AC : AG : : AY : AG

ac : ag : : ajr : ag\ .

Or AC et ac sont égaux, AG et r/g" sont égaux; donc , AY : AG' : : ajr : ag'.

Maintenant , si tous supposez que roscillation soit fort-peu étendue , la différence entre AY et lare AV sera presque nulle; il en sera de même entre ajr et Tare at^. Ainsi, l'espace parcouru dans le premier moment est à très-peu prés proportionnel à 1 étendue des arcs AY et m^.

On démontrera de même, par approxUnor^ iion ^ qu'au bout du a*., du 3^, du 4**i da 5*. instant, la vitesse tangentielle ajoutée et par conséquent l'espace parcouru , pendant cha* cun de ces instants, par le premier et le second pendule, est proportionnel aux arcs à parcourir. Ainsi, quand l'espace restant à parcourir par le premier pendule sera zéro, l'espacé restant à parcourir parle deuxième sera pareillement zéro; et les deux pendules arriveront en même temps au terme de Toscillation. Doue, en négligeant des différences très-petites, les oscillations seront de même durée:

Voici ce qui rend cette dcruièie propriété d'une grande utilité dans les arts , et dans les sciences d'observation. Lorsqu'on met en mouvement un pendule et qu'on l'abandonne à lui» même, la résistance de l'air s'opposant à tousses mouvements ^ les ralentit de plus en plus ; ce

SEPÏlJtUfB LEÇON. JSi07

qui dipiinue lampriti^de des oscillations^ Néan-> moins ces oscillaiions conservent la même durée. . Quand on emplpie un pendule très-pesant comme du plomb et surtout du platine^ ce corps n'éprouve quune faU>le résistance qui n'altère que fort'peu la duipée de ses oscillations : elles conservent donc se^^siblement leurdurée primitive, pendant un nombre considérable d'oscilia^ tions. Mais la répétition continuelle des oscillations» accumulant les petites résistances, de lair, diminue par degrés Tamplitude des oscillations* Malgré cela, les oscillations ne cessent pas d'être sensiblement égales entr'elles : il y a plus, lai différence très-foible qui se trouve entre les du* rées successives ^ diminue ^ au fur et à mesuré que ces oscillations diffèrent davantage de Tos* cillation primitive. . »

Les corps tombent plus vite lorsqu'ils partent de points plus rapprochés du centre de la terre.- On a reconnu que, pendant un même temps f (espace vertical parcouru librement par deux corps abandoruiés à la pesanteur ^ esv en raison irn^erse du quarré des distances du centre de la terre a ces mêmes corps^ .. Ainsi, quand la longueur des pendules est en raison inverse du qùarré de la distance du pendule au centre de la terre, les pendules exécutent dans le même temps leurs oscillations. Les observations faites par les astronomes y

ao8 MÉCHANIQUr.

combinées avec la mesure immédiate de la terre, cmt démontré géométriquement que notre globcf est aplati vers les pôles ; de sorte que l*habi« tant de la terre, en ^'approchant du pôle , s'ap-^ proche aussi du centre de la terre. D'après cela , vous voyez que les pendules qui font leurs 09^ cillaiions dans le même temps, doivent être plus longs quand on se place au pôle, que vers 1 equateur. De telle sorte qu*eq partant de l'é^ quateur, il hut augmenter graduellement lé pendule à mesure qu'on approche du pèle, afin de conserver aux oscillations la même darée#De plus, la longueur du pendule, en chaque lieu ^ fera connaître la distance du centre de ta terre au point où l'on fait battre le pendule^

Par la rotation de la terre , une petite partie de la pesanteur des corps est absorbée, poùp contrebalancer leur force centrifuge , et les retenir sur la surface du globe. Cette force, niiUé an pôle, atteint son maximum. à l'équateur.

£n combinant ces deux causes de variatiou ; on i*econnaît l'accord de la théorie et de l'expe-» rience. Grâces à l'appareil imaginé par Borda y géomètre ingénieux, on peut obtenir, avee te pendule le plus commode, une exactitude 'extrêmement remarquable. C'est avec œ peu** dule qu'on a mesuré les distances du centre de la terre aux points de la surface du globtf qui forment le méridien dont la mesure sert

d^ base à iiotré système métri(p],o. L accohrd ^7 mirahle des résultats fournis, iciî par la géométrjie et par la mécbanique ^ 9St ud des plus beaux exemples qu'on puisse offrir, du pouvoir qu'ont les sciences , non-âeuleoienit de se prêtes* up mutuel secours , mais d'ajouter aux probabilités d'exaetitittle attachée^ à chacune d'elles , tout ce que peut donner dé certitade la i^pcords^nce de moyens . qui n'ojit pour s'^corder qu'une seule chance contre une'toAnité d'autres: c'est d'être parÊiitepft»t ^iiactes# j :

Au lieu de supposer que la pesanteur change, supposons seulement que la longueur du fil de suspension varie , et considérons deux pendules inégaux, fig 17 et i^^ CA, e^î, tels que

Soit de plus l'arc AV : lare ai^ : : m} : 1. Les figures ACV , aa^^ seront semblables.

