SEPTIÈME LEÇON. HI S

Supposons que la pesanteur comme Dce d'agir sur la tige GO , fig. i4f (lu pendule simple , qui jusqu'ici passe tou* jours par le centre G de gravité du pendule composé.. Soit OL = GI la hauteur verticale qui mesure l'action de la pesanteur sur les <leux pendules dans un temps t infiniment petit. Décomposons OL et Glen 0/et G<, perpendiculairement à CGO.

L'action de la pesanteur sur le centre de gravité du pendule composé s\era représentée par G/; l'action de la pesanteur sur le pendule simple sera 0/ == Gi. Mais le point O se trouvant au centre de, rotation du pendule composé , la force GI , transpoitée en 0/ , ferait tourner le pendule comme s'il était concentré enO, c'est-à-dire, comme si l'on substituait le pendule simple au pendule composé. Donc , la vitesse angulaire imprimée par la pesanteur est la même pour le pendule simple et le pendule composé. Ainsi : i^. les deux pendules simples , par les actions successives de la pesanteur, continueront d'osciller avec, la même vitesse ; 7?, la longueur du pendule simple sera la distance de l'axe au centre de rotation , qu'on appelle alors centre ^^oscillation. Donc , -dans un pendule composé , quand on regarde l'axe de suspension comme un axe de rotation , le centre de rotation se confond avec le centre de suspension.

Nous ayon^ vu, p. 202, que si l'on transporte para^èment l'axe de rotation, deC enO, le centre de rotation se transporte de O en G, sur la droite CGO. Donc , si l'on trans^ porte, de G en O, l'axe de suspension du pendule composé , le centre d'oscillation se transportera de Oen C, et se trouvera sur l'ancien axe de suspension. On a fait usagé de cette propriété pour déterminer et vérifier la longueur du pendule simple dont les oscillations se font dans le même temps que celles d'un pendule composé.

Î2l6 MÉCHANIQUK.

La considéi'ation des pendules composés et des positions respectives de leurs centres de gravité , de leurs axes de suspension , de leurs centres d'oscillation , est d'une trèsgrande importance , non-seulement pour l'horlogerie , mais pour les mouvements alternatifs d'un grand nombre de machines , et surtout pour les mouvements des navires , connus sous lé nom de roulis et de tangages. Lorsqile nous traiterons de la force de l'^au , in*, yolume , nous présenterons des développements particuliers au sujet de cette dernière application:

Gouverneur des machines à vapeur. Danâ la construction des machines de rotation dont la force varie d'intensité comme la vapeur, suivant les variations dii feu qu'on emploie, on fait un usage ingénieux des pendules composés, pour ouvrir par degrés un passage à la vapeur, lorsqu'elle exerce une pression qui s'approche d'une limite dangereuse à dépasser. Deux globes de fer sont soudés à deux tîges de fer qui peuvent osciller sur un axe horizontal , lequel traverse un arbre vertical. Quand cet arbre tourne , il imprime une force centrifuge aux deux pendules composés qui tournent avec lui, en vertu de cette force. Chaque pendule s'élève jusqu'à ce que la résultante de ces deux forces passe par l'axe de suspension , et soit par conséquent détruite. Les deux globes étant d'égale masse et disposés symétriquement par rapport à Taxe, montent et descendent , à chaque instant, de la même quantité ; -nn collier, qui tourne librement autour de l'arbre, est suspendu par deux tiges boulonnées à la tige même des deux pendules. Le collier est donc sollicité tantôt à monter , tantôt à descendre , suivant que les balles s'éloignent ou s'approchent de l'axe. Ce coUier fait mouvoir un bras' de levier qui ouvre oU ferme plus on moins une ouverture pour laisser échapper la vapeur mr^ abondante. Yovez , IIP. volume , Forces motbicbs.

Pu levien

Nous Tenons cVexaminer tout ce qui conçue la transmission immédiate des mouvements opérés au moyen de cordes parfaitement flexibles. Ces cordes ne peuvent servir qu'à tirer; mais avec des tiges iriflexibles , on peut également pousser et tirer.

Plusieurs instruments n'ont d'autre objet que de servir d'intermédiaire entre la puissance et la résistance, dirigées suivant une ligne droite. Tels sont les manches d'écouvillon , fig. 2 ^ et de tire-bourre, £g. 3, dans l'artillerie; les gaffes des marins et les tire-qui-pousse des conducteurs de trains, fig. 4 ; les tiges des pistons, etc.

Il n'est pas nécessaire qu'une tige inflexible AB, fig. I , soit en ligne droite ; il suffit que la courbe qu'elle présente soit invariable de forme. Si l'on applique en B une puissance qui tire ou pousse dans le sens BA ou AB , l'effet sera le même que si la tige était droite.

Le levier est une tige inflexible appuyée contre un point fixe appelé point d" appui j et recevant dans un second point l'action d'une puis-

Toifin.<— MiciAii. 18

2l8 MÉCHAKIQtJE.

saHce, pour vaincre une résistance placée en an troisième point. Il y a trois genres de levier.

Dans le premier genre , iSg. 5 , le point d'appui A est entre la puissance P et la résistance R.

Dans le second genre, fig. 6, la résistance R est entre la puissance P et le point d'appui A.

Dans le troisième genre , fig. 7 , la puissance P est entre la résistance R et le point d'appui A.

Supposons que le levier, sans pesanteur, soit une tige droite BAC, fig. 5^ BCA, fig. 6, et ABC, fig. 7, perpencliculaire à la direction de la puissance et de la résultante.

L'effort de la puissance P et de la résistance R ne peut être anéanti que par le point d'appui A, qui seul est fixe dans le système ; donc la résultante de P et de R passe par le point A : ^

Donc... P X AB =R X AC.

C'est-à-dire , que la puissance , multipliée par sa distance au point d* appui, égale la résistance multipliée par sa distance au point d^ appui. .

