P CB. C'B'. C'B

on aura - = ____-

Ainsi , dans un système de treuils ou de ca^hestans j la puissance est a la résistance^ comme le produit des rayons de tous les arbres , est au produit des rayons de toutes les roues. ^

Si Ton veut faire entrer, dans cette évaluation, le diamètre des cordes, il faudra dire que l'équilibre existe lorsque le produit de la puissance par les rayons de toutes les roues, augmentés chacun du rayon de la corde enroulée sur la roue correspondante, est égal au produit de la résistance par les rayons de tous les cylindres, augmentés chacun du rayon de la corde enroulée sur le cylindre correspondant.

DIXIEMB LEÇON. 2^^

On emploie souvent le système suivaht pour transmettre un mouvement de rotation , dW axe donné à un axe parallèle. On' fixe sur chaque axe, C, c, fig* lo, un rouet CA, cûî; On les enveloppe d'une corde saris fin AabB^qûi ait de petits arrêts très -rapprochés pour s'accrocher à des cavités pre'parées sur le contour des rouets et l'empêcher de glisser* Appelant P la puissance qui met en mouvement la grande roue et qui agit au bout du bras de levier CD, alors CD X P sera le moment de la puissance. Si nous représentons par T la tension des cordons , il £itirdra qu'on ait, pour la roue CAB,

CD P X CD =aT X CA. DoncT=: P. gx

Représentant ensuite par R la résistance qui agit au bout d'un bras cd, nous aurons immé-; diittement pour condition d'équilibre ,

R X cd^nstxea; donc T = R. -

ca

Mais la tension de T exercée par la puissance est la même que la tension T exercée par

la résistance. Par conséquent P* cÀ ™ ''^' ^

Si l'on supposait CD = c(i, on aurait de suite P. ca = R* CA; condition d'équilibre exti^emément simple.

Dans le cas du mouvement, supposons que le bras CD , où est appliquée la puissance P^

2g6 MÉGHANIQUÉ^

mette un temps £ à faire un tour, voyons combien le bras cd , où est appliquée la résistance R fera de tours durant de temps.

Pendant un tour de CD , le rouet AB fait un tour cpraplet; et chaque point* A, sur la corde sans fin , s avance d'une longueur égale à la circonférence de cette roUe; Mais chaque point de la petite roue se meut aussi vite que la corde sans fin ; puisque la corde est supposée ne jamais glisser le long des roues. Donc le point rt, pendant le temps /, parcourt, sur la roue abe^ une longueur égalé à là circonférence ABE* De plus , la longueur des circonférences étant proportionnelle à la longueur des rayons, la petite circonférence ahe sera contenue dans la grande ,^ autant de fois que le petit rayoli Test dans le grand. Par conséquent, le point a , pour parcourir sur là petite roue un es[)ace égal à la circonférence de la grande roue , devra faire autant, de tours que ca est contenu de fois dans CA.

Si Ton multiplie ce notnbre par le moment de la re'sistance = R X cd. on ^

R X cd. — X circonférence EAB.

ea

Quantité précisément égale à P x CD x cîr. EAB ; puisque PXS=^XÏ

donne PxCD=RX— . cri

DIXIBMB LBÇOBT. à^j

Et par conséquent PXCD X cîrc.EAB = ÉXcrf^ X cire. EAB.

Ici VOUS retrouvez encore l'égalité qui doit toujours subsister entre les quantités de mou-< vement de la puissance et de la résistance, d^$ le mouvement continu des machines, i : *.

La machine que je viens de décrire est fréquemment employée dans l'art du tourneur; elle est encore employée par le gagne-petit, pour repasser les couteaux, et par la fileuse , pour le rouet avec lequel elle forme son fil.

Dans le rouet de la fileuse , la puissance P est le pied qui agit au bout d'une manivelle, par le moyen d'une pédale sur laquelle elle pèse une fois à chaque révolution du tour.

Dans les ateliers où de grands efforts doivent être produits, on emploie souvent de laz^es lanières j au lieu de la corde sans fia qui fait le tour des deux roues. D'autres fois , ati lieu de cordes, on emploie des chaînes.

Oa fait quelquefois usage de chaînes dentées. Les maillons de ces chaînes sont réunis par des axes ou boulons saillants de côté et d'autre. Ces boulons s'engagent dans des coches pratiquées sur les deux rebords du rouet qui , par conséquent , ne peut plus se mouvoir, indépendamment de la chaîne.

On peut, au moyen des roues dentées, fig i!i,

T. IL — Mrchan. 38

9^ MÉCHANIQt]È<

supprimer tout-à-fait ces cordes, ces lanières et c(js chaînes; et transmettre, sans intermédiaire, le mouvement d'une roue à l'autre; en effet, comparons les deux roues ABE, abe^ quand elles sont mises en mouvement par la corde AabB , fig; 10, ou quand elles ont des dents qui s'engrènent immédiatement, fig. 12.

• Daïis l'un et l'autre cas , les points de ABE , abe se mouvront avec la même vitesse; mais ABE, fig. 12, tournera de gauche à droite, quand abe tournera de droite à gauche ; tandis que les roues isolées, fig. 1 o, tournent dans le même sens.

Lès vitesses dés points A et « , fig. 10, étant les mêmes, A fera sur ABE un tour complet , quand a fera sur abe autant de tours que le rayon AC contient de fois le rayon ac. La vitesse angulaire de aeb sera donc à celle de AEB, comme le rayon GA est au rayon ca.

Si la corde sans fin , au lieu de suivre la direc* tion A^^B , fig. 10 , suivait la direction A^aB, les rapports des forces ne cesseraient pas d'être les mêmes entre la puissance et la résistance qu'elle contre-balance lorsqu'il y a équilibre. Il y aurait seulement cette différence dans l'état de mouvement : suivant le premier mode , les deux roues ABE, abe y tournent dans le même sens; tandis que suivant le second , elles tournent en sens contraires.

Nous pouvons, avec cette combinaison, pro-

DIXIÈME LEÇON. agg-

etuire un système compose parfaitement analogue au système de treuils, fig. i3. En fixant, sur le même axe , de grandes roues dentées et dcv petites roues qu'on appelle pignons CA et ca^ Ch! et <?V, C'A'' et c'a",..,. , on ttouvera , pour égalité des moments de la puissance P, et de la résistance, R, en appelant R^, R", les efFor.ts, supportés aux divers points d'engrenage,

P. CA = H', ca R'. CA' = R'^ c'a' R".C"A"^R"'. cV,...

p. R'.R".... CA. C A'. C" A"... =R': R''. R'".... ca.c'a'. c'V'...,

D'où effaçant les multiplicateurs qui se détrui-^ sent , P. CA. C'A'. C'A"..... = R. ca. c'a!. c'V..... Donc la puissance est à la résistance comme le produit des rayons de toutes les petites roues^ est au produit des rayons de toutes les grandes roues.

Si l'on appliquait au point d^ engrenage dé deux roues , fig. 1 4 î une force M dirigée dans le sjens du mouvement de CAE, et une force N dirigée dans le sens de la résistance éprouvée par la seconde roue cae^ alors, pour qu'il y çùt équilibrq, il faudrait évîdemnient que ces deux forces fus-^ sent égales.

Soit donc la puissance P agissant sur AE, ati bout du bras de levier CD, et R agissant suc, oe , au bout du brajs de levier cd; on aii^a

p X CD = M X ca

R X crf = M X cO

Donc PX^^ = Rx^

D'après cela, nous voyons : i°. que CD et cd étant donnés, plus cO est petit,

plus est grand.... | = c^x^.

2^. que CD et cd restant les mêmes , P et R sont en raison inverse du rapport des rayons CA et ca des roues dentées. Ainsi , quand la première est double, triple, quadruple de la seconde , la résistance R , contre-balancée par la puissance P, est pareillement double , triple y quadruple de cette puissance P.

Une machine qu'on peut rapporter à la roue dentée : c'est la roue des {toitures.

Tous les corps de la nature sont terminés, non point par des surfaces parfaitement unies , mais par dés surfaces parsemées d'aspérités plus ou moins nombreuses et plus ou moins saillantes. Les corps mêmes qui nous paraissent d'un poli parfait , regardés avec un microscope , nous semblent hérissés de pointes. C'est Teffel de ces pointes qui détermine le mouvement des roues d'une voiture.

En effet , si la roue était d'un poli mathématique , ainsi que le terrain horizontal , une force horizontale tirant la roue, celle-ci

DIXIÈME LEÇON- 5of

toucherait toujours le terrain , sans en éprouver aucune résistance. Mâis^ la pesanteur faisant engrener les aspérite's ou dent^ àe la roue entre les aspérités ou dents du terrain qui te^tè immobile , la roue est forcée dé tourner* A cha^ que instant, une nouvelle résistance fait perdre à la roue une partie de sa vitesse ; et bientôt cette roue s'arrête, si l'on ne renouvelle pas Ist force perdue.

J'ai remarqué, dans plusieurs établissements d'Angleterre, des routes en fer, dentées, sur lesquelles roulaient des chariots à roues dentées. Ces routes et ces roues dentées sont une image sensible de ce qui se passe entre les aspérités presqu'invisiblesdes surfaces plus ou moins unies des routes plates et des roues ordinaires.

Que les roues dentées soient cylindriques ou coniques, et, par conse'quent, que leurs axes soient parallèles ou divergents, le rapport de la puissance à la résistance n'en est pas moins toujours celui des distances du point où s'opère le contact des dents aux arbres respectifs qui communiquent avec la puissance et la résistance.

La fabrication des roues dentées est un travail d'art fort-délicat, qui demande l'emploi de méthodes géométriques rigoureuses , lesquelles se rapportent à la division du cercle, Géométrik, IIP. leçon, aux propriétés des cylindres, VHP. leçon, et des cônes , IX\ leçon.

303 MÉGHANIQUE.

LorsquHl est question de construire des roue» d'un diamètre considérable , la figure des dents devient un objet essentiel , qu'on doit soumet-^ tre à des méthodes géométriques. On s'impose la condition que les roues tournent de manière que les points de deux dents en contact ne puissent que s'appliquer l'une contre l'autre , comme une roue de voiture s'applique sur le terrain, sans que l'une glisse y Jrotte sub l'autre , pour avancer plus vite ni moins vite.

Il y a des ouvrages de méchanique qui con-tiennent des solutions fort-complètes de ces questions, et nous y renvoyons. Voyez le trèsutile Traité des machines , par M. Hachette.

Au lieu d'employer un petit nombre de dents grosses, saillantes ^ et courtes, comme on le faisait autrefois , il vaut mieux multiplier le nom bre des dents , et les rendre moins saillantes ^ moins larges et plus longues , afin de leur conserver une solidité suffisante. Alors la figure des dents devient beaucoup plus simple à tracer. Il suffit de donner à leur profil la figure d'un rectangle , dont les angles saillants soient ren^ dus un peu obtus par un léger arrondi des deux faces perpendiculaires au contour de la roue. La machine elle-même, par son jeu, usant d'àbord les parties plus saillantes que la théorie p& l'indique , elle s'améliore par l'usage même. ^

C'est ainsi qu'opèrent la plupart des construc^

DIXIÈME LEÇON. 5o5

teurs de machines , et même les horlogers, pour leurs roues dentées ordinaires ; seulement, dans ces roues ordinaires, l'arrondi est complet.

Les horlogers emploient des roues dont les dents ont des figures variées et fort-différentes. Il y en a qui sont taillées sur le contour d'un cylindre, fig. 17. Les roues d'encliquetage ou d'arrêt, fig. 16, ont des dents pointues et toutes inclinées vers le cliquet ou bras de levier, qui empêche la roue de rétrograder*

Toutes les fois qu'il y aurait inconvénient grave ou dangei à la rétrogradation , dans un mouvement circulaire, il faut recourir à X enclin que toge ; à moins de faire usage du frein , dont nous parlerons au sujet du fi:ottement , Xlir. leçon.

On emploie souvent la combinaison suivante : on remplace une des roues dentées par un cylindre denté à jour, qu'on appelle lanterne^ fig. x5. 11 se compose d'une suite de bâtons tournés circulairement ; les axes de ces bâtons s^oat également espacés sur un contour circulaire. Deux plateaux , taillés en cercle, reçoivetit dans des mortaises quarrées, le bout de ces bâtons équarrî en tenon. La lanterne n'e'tant qu'une roue dentée, le rapport de la puissance avec la résistance , s'estimera suivant la règlq générale que nous avons démontrée.

Le me, fig. 18, est une machine où l'axe de la

3o4 MÉCHANIQUE.

roue dentée âB est fixe, tandis qu'une tige droite et dentée £F, est mise eu mouvement par la roue. Dans le cric simple , une manivelle CBB' fait mouvoir la roue dentée A, engrenée sur la barre dentée £F. Dans cette machine, on a pour

rapport de la puissance à la résistance , — = E?. :

égalité dans laquelle — est le rapport des espaces parcourus, dans un même temps, parla puissance et par la résistance.

Dans le cric composé, fig. ig, la manivelle agît sur un premier pignon , lequel s'engrène avec une roue. L'axe de cette roue porte un second pignon qui s'engrène directement avec la barre du cric.

En appelant D , D', les rayons de la manivelle et de la roue , d^ d\ les rayons des deux pignons, oii a pour condition d'équilibre^ dans ce nouveau cas, PxD X D' = R X.dxd'.

Ainsi , par exemple , si D est triple de d et D' triple de d'^ OQ aura 5 fois 3 fois P = i fois i fois R , ou 9 P= R : doDc une force P fait alors équilibre à une force 9 fifis aussi l^i'ande. Tandis que , avec les mêmes dimensions,- si hi barre dentée eût été immédiatement appliquée au premier pignon , la puissance P n'aurait pu faire équilibre qu'à une force 5 fois aussi grande. Mais il faut que la puissanee P parcoure 9 fois autant d'espace que la résistance , lorsqu'on veut qu'il y ait mouvement.

Équilibre sur des plans jfixes ; plans inclinés ; routes m fèr, ai^ec leurs planjs ihcliriès.

Dans l'équilibre du levier, nous avons fait entrer la considération d'un point fixe. Dans l'équilibre du rouet de poulie, du treuil, etc., nous avons fait entrer la considération d'une ligne droite ou axe fixe. A présent, nous allons examiner quel peut être l'équilibre de forces agissantes sur un plan fixe. Nous supposerons d'ailleurs ce plan d'un poli parfait.

Pour qu'une force PG , fig. i , poussant le point matériel C , contre un plan fixe AB , ne produise aucun mouvement, cette force doit être perpendiculaire au plan.

Lorsqu'en effet la force éfet perpendiculaire au plan fixe, comme tout est symétrique dans la direction de la force, et dans la figure du plan, considérée sous tous les sens possibles, le point n'est sollicité à se mouvoir dans aucun sens plus que dans le sens opposé. Par conséquent, il doit rester en repos*

Si la force PC est oblique, fig. 3, on peut la décomposer en deux; l'une CQ dirigée suivant le plan même, l'autre Cp' perpendiculaire à ce plan ;

T. II. — Mkcham. 39

3oG MÉCTIAîlIQrE.

or celte dernière force a son effet détruit par le plan; donc il reste seulement la force CQ, laquelle agissant dans le sens CA, n'éprouve aucune résistance. Par conséquent , alors , il ne peut pas y avoir équilibre.