Soit ag l'espace que la pesanteur ferait parcourir dans un temps ^= i , au point matériel a^ supposé libre ; et soit AG = m'^ x ag. Alors , AG représentera l'espace que l'action de la pesanteur ferait parfcourir, en m instants, au corps A supposé libre.

Projetons AG en AG' et ag en ag^. Les triangles semblables AGG', agg'y donneront

AG : ac : : AG : ag : : AG' : ag' : : AV : ai^.

Ainsi les espaces AG', ag^^ parcourus. par les

T. II. MÉCHANi 27

2IO MliCHAlf IQUE.

pendules, en vertu de l'action répétée de lapé« santeur, durant le temps m pour le premier, i pour le second , seront proportionnels aux arcs AV, aif. Donc les pendules avanceront proportionnellement siur les arcs AY, av; les temps du premier étant m^ quand les temps du second sont I* Donc les temps totaux employés par les pendules pour arriver du point le plus élevé jusqu'à la verticale , sont entr'eux ii m : i ^ lorsque les ^ longueurs du pendule sont ::/«*: i. C'est-àdire, pour im même lieu de la terre : les lon^> gueurs des pendules inégaux , sont proportion'^ nelles au quatre du temps que ces pendides mettent àjaire leurs oscillations.

Galilée , cet illustre géomètre auquel la méchanique des modernes doit les plus belles découvertes , a le premier connu cette loi du mouvement des pendules. Il en a fait la plus heureuse application pour mesurer la hauteur des voûtes et des dômes.

Dans les temples et les palais, on suspend ordinairement, au point le plus élevé des voûtes et des dômes, un lustre d'un grand poids par rapporta la corde ou à la chaîne qui le suspend. Iju moindre agitation de l'air suffit pour donner un mouvement d'oscillation à ces immenses pendules. Galilée observait la durée de ces oscillations. Il voyait , par exemple , que le pendule formé par un des lustres oscillait dix fois, tandis

S£PTliïH£ LEQOK* 211

qu'un autre n'oscillait qu'unç fois; dix foi& dix ou le quarré de dixégaje cçnt; donc le preraier pendule est cent fois aussi long que le deuxième. Si la longueur du plus petit est connue , en U centupla,Qt on a de suite là longueur dii grand ; par conséquent, alors, on connaît la hauteur qu'a la clefcde la vQûté oti du dame au-dessus du lustre , lequel , se trouvant voisin du soi , cfst à une b^iiteui* ^cilëm^nt miçsucable. Ainsi , le pendule peut servir à mesurer le temps, par l'égale durée <le.sei5 pe^tités oscillations; il peut servir à mesurer lès hauteurs, par L'accroissement ou la diminution de la durée de ses oscillations.

On a déternainé très-exactement la longueur du pendule qui bat les secondes sexagésimales n, à l'observatoire de Paris. Cette longueur égale o™^*-,9938267. Par conséquent, si jamais, par suite de révolutions que la prudence humaine ne saurait empêcher ni prévoir, les étalons de nos mesures se perdaient, nous retrouverions aussitôt la longueur du mètre , par la seule observation d'un pendule qui battrait les secondes à Paris.

Si les Romains et les Grecs avaient possédé ces moyens fournis par la science, nous pourrions aujourd'hui reproduire toutes leurs mesures ; et beaucoup de questions , essentielles pour les sciences, les lettres et les arts, ne res-, teraient pas à jamais indécises.

Pénétrons-nous donc de cette véritable im-

aïs MéOHMS'fQUE.

portance des sciences qui pâTYiennent à fixer les travaux de rhomme ^ malgré la mobilité dd temps ; et qni , rapportant nos observations et nos œuvres fugitives , aux mouvements, étemeb et aux dimensions inaltérables de ia terre ,&«<* surent aux résultats des entreprises humaines ta seule immortalisé qu'elles puissent* ah^bdre^ Les horlogers ont fait une applicaftîoti trèsHiï!»gënieuse du pendule, dans Id'^Gon'stïtiCttion dte fnacbînes propres 4 marquei* \^ téittps \ iftadhines auxquelles on a donné le nom de penaudes. Imaginons un disque txiétallique/ bombé vers le centre, ayant la forme d'un grain de len^ tille, et qu'on appelle pour cette raisort une lentille. Suspendons ce disque pai^^ine tige, dont la direction passe par le centre même du disque. Si nous faisons osciller ce système' autour de l'autre extrémité dé la tige, nous* aiiî^Ms un pendule , tel que l'emploient les horlogers. Chaque oscillation de ce pendule, qui doit s'exécuter en temps égaux, correspondâiit ik une marche constante de la pendule ou de ITioriôgè, sert de conservateur dé forces et dé régfnlatéur. Un tel système serait parfait , si la matière dont il se compose ne changeait point de dimensions. Mais, par l'effet de la chaleur, la tige ^i sert à la suspension du disque s'alloùlge , et , par l'effet du froid , elle se raccourcit Les âlterûatives de la.températtire tendent donc à faire va-

SEPTIÈME L'CGOK. 9l3

rîer sans eess^ la durée dei» oscillations du pen^ dule tel que now -venons de le décrire* ' ' •' On a consWuîl de» pendules de côrHpensàiïo'^y c'est-à-dire, de^ beiidules bu l'es variatioris ^ë longueur des diverses parties se compensent.

