait l'appeler Vaxe déplus grande inertie. Y^nfm , un troisième axe , perpendiculaire aux deux autres ,

aoo micHArriQtF.

et qu'on pourrait appeler axe intermédiaire ^ jouit du la propriété que , dans un sens , son moment d'inertie est le plus grand possible , et dans l'autre sens le moindre possible , pîir rapport au^ axes menés : i^. dans le plan de ce troisième axe et de celui de moindre inertie; 1^, dans le plan de ce troisième axe et de celui de plus grande inertie: Les trois axes très-remarquables que nous venons d'indiquer ^ sont ceux qu'on appelle les tixes principaux des corps , et pour lesquels nous avons fait observer, p. 19Ô, que ^ dans aucun sens , parallèle on perpendiculaire à l'axe , les forces contrifages n'agissaient pour changer la position de ces axes.

Il résulte de là qu'un eorps, mis une fois en mouvement autour d'un de seis axes principaux de rotatioù, doit continuer éternellement à se mouvoir autour de eet axe ; puisqu'aucune force centrifuge h*agit dans aucun aena pour dévier la position du corps par rapport à cet axe/ De là, nous concluons que dans les machines de rotation , dont Taxe doit l'ester fixe , les parties tournantes doivent avoir pour axe de rotation l'un de leurs axes principaux d'inertie.

Lorsqu'un corps , dont la densité est la même dans toutes ses parties , est terminé par une surface de révolution , ce corps étant symétrîque par rapport à l'axe de cette surface , il est facile de voir qu'en faisant tourner le corps autour de cet axe , les forces centrifuges ne peuvent agir pour changer la position de l'axe de rotation ; et cet axe est alors un des axes principaux du corps.

Quand nous expliqnerons les machines de rotation, telles que la poulie, le treuil, le cabestan , etc. ^ nous verrons qu'on a soin de donner aux parties mobiles, la figure d'une surface de révolution ayant pour axe X^jl^ même de rotation, afin d'éviter tout effet désavantageux des forces centrifuges.

, T0919 les corps qai pottèdent nii ne d« $yi|iétri« ônll leori {loibte dispofé^ deux àdenx à égale diiftafaM d» l'aie; ior on^ ^peqdiculiJte à cet am. Si l'on fak toorfrei" It corps autour de son axe de sjnnétrie^ ice» deux pomti «Itiii disposée sont animés cbacnb d'uBr fmvée centrifuge égale et directement opposée. Çea ^rccf te détcaîsent dont deux à deuxet 9e produisent «sciin effet sur Vnxiv Par oon^ séquent^ toute» les fois qv'on fiait tôamer ne, eorp» antonaf de son ^e de symétiie, il doit continuer ce taouvcoBreut autour du même axe y loiTsqu'on rabandonne à lui-même. Tel est l'effet du jeu des tonpiee et des totons, qui tournent autour de leur axe de sjmét^Me placé, dans une position verticale, et qui continuent de se mouvoir avec régularité , après qu'on leur a donné une première impnf^ sionau moyen d'une corde , dun feruet^ ou simplement «la faisant tourner la queue du totott, entre le poûc0 fst i'iar dex ^ puis abandonnant ce toton à loi-même.

r^îous avons déjà remarquéque lès lustra sont symétrique^ par rapport à l'axe vertical qui pAlse par têUr peint de stiS^pension. Yotià pourquoi le» lustrer pétÈvènt tOUtaet* tibrë^ ment autoiifr de cet axe san^ s'incliner d'un côté plutôt .qv^ d'un autre : effet qu'on jpeut surtout remarquer dafns les lustres SQspendus à des voûtes fdrt-élevées.

Dans les machines dé rotation y telles que les chevaux

de bois , les chevaux et les fauteuils destinés pour les perr sonnes qui veulen^ courir à la bague , sont disposés symétriquement autour de raxe vertical de rotation. Par conséquent, lorsqu'on impripc un nriouvement à: ces machines, elles doivent continuer à se mouvoir .sa^s q^e leur inertie exerce aucun effort , il'un c6té ni de l'autre

de 1 axe.

Une force Mi» transporte directement âvëc4irvttèfcsé> le corps M snppcisé libre. 81 ion àppSque U faîê^é (béék T. II. — Mrchan. 06

aoâ xicHABriQurr.

M»A an corps M suppose retenu par an axe , et qne/soit-hi rli3taD€e de la force à cet axe, on a Mp/, moment de la force par rapport k l'axe, = aM (D" + K«) =: a X ^ moment jd'inertie du corps, par rapport à Taxe. ' Supposons que le corps soit tellement placé qu'il tonme for jioa axJe., sans le presser dans ancnn sebs ; ce corps se meut comme, «'il était libre , et son centre de gravité prend une vitesse égale à v ; mais sa vitesse est Da ; doue ii'^Da, etMi'/ = MDa/ = aM(D» + K^); d'où

D/=D»-4-K*.... /=D4-^ Gh appelle centre de rotation le point qnî , sur le prolongëmebt de la pins courte distance de l'axe au centre de

gravité, .se trouve à — du centre de gravité, eti^D -f «-«

de Taxe. Quand une force agît en ce point perpendiculai-» lement à cette droite , elle fait tourner le corps sans pousser Taxe dans aucun sens. Donc , une force égale, et di-^ reeteroent opposée détruit toute la force de rotation produite par la première , sans causer non plus aucune pression sur l'axe. Telle est la propriété du centre dé rotation:

Soit -jj" =:; ^, nous aurons D = ^ let l=a ^ "2"; ce qui nous montre que nous pouvons transporter parallèlement

Taxe , au centre de rotation , et qu alors le centre de rota-* tlon se transporte à t autre bout de /, sur T ancien axe. • Cette réciprocité est importante.