Soit un nombre quelconque de forces CP, CQ, CR,...,iig- 3, poussant toutes le même point matériel C , contre le plan ACB. Il Êiudra transporter ces forces au bout Tune de l'autre, sans changer» leur direction, puis fermer par une dernière ligne droite, le polygone des forces : cette droite représentera la résuhante, en grandeur ainsi qu en. direction. Il y aura équilibre dans le cas seulement, fig. 3, où la résultante CR' de toutes les» forces, sera perpendiculaire au plan fixe. S'il n y. avait pas équilibre , le point matériel C , fig. 4 « se mouvrait le long du plan fixe ; comme s'il était animé par la force unique Cr, égale à la projection de la résultante CR sur le plan fixe.-

Au lieu d'un point matériel , considérons un corps CEF , fig. 5 , poussé contre le plan fixe , par une force P. Il faudra que la direction de P passe par le point C , si ce point est seul commun entre le plan et le corps.

Supposons, en effet, que la force P passe par un autre point C^ du plan fixe. £n appliquant cette force au point D du corps, le plus voisin du plan fixe, sur P'C, rien n'empêcherait la force P de pousser le point D jusqu'à toucher le plan, et

.d'entraîner ainsi tout le corpa CEF : donc ilin/y aurait pas équilibre. ! •

Il faut aussi que la force PC ne cesse pas d'être perpendiculaire au plan fixe, afin de n'être pas décomposée en deux autres : la première , perpendiculaire et détruite par le plan; la' seconde, dirigée dans le sehs même du plan et que rien ne contrarierait.

Si plusieurs forces agissaient sur le corps,. il faùBrait que leur résultante passât par, le point O, et fût toujours perpiendiculairé au .plan fixe , pour que le corps restât en équilibre.

A présent*, supposons que le corps; touche le plan fixe, en deux points: A, B, fig.,6. Il faudra que la résultante unique de-toutes les forces qui sollicitent le corps, puisse être décomposée .eh deux autres qui passent par ces deux pbintsL

En effet, soit, en projection, verticale ^ R/?, fig. 6, la résultante de toutes les forcés; soit , en projection horizontale, A;,,' B/^, r^^, l'a position des deux points fixes A, B et du point r, où la résultante rencontre le plan iixe.» > *

On pourrait d'abord, mener i par Bft et r/i une droite Ba rj, C/, , et décomposer la force iR/' en deux forces parallèles àiRr<;:i l'une P: appliquée en B, l'autre Q appliquée eîii im point; quelconque C de B/'C. La éorcéiP' étant perpendiculaire au plan fixe , et paàsant'par un poînt B où le corps touche le plan , ne peut rieii changer à

3o8 HÉCHAMQUE.

l'équilibre du plan. Il resterait donc la force Q , qui ferait nécessairement tourner le corps , si le point C n'était pas commun à ce corps et au plan fixe : à moins que C ne se trouvât entre A et B. En effet , si le point C se trouvait au-delà de A ou de B, il tendrait à renverser le corps de ce coté.

Soit un corps appuyé par troispoîntsA,B, G, fig. 7, sur un plan fixe. Joignons les points A, B, C, par les lignes droites AB, BG, CA. Pour que le corps ^ sollicité par une force quelconque 9G^ toit en équilibre, il faudra : i"". que cette force soit perpendiculaire au plan fixe ; 29. que le point où elle rencontre lé plan fixe , ne soit pas en dehors du triangle ABC. Sans cela, rien n*em-* pécherait cette force de faire tomber le corps du côté où elle se trouverait.

Si, au lieu de trois points d'appui, le oùrps posé sur un plan fixe en avait un nombre quelcon* que , il faudrait joindre ces points deux à deqx par dés droites ; de manière à former un poly* gone fermé complètement et n'ayant pas d'angle rentrant. Alors les conditions d'équilibre de ce corps, poussé par une force quelconque, seraient : I ^. que cette force fût perpendiculaire au plan fixe; 2^. que sa direction prolongée jusqu'au plan fixe^ ne tombât pas en dehors du polygone que nous venons de former.

Ces divers cas d'équilibre trouvent des applications importantes et nombreuses, lorsqu'on

ONZIÈME LEÇON. 3o9

fait entrer la pesanteur des corps dans la comparaison et le calcul des éléments des machines.

Tout ce que nous venons de dire des corps posés sur des plans, s'applique à des corps placés sur des surfaces de figure quelconque, et com-* posés de parties droites ou courbes. Il faut tou^ jours que la résultante des forces qui agissent sur le corps , puisse être déconaposée en forces qui passent par les points d'appui et soient per*' pendiculaires à la surface fixe; il faut, en outre, que cette résultante ne passe pas en dehors du polygone formé , san$ angles rentrants , par les lignes droites menées de chaque point d'appui aux autres points d'appui.

Vous pouvez observer, dans les arts, de fréquentes applications de ces principes. Pour tenir en équilibre un poinçon, quand on le pousse avec la main Contre une surface quelconque, il faut le diriger perpendiculairement à cette surface., afin qu il ne glisse pas ; il £aut , en outre , que la force pousse le poinçon dans la direction de sa tête à sa pointe ; car sans cela il tomberait ou glisserait.

Lorsqu'un corps est poussé contre un plan fixe , et porte contre ce plan par plus de trois points^ on doit recourir à des considérations qui dépendent de la nature même des corps , pour connaître suivant quelles lois s'opère la répartition des pressions exercées par le corps en

3lO MKCIIANIQTjE.

chacun des points de contact avec le plan fixe.

Il est un cas remarquable où l'on trouve imraédiatement la valeur de cette pression ; c'est le cas où les points de contact formant sur le plan fixe une figure régulière, la puissance qui pousse le corps contre le plan fixe est dirigée de manière à passer par le centre de cette figure. En supposant aussi que le corps soit symétrique par rapport à des plans qui passent respectivement par les axes de symétrie du polygone, ou de la figure régulière que nous venons de former avec les points de contact ^ chacun de ces points supporte une égale pression. Par conséquent, la pression supportée par chaque élément de la surface de contact, est égale à la puissance qui pousse le corps contre le plan fixe, divisée par le nombre de ces points.

Dans les arts, on fait usage d'un grand nombre de corps , pbse's contre des plans fixes , ea des points disposés suivant .les règles de syniètrie que nous venons d'indiquer.

L'homme, et tous les animaux qui marchent, appuient le poids de leur corps sur des pieds symétriques, ayant pour plan de symétrie celui du corps inême. Par conséquent, les pressions exercées sur chaque pied sont égales. Dans l'industrie , on procure trois ou quatre points de support à la plupart des objets usuels. Par analogie, on appelle pieds les parties du corpsqui

ONZIÈME LEÇON. Sïl

touchent imrnédiatement contre la terre, et souvent on leur donne la figure d'un pied d'homme ou d'animal. ^

Le trépied^ comme son nom l'indique, est un corps soutenu par trois pieds. Quand la figure satisfait aux conditions de symétrie que nous avons données , la pression supportée par cha-que pied contre le plan fixe, est égale au tiers» de la puissance qui pousse le trépied perpendiculairement contre le plan fixe. Les tables , les commodes, les lits, une foule de meubles , sont < supportés par quatre pieds , qui satisfont aux conditions de symétrie que nous avons don-nées. Par conséquent , chaque pied de ces produits d'industrie supporte le quart de la près- . sion exercée perpendiculairement contre le plan fixe, par une puissance quelconque.

Il y a des objets qui portent sur des plans fixes suivant des hgnes continues et régulières.! Dans le cas où le corps satisfait aux conditions de symétrie que nous avons indiquées , tous les points de ces lignes supportent une même près-sion; la pression supportée par chaque élément de ces lignes est, par conséquent, en raison inverse de leur longueur totale.

On fait souvent usage, dans les arts, de surfaces de révolution qui posent contre un plan fixe, MN, fig. 8^ en touchant ce plan suiyani un cercle parallèle ABC. Si la puissance qui presse la

3l2 MÉCIIANIQL'E.

surface contre le plan', la presse suivant Taxe même de la surface , il est évident que tous les points du cercle de contact supportent la même pression. Nous ne pousserons pas plus loin l'indication de ces applications à Tindustrie.

Considérons un corps BCF, fig. 9, posé 6ur deux plans fixes, (i)et (2), qu'il touche en B et C. Pour que ce corps , sollicité par la force AP, soit en équilibre , il faut évidemment : I**. que cette force puisse se décomposer en deux, dirige'es suivant les droites PM, PN, passant par les deux points d'appui B, C; a*», que PM soit perpendiculaire au plan (i) , et PN au plan (2).

Quand ces conditions seront remplies , la force PM se trouvant détruite par le plan fixe (i), e» la force PN par le plan fixe (3), il y aÇira équilibre.

Dans tout autre cas, l'équilibre ne peut avoir lieu. En effet, la seule résistance que chaque plan produise est dirigée suivant la perpendiculaire menée par les deux points d'appui du corps sur ce plan. Donc il faut que les deux résistances , ainsi dirigées , fassent équilibre à la puissance. Mais, pour que trois forces soient en équilibre , il faut d'abord qu elles concourent en un point. Donc, dans tous les cas d'un corps pousse par une force contre deux plans ^ dont chacun le touche en un point , il Ëiut que la droite suivant laquelle agit cette force et les per-

ONZIÈME LEÇON. 5l3

peTidiculaires élevées de chaque point de contact, passent par un même point. Alors un parallélogramme construit sur ces trois lignes , en prenant sur la première une diagonale égale à la puissance, fera connaître les pressions éprouvées par chaque plan.

Dans le cas d'un corps touchant trois plans , en un point , il faut toujours que la puissance fasse équilibre à des forces appliquées à ces points suivant des lignes perpendiculaires à ces plans et représentant les résistances éprouvées par les plans. Mais il n'est plus nécessaire que toutes les directions des résistances concourent en un même point.

Considérons le corps MN, fig. lo, sollicité par les forces P, Q, qui concourent, en A et se tion^eut en équilibre autom* du point d'appui C, contre le plan fixe XY. Supposons .que , $ans changer ce poiqt d'appui, l'on dérange inûqiinent peu la position de CA, c'est-àrdirç, queTonfa^se tourner CA an* lour de C. En menant les perpendicqlaires CD, CE, sur AP, AQ , nous pourrons regarder DCE comme un levier cpudé. D'après ce que nous avdus démontré pour le levier , nous verrons immédiatement que l'eppace Dd parcouru par le point d, et Tespace Ee paixiouru parle point E , quai^d la corps se -dérange inGninient pçp, sont réciproqiièiniçntf proportiopnelg siux forcer P et Q (jui Içuv çorriîspQn4ent ,

c'est-à-dire, qu'on a

? :Q: :Êe: Dd. D'où....Px T>d = Q XEfi.' Ainsi , le principe des vitesses virtuelles trouve encore ici son application.

Tous ïes corps étant animés à chaque instant

T. n. — MÉCHArt. 4o

5l4 MÉCHANIQIJE.

par la force de la pesanteur, on voit que les corps, posés sur des plans , ont besoin , pour y rester en équilibre , de satisfaire aux conditions que nous venons de démontrer. En supposant qu'aucune autre force ne sollicite ou ne retienne un corps posé sur un plan fixe , pour qu'il y reste en équilibre, il faut, par conséquent, que ce plan soit perpendiculaire à la direction de la pesanteur, c'est à-dire, a la verticale.

Ainsi, le plan fixe doit être horizontal pour qu'un corps y reste en équilibre, lorsque ce corps n'est sollicité ni retenu par aucune autre force.

Tel est le motif pour lequel on fait, dans les arts , un si grand usage des plans fixes et horizontaux. Les parquets de nos appartements sont horizontaux , afin que les meubles qu'on y pose restent en équilibre; afin que nous-mêmes, nous ne tendions pas à glisser et à tomber d'un côté plutôt que de l'autre. Pour un motif analogue, les tables, les étagères, etc., présentent aussi des plans horizontaux.

La résultante du poids d'un corps , passant toujours par son centre de gravité, cette résultante doit satisfaire à toutes les conditions d'équilibre que nous avons données, pour qu'un corps abandonné à sa pesanteur et posé sur un plan horizontal, y reste en équilibre. Ainsi :

i*". Quand un corps, posé sur un plan, ne le touche que par un point, il faut que la

ONZIÈME LEÇOif. 3l5

verticale, menée par ce point, passe par le centre de gravité du corps.

2°. Quand le corps pesant touche en deux points le plan fixe , il faut que la verticale, menée par le centre de gravité de ce corps , passe par la ligne droite qui joint les deux points de contact du corps et du plan fixe.

3". Quand le corps pesant touche en plus de deux points le plan fixe , il faut que la verticale menée par le centre de gravité de ce corps ne rencontre pas le plan fixe en un point qui soit hors du polygone formé sans angles rentrants , par des lignes droites qui joignent deux à deux les points de contact du corps et du plan fixe.

Revenons au cas d'un corps soutenu par un seul point et en équilibre. Il est facile de voir que tout corps sphérique ABC, fig. 1 1, et d'une matière homogène, jouit de cette propriété, qu'en le posant sur un plan horizontal , il s'y trouve nécessairement en e'quilibre. En effet , le centre de gravité de ce corps se confond avec son centre de figure. Tout rayon GPC est perpendiculaire au plan horizontal MN qui touche la sphère en ce même point C, Donc la droite GPC, perpendiculaire au plan horizontal MI^ , est verticale. Donc, la force GP, équivalente à l'effet du poids de ce corps sur MN, remplit toutes les conditions nécessaires à l'équilibre.

3l6 MÉCHANIQUE.

Prenons un corps ABC, fig. iti, ayant la forme d'une molette, et formé en faisant tourner une ellipse autour de son grand axe. Si Ton pose ce corps sur un plan horizontal , de manière que le grand axe AB soit horizontal , il y aura équilibre. En effet, le centre de gravité G de ce corps, supposé homogène, se confond ci , comme dans la sphère , avec le centre de figure; et la verticale PGC, menée par le centre , passe par le poin): G où le corps touche le plan horizontal.

Il y aurait encore équilibre si je' posais le corps ABC , de manière que le grand axe AGB ,. fig. 1 3 , fût vertical ; puisque la résultante du poids de ce corps passant par le centre G ^ passerait également par le point A.

Mais il existe, entre ces deux états d*équilibre , une différence bien remarquable. Si je change un peu la position de ce corps, fig. 12, il va sur-le-champ se mettre en mouvement pour revenir à cette position d'équilibre; si je change un peu la position, fig. i3, le corps va s'en écarter de plus en plus , et tomber.

Le premier équilibre est stable , le deuxième est instable (i). On appelle ^/aM/V^ et instahilité

(i) Les résultats précédemment exposés , nous permettent de résoudre le problème suivant :

Deux corps ABC, abe,ûg. i6, posés sur le plan MN, de manière que AG, og, fussent verticales, n*y auraient qu'un équUl-

ONZIÈME LEÇOir. Si 7

la force avec laquelle, les corps tendent à se râpn procher ou à s'éloigner de leur position d'équi* libre, aussitôt quils Tont perdue«

Essayons de mesurer la force qui ramène ainsi

bre instable : on demaDde quelles conditions doivent être satîsfaîtes pour que ABC , abc , dérangés de leur position d'équilibre, mais appuyés l'un sur l'autre en un point D, smeot en équilibra. Supposons, pour plus de flimpiicité , que les deux corps soii€ exactement égaux et également inclinés; soit P leurpoids^

Chacun touchera l'autre suivant un plan vertical^ et ils exerceront Tun sur l'aoti^ due même pression Xz=:x, Soit maintenant G^fgnf les yertJcales abaissées des centres de gravité G, g, de ces corps. Soient C, c, les points de contact de ces corpa avec le plan MN. Le moment des poids P sera , pour le corps BCD, P X CE, et pour le corps bcd, P Xctf. Ces deux moments seront égaux. Mais X, a, représentant la pression mutuelle des deux corps, en élevant des deux points d'appui C , c, les perpendiculaires GX', ex', sur ces corps, on aura X X CX' z=: xy^ ex' pour le moment résultant de cette pression.