On a remarqué «pie Ijss tiges de cuivre s'^il^ngfDt'^pvo»» poi^tion gardée , bjeaucoup plus que le&^ges de fpf; , c|u^d la chalsar augiu^ate ; 6t âe • Faccoucçi^s^ut. I»a2^u«puip^ pliji^ é propoi^ou.g^rdjée^.qaau^lA^Chalevir.Aiiniiuie, P'apiT^s-oelu» iaw.lif9^d\wn^:, simple tige de suspension, <ïn.a ç^mbip^..uu çeit^ui^orobïftde tig#a, Jesuaesen fer, lesanti^s i^i^rwvpq,

Q^x'o^ i,magine uue^ige de fer ÀB, fîg,, i0> ^ Fi^lLtrjéiiïîji^ infféric^ur^ de laquelle ou.fixe.uxie trav^se ^LiQ!r>^nf|ile .CD» qi^ipoçtç.d^Uj^tiges v^ptiqaj^ euio^uiyref CR «it DF...Ç[n^ sçiço^de trs^y^gsf; jl|^;rixp|[itale y i^ milieu de laquelle e^ iMi^ cKiUiec ppujr.4^:passagQ 4^ la tige AQ , réu&it Les deux'tijgi^s de cuivre CE ^ 1)F.^ Au* extrémités K, L, de cette, travçr^^ deux tiges eu fer , KM , LN , réuDie$ psnF une l^v^erse.]^^ sjopi, fixées À la lentille O. Il est facile de ypir.: dans, ce système, lorsque la chaletis. augmente ^ que- les tiges dç fer AB, J^M, ^ présentant une hauteur? effective Ajl^ augmentent réloignennent du point A de snsp^nsipa i «u centre de la lentille, proportionnellement è, cette hauteur Air Lesti^s de cuivre EC i DF ^ lorsqu'elles s'allongent par Veffet de 1^ chaleur, font monter la tn^vorse KL ^et par conséquenli ,, en toèvofi temps ^ les /tiges de ferr i^M /LIf, ainsi que. la lentille O, suspendue à ces tiges. La quantité dont la lentille monte par Teffet des tiges de cuivre , est proportionnelle à la longueur de £G ou de . FD. U résulte de là, que, si les longueurs Al, EC, sont proportionnelles à l'allongement du cuivre pour la première, et du fer pour la sèKîonde , le centime de la lentille se trouve abaissé , par la dilatation du fev , de là même quantitii dont il se trouve

2]4 MlÊGHAiriQUK.

élevé par la dilatation du cuivre. Ce que nous venons de dire , en supposant que la xhaleur augmente , se dirait également , en supposant que la chaleur diminue. Dans ce dernier cas , la quantité dont le centre de la lentille serait remonté , P^ ^ retrait des tiges en fer, serait éjgale à la quantité dont le centre de la lentille serait abaissé, par l'effet du retrait des tiges en cuivre.

Jusqu'ici nous avons supposé que le pendule fut réduit k un fil mathématique sans pesanteur , et qn*à l'extrémité de ce fil, on suspendît un point matériel d*un poid» quelconque ; mais la nature ne nous off^re pas de semblables pendules. Soit qu'on emploie un fil flexible oti bieii uûe tige rigide , chacune de ses parties présenté un cerfiaia poids, un certain volume ; le Corps que nous avidns regardé comme un point matériel , présente aussi des dimensions en trois sens , qui empêchent de le confondre "^àlvec le simple point mathématique. Il est intéressant de connaître qaidles lois suivent les oscillations de ce pendule , qu'on àp^ pelle pendule compose'. •-■■

Suspendons au même point d'un même axe, deux pendilles d'égale masse , l'un simple CÔ, fig. x 4 » rautre'Compo8Î& GDEF. Quand ces pendules seront en repos ^ la tige du pendule simple sera verticale, et cette verticale |>a8sera par le centre de gravité du pendule composé. '-

Poussons les deux pendules avec une force boriEaiïtale, agissant à la distance R de l'axe. Dans le premier moment, l'effet de la pesanteur étant détiruit par l'axe , pour que les deux pendules prennent la même vitesse angulaire , il faudra que le centre de rotation du pendule composé soit

éloigné de Taxe d'une quantité R , égale à la longueur du

K* pendule simple. Ainsi R= D + =r

Voyons- quel effet la pesanteur produira sur les deux pendules, lorsqu'ils s'écarteront dé la verticale