Si nous substituons au levier BAC, perpendiculaire à la direction des forces Pet R, un leyiçr oblique bkCf courbe ou droit, il faudra toujours que la résultante passe par le point A , et qu'on

ait PxAB=RXAC,

AB, AC, n'étant plus que des droites idéales perpendiculaires à la direction des forces Pi R* Pour simplifier les opérations , nous pourrons

HUITIÈME LEÇON. Orl^:

donc toujours supposer que chaque bras cle le-: vier est droit et perpendiculaire, à la direction de la force appliquée au bout de ce bra§. \ Soient deux forces égales P, R, fig. 8, perpendiailaires aux bras égaux AB, AC, du levier coudé BAC. Ces deux forces sollicitant le Içvier, en sens contraires, à tourner autour du point. d'appui,, tp.ut est égal de part 4j)t d'autre , et le. système reste en équilibré : cet équilibre subsistant, quelle que soit la grandeur de langle BAC.

Soit à présent la force r égale et directement opposée à R ; ces deux forces se font équilibré; Ainsi la force r produit le même effet contre la^ résistance R , que la puissance P. Donc les deux puissances égales P, r, appliquées au bout de^ bras de levier égaux AB, AC, onfela même éner-gie pour faire tourner. le point fixe A.

Par exemple , si la droite AB représente letimon. d'un manège, auquel on, attèle un cheval qui tire ce timon suivant PB , l'action du cheval sur le point A sera la même pour tous les points du cercle que AB parcourra : tant que la distance de A à BP ne variera pas.

Supposons , à présent , que les deuxi forces quelconques P, R, fig. 9, soient appliquées au levier quelconque BAC ; A étant le point d'appui, on fera tourner AB jusqu'en A^, dé ma-, nière que BP devienne ^/? parallèle à' GR. hà. résultante de» force» parallèles Bj y? ^ 'd«va«t

:aao méghaitique.

toujours passer par le point fixe A , nous aurons R X AC z=:p X kb =P X AR

Ainsi , quelles que soient la direction de la puissance et la direction de la résultante , il faut toujours que la puissance^ multipliée par sa dis^ tance au point d'appui , égale la résistance multi' pliée par sa distdhce au point d'appui.

application a la transmission des mouvements. Lorsqu'on veut, au moyen dés cordes, transmettre un mouvement suivant deux directions différentes BP , CR , on emploie un levier coudé tel que BAC , fig. 9 et lo, auquel on fixe deux cordes, chaînes , cordons ou fils métalliques BP, CR. Le sommet A de l'angle BAC est fixé sur un petit essieu autour duquel le levier tourne ; c'est son point d'appui.

Quand on ne. doit transmettre que de petits mouvements, si l'on tire le fil P, fig. 10, B venant en è, l'arc B6 différera extrêmement peu d'une portion de la droite BP ; par conséquent le cordon BP n'aura , pour ainsi dire , pas changé de direction. Il en sera de même du cordon CR tiré par le second bras de levier , comme le premier bras de levier est tiré par le premier cordon.

Tel est le système qu'on emploie pour diriger les fils métalliques qui conduisent , d'tine sonnette posée près des lieux où sont les domestiqucS) au cordon de sonnette suspendu dans l'en-

HUITIÈME LtCOW. aai

droit d'où l'on doit appeler. Dans les grandes machines , on emploie aussi le système des cordons et du levier coudé, pour transmettre des mouvements alternatifs.

Supposons qu'on veuille faire monter et descendre alternativement j dans un corps de pompe, le piston MM , fig. 12 , au moyen d'une force horizontale qui tire suivant BP. Il est évident qu'au moyen du levier coudé d'équerre BAC, quand on tire le cordon BP dans le sens indiqué par la flèche , le bras de levier AC s'élève et fait monter le piston M. Si l'on veut que la tig^ CT du piston reste toujours sur la même verticale , il faut l'obliger à rester toujours tangente à un arc solide Ce , décrit de A comme centre.

Quand on lâche le cordon BP , le poids du piston ramène le levier à sa position naturelle , après quoi le cordon BP recommence d'agir pour soulever le piston. On appelle jnoiwements alternatifs ces mouvements qui ^e font alternativement dans un sens et dans l'autre. Lds oscillations du pendule nous ont offert un premier exemple de semblables mouvements.

On applique avec succès I0 levier coudé à l'opération du sciage de long par la méchanique» La scie DS , fig. i3 bis , est boulonnée en D à la tige DC , boulonnée en C au bras CA du levier CAB; tandis que la puissance P agit sur ime tige inflexible BP» Quand on tire BP, le bras de le-

aa2 M]£CHANIQOF.

vier AC décrit un arc, et la scie est tirée vers le levier ; quand on pousse BP , l'effet contraire est produit, et la scie est poussée par le levier. C'est ainsi que la méchanique imite le mouvement des scieurs , fig. i3, dont les membres CABPRS, cabprs sont des leviers coudés.

On peut j au moyen du levier ^ faire équilibre h une très - grande force y ai^ec une tres-pètite. Si , par exemple , la résistance est cent fois plus près du point d'appui que la puissance , et parcourt en conséquence cent fois moins d'espace quand il y a du mouvement , il faudra par compensation que la résistance soit cent fois plus grande que la puissance (i).

Quelques personnes , qui comprennent mal les principes de la méchanique , frappées d'un tiel résultat , s'imaginent qu'au moyen des machines il est possible de créer de la force. Selon elles, en effet, puisqu'une très-petite force peut faire e'quilibre à une très-grande, on peut, avec celle petite force , vaincre une résistance

moyenne, et conserver encore un reste de force

(i) Si le produit de la résistance par son bras de levier est moindre que le produit de la puissance par son bras de levier , il y a mouvement dans le sens de la puissance , et la machine avance ; mais elle n'avance qu'en vertu de la portion de la puissance qui u* est pas consommée pour faire équilibre à la résistance. 11 faut donc toujours retrancher cette portion, lorsqu'on ventavoir la partie de la puissance qui doit produire le mouvcmcut.

HUITIÈME LKCON. 3la3

suffisant pour produire des effets considérables.

Afin d'apercevoir l'erreur d'un tel raisonnement , il suffit de considérer le raouvement du levier. Supposons que les forces P, R, fig. lo, soient en équilibre au moyen du levier BAG, et qu'on augmente un peu la puissance P. L'équilibre étant détruit , il y a mouvement ; le bras de levier AB commence à tourner dans le sens BP de la puissance , tandis que le bras de levier AC tourne dans le sens RC , opposé à la résistance. Au bout d'un temps quelconque, les deux bras <Je levier ont parcouru un angle égal BAè, CAc; donc les arcs Bè et Cj, parcourus par les points B et G (i), sont proportionnels à la longueur des bras de levier AB et AG.