Il faut donc , dans le cas de réqullit>re , qu'on ait

• PXCE,:;^XxCV^PXcé=z:t'^ex'.

S'il y avait trois corps an lieu de deux, oû résoudrait le problème de la même manière. Eu mettant en équilibre les nioments P X C£ de chaque corps ^ avec la pression exercée sur ce corps par les trois autres.

Les soldats résolvent ce problême d'une manière pratique^ lorsqu'ils placent trois fusil» mk faisceau. Chacun de ces fusils, 8*il était posé en équilibre sui* Tangle c de la crosse, n*y anr^it pas de stabilité ; mais , en croisant les bayonnettes de manière à ce que le bout de chaque arme exerce une pression contre les deux autres armes, l'équilibre stable s'établit. Rien ne serait ))lus facile que de calculer les pressions exercées sur chaque fusil par les deux autres, pour qu'il y eût équilibre dans cette position.

3l8 MÉCHAr^IQUE.

clans son état d'équilibre , ou qui l'en écarte, le corps que nous considérons.

Commençons par la première position. Supposons qu'on incline un peu le grand axe AB , fig. i4ï de manière que ce^ ne soit plus le point C, mais le point D qui Couche le plan horizontal. Alors ce n'est plus PGCqui représente la direclion de la résultante du poids du corps , mais P'Grf.

Maintenant , la force P' = P agit pour faire tourner le corps AB, autour du point d'appui D^ avec un bras de levier égal à Dd; donc , le moment avec lequel le poids du corps tend à faire descendre la partie GAG et remonter la partie BCG, est égal à P x D J. Mais le poids P du corps restant le même, plus ce corps est écarté delà position primitive, plus dD est grand, plus est grand le moment Px dT>; plus , par conséquent ,. le corps tend avec énergie à revenir vers sa position primitive ; en l'abandonnant à luimême , il reviendra donc naturellement vers sa position d'équilibre. Cet équilibre est stable.

Élevons la verticale DgO jusqu'à la droite CGP, qui est verticale dans la position d'équilibre; menons ensuite l'horizontale Gg. Nous aurons Drf == G^ ; par conséquent, V yc^Gg égale le moment avec lequel le corps tend à reprendre sa position primitive. En supposant que l'angle GOg soit infiniment petit , on pourra regarder Gg comme égal à l'arc décrit entre OGC, OgÙy

ONZIEME LEÇON. SlQ

du point O cotnme centre, et avec OG pour rayon. Le point O est ce que les géomètres appellent le niélacentre du corps ACB. Par conséquent , lorsque l'équilibre est stable, le métacentre est toujours au-dessus du centre de gravité. Pour un degré constant d'inclinaison de la nouvelle verticale OD sur la primitive OC , l'arc Gg* est proportionnel au rayon; donc le moment P X Ggr est aussi proportionnel au rayon GO , égal à la distance du centre de gravite' et du métacentre. Ainsi , cette distance est propre à donner la mesure de la stabilité des corps.

Revenons au second cas. Supposons qu'après avoir posé le corps ACB sur le bout A de son grand axe , on l'ait un peu dérangé de son état d'équilibre , comme on le voit dans la figure i5, où D est le nouveau point de contact du corps avec le pjan horizontal. En menant la verticale Gû?, elle tombe en dehors des points A et D; et l'on a, pour mesure de la force avec laquelle le poids P tend à tirer le corps afin d© le faire tomber , P x D^ = P X Gg*. >

Ici, comme dans le cas précédent, si l'angle GOg" est infiniment petit, on peut regarder Qfg comme un arc ayant O. pour centre. Alors, pour une inclinaison donnée de AB , par rapport à la verticale , le rayon OG est proportionnel à la distance Gg- = Dû?. *

Le point O est encore ce que nous avons

appelé le mélacenire. Mais ce métacentre, an lieu d'être au-dessus , se trouve au-dessous du centre de gravité. Du reste , sa distance au centre de gravité , est aussi propre à servir de mesure à X instabilité^ que, dans le cas de la fig. i4, elle était propre à donner la mesure de la stabilité du corps ACB , posé sur le plan MN.

Si le métacentre O et le centre de gravité G se confondaient, il faudrait que les verticales ODet Gd se confondissent. Mais^ alors, la verticale qui passe par le centre de gravité G, passant aussi par le point d'appui D , la distance jyd serait nulle ; ainsi le moment P x T)d = o. Bonc il n'y aurait plus d'effort pour faire mouvoir le corps , qui resterait en équilibre.

En résumé : Quand le métacentre se confond avec le centre de gravite', l'équilibre subsiste après le dérangement du corps, comme auparavant : l'équilibre est ce qu'on appelle indifférent. Quand le métacentre est au •• dessus du centre de gravité, le corps, s'il est dérangé de son état d'équilibre, tend à reprendre sa première position ; alors, l'équilibre est stable. Quand le métacentre est au-dessous du centre de gravité, le corps , 3'il est une fois dérangé de son état d'équilibre, tend à s'en écarter de plus en plus; alors , l'équilibre est instable.

Enfin , dans tous ces cas, la mesure de la sta^ bilite ou de Tinstabilité est donnée par le pro-

ONZIEME LÉÇprc. 3^1

dwit du ^îds dW co^|!>sf par U distàtfcV d\i centre de gravïté au- métacèntifê', lèqifél ésV ici Wcertùe dé corirbwe àd Fârid kS itàcë ^ut \è cdrps, entt-é A etD. ».

PaTTà, lei pi^oprîétes: dé la stabiïité (ïês corps €^<î;iHanï siit dbs plaùè ifiié*^, se rattachent à celtes dé là co6*btif e dés ^ui faàés. (Voyez' feio- MiTRiK, XV'. leçon, y De itfénie quà partir d'tin point fixe , la courbure d'un corps éèl syra'étriqué par rapportai dfeùx directions placées à afhgle' *droit , dé' même la stabilité d^un corps' sûr un plan horizontal est symétrique par rapport à deux: directions placées à angle droit. Une de ce^ directions appartient à la plus grande , et l'autre à la moindre stabilité, tés stabilités intermédiaires soùt égales qiiarid elles sont prises par i^apportà deux axés horizontaux, faisant un liiéme angle àVec la direction de ^ïus grande stabilité; et pat* conséquent, aussi, faisant un même angle avec la direction de moindre stabilité , etc.

La théorie de la stabilité des corps qu'on déi^ange un peu de leur position d'équilibre, présente des applications d'une extrême importance pour la richesse et la vie des citoyens , pour l'honneur et la force de l^état. Quand les vaisseaux gardent sur la mer un équilibré stable, ils naviguent avec sui^eté pour l'industrie publique ou pour la défense' du pays. Au cbn-

TOM. II. — MÉCHAM. 4'

322 MÉGHANIOUE.

traire , dès l'instant où cet équilibre devient instable , le vaisseau tend à se renverser , à chavirer, à engloutir avec lui tous les matelots et les soldats qui le montent. La théorie de la stabilité des vaisseaux a des relations intimes avec les principes que nous venons d'exposer (i). Mais, pour être complète , elle a besoin d'autres prin-» cipes fondes sur la force des fluides. Voyez IIP. vol. , Forces motrices.

Après avoir considéré l'équilibre d'un corps sur un plan horizontal , il faut considérer l'état de ce corps sur un plan incliné. On nomme ainsi tout plan qui n'est ni horizontal ni vertical.

On mesure son inclinaison par l'angle qu'il fait avec un plan horizontal , et la géométrie , VI i^. LEÇON , ramène facilement la mesure de cet angle de deux plans à la mesure de l'angle formé par deux lignes droites. La i^\ droite est sur. le plan horizontal, la 2^ sur le n]an incliné; et toutes deux sont menées , d'un même point, perpendiculairement à l'intersection des deux plans.

(i) Depuis 1820, j'expose chaque année ces principes dans mon cours^ et je montre comment on peut y ramener la recherche des conditions d'équilibre des corps flottants. Je place ici cette remarque, parce que l'estimable auteur des Annales de Mathématiques, auquel ce fait n'était pas connu, a présenté, comme une simplification qui m'avait échappé , un semblable rapprochement, que je n'ai pas inséré dans mon mémoire sur la stabilité des corps flottants. j4ppiications de Géométrie, In«4^.> imprimées à Paris, chez Bachelier.

ONZIÈME LEÇON. 3il5

Représentons le plan horizontal par une horizontale MN, fig. [7, et le plan incliné par la ligne droite AC , qni fait avec MN le même angle que lé plan incliné avec le plan horizontal:'

Posons un corps quelconque X, surCA. Sicé corps n'est reténu par aucune force ëtrangère! on pourra décomposer son poids GP eu deux forces Gq , Gp, l'une parallèle , l'autre pérpèWdtîculaire au plan incliné. L'effet de celle-ci' éëra détruit si la perpiéndiculàire Gp ne tôrtibé pàs^étl dehors du polygofie qu'on forme en joignant les points de contact par des lignes drôit^èè. KiiHi nous pourrons a pphquer à la force G/7^(Hit€fe*I&^ considérations que nous avons présèAtéëà * slii* Téquilibre stable, instable et indifFéreht, Be? corps appuyés sur des plans horîzontaui'. '**»

Quant à la force G^, comme elle agit paraîl^-

lement au plan CA, elle n'éproiive auciime rê-

sistance de la part de ce plan ; si donc elle n'est

combattue par aucune fordk étrangère, elle fera

•glisser le corps le long du plan incliné.

L'espace que parcourra ce corps sur le plan / est à l'espacef qu'il parcourrait dans le mëki^ temps, s'il tombait librement suivant GP, comme la force Gq qui le tire parallèlemerit'à ACT est à la force GP qui le tire vert icàlemetrt. ^'''' ' '

Que le corps se meuve en vertu de îâ* force G^ , ou bien soit retenu pkr - une force Gq\ égale et tirant en sens contraire, il faut toujours.

si Toii vent que ^'équilibre ait lieu , que U p^rpendiculc^ire Gp tombe sur le point .où le corps touche. le plan incliné AC, s'il n'y a qu'un seul point de contact. S'il y a plusieurs points de coatact, il faut que la perpendiculaire Gp.* topahe dar^s le polygone formé ^ sans angles rentrants , en joigi^ant deux à deux les points où fe corp^ tq^iche le plan incliné. Cette théorie trouve unj^ application très-utile dans la stabilité deç rp'fr fjgif es çi^; j^epos au en mouvement.

Quapd\^n corps .Q,fig. iS, est tenu en équjilibrç s;)^| ,ii^ plan incliné AC, par une seu]^ fqrcç .GQ parallèle à ce plan, il faut ^ en décomppsaptGP poidç du corps, eu. Gp et Gq : .1". QpjÇ/la force Gp^ supposée agir s^ule perpendicujairen^ent 4 AC, y tienne en.^uiUbjre Iç corps |G, supp^Qsé sans pesanteur; '4". Que Gç passant par le centre de gravité G y on ait Force Q : fof ce P j : Cy : GP. ,

Si nous menons !NP perpendiçulî^irjÇ au pl^fi horizontal MN,les triangles ANO , et PGy seront i semblables; et l'on ^ura AO : NO ;.: GjP : Gqr = GQ ; c'e;5t-à-dire , le poids d^ corps est h Ici force GQ qui lui fait équilibre , comme Iq. longueur AO du plan incliné est a sa hauteur NO.

Si la force GQ, fig. 19, était horizontale, il Êiudrait que la résultante Gp de GQ et de GP pas^t par le point p de contact du corps et du plaii; ç^ qui donnerait la proportion GP : GQ == P^

: : ^M > NîO, cWt^r^ire^ & poids du corps est à la puissance qui lui fait équilibre <, comme la base du plan incliné est h Sa hauteur. Ces tliéo-» rêmes , d'une expression très-simple , sont d'un usage continuel dans la méçhanique.

Nous terminerons cette leçon par un extrait de nos Voyages dans la Grande-Bretagne , Force commerciale , voies publiques^ en' présentant ce que nous avons dit de plus essentiel sur les routes à ornières enfer et sur tes plans inclinés y tels C|u'oo les emfiloie d^nc la Grande-Bretagne. Ces routes et ce» plans incliaés peuvent être du plus grandi aVantagé pour le$ étaiblissements d'industrie, en France; - •

Le tracé des routes-ornières , en fer, se présente sous deux points de vue très-distincts : i®. quand les transports s'opèrent tous suivant une seule direction ; îi*. quand fls s'opèrent également suivant les dieux directions opposées.

Dans le premier cas, ce qu'on trouve de ^lus simpïe, est de monter verticalement avec des machines , tous les far-^ deaux à transporter, jusqu'au sommet de la routé inclinée ; sommet d'où les chariots n'ont pliisensuitequ à descendré.

' Lorsqu'il s'agit seulement de descendre pour con4uire des chargements jusqu'aux rivières, aux canaux, ou bien auxgrandes routes , quelle que soit la distance , il est facile 9 par des routes-ornières bien ménagées , de rendre Iç transport avantageux. .Voilà ce que nous pourrions faire avec un grand succès , en exploitant les bois nécessaires ,à la marine ainsi qu'aux constructions civiles , dans les lieux élevés et trop éloignés de toute rivière , pour qu'on puisse , au moyen de routes ordinaires , arriver sans trop de frai^ aux cours d'eau qui permettent le flottage. C'est un objet de la plus haute importance pour notre force navale, poi^r

notre commerce maritime , et pour une foule d'autres brâujches de notre industrie.

Quelle est la pente la plus avantageuse qui convient aux routes-ornières? C'est celle qui permet aux chariots cbargés , de prendre un mouvement uniforme , par le seul effet de leur poids. En la suivant, un cheval qui conduit ane file de chariots, n'a besoin d'exercer que la force iiéces> saire pour vaincre l'inertie des masses qu'il transporte y et les petits arrêts que des inégalités légères pourraient présenter sur la route.

Le nombre des chariots chargés qu'un cheval doit traîner, est égal au plus grand nombre des chariots vides que ce cheval peut remonter sur la même route. Ainsi , plus Tiaclinaison de la route est considérable , moins le cheval descend de chariots, à chaque voyage. On voit par-là qa'il existe une certaine pente plus avantageuse que toutes les autres ; c'est celle qui, sans aucune perte, emploie toute I9 force du cheval , pour aller vers le haut et vers le b^- Plus un chariot charge est pesant , moins est grande l'inclinaison suivant laquelle il commence à descendre de luinmême, plus est grand aussi le nombre des chariots vidf s que le cheval peut remonter suivant cette inclinaison. Sons ce point de vue , il y a donc plus d'avantage à se servir de grands chariots. On doit préférer ceux qu'on emploie aux environs de Newcastle, lesquels portent 2, 5oo kilogrammes et pèsent i,5oo kilogrammes, à ceux qu'on emploie aux environs de Glasgow , lesquels ne portent que 600 kilogrammes et pèsent 3oo kilogrammes.

La caisse de ces chariots est un tronc de pyramide quadrangulaire évasée et découverte par le haut. La largeur et la longueur du fond sont respectivement , i"***,6 et 2 mètres ; la longueur de la base supérieure est de a"**',Ç h 5 mètres. Enfin les côtés , inclinés à l'horizon d'un peu

plus de 45o, ont i™**-,6 de largeur. Le fond du chariot est garni d'un sabord de déchargement, placé vers l'extrémité qui regarde l^a navires en chargement. Le sabord est fermé par deux pattes de fer qui tournent à charnière et se rabattent sur la face inclinée antérieure du chariot ; là , elles* emboitent Toèil du piton. Une même goupille traverse les^ deux yeux de ces pitons, lorsqu'on veut fermer le sabord. En retirant la clavette et dégageant les deux pattes de fer , le sabord s'ouvre par l'effet de la charge qu'il supporte , et cette charge descend entre les quatre roues.