Pendule,

Suspendons, avec un fil très-mînce et trèsléger, un corps offrant une grande masse sous un petit volume, par exemple, une balle de fer, de plomb ou de platine. Retenons par un point fixe Tautre bout du fil. Dans Fétat de repos , U

balié prend une position telle, que le fil déviefii vertical , et que son centre de gravité se trouvé dans la direction verticale du fil ! tel est le fil d plomb. Voyez ^ IV*. leçoa , p. loa et fig. 18 bis.

On fait, du fil à plomb mis en mouvement, un usage non moins important que Celui, du fii à plomb tenu en repos. Lorsqu'on écarté lin fii à plomb, de la verticale, ce fil étant fixe en G et tendu , voici ce qu*on remarque , aussitôt qtiW l'abandonne à lui«méme : en faisant abstraction de tonte espèce de résistances-

Le plomb A , fig. 1 3 , commence & descendre avec une vhesse insensible. Cette vitesse s'accroît de plus en plus, lorsque le plomb ^ passant par les points A', A", A'''... s approche de la verr ticale CO ; arrivé là, il continue sa marche et s'a* lève en a!'\ a'\ a\ jusqu'en a , précisément à la même hauteur que le point A. Aussitôt aprè^i avoir atteint cette limite, il redescend en </a' V,.., comme il était descendu.de A; puis remonte eq h!"h!'A!K^ comme il était monté en a!"a!'da ,. . ; puis s'arrête en A, pour redescendra comme I4 première fois ; et ainsi de.suite, jusqu'à l'infini.

La méchanique peut démontrer les lois de ce mouvement alternatif, qu'on appelle osçillafiç^h On donne le nom Ae pendule au fil à ploml), lor^-* qu'on l'emploie à faire des o^illations , au lieU de l'employer à marquer la verticale.

A chaque instant de la descente du pendule,.

à partir de A jusqu'en O, rattraction de la tetro doDde une nouvelle impulsion à ce pendule pour le rapprocher du centre de la terre; cette attrao tion se combine avec la force tan^ntielle ac« quise, et produit une accélération qui n'aurait point de limites, sans l'action du fil AC qui produit i'eflfet d'une force centrale.

Représentons par kg^ fig. i4, l'action delà pe* sauteur, et par AX, la force tangentielle acquiset par le fil à plomb, lorsqu'il arrive eu A; soit A/i^ la force centrale :

t\ Nous avons Ap c» ^^.

AC

n"". Les deux forces kg et kp se combinent avec la force tangentielle A. En projetant kg en Ag^, sur la tangente du cercle au point A; puis , en ajoutant cette projection kg' à AX si le pendule descend ; mais, au contraire, en retran* chant la même projection si le pendule remonte, on a la force tangentielle, au bout du temps que le pendule met à parcourir un arc égal à AX.

C'est pourquoi, quand le pendule remonte, à chaque même intervalle de temps , on re>tranche successivement ' les mêmes quantités qu'on avait ajoutées à la force centrifuge. Donc cette force est égale dans la descente et dans la montée, pour les points également éloignés de ce point le plus bas; par cons^ quent, lorsqu'elle est nulle d'un côté, elle Test de l'autre , à la même hauteur.

Ainsi la théorie démontre ce que l'expérience avait indiqué, savoir : l'égalité et la symétrie de la montée et de la descente du pendule*

Une autre propriété fort -belle du pendule , c'est que la durée totale de deux petites oscilla* lions reste à. très-peu près la même, quoique Tare parcouru dans une. de ces oscillations y soit double, triple, quadruple, etc., de Tare papcouru dans l'autre oscillation : en un mot, quel que soit le rapport des arcs parcourus.

Pour démontrer cette propriété, concevons deux pendules égaux CA,ra, fig. i5 et i^, diûé^ remment éloignés de la verticale, au comment- ^ cernent de loscillation. Soit , pour les deux figures, l'effet de la pesanteur représenté par AG ï=c= ag qui agit seule au premier instant. Projetons AG en AG' sur l'arc AV, et ag en ag^ sur l'arc oi^; nous aurons AG' et ag* pour forces tangentielles.

Menons deux horizontales A Y et ^^, jusqu'aux verticales CV, cv. Le triangle AGG' étant supposé infiniment petit, l'arc AG' peut être pris pour une ligne droite perpendiculaire à GG% ainsi qu à CA; alors les deux triangles rectangles ACY, AGG', sont semblables , comme ayant leurs côtés correspondants perpendiculaires.

On démontrera de même, fig. 16, que les deux triangles rectangles cicy^agg^ sont sembla« blés. On a donc les proportions

^o6 uiCHANlQGE.