Mais on a P : R : : AC : AB.

Donc P : R : : arc Ce : arc Bb.

Ainsi, les forées P et R sont réciproquement proportionnelles a.ux arcs que leurs points d'application parcourent, lorsqu'on suppose l'équilibre dérangé.

On voit, par cette démonstration, que la puissance qui fait équilibre à la résistance est obligée de parcourir un ai*c d'autant plus grand qu'^Ueest moins considérable par rapport à la résistance; ainsi, la puissance doit perdre , en espace parcouru , ce qu'elle gagne en force absolue , pour faire équilibre à la résistance.. La quantité de mouven^ent

» fl I. ■■ < Il I I I I I, I I II I ■! I i I I I I ■■

(i) Nous snppbsons que AB et AG sont perpendiculaires à la direction des forces qui leur correspondent.

22^ M£CHA.]f IQU£.

r[ae mesure le produit de chaque force par i*espac3 parcouru , est donc la même du côté de la résistance , et cette quantité ne saurait être augmentée. Le principe que nous venons d'exposer est d'autant plus remarquable

- qu'il est général dans toutes les machines. Jamais on n'y peut augmenter la quantité de mouvement ; ce qui montre l'impossibilité de créer de^ la force.

Si l'on prend pour unité la durée du mouvement exécuté par les points B, G , fig. lo , les vitesses de ces mouvements seront représentées par les espaces parcourus B3, Ce.

. On appelle vitesse virtuelle, cette vitesse que prendraient les points d'application B , C , de la puissance et de la résistance , si l'équilibre était tout à coup infiniment peu dérangé. L'égalité P X Bô = R X Ce se traduit en disant que , dans le levier, la puissance multipliée par sa vitesse virtuelle, égale la résistance multipliée par sa vitesse vit" tuelle y toutes les fois quiljr a équilibre.

Supposons que le bras de levier AB, ûgi 1 1, au lieu d'être perpendiculaire à la direction BP de la puissance, soit oblique. Faisons tourner infiniment peu le levier, d'un angle BAM = bkm. Soit h.b perpendiculaire à BP prolotogé ; les rayons étant proportionnels aux arcs , on aura

AB : A3 : : BM : bm.

Si , du point M , on mène MN perpendiculaire à BP prolongé, les triangles BMN, AB3, seront semblables, comme ayant leurs cotés perpendiculaires. '

Donc AB : A6 : : BM : BIV.

Ce qui exige qu'on ait BN = 3/7t. Ainsi , quel qne soit le point d'application B de la puissance P sur le bras AB, en dérangeant infiniment peu l'équilibre, et niesurant l'espàEdB parcouru par le point d'application , suivant la direction BM de la puissance , on aura la même vitesse virtuelle , estimée suivant la direction de cette force. Par conséquent » ïéjut-

HUtflÈllfE tÉéON. 5iîl5

#/M àuhi lieu quand la puissance'^ etattt fhuitipliéh par ià ifilessâ Oitlttelle, dihsi ntèiunèe^ tt ia i^iistanct e'gdlemekt multipliée par sa piiesse ifirtùelle , mesurée de la même htanièrCy donneront un même produit ^ quel que soit le point d'application de la puissance et de la résistance : en supposant toujours que ces deux forces tendent à faire tournet le levier en seiis contraires.

Tel est le principe célèbre connu ^ous le nom de principe des vùêsses Pirtuellès ; {)riticipé qui s^aJ)J)lique ûôu-seulemént ati lôvièr^ tuais à toutes les àiâtfe^ Machines et ft toutes les cortibinàisotis'îiaagitiafales de forces. L'illustre Lagrange a fait de ce principe le fondement général de sa Méchanique Analytique , Fun des plus beaux ouvrages que la science ait produits.

La résultante des deux forcefi en équilibre sur un levier, étant détruite par le point d'appui, cette résultante égale la pression que le levier fait éprouver au point d'appui.

Donc : i". quand la puissance et Ja résistance sont parallèles et dirigées dans le même sens , la pression du levier sur le point d'appui est égale à la somme de la puissance et de la résistance.

1^. Quand les deux forces agissant en seûfe opposés , là pressio^ du levier sur le point d'appui , est égale à la différence de ces deux forces et dirigée dans le sens de la plus considérable.

Ainsi ; dans le levier dû premier genre , fig. 5, la pression Z qu'éprouve le point d'appui , égale la somme de la puissance et de la résistance.

Dans le levier du second genre , fig. G, cette

TOM. II.— MkCHIN. 29

226 M tCHANlQUÊ.

pression est égale à la résistance moins la puis^ sance , et dirigée clans le sens de la résistance*

Dans le levier ,du troisième genre , fig, 7 , la pression est égale à la puissance moins la résistance , et dirigée dans le sens de la puissance.

Quand les forces BP, CR, ne sont pas parallèles, il faut prolonger leurs directions jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en D , fig. 1 4 ; ensuite , sur les droites DB, DC, construire le parallé" logramme A^Dc, des forces P , R. Alors....

1°. La diagonale passera par le point d'appui A;

2^ Cette diagonale représentera, en grandeur ainsi qu'en direction , la pression éprouvée par le point d'appui (i).

Si l'on supposait qu'on eût un nombre quelconque de forces P, Q, K^ S, T, fig. i5, appliquées sur un levier CBADEF, il suffirait de mener une perpendiculaire A/i., A^, Ar,... à la direction de chacune de ces forces. En-

(i) Soit A^Dc le pàrallélogramine construit eu menant A5y Ac, parallèlement à CK et BP. Les droites AB, AC, étant perpen* dicalaires aux droites BP, CR, les triangles AB6, AGr, sont riBCN taogles. De plus , l'angle b du premier, et Tangle c du second , sont égaux à l'angle BDC , et par conséquent égaux entr*eux. Donc les triangles AB^ , ACc , sont semblables. Par conséquent :

AC: AB :: Ac: Ab; mais Acz=:Db, AbzsDc, et le parallél*gramme des forces donne:. P : R : : D^ : De

Donc • P : R : : Ac : A* : : AC ; AB

et PXABzrRXAC.