• Il y a des crochets à l'avant et à l'arrière du chariot , pour y fixer à volonté la corde de traction. Les roues , en fer coulé , ont 6 à 7 décimètres de diamètre ; leur largeur horizontale est de 1 5 à 1 6 centimètres ; elles présentent un rebord oui reste en dedans de la route en fer : enfin la largeur de la voie est de i4 à i5 décimètres.

Je vais maintenant décrire plusieurs particularités d'une route ornière très-remarquable, qui vient aboutir sur les bords du Wear, près de Sunderland.

La mine de charbon d'où part cette route est éloignée d'environ lo kilomètres du point d'embarquenient. Dans toute cette longueur, le terrain qu'on avait à parcourir n'offrait pas de très-fortes pentes; néanmoins , lorsqu'on a rencontré des monticules un peu trop accidentés , on a fait une coupée pour les traverser. La route aboutit sur la côte escarpée qui borde le Wear, par une levée horizontale qui se rend au premier étage d'un vaste magasin bâti sur là crête de cette côte. Ce magasin , long d'environ 5o mètres , sur 25 à 3o^de large, est élevé au moins de 4o mètres audessus du niveau moyen des eaux du fleuve ; il est composé de trois parties longitudinales , séparées par deux rangs de piliers. Les trois planchers du premier étage sont garnis chacun d'une route en fer, allant d'un bout à l'autre du

nu^aaki. Des écoutiEés éf|indtttaiitea fontonvertef Cfnffre W« supports en fer âe cette route. Lei cburlto, ainiviiit ciMrgés de la miné, entrent donc au {Mrémier étage, ft parviennent à des plateanx circnlaires et tournants qrf , respectivement» ont lenr ceAtre snr chacune des troif^ roates en fer. Les chariots font an qnart de eonversion sur cea plateanx drcnlaîres ; puis on le^ conduit à la' main sur les routes longitudinales de cet étag^, jusqu'à l'aplomK d'une des écoutilles , pour faire tomber le charbon dans tef endroit du rez-de-chaussée qu'on le' désire. Chacune desr trois parties longitudinales de ce rez-de-chaussée, contient une nouvelle route en fer , qui sort du magasin et desœnè jusqu'au Wear. Deux des trois routes sortant du magasin^, se réunissent en une , qui plua bas se réunit à la troisiàme? puis elles se divisent en deux , et se réunisent encore avant d'arriver à leur terme. Les chariots chargés et conduits jusqu'au commencement de la descente , passent d'abord sur un pont de cent mètres d'ouveiture , jeté sur un profond ravin; ensuite ils traversent uif rocher, dans une étendue de près de quarante mètres.

Dans tonte cette partie , la route en fer est composée de plates - bandes simplement' clouées sur des longrines en bois , ayant vingt mètres de longueur.

Le pont en charpente établi sur le ravin réunit la hardiesse et la légèreté. C'est un système très-simple de mâteraux plantés verticalement, avec des traverses et des soutiens obliques pour les consolider. La plate-forme du pont est composée de pièces longitudinales recouverte» par des bordages de navires démolis.

Quand un chariot descend, l'autre monte; ils se rencontreraient à moitié chemin , s'il n'y avait qu'une route; mais il y en a deux en cet endroit; ainsi les deux chariots, pour se croiser, suivent une route différente, puis chacun prend celle que l'autre vient de quitter.

L'ÎBlenraUe eoire les den routes présente , de distance em distance , de gros rooleanx dont Taxe , borizontal , est perpendiculaire à la direction de la ronie. Us supportent la corde qni sert à retenir les chariots dans la descente , et à les tirer dans la montée.

An lias de la roote, les chariots arrivent sur nne plateforme an*dessQs de Fendroit on se placent les navires qu'on vent charger de diarbon. Au milieu de la voie de la route en fer, il j asur cette ]date-forme trois ouvertures : ce sont les bondies d'antant d'entonnoirs en fer , inclinées d'à peu ptèsiS*.

La partie inférieure de l'entonnoir est mobile autour d'une charnière horizontale qui l'unit au fond de la partie supérieure. Les rebords de la partie mobile emboitent ceux de la partie GoLe ; on empêche ainsi le charbon de se perdre , soit vers la droite, soit vers la gauche. Une vanne verticale qu'on élève et qu'on abaisse à volonté, par l'effet d'un levier , sert à fermer la partie fixe de l'entonnoir. Deux pa lans , un de chaque bord de l'entonnoir , sont frappés en haut d'un balcon en bois qui s'avance jusqu'à l'ajJomb de la vanne. La corde qui sert de garant à chaque palan vient s'enrouler sur le cylindre d'un treuil établi sur le balcon ; avec ce treuil l'on hausse ou l'on baisse la partie mobile de Fentonnoir. Par ce moyen l'on place toujours l'extrémité infôriei^ de la partie molnle , à distance convenable de Féooutille par o Fon charge le navire , quoique ce navire s'élève avec le finx et s'abaisse avec le reflux.

Pians inclinés. On appelle ainn les parties de rimte dont la pente très-forte, exige le secours de machines, pour monter ou descendre les chariots. La structure de ces plans est sembbhle à celle des autres parties des routes-ornières.

Yoici par quel raéchanisme j'ai tu monter les chariots sur les plans inclinés des environs de Newcastle, en Angteteire. Ton. ir — MuAB. 4a

35o • -MÊCHA'iriQITE.

Au haut de la rampe ou plan incliné , est un petit édifice composé de. deux murs placés l'un à droite et Taotre à }raiichc de la route , et couverts par un même toit. Sous ce toit est établie , sur des poutres transversales , une grande roue horizontale en bois. Cette roue présente une gorge sur laquelle se plie une £orde an peu plus longue que b descente à faire parcourir an chariot chaîné. Au-dessoni de cette corde et sur le contour de la- roue , Ton ^e an freiii semblable à celui des moulins hollandais : un seul homme le fait agir avec un levier Ce frein est tenu à hanleiir convenable , par des chaînes verticales qui pendent des poutres du petit édifice. Lorsqu'un chariot chargé parvient an commencement de la descente , Thomme qui le conduit trouve un autre chariot vide récemment ramené. Il décrochc le bout de la corde de traction qui avait servi pour remonter ce dernier ; il passe le crochet qui termine ce bont dans la main de fer fixée à l'arrière du chariot chaigé qu'il s*agit de faire descendre.

Avant que ces opérations soient achevées , un chariot vide est revenu de Tembarcadère au pied de la descente ; ]k, son conducteur trouvant un chariot chargé , Ta décroché pour y atteler sou cheval , puis a fixé la corde de traction au chariot vide , et est parti.

Ces préparatifs étant finis à la fois , le conducteur du chariot chargé qui doit descendre , lance avec U main son chariot sur la descente , et monte lestement sur le côté de ce chariot, eu saisissant le levier qui sert de frein à Tune des roues. Ce levier porto à son petit bout un arc de cercle en bois, et de même rayon que la roue contre laquelle il doit frotter quand on veut ralentir la vitesse du chariot. Lorsque le conducteur parvient au bas de la descente, il cric fortement d'arrêter; aussitôt le surveillant du grand frein , sous le petit édifice, fait agir ce frein. £n

suite on répète la même suite d'opérations pour deux nouveaux chariots, l'un vide et l'autre cl^argé.

D'après les principes que, nous venons d'exposer, un cheval employé sur une route en fer, doit mettre toute, sa force pour remonter un nombre de chariots qui ne saui^ait être fractionnaire. Si .U;figure du -terrain oblige à varier les pentes, il faut donc le faire de manière que chaque pente soit celle qui convienne à un tel nombre. Ainsi les routes-ornières doivent se. composer de lignes droites , for? mantun polygone rectiligne, ou, du moins de lignes coqi;be$ dont chacune ait la n^ême pente daus toute sa longueur. C'est d'ailleurs par des expériences bien faites , qu'on, pei^t déterminer les divers degrés d'inclinaison suivant lesquels o il doit, cheminer j

.Aûn de ne pas perdre de temps pour atteler et dételer inutilement, il suffit qu'on donne à chaque partie de rputç ayant une pente constante,' assez de lo ligueur pour former un relai. Le nombre de chevaux. qui serviroût autransport, doit être ! en. raison inverse du nombre des charipts vides qu'ils péuyen^t rempoter jH du temps qji'ils: mettent àiparcourir ce relai ^ soit pour aller, soit pour revenir. Par ce moyen , le mçmenon^bre. de chariots parcourra dans le même espace de temps, toutes les parties du chemin : et nulle part les chevaux ni. Iqs cq^ducteurs ne seront obligés d'attendre, ceux q^i les | suivent pu les précèdent.

Il importe, si^^put.d^ tracer la route avec une telle habileté, ;qu'on .nç .monte jamais. pour redescendre : à moins que les localités ne rendent-ces alternatives indispensables. On évite'parfoib ces-descentes et aes montées , en érigeant à travers dés vallées étroites- et profondes , des bâtis de charpente, hardis et légers , qu'où doit regarder comme de véritables ponts. Ces bâtis portent une plate-forme horizontale sur laquelle passe la route-ornière.

352 IIÉCBA1IIQ1IB.

Il serait facile de continuer les routes - ornières tnr da pouls suspendus par des chaînes de fer (i).

Di\u<; les endroits où le terrain ne présente que dct oachiLtii ns peu prononcées, on pourra, suivant les cas, i;M*nirr des routes horizontales , ou des relais à pentes consi.mtes • 1°. par des déblais et des remblais bien étudiés, afin d'abréger la longueur du chemin ; q*. par des détonn et des déviations générales qui satisfassent à la condition de la moindre dépense dans la construction de la route , afin d'obtenir , quant aux transports , des avantages déterminés d'avance. A cet égard , les principes sont les mêmes relativement à toutes les espèces de routes.

JJ n caractère particulier des routes-ornières destinées à conduire des chai]g;ements suivant une direction qui reste toujoura la même, c'est qu'on peut, au moyen d'un j^an incliné , s'élever subitement à toute la hauteur nécessaire pour n'avoir plus qu'à descendre jusqu'au point d'arrivée, en suivant la pente la plus économique.

Si la quantité totale des transports est la même , dans l'allée et le retour, il ne faat pas combiner les pentes aui dépens d'un sens, afin de favoriser le sens opposé. I^ seide condition qu'on doive chercher à remplir, est d'abaisser les points culminants et d'adoucir toutes les rampes , sans pour cela rendre la route trop longue , ni trop dispendieuse. Ordinairement, on établit cote à c6te deux routesornières ; l'une pour aller, l'autre pour revenir.

l^assons ^ la structure des routes-ornières en fer. Elles

(i) M. Stevenson propose de faire franchir les ravins étroits et profonds qui croisent la direction des routes en fer qn'il a piojetces, par un châssis de suspension sur lequel on placerait les chariots. Le chAssis avancerait, avec le secours des poulies , le long d'uu plan incliné composé de chaînes ou de barres en fei , tendues depuis un bord du ravin jusqu*à l'autre bord.

OIlZli;ME LEÇOll. 55S

sont distingaées en deux espèces , d'après là figure dé l'oN nière. Les tmtn^wetfrs on plates-ways y ùrnières-ptates Sont composées de plates-bandes en fer conlé. Un rebord saille en dessus , le long dn debors de T ornière ; en dessous , une nervure donne à la jdate-bande assez de force pour supporter sans se rompre , le poids de la roue des chariots : cette roue cylindrique porte à plat sur l'ornière. Les edge-wajrsj ornières en reliefs sont formées d'une plate-" bande posée de cbamp , grossie et arrohdie en dessus { là roue du cbariot présente une gorge comme cellËf; d'itiië poulie , pour emboîter l'arrondi du barreau. Les brnièreé plates ont ce grand désarantage^ que le frottement eét beaucoup augmenté par la terre , la poussière, le saMe oti les cailloux qui tombent et s'arrêtent sur le plat de l'ornière. Les ornières en relief sont exemptes dé ce grave iù» convénient. Toutes'cboSes égales d'ailleurs, elles sont tms^ ceptibles de porteries poids, les plus considérables; àbiisi les emploient -on de préférence , pour les grandes exploitations. Elles sont surtout adoptées dans le pays de Ckdletf; Aux environs de Newcastle on se sert encore généralement des ornières plates* > . |.

Les barreaux qui composent les ornières en relièf^ottit en fer forgé , larges d'environ 4 centimètres ; l'épaisseur verticale , toujours plus grande que la largeur , est proportionnée aux charges à supporter. Non-seulement Tornière en relief occasionne moins de frottement ; mais , poids pour poids, elle résiste à de plus fortes charges, que ne fait l'ornière plate, soit à raison de sa figure , soit parcequ'elle est formée d'une matière moins fragile.

Mt Stevenson recommande une route^omière eil relief qui puisse porter deux tonneaux, y compris le chariot; le fer de cette route pèserait soixante kilogrammes par mètre courant de double ornière finie. De moindres di-

594 f- MÉGHANIQUE.

mcnsions 3erai^nt à la rigueur suffisantes \ mais , pour une route publiqjue , les ornières doivent être plus solides qu'il n'est strictement nécessaire. On évite par-là de fréquentes ' réparations, sans aocroître la main-d'œuvre de première pose.

D'après les renseignements qu'a recueillis M. Qallois , il suffit de donner à chaque barreau d'une ornière plate , imèt.^gQ ^Q longueur (i). Deux, barreaux et leurs supports pèsent de 4o à 5p kilogrammes, pour les routes-ornières en relief destinées aux gran'ds chariots; a5 kilogrammes pour dqs, ornières plates destinées au transport fait par des qhevaux avec de petits chaciots ; et 1 8 kilogrammes seulement , si. le transport n*a lieu qu'avec des chariot traînés par des hommes.

La pose et la consolidation des ornières, mêmes, sont un objjet essentiel dans la construction des routes oifnièrc^^ Goncevojis , en effiçt, qu'à cause 4e mauvaises dispdsitionsi ou d'un défaut des localités, quelques supports s'enfoncent d^ 3*centimjètres seulemejat , par l'effort que feront sur eux les roues. des chariots chaînés. Dans ces parties,; un bar* reau. d'ornière pourra facilement prendre un, soixantième de pente. Alors, pour traîner les chariots, il faudfa plus du. fiquble de la force employée quand la route était ■ h<>rizontale.

(i) Cette dimension et toutes les autres varient suivant Im na«> ture de^ lieux et le genre des transports : en voici que je dois encore à M. GaUoîs, auteur d*un Mémoire plein d'intérêt, sn^. les chemins de fer. — Les barreaux placés de champ pour les routes en relief, ont B9 centimètres de longueur, et 33 millimètres de largeur : ils passent sur des traverses en bois ou en fonte ^ caUëeS ou. portées ellesrmdaies par des des en maçonnerie. Les birrèaiu: des routes plates ont imèt.^3 c[e long et o">^^,8 de largeur, pour la ■ partie sur laquelle court la roue ; Tépaisseur de cette partie =o"***,oi5. Le rebord a o"»*'-,o54 de haut et o™***,oi d'épaisseur moyenne.