Donc le point A', pris au point où la diagonale du parallélo* gramme des forces rencontre le levier BAC, est précisément le point d'appui. Ce qui devait être ; mais ce qui a l'avantage de nous montrer l'accord de deux marcbes très-opposées. -

IIUTTIÈRTE LEÇON. Itif

sujte.on prendi'ait; : i®. pour toutes les forciEîS qui tendent àfaii^ toucoer le levier dans un sensy l^ somme .des produit:^, de chaque force par son bras.de. levier"^ :^**,> la,;SOfnnà^ des produits correspondants y pour toutes les .forces, ç^\ tendent à faire tourner le levier dans, le sens conti:aire : Téquilibre aurait lieu si les deux sommés «étaient égales. Ainsi, la condition d'équilibre iserait donnée par l'égal i te

Après avoir exposé, datis toute son étendue^ la théorie du levier, revenons auxprincipnii.TCcas particuliers et aux applications qu^elle prés^ênte^.

Levier du premier genre. Le plus siïilple et le plqs régulier est celui dont les deux braS kôht égaux , et dont l'équilibre exige que la puissance et la résistance soient pareillement égales. La balance est une machine de ee genre: - ' ' '•

La balance, fig. ï6, se^compdsè d'un levier â braségaXix, AB, AC, appelé le fléau. Le point d'appui A se trouve porté' par Une espèce d'anse Imn , qui supporte un axe horizontal Ikit^ autour duquel peut tourner le flèàii de ti balance. A chaque extrémité du flëau se trouvent attàdiés , par des cordes ou dés chaulés , des ^bàssins ronds comme dans la fig. 16 , ou dès plateaux quatrés comme dans là fig. 1 7. Les plateaux ouïes bassins doivent être de même poîdsllls sont généraleiinent semblables, de mêttifes'dirnbnsions, et suspendus par des cordes égalés; ils ont un axe de symétrie, lequel passe par leur centre de gravité ; leur position naturelle d'é-

338 M^CHArriQUS.

quUibre est celle où cet axe se trouve vertical. De sorte qu'en plaçant au centre de symétrie des plateaux où des bassins , les objets qu'on veut peser, ces bassins et ces ^l^tçaux conservent leur situation naturelle , et n'exposent pas les objets qu'qn pèse , à tomber par l'effet d'une inclinaison plus grande d'un côté que de l'autre.

Oq met dans un plateau le pqids P qui représente la puissance P ^ et dan& l'autr^^ Tobjet k peser, qui représente la résistance R, Qgaqd cm deux forces sont égales , et qq^ le fléau do la balance est horizontal , la condition de ) equi* libre est P ;>< AB =; R X AC,

Si AB n'est pas égal à AC , et se trouve plw petit, alors il faut, pour que les produits rès«r tent égaux , que P soit plus grand que R. Ainsi, (^uaiid les bras de la balai)ce sont ÎQégauK, et qu on met le poids du côté du plus petit bras y il fait équilibre à un moipdre poids da P9ar^ çhandises. Tel est le principe d'après lequel le9 vendeurs fripons font leurs pesées avçc à^fa^u^ ses balances. On découvre \^ supercherie ^ en mettant le poids à la place de^ m^rcbAPdises ; la plus petite force étant alor# au bout du plus petit bras de levier, il n'y a plu^ d'équilibre.

Dans un grand nombre d'arts et dan$ le^ expériences exécutées maintenant avet bea\icoup de précision par les chimistes , les physiciens et les géomètres y on emploie un moyen qui ne dé*

pepd pî^ diç J'çxactitude plp^ ow moips ffrmde de Igi balaqqe. Oa met danp ^o plateau |q corps R c[u'il s*3§it de peaw , et d»Pf î'wtM le« poiife P , qui lui font éqqiUl>re } pviw PU retira ce çprp^ Ji ; QH le remplace pm* de wmreau?^ poids

(ju'pn accumule jusqu'4 ce quHl» fesfieût, comme le faisait le corps R, équilibr^^ aui^ p<Hd$ P. U est évideut qpe le3 uouvaaujc ppidf doivent W-

présenter en somme le poids wact du corps H.

Pqujt e:ifaminer d'une mauîèr^ complète ce qui cpqcerfie h balauce, qn doit fai?e entrer en çQf)$idératiQn le poid^ de» b^^^in^ et du fléau. Il faut d'abord que lequilibre ei^iste avant qu'on mettes aucun poidi^ dans les ba^^in», Il faut que le§ deui braç soient d égal poids , d'égale lo»gueur , et que leurs centi-es de gravité se trouvent i la même distance de la verticale menée par le point d'appui qu par Vaxe du flnau.

Si, AB , AÇ , fîçr 76j» sont h$ deux bras de la balance, en dé?ig«îmtpaç G, Jj[> les centres de gravité des bra? de droite et de gauche , il faudra que le ppid^ X du b?a» AB, concentré en G,

fasse équilibre au ppidg y dv bras AG, copcentré eu n. Donc, X >< AQ=^ Yx AH. >

Si le3 deu;i^ centre* 0, H, et le point d'appui A* §opt ?ur upe mmei ligne droite, il y aura toujours équilibre , quelque inclinaison qu'on donne au levier, Hçhq , alçr^^la balance ne prendrai de préférence, aucune position, quand

tl3o MiSCHASIQUi:.

elle ne sera pas chargée de poids étrangère. De plus, la moindre diflîérencc de poids entraînant un des bras de la balance , rien ne limiterait l'étendue de ce mouvement.

On a soin que les deux centres G, H soient un peu plus bas que le point d'appui A, fig.i 8, mais tous deux à la même hauteur , quand les bras AB, AC, sont horizontaux. Alors, si l'on dérange un peu l'équilibre, par exemple, en baissant AB, fîg. 19, pour lever AC , la ligne droite AH se rapproche de l'horizontale , tandis que AG s'ed écarte encore plus que dans la première position. Donc , si l'on mène les deux verticales XGir, YH«, par les centres G, H, puis l'horizontale gAA, o^ aura nécessairement A// plus grand que Âg, Mais, dans cette position, X x Ag^est le moment'ac X ; Y X AA est le moment de Y = X ; dotfc le moment de droite Teniporte; donc il teild à'Êiîrè baisser le bras AC jusqu'à ce que la position du levier BAC redevienne horizontale. Coûinie'lè bras AC est descendu avec une certaine vitesse ^ ' à cause du mouvement acquis , quaiid'il feviëtii à la position horizontale, ce mouvement àè continue; AC descend au-dessous de l'iiorizontale, tandis que AB monte au-dessus. Il se produit donc un mouvement d'oscillation <)ùi serait un mouvement perpétuel, si l'on pouvait exécuter une balance où le frottement et la résistance de l'air ne présentassent aucun obstacle

nUITlÈME LF.GON. 33l

à cette perpétuité. Mais, par l'effet de ces résistances, les balances les plus parfaites s'arrêtent après un nombre d'oscillations plus ou moins long, et néanmoins toujours assez borqé.

Soit O, fig. i8 et 19, le centre de gravité du fléau de la balance. Quand l'équilibre est très-peu dérangé, le poidsX + Y tend à ramener O dans la verticale, avec une force = (X+ Y) multiplié par lare MO, que parcourt le centre O depuis la verticale AM : arc qui, pour un même angle , est proportionnel à la distance AO.

Afin de savoir, lorsque l'on construit une balance , si le centre de gravité du fléau n'est pas placé trop près ou trop loin du point A , il faut compter pendant un temps donné les oscillalations de ce fléau. Si elles sont extrêmement lentes et difficiles à produire, le centre est trop près du point d'appui; si elles sont trop rapides, on doit , au contraire , rapprocher ce centre du point d'appui. On élèvera, on abaissera le centrée de gravité du fléau , en ôtant ou en ajoutant de la matière à sa partie inférieure.

Le fléau de la balance est un pendule composé, et les calculs indiqués dans la leçon précédente donneront la vUesse et la dure'e des oscillations des fléaux de la balance, aussitôt qu'on aura détermine' le moment d'inertie de la balance et la position du centre O.

Pour juger exactement de la position du fléau,

23a MlÊCTIA^NIQUE.

Ton ^e sert d'un tnoyen bien simple. L*od emploie une aiguille km soUdement fîitée âti fléau , fig. 16 et 17 ) et perpendiculaire à la ligne droite BkC. L'Anse Imn , tenue en /^ , se plâce dans une position verticale, lôi^squ^on soulève la balance; mais, lorsque BAC est horizontale, Faiguille pet-pendiciulâire à BAC, est verticale. Il sufEt donc d'observer ^l l'aiguille ne penche ni à droite, ni à gauche t l^ quand les bassina sont Tides ; a®, quand on a mis dans un ba^n les poids-mesures , et dans l'autre le cotpâ i peser.

Pal* les détails que je viens d'offrir, voua devez Toir que les instruments les plus sinlpleâ UH peuvent être eicéçutés avec perfection , %i Toti ne détermine à quelles lois de méchanique Ics$ diverses parties de ces instrunients doivent satisfaire pour réunir au plus haut degré tôti^ left avantages qu'on doit en attendre.

Les romaines sont , comme les balancer , uti levier du premier genre , employé pour faire équilibre à un poids donné, avec une puissance moins considérable , appelée le peson.

Qu'on imagine un levier droit BAC, dont le petit bras AC soit pris pour unité de mesure, et dont le grand bras, soit divisé en un certain nombre de fois cette unité. Suivant qu'on poàe le peson P, aux points de division i, !2, 3, 4 vm îl ^^ équilibre à un autre poids R, égal à i, îi, 5, 4—fois le poids du peson.

. E9 mbHîvmnt éii dixiièmjés , par etèmpié' çhaqua partie 'du levier ÀB ^éé^k divisé en pai*v tie$ égble§ au l>ra$ dii leVier AC /chactirtêf de' dés ^ pafj;ie$ représente, dan^.lé produit AÇ X P , tinf dixième d^AG x P ^ et par copsécpiem eiige J poui» l'état d équilibré j âne auginentatioiï dèf poid« en^ R, égale au dixième He P. Chaqâcl ^i4b{liyisiQn> qui serait! é^alè au cetitiètné de ACf représenterait de knémé, dans le produit P X AB =:; AC X ft , un centième de P ><: ÀO:

Par CQisiséquént, si l'on divise âvfec préèisidri le bras du levier AB, en Unité» , dizaines , centaines, eti. , l'oH pourra dëterthiner combien de fois un poids qûelconfqiie R contient non-séulement le poids P ^ mais les dixièmes , les centièmes, etc. f de ce poids pAris pour UUité.

Uue partie des obfeervatroflà i^iië noûi avons présentées sur l'oscillation des- bâlànèèë, s'^àp' plique à l'oscillaîtion des romalhéi^; Il fâitt de même : i*. que leii deux poiiïts B , O, d'àppTîcâ-^ tion sbient exactement en lignfè droite avec le? point d'appui A; 2?. que le centré de Cavité de la romaine soit dn peu. àu^dessou^ du point A^,' et «ir la même verticale que ce pbitit, qiland Ik ligne AC est horizontale.

IiOrst{u'il est nécessaire de feire des pesées fortejtacljes en employaht la iromainej on ^èut recourir aVec beaucoup d'avantage, aux doubles pesées, c'ést-àr^dire; après avoir mis le corps éri équilibré

T. 11 — . Mkchak. 5o

l34 ItiCHAKJQlJE.

et fixé le point où il fait équilibre au pesoti , rem-placer ce même corps par des poids-mesures. En. effet, quelles que soient les inexactitudes de Tin-* strument qu'on emploie, les poids-mesuresqu'oti substitue au corps à pèsera, en représentent exactement le poids, quand , placés au même endroit, ils font équilibre au même peson. Vous reconnaîtrez, dans une foule de circonstances, combien il e$t avantageux d'employer ce moyen pour les opérations rigoureuses que vous aurez à faire relativement à des expériences , à des épreuves , à des vérifications, etc,

La romaine offre un exemple de leviers du premier genre , où l'on fait équilibre à une résistance donnée , avec une moindre puissance. Ces leviers ne servent pas seulement à produire des équilibres ; on les emploie souvent à produire des mouvements.