Dansrles premiers temps, le -système des rotttfee-b'itiières en 'fei: , malgré tous les avantages dont il est suscèt^tible , resta sans fruit :itéel, J»Poe qu'on' ne» sut' p&SsùiAttoiBitfeiTUes difficultés . de ce; genre' ( i ) v On • petdit des sommet considé*^ râbles, pour avoir fait servir «omin^ toppopts , des j^ierk^èè gendres et' friable» qui:,' placées ail Irais du ^sol', étaient Sujettes à toutes les variations de température- et d^b5^grométrie de l'atniospbère. ' « ">'■ '•» " ' i ' » '•

- Afin d'obvier à cet4((lcônvénieiit ^ on a pîris le pâtti de soutenir les ornières pâf des kriàdrierii'tt^hki^ifaàxenf fer coulé; les aboufs des pièces d'ôrtiièi'e sont iâieTiUés sur les e:itrémités de ces madfter». ' i ; • II'

Il paraît que , pour les 'routes , l'einploi dn fer forgé présente beaucoupplus d-avantagés que l'emploi du fer coulé. Les ornières en fer forgé ne sont pas , comme celles en fer coulé, sujettes k se casser par lies ressauts des cbariots, lorsqu'une pierre ou quelque petit caillou se trouve jeté sur Tornière. Depuis plus de buit ans , une route enfer forgé sert aux travaux de Tindall Fell en Cumberland,' où l'on voit aussi deux routes en fer coulé. Or la première est en tout d'un meilleur usage ; on l'a trouvée à la fc^is'pltis économique dai^s sa construction et dans son' entretien. Des expériences comparatives faites ''aa même sujet , en Ecosse , ont conduit à la même conclusion.

Voici comment M. Stevenson , dans un de ses projets^ calcule la largeur d'une double route-ornière.

Deux entre-ornières de i"^,3. .!"..... a'^jô < Distance entre les deux routesy . . . . . :. .'a«^,a' Débord de chaque çqté , pour le sentier de conduite, les ruisseaux, les garde-fous, etc. ,

(i) 'Il faut avoiier aussi que la nature et la tenaeité du sol 6ht une grande influence sur la solidité de la rokite.

596 MiGHAVIQUE.

!•*»•, f 5. , a^'^^jS

i TOTAL Ô""*^,!

On peut former par empierrement à petits fragments couverts de gravier, l' entre-deux de cliaque paire d'ornières. Quant au sentier destiné pour les conducteurs, on le consolide f suivant les localités, ayecdu gravier, on des scories, ou du charbon fossile , etc.

n existe une troisième espèce de routes dont les ornières en fer sont tout-^-fait plates , sans aucun rebord , sans nervures , et simplement incrustées au milieu d'une route or* dinaire ou d'un pavé , au raz de cette route on de ce p«iTé« Un tel système convient particulièrement à la circulation dans les rues et sur les places d'une ville , où des yoitores de toutes les formes et de toutes les grandeurs croisent à chaque instant la voie publique , sous les directions les plus variées. On a fait usage de ces routes-ornières dans lu ville de Glasgow , pour la grande rampe qui conduit au bassin dn canal de Forth-et-Gljde , sur le port Dundas. En mentant cette rampe , un bon cheval peut traîner jusqu'à trois tonneaux , et travailler journellement avec un tonneau et demi de charge.

On a proposé d'employer les ornières plates dent nona parlons , sur les grandes routes ; particulièrement dans les rampes fort inclinées. Ce moyen dispenserait de prendre des chevaux de renfort en arrivant à ces rampes , on d*étre obligé de déchai^^er en partie les voitures , pour franchir les montées suivant lesquelles le roulage serait aussi facile que sur une route horizbntale ordinaire.

La fig. 3o , (a), (b) , (c) , représente , dans ses détails , le tourniquet placé vis-à-«vis les reborda d*nne ornière en fer. La fig. a i représente une double route-ornière avec les roues et les essieux de deux charriots. La fig, aa représente une double ronte-tornière croisée par une entra route.

De la i^is ^ des torsions ^ des cordages; du coin et des outils qui s'y rapportent.

Poru compi*endre cette leçon , il fkat >i*cvoît avec attention la leçon XH*., Géomoétrië, qui traite des lignes et des sur/aces spirales.

Rappelons en peu de hiot^ leB propriétés géométriques de ces lignes et de ces sdi^fkdef^. L'hélice OU/ Spirale cylindrique est une Kghë courbe , tracée sur le contour d'un cylindi^(5^, de manière à faire partout le mênie angle aVÀî les arêtes de cte eyllndre. Quand le cylitidWr e^ tellemenf posé que ses arêtes^ sont veW:i6alés\

l'hélice fait partout le même angle avec là verticale : sa piehte est cohstànté. .

Si l'on suppose qu'une llgiie droite' dont nnclin^ison soit aussi const^iité, se meuve le Ibn^ de l'hélice^ en faisant tonjdùrs le même àhgfe avec cette courbe , elle va former une surfktë spirale. Le plan tangent à* cette surface spirale est également incliné par rapport à la verticale, pour tous les points de l'hëlice.

Si l'on veut qu'un corps descende ou monte le long de lîiélice, en 3'^puyantsur la surface

T. II. MÉCHAN.

338 WÉCHANIQUE.

Spirale, il se mouvra comme il le ferait le long (l'un plan incliné, sur une ligne droite ayant pour pente celle de l'hélice : ce plan même ayant pour pente celle de tous les plans tangents à la surface spirale.

Soit AMo^, fig. I, le développement du cylindre sur lequel on a taillé la vis à filet triangulaire, fig. 2 , ou la vis à filet quadrangulaire^ figr 3. Chaque tour de filet se développe , fig. i , suivant une ligne droite dont la longueur est constante , iB = cC == dD =

Un cprps pesant qui serait assujetti à descendre ou.à.mpnter sur une de ces droites, sur iwM, par exemple, s'ilétait retenu en équibre par une puissance P horizontale , offrirait cette proportion : .La puissance T? est au poids du corps , connue ia hauteur mo du pas de la çis est à oM qui égale la tiircpnférence du cylindre sur lequel est tracé leJileU, . . ..

Ces préliminaires exposés , examinons Tusage que Tou fait de la vis.«On la combine avec Técrou, qui présente en creux le même cylindre et le même filet que la vis. Tantôt on fixe à cet écrpu une roue à chevilles , pour la tourner, comme on tourne la roue du treuil ; tantôt on fixe à Técrou un ou plusieurs leviers comparables aux barres du treuil et du cabestan.

D'autres fois on se contente de laisser à la tête de lecrou sa forme quarrée ; puis , avec une clef

> DOtfZlÈME LEÇON. 33^

présentant un quarré creux de même "dirhen-^ sion , on emboîte l'écrou j^aitr le- faire tourner, soit dans un sens, soit dans un autre.

Ainsi que nous l'avons fait observer, Géométrie, XIl^. leçon, il y a des vis et des ëcrous tournés à~ droite , fig. 2 et 3 , ejui sont le plusr employée; il y en a d autres tournés à gauolie. Une vis tournée dans un sens ne peut pas ew^ boiter dîïiis im écrou tourné en sens contraire.

On forme deux systèmes de vis et d^écroùs.

I. Système à écrou stationnaire. Dans ce système on fait tantôt avancer , tantôt reculer la vis, en tournant dans un écrou qui n'avai>ce ni ne recule. Alors la puissance est fixée à l'une des extrémités delà vis. Cette extrémité, qui d'ordi-» naire est quarrée , reçoit le nom de tête de la vis..,

II. Sjsùme a vis stationnaire. Dans ce système, lavis est obligée de tourner sans avancer ni reculer ; c'est l'écrou qui devient mobile le long de la vis^

Pour ces deux cas comme pour l'équilibre du plan incliné, auquel nous avons ramené l'équi-» libre de la vis, & puissance et la résistance a laquelle elle peut faire équilibre , sont dans un rapport inverse des espaces parcourus , durant un même temps ^ par ces deux farces.

Mais , quand la puissance fait un tour complet autour de l'axe-^ elle parcourt une circonférence ayant pour rayon la distance de l'axe à eette

34o MÉGHANIQUE.

puissance; et^ durant le même temps, la stance agissant parallèlement à l'axe , parcourt un pas de la vis. Donc, la puissance muliipliée par la circonférence qiielle parcourt ailtour de Vaxe de la vis , e^ale la résistance multipliée par le pas de la ns.

Ainsi y plus le pas de la vis est petit et plus est long le bras de levier au bout duquel agit la puissance , plus, avec une puissance donnée, on peut faire équilibre à une grande résistance.

Quand les vis et les écrous ne sont pas exécutés avec une extrême précision , dans certaines parties il y a du vide entre la vis et Técrou ; dans d'autres parties il faut que les filets en relief se compriment, ou que les filets en creux s'élargissent, pour que le mouvement puisse avoir lieu. Aussi les instruments qu'on emploie pour tailler les vis demandent-ils une rare exactitude, de formes et de mouvements.

Il y a deux genres d'actions exercées sur la vis et sur son écrou, quand on les soumet à VéSovt d une puissance , pour vaincre une résistance.

Un premier genre d'action tend à rompre le filet de la vis , par une force de pression exercée parallèlement à l'axe : force égale à la résistance même que la vis produit^ soit en poussant, soit en tirant. Cette force se décompose en autant de parties qu'on peut concevoir de pointa de contact entre la vis et l'écrou. La partie de la

DOUZIÈME LEÇON. Sjt

résistance trausmise en chacun de ces points est en raison inyerse de la surfece des^lets , estimée perpendiculairement à Taxe : surface pi'oportionnelle à la saiUie des filets, po«r une nierai longueur de filets. Mais, il est une saillie qu'au ne peut guère dépasser sans s'exposer à voir les filets brisés au moindre choc. Lorsque le profil de ces filets est un triangle, on préfère ordinal* rement le triangle dont les trois côtés sont égaux. Quand le profil du filet est un rectangle, on lui doisne autant de largeur que d'e'paisseur, c'est-à-djre qu'on en fait un quarré. On distingue les deux vis ainsi formées, en disant que la première est une m a filet triangulaire^ fig. 2, et la seconde une vis a filet quarré^ fig. 3.

Lorsque les vis n'ont que des efforts médiocres à supporter et des résistances médiocres à vaincre , on les fait en bois. Il faut choisir une espèce de bois telle que le buis, le hêfre, le poirier, dont les différentes parties aient entr'elles une liaison suffisante dans le sens longitudinal. Néanmoins , ces vis sont exposées à ce que leurs filets s'ébrèchent facilement ; c'est un grave inconvénient auquel ne sont pas sujettes les vis exécutées avec des métaux.

Les vis métalliques ont d'ailleurs le grand avantage de pouvoir supporter une résistance donnée, sous un volume beaucoup moins considérable.

34^ MÉGHilNIQUE.

Il serait difficile d'énumérer en détail toutes les applications qu'on fait de la vis , dans l'emploi des machines. Elles servent particulièrement pour exercer de fortes pressions. Telle est la vis appliquée à la presse du relieur , pour comprimer les feuillets des livres.

Les verrais ont aussi pour objet d'exercer de grandes pressions. Dans ces machines , Técrou est fixe et se prolonge comme un. tronc de pyramide quarrée, dont la base pose sur le terrain^ La vis est mise en mouvement par un ou deux bras de levier. (Voyez la fig. 4«)

Toutes les fois qu'on a besoin de tenir forte-^ ment comprimés l'un contre l'autre deux corps solides, on les fait traverser par une cheville ou boulon, fig. 5, qui, d'un coté, présente une tête saillante servant de retenue; et, de l'autre côté', un certain nombre de tours de filet de vis. Quand on a fait entrer dans le trou, pre'paré d'avance, la cheville ou le boulon qui doit traverser les deux corps qu'on veut unir, on engage un écrou autour de la vis ; on serre cet écrou avec une clef quarrée, semblable à celle dont nous avons parlé , page 338. Par un tel moyen , dans la charpente civile et. dans la charpente navale, on joint ensemble un grand nombre de pièces importantes.

Il y a des vis formées de filets élastiques et isolés, tels que certains ressorts de voitures.

qu'on appelle ressoru a boudin. Voyez XIV*. et XV*. leçons.

La vis peut être considérée comme un cylindre denté. Aussi fait-on usage de ce cylindre, pour communiquer -du inouvement à des roues dentées. Tel est le système de la vis sansjîn.

On fait usage de la vis sans fin ^ dans un grand nombre de machines ; par exemple > dans le tourne-broche. On peut combiner la vis sans fin avec le treuil ou le cabestan, etc.

On conûlbine la vis avec la roue dentée par engrenage, ainsi qu'on le voit représenté, fig. 6. Par ce nioyen l'on transmet le mouvement d'un axe bc^ parallèle au plan de projection, à un autre axe représenté, par le point o , et perpendiculaire à ce plan.

Soit F la fo^ce appliquée à la manivelle cpp\ au bout du bras de levier^/?; soit y la force transmise; en m, par la vis jsans fin, à la roue dentée dont le/rayon égale mo* Enfin, soit R la résistance agissant au bout du bras de levier no.

Nous auroîis i j

o /• Circçnf. d^cr« par la wanjv^ ^^ -r» . » t> ^^ r

*^ ras de vis. . • ' no •^

T^ Tfc '"0 ^ ^ Circonf. décrite .par la manivelle . ^ ■«?

Donc R = — >^ — r. ■" / .■ ' X F,

no ^ Pas de vis

égalité qui donne le. rapport de la puissance à la résistance.

344 MÉCITANIQUE.

Uu second genre d'action exercée sur la vis et sur son écroii par la puissance et la résistance, tend à produire la torsion de la vis et la torsion de Vécrou, Pour nous former une idée juste de ce genre d'action, considérons un faisceau de prismes égaux entr'eux, tels que des fibres végétales , formant un arbre par leur i^éunion;. Supposons qu'on veuille tordre cet arbre, en appliquant à ses extrémités deux forces F, y, fig. 7 , qui soient perpendiculaires à la direction des fibres, et qui tendent à tournet en sens contraires. Si l'arbre cylindrique n'est point parfaitement rigide , et l'on n'en connaît aucun qui possède une rigidité parfaite , it va céder k Faction des deux forces. Une de ses bases va tourner dans le sens de droite à gauche, tan^ dis que l'autre base tournera dans le sens dé gauche à droite. Supposons que , dans toute sa longueur, cet arbre ne présente^ qu'un' même degré de résistance. Supposons, de plus, tracées différentes sections faites par des plans paraK lèles aux bases, et à égale distance; la première aura tourné par rapport à la deuxième j du même angle que la deuxième par rapport à La troisième, que la troisième par rapport à la quatrième , et ainsi de suite. Donc les points qui sur chaque base formaient d'abord une fibre rectiligne, forment ime spirale par l'effet des deux forces agissant en sens contraires , en des

D0l?2lèAtS LEÇON. ^4^

poiutd diiFéreïits de là lôngueili* de l'arbre. On appelle totsidn eette dj^omûâtioâi

Si ies fibre», m lieu d'élrô^dhénsmed i ëint libres de gloser Tune tcniite l'autre, 6u du lûôins, ne soi^t iretenue^ iiû^ pâi^ le frotteti^ent^ alors la totsiôti d'un cylindre ôu faièCeaû , ft^r-» mé pal" là réunion de ces fibreè, eét celle qii'otl produit par la fabrication de^ cordagesi

Ou peut demander quelle eét la réâistêine^^ qu'opposent à la torsion, des arbreé qui diffèrent de diamètre, mais qui sont de même substance» Pour résoudre aisément cette question, il faut ôoncetoir deux cylindres infiniment minces et d'égale minceur > ou , pour mieux dire , dont Vé* paisseur infiniment petite soit égale , qui dif^^ fèrent de diamètre , et qui , d'ailleurs ^ aient la même longueur. Appliquons tangentiellement k ces cylindres et dans le plan de leurs baàesy des forces qui tendent à les faire tourner en sens contraires / et par consëquent à les tordre* Pour un même angle de > torsion des fibres dirigées suivant les arêtes de ces cylindres, il Êiudra la même force afin de tordre des fibres de même volume. Mais le nombre de ces fibres est proportionnel à la circonférence des basesJ Donc: lo. pour tordre les deux cylindres creux: infiniment minces , de manière à ce que leurs fibres fassent le même angle avec leur direction primitive , il faut employer des forces qui soient

T. II. MSCBAM. 44

346 MÉCIIANIQtE.

proportionnelles aux circonférences des bases ^ et par conséquent aux rayons des cylindres.