Le gouvernail des navires et des bateaux est l'exemple le plus remarquable que nous puissions offrir. Qu'on imagine un levier CAB, fig. ai, fixé en Â, contre la pouppe d'un navire^ le bras AB plonge dans l'eau, le bras AC est tenu en C; par le timonier ou par un appareil méchanique quelconque.

Quand le navire est en marche et que le gouvernail CAB se trouve dans la direction de la marche^ il n'éprouve aucune résistance de la part de l'eau. Mais^ quand le timonier pousse la

MiKMA LEcorr. a'35

.»îi aC, jiisqiieii c par exemple, Au du gouvernail éproîive une i augmente avec langle BAA. La y -^ >i.- décompose en deux : Tune^ ^^ ..V, laquelle ne produit d*autreef- !<» rauvernail dans le sens de sa l'arracher de ses gonds; l'autre x^ "^ \ A&, pousse le gouvernail dans '" nt de la marche. D'après ce que -nnsé, V*. leçon, la forcer? agit pour '^ navire avec une action dont le ma- ^xGg". en supposant que Gi,'soit la » centre de cravité G du navire à la '^p Xm Appelons P la puissance des ti- ^nliquée en C, et nommons D le centre ^ion de x\ nous aurons pour l'équilibre 'nail , P X AC = a: X AD.

w du second genre. Dans ces leviers, »ttâ dit, la résistance se trouve entre la \eL le point d'appui. On ne les emploie k les cas où la puissance doit être moinla résistance, fîivirons ou rames qui servent pour faire v les bateaux et les navires , sont des leiu deuxième genre. La puissance est appli- ^à la poignée N, fig. a i , de l'aviron NOM, et • e cette poignée de l'arrière à l'avant du navire. |^|{oint d'appui M se trouve à l'autre extrémité ^'aviron, et la résistance est produite par le na*

a'iG UfCUAÏIQE.

vire méme^ en un point Ô du hord de cenavire, soit au moyen d'une entaille Caiite dans ce bord, soit au moyen d'une cheville verticale qu^on appelle tolet. Il est évident que si Ton détermine le centre de r(*sistance de la partie de Taviron, plongée dans leau, ce centre étant regardé comme point d appui y la puissance multipliée par la distance de ce centre à la poignée de l'aviron « est égale à la résistance multipliée par la distance du même centre au point où l'aviron est sou* tenu contre le bord du navire.

Afin de ne pas ajouter au travail du rameur, la fatigue de peser sur le petit bras du levier, pour faire équilibre au long bras , on leste le petit bras avec un poids tel que le levier se trouve à peu près en équilibre sur le point O où il est porté par le navire.

Dans le troisième genre de leviers, la puis* sance étant entre le point d'appui et la résistance, est nécessairement plus grande que la ré» sistance. Ce genre de leviers ne peut donc être employé que dans le cas où l'on dispose d'une force supérieure à la résistance.

La plume, le pinceau, le porte-crayon, nous offrent des exemples remarquables de ce genre de levier. Il importe beaucoup d'imprimer des mouvements rapides à la pointe de la plume et du crayon; la résistance qu'ils éprouvent sur le papier e$t peu considérable. De là la position

HUITIÈME LKÇOPT. SiZj

préférée pour la tenue de ces' insti*uments.

La plume ÂBC,fig.22, a son point d'appui A contre la première phalange de l'index. La résis* tfuice est en C, sur le papier où se trouve l'écriture H produire comme effet du levier. La puissance est p^rtagé^ en m^ n^ Oy entre le pouce et les deux preiniers doigts. En renversant la main, fig. a3, pour regarder la plume pan le bec ^ on voit les trois points d'application /n, n^ o^ des trois doigts dont nous pprlonS: Suivant que nos muscles augmentent la force exercée en m , en tz ou en o, poijr la diminuer dans les deux autres points, la pUime est poussée dans les sens variés qui peuvertt convenir au tracé de toutes les espèces de lettres çt de figurçîs.

L'écriture offre un exemple remarquable de la complication réelle de machines simples en apparence. Les deux derniers doigts de la main droite servent d'appuis à la plume, l'avant-bras droit et le bras gauche servent d'appuis au corps^ entier, quand la main droite écrit. Chaque bras, avec sa main, se compose de vingt-deux leviers du premier genre, et chaque jambe , avec son pied , se compose de vingt - trois leviers.

Ainsi , les personnes qui écrivent'pour bannir de li.os:arts l'usage des ip^chines composées, afin de revenir, disent-elles, à la simplicité de la naturo, emploient un levier artificiel, mû par trois puis- ^nces résu]tant d'un système de quatre- viiigf-.

a38 ii]£cHAr(iQU£.

dix leviers que la nature a placés dans nos membres; et ces quatre-vingt dix leviers sont, alternativement tires et poussés par cent quatrevingts groupes de cordes appelées muscles , qui sont attachées, les unes en deçà, les autres au delà de chaque point d'appui.^ Loin que cette multiplicité de cordes et de leviers produise aucun désordre, aucun embarras dans lés opérations que rhomme peut exécuter avec ses membres, il est facile de prouver, .au contraire, que nous devons à cette admirable combinaison,, notre adresse et notre aptitude à faire une foule d'opérations délicates : opérations que ne peuvent exécuter les animaux, dont la structure plus simple, présente moins de cordes et d^e leviers.

Les arts emploient, à l'imitation de la nature, des combinaisons variées de leviers et de cordes. Ainsi les bras des télégraphes sont des leviers mus avec des cordes, comme nos bras se ni eu* vent à l'aide de nos muscles.