Supposons qu'on ait un arbre plein et cylindrique , divisé par la pensée en cylindres creui^ d'égale épaisseur , et tous concentriques ; supposons, de plus, qu'on imprime une mémei torsion à tous ces cylindres , de manière que chacun de leurs points situés dans une section perpendiculaire à l'axe, conserve sa position relative. Il est facile de voir qu'après. la torsion, l'angle formé par les fibres, avec leur direction primitive , sera proportionnel à la distance de ces fibres à l'axe. Par la torsion , chaque fibre exerce pour se détordre un effort proportionnel au rayon du cylindre où elle se trouve , et l'exerce par rapport à l'axe, avec un bras de levier égal à ce même rayon. Par conséquent, la force qu'il faut employer pour la torsion de chaque fibre est proportionnelle au quarré de sa distance à l'axe. Il suit de là que la force totale nécessaire pour donner aux cylindres un degrér de torsion , pris pour unité , est proportionnelle à la somme des moments d'inertie de leur base , par rapport à Taxe; c'est-à-dire, proportionnelle à la surface de la base du cylindre, multipliée par le quarré du rayon. Donc , si les rayons sont :

1,2,3, 4» 5, 6, 7, 8, 9, io,.«t

Les nomb. i, i6, Si, 356, 6a5, 1296, 3401 1 4^^» 6563^ 10,000,..»

indiqueront le rapport des forces qui peuvent

produire ïiiri mèinû^ degré de'tdt'àiori, pbXar lelï divers cylindriB&' ayant \xm '\ohi^ùem àonr^é entre les forces qui les sollicitent â ki" torsioftr.^

Soient deux cylindres , de différent Tsiybn >, R*i ûg. 8 et j) , sollicités à !a torsion , lé pÉerâfiei* par les forces égalés;^ y'Vï^ second* jibr îès-forcfek égales F, F'i Les distances ^5^, MQ , de ci?s fbrcesr étant égalèSyqhànd on àiii-a ■ ' i ''' '''. ' ' /: r ï'f Sdrf. mns X >" : Srrrf. MN9XR*, '■"'"' les angkd- de torsion mon , MON, serôiït égaux : oij'O,' sont lés centres des bîrôés j donc

•i '■■■ '■ ■■'■•y>in:im :: r : H. ' ••-•■;•■•-■'

Si l'on voulait prendre MTf =/w/î, efttyrdi^c le gros cylîiitiVé de 'tnariière à faire àWiVéi* en QN' là fibre QM i elle formerait atéc sâf direction primitive MQ , le liiiéme angle qiie la fibre çn avec la direction pripiitive m^.[S6ii F la force nécessaire pour tordre le grand cylindre striVatît la direction QN'; on aura / l

■F^rF-: MN : MN": : R rr, d'où F ='-FJt*'r

• ir • jf Sorf. MNS • . R«

. . .:ipau F..=/.. ■■..'. .., X ^> .:. .. ^, '.J

Si • riridlin'aiscftf '^/i est suffisante pottr prtH iiii^è' ifetfteîtièiîVbti là digonctîon des "ÔM^ du petit cylttfdt'è^jla Wémé inclinaison QN' doîinée par la'FcJi'cè-F, produira le même effet sur lé cjMtidfé ? donc les forcés f, F, qui pra-

diii

348, |IÉ€UAIfIQU£.

puisent la, rupfwe: des cylùidpet ^ éij^renu dUmècrey sont prQportionnçlUs à I0 sw^fkce^ des bases ,, multipliée par le rayon de ces kwe^ A Ilésultat d'une simplicité rexparquable^

Au nvoyen des rapports que nous, veoom 4'indiquer, il sera toujours facile , qua^d on connaîtra la résistance dont un arbre i^sl susceptible, pour uner dimension dét^roi^ée*, ^ calculer \d^ rësislbançe dont est susceptible un ^rbre de même nature ayant d autres dkneiisioQQ, On conçoit coç(ibien de pareils ré^tlUat^ pjQt d'importance pour fixer les dimensions que dpîveqt avQÎr les arbres, des machines ; par exemple ^ les arbires- du treuil et du pihestan , Ies( ^bres. d^ couche employés à tra^n^mettre la force dç3 machines hydrauliques , d^ mgchiAei^ à vapeur, etc.

La force de torsion des bois vsu^ fliU^Taot l'état de l'atmosphère , et suivant la ijiiitji)^ 4^ chaque espècp d'arbres. Lorsque le, .temps devient plus humide,, les bois résistent davantage à la torsion , et lorsque Ié> tetti^ devient plus sec 9 ils cèdent, au contraire, avçcplus de facilité, aux forces qui les sollicitent à la torsion. Ce résultat , qui sembla contraria, ^es:i4é6$ qvnçiyj^émçnt. reçue?. , est démontré pv.;i|e» «oift*breuses ejçpérieqcçs que j*ai fjaites; 3iir i» tPWÇA des bois, et cjue je ne puis repcoduiiçe îck

Tor:{ion des cordages. Nous pcmyjt^if VWfjk^

tepant dimoer iwe des applications les plus im-' portantes quVCfreat leis propriétés des spirales. P'après ce que nous avons exposé dans Is^ XIP. leçofï , 04OMÉTB1E , on a vu que chacun des fils donjt se ÇQfnpose un cordage, se plie^ paj* la torsion ^suivaat uufÇ spiral^ ; et (jue tautesi ces spiraleiEr puctpe^ur axe commi^n l'axe méinq du cordage 9 e'est-à-diçej la ligne (|uî se tmuve,^ eu tou^ poûat^, également éloignée de lacircour iévej^qd;4^ eorda^ supposé: drqit. Tous les &h qi^ se t^puvQut également éloîgués de l'axe onb ^np mén^e longueur , entre deusi sections faites» perpendicijiliaireaiept à l'axe. Mais les fils placés à diveiises distances de l'^xe n'ont plus la piéme l):)ngueur, et cette longqeuir.crjoîa à mesure que la.distance à Ifaxe augipente. Pour se former une^ idée juste à cet égard, soient ABCD^ ABÇIV^ AJBC'D'', efcç.,,.fig, lo, des rectwgles tels que,, pour uue hantpw* A£ égale £| la hauteur du^pas: commun des autçes spirales armées par les filsv le^t Ipugueurs AI) , AI)%.AP",.-... représentent la kMQgueuc des.circQEitféreniees desdiverses coiichesi des. âls qui fprmeot le cocdage. Si, du pointB^ l'on mena les obliques BJ)., BD\BD'\... ces oblir ques représeAteront I9 longueur des: parties du^ fil foiunant ua, t^iir opxoplet de spirale, slur les) oi90Qnférei\ce$,quiappa^tiennenti aux jpihis D, !>:,. D", etç^ Toutes. ceS: obliques soot inégales, efc d'aitfanit plus* Ipogaiss qu,'ell^ s'écarteut da^

35o MÉCIiANIQDE.

vantage de la ligne AB, perpendiculaire à AD, Si Ion avait pris d'abord un' faisceau de fils parallèles et si Ion avait , suivant rancienne méthode, tordu tous ces fils ensemble^ sans leur permettre de glisser les uns contre les autres, il aurait fallu que le fil du centre, représenté par AB, se fût comprimé, et que le fil de la circonférence extérieure, représenté par BD, se fût étendu : de manière qu'entre les deux sections AD et BC , les deux parties de fil, qui primitivement étaient de même longaeury se trouvassent réduits à AB et BD. Pour que les^ fils qui composent un cordage fabriqué sui-*. vaut Tancienne méthode, se tiennent en équi-^libre, et que le cordage conserve sa forme, il' faut donc : i^. qu'une portion des fils inté*^ rieurs soient comprimés; 20. que tous Ië3 fil» extérieurs et ceux qui les avoisinent soient allongés ; 3°. que la résistance à l'extension soit en équilibre avec la résistance à la compression. Supposons qu'on tire un cordage , ainsi^ fft* briqué , par des forces appliquées à ses* deuzext rémités ; l'effet de ces forces sera <Fagîî> pour allonger le cordage. Les fibres du centrese trouvant comprimées , les forces que Fouî emploie maintenant tendront à" leur' 'faire- tci-ki prendre leur état primitif, et loin d'éprouver* de la résistance de la part de ces fils , elles scfJ ront, au contraire, favorisées par la comptes^

DOUZIÈME LEÇON. 35i

sion existante déjà« Il ne restera donc plus, pour s'opposer à rexténsion du cordage , que les fibres extérieures et celles qui les avoisinent.

Ainsi, dans la manière ancienne de fabriquer les cordages, il n'y a jamais qu'une partie des fils de chaque corde, qui s'opposent à lextension et à la rupture : ces fils s'y opposent inégalement. Si donc ils ne sont susceptibles que d'un certain degré d'allongement , quand , par l'effet des nouvelles' forces , les fils qui se trouvent à l'extérieur du cordage atteignent ce degré d'allongement, ils rompent sans que les fils intérieurs aient encore atteint le point de leur plus grande résistance. Les premiers fils extérieurs rompus, la couche qui se trouve ensuite la plus éloignée du centre doit rompre; et ainsi de suite, jusqu'au centre du cordage.

En se rendant compte de ces résistances successives, on a reconnu tout l'avantage qu'il y aurait à ce que les fils qui composent un cordage se trouvassent également tendus lors de la fabrication de ce cordage. Par ce moyen, tous les fils résisteraient à la fois à l'allongement. On conçoit qu'un tel effet aurait d'autant plus d'efficacité que le cordage serait plus gros , puisqu'alors lai différence entre l'allongement des fils extérieurs et des fils intérieurs serait d'autant plus grande.

Tel est le principe d'après lequel -. les Anglais

ont imaginé leurs nouyelles machines pour fabriquer les cordages; machines que j ai le premier fait connaître en France , et qu'ensuite nos plus habiles ingénieurs ont reproduites avec des mo* difications qui leur Ëippartiennent , et qui ont donne des résultats d'une grande importance pour la marine française.

Avec les machines que M. le baron Lair et M. Hubert ont fait exécuter dans les ports de Brest et de Rochefort ^ on fabrique des cordages qui ont beaucoup plus de force que les anciens; ce qui rend le gréement des vaisseaux plos lé* ger. £n conservant la même force aux cordages^ on peut diminuer leur diamètre et par conséquent , aussi ) les dimensions des poulies ém^ ployées à manœuvrer ces cordages; ce qtil soulage beaucoup la mâture des vaisseaux.

Il est à désirer que nos ports de commerce adoptent ces principes nouveaux ^ pour £sibriquer des cordages : ils y trouveront , à la fois , les avantages de l'économie et ceux de la force.

Du coin. On appelle coin un prisme triangulaire dont on fait agir une arête coupante, EF, iig. 1 1 , pour séparer deux corps ou deux parties du même corps. Cette arête est ce qtr^on appelle le tranchant du coin; la face ABCD, opposée au tranchant^ est appelée la iéfe da coin ; on donne le nom de colés aux deux faces ADEF,BCEF) à droite et à gauche du tranchant

On se sert du coin dans une foule d'arts, pour couper les corps ou pour les fendre; nos couteaux , nos ciseaux, nos sabres , nos haches, sont autant de coins employés dans les usages de la paix et de la guerre. On doit pareillement regarder comme des coins, les rabots, les tranchets, les bêches, les pelles, les pioches, etc. Le coin est donc une des machines les plus importantes dont nous puissions nous occuper.

Soit un coin ABC , fig. 1 2 , qui tende à repousser , avec la force P , le point E retenu par tine seule force G , et le point F retenu par une seule force K. Demandons-nous les conditions d'équilibre de ce système.

D'abord, quelle que soit la force P, si les forces G , K , ne sont pas respectivement perpendiculaires aux côtés du coin AC , BC , les points E, F, glisseront le long des côtés AC, BC ; par conséquent l'état d'équilibre sera rompu. Donc : |o. G est perpendiculaire à AC et K à BC ; a^. pour que les trois forces P, G, K, agissant sur un coin ABC , puissent se faire équilibre , ib faut que ces trois forces concourent en un même point O , et que l'une d'elles puisse être considérée comme la résultante des deux autres.

Construisant sur OG, OK et OP prolongé,

le parallélogramme Onpq, il faudra qu'on ait

Force P : force G : force K: : Op : On: Og=np.

Telle est la condition de l'équilibre du coin.

T. fl. — Mkcham. 45

354 MEGHAIflQVE.

Les trois côtés du triangle O/;/? sont respect tivement perpendiculaires aux trois côtés do triangle ABC ; donc on a ^ Force P : force G : force K : : AB : AC : BC*

Quand les deux côtés AC^ BC, du coin sont égaux, fjg. i3, il faut donc que les résistances G et R , proportionnelles à ces côtés , soient pareillement égales entr elles. Un tel cas se présente fort-souvent dans la pratique. Ainsi les deux côtés des couteaux,, des haches et des sabres sont en général symétriques. Alors la puissance est à la résistance éprouvée pour repousser chaque côté, comme la largeur de la tête du coin est à la longueur du côté.

Plus les coins sont aigus, plus leurs cotés sont longs, quand la tête reste la même; plus la tête est étroite , quand les côtés restent les mêmes. Voilà pourquoi l'on fait , avec une puis* sance donnée, équilibre à une résistance d'au-* tant plus grande que le coin est plus aigu : et pour détruire une re'sistance donnée, il suffit d'ime puissance d autant plus petite que le coin est plus aigu.

Au lieu d'une seule force EG ou FR, appliquée à chaque point E ou F, si l'on en avait deux , c'est la résultante de ces forces qui devrait être perpendiculaire à la face AC ou BC correspondante; rien ne serait plus facile qu? de résoudre ce nouveau problême»

DOUZIÈME lEÇON. 355

Joignons les points d'application E et F, û^. 1 3, des résistances EG, FK, par une ligne droite^EFA' ; projetons , ensuite , EG, FK, sur la ligne gEF/c^ par les perpendiculaires Gg- , Kk. Alors , I^ et FA: représenteront les forces qui tendent à écarter les points E, F, Tun de l'autre.

Quand les cotés AC , BC , sont égaux , fig. iS , les résistances EG, FK, sont égales, la ligne EF fait le naême 'afagle avec les directions EG et FK j donc alors Eg' et F/c , résistances latérales , sont égaleç entrWes.

Supposons qu'outre la force P , fig. 1 1 , perpendiculaire ati tranchâtit EF, ïë coiii soit poUssé par une force Q parallèle^à'èè tranchdnt. Le fcoîn s'enfoncera comnie à*il' n'éprouvait que l'action de la force P; il se mouvra dans le sens du tranchant , comme s'il n'éproîivâît que l'action de Q.

Voilà ce qu'indique la tfcéorie , pour des cotps dont les diverses parties auraient une cbntiimité parfaite ; mais^ dans la nature , les corps n'ont pas cette contitnnté. ' Il fdut considéréi* leurs aspérités extrêmement' petites et souVént

imperceptibles à la vue . siinplé', comme de petits coins saillants iiùf[jtahtés à là'surïa'cfe. / ' Lorsqu'on ptesste le'^coiri^sur mi do'rfis pi'ûs ou moins compressible^^ icë cor'pi cède à la pression ; et la résistance augmente d^autant , parce qu'elle multiplie les pointa de contact entre le coin etice corps« , ' •

Lorsqu'on fait glisser le coin sur le corps , chacune des aspérités de sa surface devient, comme nous l'avons dit, un coin particulier qui tend k s'introduire dans ce corps avec tout l'avantage de la puissance sur la résistance , qui peut être donné par la forme plus ou moins aiguë de oes aspérités. La puissance est donc employée d'une manière beaucoup plus avantageuse dans ce système 9 qu'en faisant pousser le coio par une force perpendiculaire à la direction de son tnuQ« chant. L'expérience montre l'eflet de ce grand avantage , dans une foule de travaui^ des arts.

Nous pouvons rendre sensible notre expli» cation en citant une machine qù les aspérités sont façonnées exprès par l'industrie. La machine dont nous voulons parler e$t la j)nS& Imaginons une plaque métallique A6CD, fig. i6 , dont le côté CD soit taillé de manière à présenter une suite d'angles égaux a, a, a, eta Employons alter* nativement deux forces égales Q , R, pam tirer et pousser la scie sur un corps MN, tandis qu'une troisième force P, laquelle , souveiit n'est autre chose que le poids de la scie , agit dana^ une direction perpendiculaire. Nous aurons l'idée du coin composé ^ dont on fsàt usage pMinr scier les bois, les métaux et un grand nombre d'autres substances.

Si l'on voulait diviser ces bois ou ces métaux avec une lame ABCD, fig. i6, immobile, et

D0U2UÈllt£ LEÇON. 3Sj

sur laquelle on ferait agir un ipoid» extrêmement considérable^ il serait généralement imr possible de divi^er^ le corps. Mais , avec une somme d'efforts tres-imodéréet^ on parvient à. le diviser^par un mouvement de y» et vient, semblable à celui de 1^ scie, ■

La figure deç angles. ^ailUnt9 a,!^, a, quoa appelle les dei^x/fi la ^çie^ n^est point indif£é^ rente; elle varie ^i^iyaiït lar Balure et la dureté des substances qu'on emploie» ^. y:-r- ^

Lorsqu'il s'agit de scier .^es eorps très^drmps, on. a soin.dç faire les deiit^ petites^ etipar conséquent rapprçycl^fis ; q^enbe d'ellesi tétant destinée à enlever^.àcbaqu^mouveiiàeatitâe la scie , une pprtion peu coneidériible du corp^ très-dur. Iypr$qia'îLest qi^estion fin contraire Àid ;5cier des cprpfi p^ 4^sist£wl[»,iGin!:agrafidtt:les dimensions dés d^te^ f.et: :SPm^9li;t au* iieu.cfè leiir donne^. la,,%jvw^i^up ^iig^b rectiligne, on leur doi^na un^].^gure! cniipbée telle i^<oa la vpit représentéetianp'|gi:fig.:ïî7« w :■ ;

La sciet emplpy^;^/4iy#^er te piérro; èt.ils marbre, Jfig, j.Syjae pré^nt^; pas dé dents -a»i

tificiellement pr^par;4$^f >Q'i^ lUnè) simple kme d'acier qu'on tire. e| p^usjwtflwJeibteic.qrfilAut refendre. On ,$upp)éÇ::^^:iç fiente de k; seie/par du sable siUcçujÇpj dqftt; le^-arètefr aiguës fiottt Toffice de c9if\ç.;;pQar7seîer l«-gi7«i]itvon rei»* place ie. sabl^ j^'(iyE|;|'^0i«bi Ipft

358 MâCHANIQUE.

«a pas besoin d'être très-dure, et pourrait être en fer. On pourrait , de plus , introduire iDoins rnaladroitement qu'on ne fait y le sable ou Téméri jusqu'au tranchant de la scie.

Non-seulement on forme des coins dentés à tranchant rectiligne, on en forme dont le tranchant est circulaire y et d'autres dont le tranchant présente des courbes très-Tariées.

Les scies circulaires, fig. i8 , ont leur contour hérissé de dents semblables : l^ à celles de la fig. 1 6 , pour scier des corps très-durs; a®, à celles de la fig, 17, pour scier des corps peu résistàntsl La fabrication dés scies circulaires exige bcaucouji d'habileté dans la treinpe des métaux c|û*on emploie ; mais ce n'est pas ici le lieu de décrire ce travail. On fait ordinairement les petites sciés circulaires avec iine seule feuille d*acîer que l'on monte sur lin essieu en fei*.

La scie dé long a l'inconvénient de toutes les machines dont- les mouvements sont àller-^ natifs. Chaque fois qu'elle rétrograde, le temps employé à cette *re'trogradati6ri est perdu pour le sciage* Mais nul instant n'est perdu 'dans le mouvement de: la scie circulaire , laquelle opère avec continuité et totijours dans le même séns^

Pour que les sdes circulaires produisent wi effet très-avantageux, il faut qu'elles soient animées d'une vitesse extrêmement considêrablél On observe , alors , qu'il suffit dé presser fbrt^péu

contre la scie le corps qu'on doit scier, pour voir ce corps divisé avec une rapidité et une jEacilité singulières. Les scies circulaires qu'on emploie ont leur essieu établi parallèlement à la surface horizontale d'un établi et encastré dans cet établi; de piànière que le plan de la scie soit perpendiculaire au plan de l'établi. Lorsqu'on veut travailler des tringles ou prismeà dont toutes les faces sont d'équerre, on présente les pièces de bois que l'on veut débiter, de manière qu'une de leurs faces, déjà dressée, se meuve sur le plan de l'établi , tandis qu'une seconde face se meut tangentiellement à un guide fixé parallèlement au plan de la roue , et à la distance convenable. En faisant avancer la pièce de bois qu'on veut débiter, il est évident que le plan de la scie y trace une section parallèle à la face plane qui s'appuie contre le guide. Cette face taillée, on l'applique elle-rmémc contré le guide , et elle sert à tailler une nouvelle face dans la pièce qu'on veut débiter. C'est ainsi qu'on parvient à former des tringles quarrées ou rectangulaires, dont les épaisseurs sont données. Ce travail s'exécute avec beaucoup d'avantage , lorsqu'on doit débiter un grand nombre de tringles ayant même équarrissage.

Les arsenaux de la marine et de l'artillerie , et tous les grands ateliers de constructions,'peu vent faire le plus utile usage des scies circulaires, qui

36o MÉGHANIQUE.

commencent \ s'établir en France, où je les ai le premier apportées d'Angleterre.

Nous dirons un mot des grandes scies circulaires employées pour débiter les bois de placage , tels que Tacajou. Qu'on imagine une roue ayant ù peu près six mètres de diamètre , formée par des rayons très-minces dans le sens perpendiculaire au plan de l'axe , très-larges dans le sens même de l'axe , à partir de cet axe, et diminuant de plus en plus de largeur ^ suivant qu'on s'approche de la circonférence de la roue. Cette circonférence est garnie d'une suite d'arcs qui sont des plaques d'acier dentées, et qui, par leur continuité, forment la scie circulaire. Cette grande roue est mise en mouvement par lemoyen d'une machine à vapeur. Le bloc d'acajou qu'il faut débiter est fixé sur un chariot dont fa vî-' tesse progressive est proportionnelle à la vitesse de la roue. Au fur et à mesure que cette roue tourne, elle pénètre dans le bloc de bois, dont elle détache une feuille ayant environ deux millimètres d'épaisseur. Cette feuille , en se détachant, se plie un peu pour suivre la forme concave présentée par une surface de révolution composée de feuilles métalliques ou de planches légères fixées sur les rayons de la roue. Cest ainsi qu'on débite des feuilles de placage dont la largeur a souvent près d'un mètre et demi. La plus belle scie de ce genre qu'on ait encore éta-

blie, efit:4itteàM. Sranel^quila construiteidans ses ateliers de Satbesrsea, prè$»de LcmdrcSvYciysee^ au sujet des scies d'AujgliietetTé , no8 ^ùfogei

dans la 'Gna^de''iimtagne^^ .:>î) ;îj

Il existe ^wk grand nonibréMl'insfti^u«i6ti«g t^^ BGoit de vèrilahles scies;. >par exempèé ,'Ies' SiEi|a>^ cilles y «les feufac, les liimes^Pour àigùiseif tes fau^ cilles et les iaulx/, £g^ £g et ao;, on «entuilU hnip coqtour ABG |)W une suito d'iadsicmi^cpi^ prêt sentent des ' coins Aiés^approchés ^ et éiint le trancbasft fcn^mi^partout le rnieme angle a^iaeeila contour de i|a/£auoille on 'de la £siulx. ChiiKjue biûn de pailla ou de foin qulse troave/encdfiÉict avec Finstritment est successivement «ntaéfléià une très*pétite profondeur par chacune des delà:! ainsi lorméâs. Ijorsque le igaouvemefit a beatt«^ cmip derapidké^ k résistanoe-est diminutéè iâis telie 6Qrte qtia lesi tiges végétales ;B so^t ^ailléqi sans etare hrxsées; tandis qiiïl «voirait £sii3u<|)éai)pi coup plus de farde ^oùr t^s corner d'un ^cMir vement perpendkulaireà leur a^e. Ici , l'aui»-^ logie est évidente eotre^f ackîo^ de la faulx , d^ la faucille >et de la sciei cbculaire. ^ ' '•

On a fait des sabres detit le tranchant ^tdeiii'té. Cette arme orueileVqui M convient q^à des peuples barbares^ peut produire un grand effet.

Le cimeteire dei^ 'peuples de TGrient est tais en action suivant le système de Ja scie cirtulâîre. Au lieu de fi^ppe^ perpendkdiairemenl aU ti^ati-

ToM E II . — Mécii A N . 46

363 MÉCDAMQUE.

chant, 1 Asiatique tient son sabre allongé dans la direction même que sa main doit parcourir pour atteindre Tobjet qu il veut tailler. Chacun des points du tranchant avance et passe successivement dans la blessure. Par conséquent, les aspérités insensibles du tranchant agissent -ici comme les dents d'une scie. Aussi remarque*t-on que les blessures du cimeterre sont beaucoup plus profondes et plus larges que Ton ne pourrait lés faire en frappant d'un seul coup , si 1 on faisait avancer le tranchant de f arme perpendiculairement à la surface qu-il s'agit de tailler. . Les limes et les râpes , fig. 21 et a 2 , .sont des surfaces hérissées de petits coins égaux , ordinairement placés eh quinconce, cest-à-cKre,' taillés suivant des inclinaisons qui forment un angleide ' 45 degrés avec lax^ de la lime ou dé Urape. Lorsqu'on £ait avancer et reculer cette limesur une surface quelconque , chacun des coins Irace un sillon sur kl surface du corps à polir; la multiplicité de ce^ cillons égaux finit bientôt par présenter l'aspect de continuité qui convient àu.polL L'on a soin y d'ailleurs, d'employer successivement des limes dont les dents soient de. plus en plus petites et de plus en plus multipliées: Voilà comment l'on diminue par degrés y la largeur et la profondeur des sillons tracés sur la -sur&ce du corps à polir ; l'on finit par rendre ces sillons si multipliés et si peu profonds que leurs ca-

DOUZIÉrME LEÇOX. 363

vités échappent à la vue; alors la surface limée se présente à nous comme ay^nt un poli parfait»

II faut observer , d'ailleurs , qu'on ne fait point toujours agir la lime danâ le même sens. On repasse par, degrés sur la surface du corps à polir dans différentes directions ; ce qui croise les sillons et détruit leurs aspérités.

Des limes et des râpes dont les dents né seraient pas égalen^ent espacées et d'égales dimensions, ne pourraient pas polir également en toutes ses parties la surface d'un corps dôniié; Il faut donc procurer une régularité géométri- * que à la confection des limes et des râpes, si l'on veut obtenir, par leur moyen , un poli parfait. . Les cardes doivent être considérées comme des espèces de limes ou de râpes , formées par des coins isolés, très-longs; et parallèles. Ces coins sont , comme les dents des limes ^ disposé^ en quinconce; mais ils m'ont pas pour objet de détruire les aspérités que présente la surface d'un corps. Ils servent à entraîner des filaments suivant des directions déterminées, à pénétrer dans le tissu irrégulier que présentent ces filaments , à les diviser en fils plus minces , enfin , à les entraîner par l'effet d'une simple pression. . Les chardons :qu'on emploie pour étirer la laine, dans les étoffes, agissent également à la manière du coin. Il .en est dç même des étrilles que Ton emploie ppur le$ chevaux, et qui sont composées d'upe suita d& lames* dentées ,:• diri<.

364 MSCHANIQUR.

gées parallèlement et ra\ses en mourement par une force commune. Il faut rapporter au même genre d'action les peignes employés pour- notre chevelure. Les râpes à sucre, fig. q3 , les brosses f les balais , agissent d-une manière analogue à la scie , comme Led linges qu'on- empïoie pour frotter les meubles et pour achever de histirer ou de polir les surfaces.

La herse , le râteau , agissent aussi dNine manière analogue , pour régaler la sur&ce des ter« rains. Je ne pousserai pas plus loin VéoiumératioB des instruments de ce genre.

On emploie pour polir les produits d'iiu&istrio^ des corps dont les molécules présentent natu-^ rellement des coins aigus et très-durs. €'est ainsi qu'on fait servir la pierre ponce et le grès peur polir des surfaces^ Le grès sert papticuliérement pour aiguiser les outils ; et les coins innombrables qui hérissent sa surface cristaliisée servent à travailler les grandes surfaces continnes des outils tranchants. Il y a des meules dont Ifa surface travaillante est plane; il y enad^antrea dont la surface travaillante est Gircukârei

Les meules des moulins servent,, non pas pour écraser , mais pour ouvrir les gfrains et les réduire en mouture , par une action analogue à celle du coin; grâces aux rainures pratiquées sur la surface plane des meules.

Après avoir considéré les coins dont la forme est prismatique^ il faut considépéir ceux dont

la forme est conique ou pyramidale : tels sont le* poinçons , le» elou»,, un grand ijoralwe d'armes et d'instruments empl<^és. dans les arts militaires et ci vilsv Yeut-oiv enfoncer ufi poinçon ou un clou^de forme conique ou pyramidale^ fig. 1^4 ^t ^^9 dans, un corps qui résiste à cet enfoncement? Si la résistance est propor-' tionnelle au reculement de chaque partie du corps pénétré, et à la quantité de points que Toa oblige de la sorte à s'éloigner , on peut démontrer que Fefifort nécessaire pour enfoncer le clou et le poîâçon, est proportionnel au moment d'inertie de la portion de poinçon ou de clou qu7on suppose enfoncée : ce moment étant pris par rapport à Taxe- du clou ou du poinçon considéré Qomfne une pyramide ou comme' un coin.

Une foule d'insfcruments ,. emplayés par l'in-r dustrie , se rapporte au coiâ pyraiÉîdal ou conique ; la brochej'épée , la baïonnette, les aiguilles, les épingles y les outils du graveur, du sculpteur, etc. La nature a^ pourvu les animaux , de coins variés dans leur forme et destinée pour Tattaque ainsi que pour la défense; tels, sont les dents , les cornes > les ongles, les griffes , etc. Nous ne pouvouat qu'indiquer cesVinnombAible» applications.

On a &it des' combinaisons ingénieuses des diverses espèces de. vis et de coins. Ces deux^ machines permettent chacune de faire équilibre à une grande résistance avec une fsiible puisr

366 HÉCHANIQUE.

sauce ; on peut , en les combinant , obtenir l'équilibre avec une puissance encore bien moin-* dre relativement à la résistance.