S'il fallait, avec une très -petite puissance, faire équilibre à une très-grande résistance, on serait obligé, en faisant usage d'un levier unique, de placer le point d'appui extrêmement près du point d'application de la résistance ; ce qui , dans beaucoup de cas , présenterait des difficultés insurmontables , et ne permettrait pas d'obtenir, avec la précision ué-

nvnikME LBçoir. aSg'

cessaire, le résultat qu'on désire. On obvie à cet inconvénient par l'emploi d'une combinaison dé leviers, telle que celle dé la fig. 'i4f La puissance P étant appliquée à l'extrémité du long^ bras du levier BAC; un second.. levier CDE ai l'extrémité de son grand bras L', posée contre l'extrémité G dii petit bras / du levier pre'céden t ; un troisième levier ÉGH présente une, disposition pareille ; et ainsi de suite. . ,

Soit X, X', X''..., les résistances éprouvées aux points de contact G, E^ H,... des leviers consécutifs; L, Îj\ L%v.> jetant les grands bras de. leviers , et / , /', /'',..;. , les petits bras , on aura^ pour condition de l'équilibre :

Premier levier , P x L =^ X .X/, Deuxième levier^ X X L' = X' X A Troisième levier , X' x L" = X'' X T.

Multiplions ensemble : x^. tous les prer. miers termes de ces égalités; 2**. tous^les se-, conds termes. Otons des deux produits , les quantités communes X, X', X'', etc. ; R étant la, dernière de ces forces ou la résista/:icç.,.,Qi;i( aura simplement pour condition de )'éqi|i|i(i^^ :

P X L X L' X L".... = R X / X ^,X^"v;v, , G'est-à-dire, Jn puissance , multipliée par^ tous les grands bras de levier , est égale a la rèsisstance imiUipliée par tous les petits bras.

Supposons , par exemple , que , pour tous les leviers ,

34^ MiCJBAXflQUF.

le grand bnû égale dit fois le petit; boos-vefro^is^qQ'eii prenant sncoetsivenient i, a, 3, 4"'*'lcvier3>la résistance est égale à la paissance multipliée par lô, Jpo , i^ooo,

lo.ooo Ainsi , quatre leviers , où le point d'appui se

trouve seulement dix fois aussi i^rès de la résistance que de la puissance , suffisent pour faire équilibre â nnè inésî-^ stadce dix mille fois aussi grande que la puissance.

Uii système de leviers, tel que celui de Ist fig. 24, sert en Angleterre, à tnesurer là forcé des câbles de fer.

On a fait un iisage ingénieux de ce systèrnê de leviers , pôur démontrer l'allongéweht qtïef prennent des barres métalliques, lorsqu'on ' les* ^x-pose à la chaleur. Cet allongement , trop pea considérable pour être sensible à la vue" simple ^ se trouvant multiplié par dix mille, avec quatre leviers tels que ceux dont nous venons de parler, si le long bras du dernier levier ' est 1 aiguille d'un cadran , cette aiguille s'avancera rapidement, et Ton pourra juger, par la divîsioa de l'arc qu'elle parcourt, de Fàllongemétit prîS par la tige métallique. Avec ce moyen Ton à pùl déterminer ti:ès-exactement les rapports d*â^ lôngemènt du fer, de l'acier et dû cuivré' : Tap* pôrf i dbiit l'fiôrlogèr â sii tirer habilement parti.

Voyez Vir. leçon, p. 21 5. Pendules de com-^ pensât ion.

Des poidies et des roideaiix.

XJniî poulie simple, fig. i, se compose : i^. d'un rouet circulaire, dont le contour offre une cavité partout également profonde y pour recevoir une corde ; 2''. d'un essieu sur lequel tourne le rouet ; 3". d'une chape. La chape ABCD, est un solide percé d'une mortaise MN, dans laquelle tourne le rouet, et d'un trou rond, TT, perpendiculaire à cette, mortaise , pour recevoir l'essieu.

Dans la poulie fixe , fig. a, la chape reste immobile ; elle est attachée à quelque obstacle X, inébranlable , ou considéré comme tel. L'essieu reste pareillement immobile, ou du moins sa distance au point X est invariable. La puissance P agit sur un des bouts de la corde PAMBQ, et la résistance Q est fixée à l'autre bout de cette corde. Quand la puissance agit sur la résistance, elle tend la corde , de manière que cette cordç présente deux parties rectilignes ÂP et BQ , l'une qui va de la poulie à la puissance, l'autre qui va de la poulie à la résistance ; elle offre de plus une partie de ligne courbe A MB, qui suit le contour

T. H. MtnnAN. 5i

!^42 M£CUANIQU£.

de la gorge de la poulie , et qui est la ligne la plus courte qu'on puisse mener entre les points A et B, sur la surface de cette gorge : surface dont nous avons expliqué les propriétés , Gjéo- MÉTRiK , XV'. leçon.

Lorsque les deux forces P et Q se trouvent dans un plan vertical « ce plan doit être aussi celui de la courbe AMB ; et les deux forces Pi Q» ne peuvent être en équilibre, par rapport au point fixe X , que dans le cas où ce point se trouve également dans le plan vertical de la puissance et de la résistance.

La poulie fixe, telle qu'on l'emploie pour élever les seaux des puits , et les matériaux des mines et des carrières, nous offre ainsi la puissance, la résistance, et le point d'appui placés dans un même plan vertical. Le bout BQ de la corde , auquel est fixée la résistance , se trouve de même dirigé suivant la verticale : la résistance n'étant autre chose qu'un poids suspendu librement à la corde BQ , et qu'il s'agit d'élever.

Dans le cas même dont nous parlons , si la direction AP de la partie de corde à laquelle est fixée la puissance^ n'est pas verticale , cette corde prend la figure d'une courbe que nous avons appelée chaînette, et dont nous avons expli<}ué les propriétés, VP. leçon.

Dans tous les cas , la corde étant pliée libi^ ment sur la gorge de la poulie, les conditions

NEUVIEME LEÇON. l43

d'équilibre de cette corde doivent être les même» que les conditions données dans la IV*. leçon, pour l'équilibre d'une corde pliée sur une surface , et tirée à ses deux extrémités par des forces. Ainsi , la tension qu'éprouve cette corde , dans tous ses points A , M , B , appliqués sur le contour de la poulie, doit être la raême; donc, si la puissance était appliquée immédiatement au point A , et la résistance immédiatement au point B, ces deux forces devraient être égales : quelle que fut leur direction.

Si les forces ne sont pas appliquées immédiatement aux points A et B, mais à une certaine distance , et si l'on fait abstraction du poids de la corde , il faut encore que ces forces soient égales. Si l'on ne fait pas abstraction du poids delà corde, ce poids s'ajoute, d'une part, à la puissance, de l'autre, à la résistance ; il faut que les deux sommes soient égales poiir qu'il y ait équilibre autour de l'axe de la poulie.

Cette considération est d'une grande importance, lorsqu'il s'agit d'élever des fardeaux ^ des hauteurs considérables. Au fur et à mesure que 1^ puissance agit , elle descend avec la corde qu'elle tire ; elle acquiert une partie du poids de cette corde y précisément égale à la partie soustraite du côté de la résistance. Par conséquent, la puissance devenant de plus en plus prépondérante, imprime à la résistance un mou-

a44 MÉCHAWIQÛK.

vement d'ascension qui devient' de ptds êii pttis considérable, et pourrait finir par être dangereux. , Pour qu'il y ait toujours une même difFérericè entre la puissance et la résistance , on fait usage de la .chaîne de compensation QNO, fixée sous le fardeau Q , qu'il s'agit d'élever verticalement. Supposons que, pour la même longueur, cette chaîne soit deux fois plus pesante que la corde à laquelle on a fixé la puissance et la résistance. Quand la puissance P tire la corde> de manière à se transporter en P' , la pairtie AR se trouve augmentée de PP', et la partie BQ se trouve diminuée d'une quantité égale, QQ'. C'est, par conséquent , comme si la résistance Q n'avait rien perdu, et que la puissance P eût acquis deux fois le poids d'une partie de corde PP'. Lsd résistance Q s'étant élevée deQQ ==PP', une partie NN'de la chaîne de compensation, qui se trouvait couchée sur une plate -forme horizontale, se soulève, devient verticale, et pèse du côté de la résistance. Mais NN', égale en longueur à PP' et à QQ', pèse deux fois autant que chacune dé ces parties de corde. Donc, d'une part, la puissance P acquiert deux fois le poids PP' ; de Tau-, tre , la résistance Q acquiert deux fois le poida PP'. Par conséquent , il y a toujours la même différence entre la puissance et la résistance : résultât important dans beaucoup de cas. Quand les cordons AP, BQ , fig. 2, sont pai^allèn

NEUVliSME LEÇON. ^45

leis, la résultante desdeux forces égales, P et Q, est parallèle aux. directions AP et BQ, et passe pair Taxe. du rouet. Lorsque P, Q j -Ae sont plus pa* rallîçle&^ fig- 4 y ^ fe«t toujours que leur résultante passe par Taxe G du rôuet, et par le point dé suspension X. Mais les deux Forces P et Q né cessent pas d'être égdes. Donc, en prolongeant lès deux directions AP, BQ , jusqu'à leur point die rencontre Di, il fau,t que les trois points G, X, D, soient en ligne droite, et que cette droite fasse le nréme angle avec les directions AP et BQ, de la puissance et de la résistance.

Si l'on veut connaître quelle est la pression produite sur l'axe G , du rouet , par lés forces P et Q, on déterminera la résultante DH d'un, parallélogramme DEHF, dont les côtés égaux; DE, DF , représeftteiit la puissance et la rési«* stance; la diagonale DH sera la résultante des deux forces dirigées suivant DXC, c'est-à-dire,, la pression qu^éprouve l'axe ciu rouet.

Cette pression, ajoutée au poids de la poulie,, représente l'effort total que supporte le point d'appui X. '

' I)ans la poulie fixe , la puissance étant toujours égale à la résistance, on ne peut employer cette ^lachine que poiir tr^^nsmettre une force d'uBè direction dans une autre , sans rien changer à la valeur de cette force. Aussi, les poulies fixes „ employées dails ce but, prennei\t-çlles le nom

346 MKCHAHIQUF.

très-convenable de poulies de renvoi; pour explî*' quer qu'elles n'ont d'autre but que de renvoyer la même force d'une direction dans une s^utre.

Si les deux forces P et Q n'étaient pas égales entr elles, la plus petite détruirait une portion de la plus grande, égale à cette plus petite force; alors le rouet de la poulie se mouvrait dans le sens de la plus grande , comme s'il n'était sollicité au mouvement que par la différence des deux forces ; mais la pression exercée par le rouet ou par l'axe , sur la chape , serait égale à la résultante des deux forces supposées égales à la moins grande. Ainsi le mouvement de la poulie pourrait devenir très-lent, quoique les pres-^ sioQs sur l'axe devinssent très-considérables ; il 3iiiHrait, pour cela, que la puissance et la résistance fussent très-grandes, mais peu différentes l'une de l'autre. Tel est le principe de la machine imaginée par Atwood pour démontrer par l'expérience les lois de la chute des corps : lois que ^lous avons ei^posées dans la Ip. leçon.

Menons les rayons C A , CB , fig. 4 ? perpendiculaires aux directions AP , BQ ; la droite AB sera perpendiculaire à CHD, qui divise l'angle ACB en deux parties égales. ]>6nc, les tciangles DEH et ACB auront leurs côtés correspondants perpendicidaires ; ce qui donnera la proportion P;:^Q:R: : DE = DF: DH : : AC = C3 : AR,

NEUVIÈME lEÇOic. i/i"^

Donc, dans la poulie fixe^ la puùscmûe qUt égale la résistance , est h la pression R , que sup^ porte le point d'appui ^ comme le rayon du rouèt est h la corde AB qui soustend Varc AB <f/wbrassé par la portion de la corde courbée sur le rouet.

Poulie mobile. Si , dans la poulie fixe , fig. 2 et 4 5 on remplace le point fixe par une force R • égale à l'effort même exercé sur ce point par l'effet de P et de Q, l'équilibre continuera de subsister entre les trois forj^es P, Q , R , et Ion aura changé la poulie fixe en poulie mobile, fig. 3 et o.-Dotic, dans la poulie mobile, les forces P, Q, appliquées aux deux bouts de la corde qui passe sur le rouet , et la force R, appliquée à la chape , conservent les rapports