De ces machines composées, les mies ont pour objet de pénétrer dans les corps à la manière du poinçon et du clou, et les autres de tailler les corps. Concevons un coin conique très-allongé , et plions en spirale Taxe de ce coin ; nous allons former la machine connue sous le nom de tire-bouchon ou de tire-hourre ^ suivant quelle a pour objet de pénétrer dans un bouchon ou dans la bourre d'une arme à feu.

Pour avoir le rapport de la puissance à la résistance, dans cette espèce de machine , il Ëtut observer, d'abord, qu'en la considérant/comme une vis, la puissance est à la résistance comme la circonférence décrite par cette puissance est au pas de la vis. En considérant ensuite la poiinte du tire-bouchon ou du tire-bourre comme un poinçon ; la puissance est à la résis-^ tance, comme la longueur de ce coin, supposé rectifié , est à la surface de sa base multipliéepar le quarré du rayon de cette base. Le produit des deux rapports que nous venons de trouver est celui de la puissance à la résistance. Mais il faut observer qu'une grande partie de» la puissance est absorbée par le frottement. Néanmoins, la puissance^ maigre' cette diminuation j reste encore beaucoup plus considérable^ que la résistance.

La seconde espèce de combinaison de la vis et du coin est' plus importante et d'un usage beaucoup plus étendu que la première combinaison ; elle comprend les tarrïère's , les vrilles , etc. , fig^^6 et '^7. Supposons que Ton fixe un coin le long de l'arête d'un cylindre , et que l'on imprime à ce cylindre un mouvement circulaire. A chaque instant , on pourra regarder ce coi» comme animé par une force appliquée à son tranchant : force dont TefFet sera d'autant plus considérable que le coin se présentera soiïs un angle plus aigu par rapport au corps qu'il s'agit de tailler.

Supposons, maintenant , qu'au lieu d'une arête rectiligne, on ait. une arête contournée en spirale. Alors le tranchant du coin , au lieii de tailler, perpendiculairement au mouvemeht qUî lui est iriiprimé , le corps sur lequel il doit agîr^ le. taille obliquement;., il produit L'effet d'un coin reçtiligne que lou dirige obliquement , à la manière des cimete?res. O» voit qu'ici , la puist sance est d'autant! plus augmentée , par rapport à la résistance; que la âpirald de son tranchant forme un plus grand ahgle avec l'arête dti cy«^ lindre sur lequel cetle spinale est cohtôurnée! Aussi , lorsqu'on veut fabriquer des tarrières très-puissantes , on a soin de rendre leur lran7 chant à la fois très-aigu etf ormant un gvmà angle avec Taré te du. cylindre qui sert d'axe à l'outih

Les tarrières et les vrilles offrent des vides considé-

368 méchàniqdë.

râbles dans l'intervalle de chaque pas de wïb que présente leur ûlet tranchant. A mesure que l'outil taille le corpi qu'il s'agit de forer, il se détache des oopeaux q«i pren* nent une figure spirale et qui s'ayancent dans le vide pratiqué entre les retours du filet. Cejpendant, il faut observer que les copeaux n'occupent qu'une portion du cjtmdre total taillé par la tarrière ou la vrille ; il faut que ces copeaux aient été comprimés d'autant , on qu'ils s'allongeiit à mesure qu'on les taille. Cette compression naît àT^ffet de l'outil. Afin d'empêcher qu'elle ne devienne trop= cnn* sidérahle , de temps à autre , ou retire la vrille ou la tarrière , pour dégager les copeaux et recommencei: le forage avec plus de facilité.

M. Stephen Price a fait une application ingénieasiï de la vis et du coin , dans la machine appelée tondeuse^ parce qu'elle sert à tondre les draps. Cette machine , fmfiortée en France par MM. Poupard, doit des ^mélioratioiH reniaiw quables à M. John Collier. Qu'on imagine un tnincbaiit 1^ qu'un rasoir contourné en spirale très-allongée ^nr lettontour d'un cylindre à jour. Tangentiellement au cjlindre que parcourt le tranchant des lames spirales on établit une lame fixe , droite et parallèle à l'axe de ce cylindre. Au^ dessous de cette lame, assez près pour laisser senlemént le passage de l'étoffe à tondre, est -uii support amsipanl<tlèfie à la lame fixe et à 1- aie du cylindre. Le dftp, Ueii tendu, est jli ré d'un hout et enroulé sur .une ensoiij^; tandîy quil.se déroule, à. son autre extrémité, de dessus nu cylin* dre particulier. A mesure que le drap, passe entre le sup* port et la lame fixe , il rencontre une lame spirale qui s'avançant suivant son o'bliquité le long de la lame fixe , coupe tous les poils saillants de rétoffc. Quand une spirale est près d'avoir parcouru la largeur du drap , une autra pirate commence ï tondre ce drap, dont le mowemeot doit être beaucoup moins rapide que celui des lames spirales.

Du Jhottement dmis lés machines.

Si les\ corps étaient d'un poli parfait , ils pourraient glisser les uns sur les autres, sans éprouver la moindre résistance par leflet de leur contact. Alors tous les rapports si 3imples el si faciles y qui subsistent entre les puissances et lies résistances, auraient lieu^ sans, aucune altération^ pour chaque^spèce de machines dont nous avons donné la description. Mais la surface des corps est loin de présenter ce poli parfait dont nous nous Élisons une idée, et qui permettrait; aux corps de se mouvoir les uns sur les autres , sans que les aspérités de leur superficie résistassent pour ralentir* ce mouvement. On appelle ^raiJ^ement cette espèce de résistance.

Si donc on veut avoir la valeur réelle de Teifet des puissances appliquées à des machines ^ il faut savoir évaluer la grandeur des frottements^ et joindre cette nouvelle résistance à toutes celles dont la théorie fait connaître la valeur relative.

Des physiciens et des géomètres ont tour à tour recherché les lois du frottement par la théorie et parla pratiqxie; Amontons, MtMr

T. II. — Mbchak. 47

37<> MÉCIfANlQUE.

chenibroek^ Camus et Dossiit, ont successivement ubordé cette question. Mais il était réservé au célèbre Coulomb , de compléter les recherches quon pouvait faire à ce sujet, par des expériences très-ingénieuses et par des déductions tire'es avec toute la sagacité quon pouvait attendre d'un esprit supérieur.

On doit engager les personnes qui se proposent de perfectionner les arts industriels à prendre pour modèle le travail de Coulomb sur la théorie xles machines simples^ en ayant égard au frottement des parties solides et à la roideur des cordes. Elles y verront combien , au moyen d'une bonne direction donnée à la série d'expériences qu'on entreprend de faire, on peut établir des bases qui rendent ensuite faciles et simples des calculs qu'une théorie générale n'aurait jamais donnés sans le secours de ces expériences.

Avant d'examiner l'effet de deux surfaces qui glissent Tune sur l'autre , considérons un corps placé sur un plan assez peu incliné. Suivant la théorie du plan incliné le corps devrait , par l'effet de la pesanteur, descendre avec une vitesse accélérée qui serait à la vitesse accélérée du même corps tombant librement, suivant la verticale, <;omme la hauteur du plan incliné est à ^a longueur. Cependant il arrive que ce corps reste en repos. Vous voyez tous les jours

TREIZIÈME LKÇOK. 371.

du papier, des livres, des plumes, iui6 éGpiifeffir,e, posés sur un pupitre incliné.^ saçis que œs^Qbji^ts descendent le long de ce plan. 1\ est éy^^dt qu alors la résistance du frottement' l'emporte sur la puissance de la pesanteur. Si Ton inçUipaû;!^ de plus en plus le plan sur lequel les corps sont tenus en repos, par le frottement, on É^t-i teindrait la position pour laquelle; les corp^ commenceraient à se mouvoii: : positipn oùJî^ pesanteur du corps commencerai! à Tenapoçtei: sur la résistance due au frottenment. . [

On pourrait donc employer ce moyen poui? jugey du degré de frottement que les diverses espèces (fe corps présentent , lorsqu'oiv. les fa\% mouvoir les uns contre leSv autres. On en dédui-^ rait plusieurs cojiséquences importantes. ;

Par exemple ,^ il faut incliner day^aiitage^^le plan incliné , lorsque - les corps y sont posés depuis quelque temps , que quaild on les pose immédiatement sur un plan ayant une inclinaison donnée, pour quils commencent à se mouvoir sur ce plan. Par conséquent, lorsque les corps restent pendant im certain temps sur un plan matériel , ils y acquièrent une adhérence qui présente un surcroît d'obstacles à vaiucre.

Nous préférons à cette marche çeUe que: Coulomb a suivie. Voici quv-I est son appareil.

Sur un établi solide, fig. i , sont fixés deux, madriers MM ,M1VI, parallèles et fort-voisinsvGcs

37^ MSCHAÎ71QDE.

in<adriers dépassent, par les deux bouts, la longueur de rétabli. Entre les extrémités saillantes d'un bout , est un rouet de poulie R , dont Tessieu porte sur les madriers. Les extrémités saillantes de l'autre bout portent un treuil horizontal TT.

Les deux madriers MM portent une forte et large planche PP, parfaitement polie, qu'ils dépassent d'environ i { mètre. C'est sur la plisinche PP que glissent les corps dont on veut connaître la résistance au mouvement, causée par le frottemenf. Ces corps sont des plateaux en bois, fig. 3,' présentant, à leurs bouts opposés, deux crochets G, C, dont Tun sert à tenir le bout d'une corde qui s'enroule sur l'arbre du treuil , fig. I rc'est le côté d'action delà puissance. L^autre sert à tenir le bout d'une corde qui passe dans la gorge du rouet de poulie. Cette corde porte tantôt un plateau de balance B , fig. i , qu'on charge de poids à volonté , pour faire varier la puissance; tantôt un levier L , fig. 2 , agissant sur cette corde , au moyen d'un poids : com tne un bras de romaine.

Pour procéder avec méthode, Coulomb commence par poser sur le madrier d'épreuve , le traîneau, fig. 3 , ou 4 ? ou 5, ou 6, qui doit glisser sur ce madrier , et le laisse en repos durant un certain temps.

Le traîneau , fig. 3, et le madrier qu'on a prerai^ rement employés, étaient l'un et l'autre en bois de cliène. Avec cette espèce de bois, lorsqu'on laisse

le traîneau en repos «ur le madrier d'épreuve , pendant nnesecfonde, tnx deux secondés , ou trois secondes , et?e. -, jusque même à i o secondes, on trouve qu'il fout une force toujours plus grande pour mettre en mouvement le traîneau^ Mais la foi*dêi qiiW dort employer au bout d'une minute , pbur commencer à mouvoir le traîneau, c'est-à-dîre, la force de pression est à la force de résiîstance du frottement, dans un rapport qui varie seulement entre 2^1 : 100 et 11^6 : 100 , quoique les pressions varient depuis 37 kilogrammes jusqu'à itxSo kilogrammes.

Afin d'avoir Feffet qui peut résulter d'une sur* face frottante plus ou moins étendue, on a cloué sous le traîneau deux tringles de chêne T, T, fig, 4. Ces tringles étant arrondies en cylindre dans la partie qui touche le madrier d'épreuve , réduîsaiént la surface frottante à n'avoir plus q»\ine très-petite largeur. La direction des triîigles était d'ailleurs parallèle à celle du mouvement imprimé au traîneiau. Id, Von n'a pu trouver aucune différence entre les résistances du frottement , quand le traîneau était mis en mouvement aussitôt après avoir été posé sur le madrier d'épreuve ou lorsqu'un certain temps s'était écoulé.

Avec des pressions qui variaient de 4^^ à i,3oo kilogrammes par mètre quarré , le rapport de la pression à la force nécessaire pour vaincre le frottement, n'a varié qu'entre 236 : 100 et

374 MBCHANIQUE.

a4o : loo. On peut regarder un tel rapport comme à peu près constant. Observons d ailleurs qu'il était sensiblement égal à la lin^ite supérieure du rapport des pressions aux frottements , quand le traîneau frottait de toute la superficie de la base contre le madrier d'épreuve. Si l'on prend , dans Fun et l'autre cas , les valeurs moyennes des diverses expériences , on ne trouve pas un vingt-troisième de différence.^

Quand les pressions sont très-petites , il j a des irrégularités asse:^ grandes ; mais , quand les charges sont considérables , les anomalies disparaissent et le rapport des pressions à la résistance du frottement devient à peu près constant , quelle que soit l'étendue de la surface en contact

Après avoir examiné le frottement da chénè sur le chêne, on a fait frotter du sapin sur du chêne, en remplaçant par des tringles de sapin les tringles de ciiêne placées sous le traîneau.

Lorsqu'on fait mouvoir le traîneau, très-peu de temps après qu'on l'a posé sur le madrier d'épreuve , la résistance du frottement est la plus petite possible ; mais au bout de dix secondes seulement^ la résistance est aussi grande qu'au bout d'une heure.

Quand la résistance du frottement est parvenue à sa limite relative , par l'effet d'une trèsgrande charge , le rapport de la pression à ceUe résistance devient celui de i5o : lOO.

TRSZIÈMB LEÇON. 375

On a fixé sur le madrier d'épreuve deux règles de sapin , sur lesquelles on a fait glisser le traîneau employé dans la série d'expériences que nous venons de décrire. En faiisant ainsi frotter du sapin contre du sapin , ou trouve toujours que la moindre résistance opposée par le frottement a lieu quand on fait mouvoir le traîneau aussitôt après qu'il est posé sur le madrier d'épreuve; mais au bout de lo secondes, la résistance est auâsi forte qu'au bout d'une heure. Ici le rapport des pressions aux résistaiices varie de i85 : roo pour une petite pression, à 177 : loo pour une grande pression.

Enfin on a fait frotter de l'orme sur de l'orme toujours avec des tringles clouées sous le traîneau. Le bois|d'orme qui, au toucher, dit Coulomb , paraît doux et vçlouté , s'engrène beaucoup plus lentement que les autres bois^ L'augmentation du frottement est sensible pendant plusieurs secondes , et ne parvient à son îriaximum , sous une pression de 122 kilogrammes , qu'après un repos de plus d'une minute. Sous* une pression que le physicien a fait varier depuis 2a kilogrammes jusqu'à 83o kilogrammes, il a trouvé pour rapports de la pression à la résistance de frottement, 214 : 100 et 218 : 100, rapports dont la différence est si faible , qu'on peut les regarder comme identiques dans tous les résultats de pure pratique.

3^G . HECUANIQUE.

Présentons maintenant sous un même point de vue les rapports moyens déduits des expériences précédentes , entre le poids du traîneau et de sa charge , et la résistance du frottemeut qui résulte de ce poids. Quand on fait frotter le cbcne contre le chêne ^34 - loo le chêne contre le sapin i5o : loo le sapin contre le sapin 178 : 100

l'orme contre l'orme a 18 : 100

Dans toutes les expériences dont nous venons de rapporter les résultats , les bois qui glissaient les uns sur les autres , glissaient dans la direction même du fil du bois. Dans les expériences subséquentes , on a dirigé le fil des tringles TT, clouées sous les traîneaux, perpendiculairement au fil du bois du madrier d'épreuve, fig. 5. Alors on a reconnu qu'il fallait plus de temps de repos pour que la résistance du frottement atteignit son maximum. Du reste» on a trouvé que pour les pressions depuis ^5 kilog. seulement jusqu'à 825 kilog., cette pression ne cessait pas detre dans un rapport presque constant avec la résisstance du frottement, quand on fait frotter le chêne contre le chêne, en mettant en travers les fils des bois en contact , ce rapport est