I. I. a. Je vois ensuite que le point B est dans le carreau

II. III. 6. 7 ; je mesure la distance de B aux lignes H. II et 6. 6; je rapporte ces distances sur la nouvelle ligure, et j'ai le point b. J'obtiendrai de même tous les autres sommets c, d, e,..., et je .tracerai le polygone abcde..., a égala ABCDE... A.

Il y a, comme on voit , dans la méthode qu'on s .. vient d'exposer, trois sources d'inexactitude, provenant de tout défaut : i°. dans le parallélisme ou l'égalité d'écarterïient des lignes qui forment les carreaux; 2 Q . dans le tracé même de chaque ligne, quant à sa rectitude, à son épaisseur, etc. ; 3°. dans la mesure de la position de chaque point

Voyez , je le répète , combien l'exécution des plus simples méthodes offre de nombreuse»

chances d'erreurs; combien il faut, dans les artistes , d'habileté pratique , de soin , de patience et de bon jugement, pour éviter ces erreurs ou les découvrir, et parvenir au degré d'exactitude qui caractérise les progrès d'une industrie tres-avancée. Ne vous étonnez plus, maintenant, qu'il faille des siècles pour arriver à l'exécution parfaite d'une machine dont les -principes sont bien connus et les formes bien déterminées, mais dont le succès dépend de l'exécution très-exacte de ses diverses parties. Cest pour cela qu'il est si difficile aux nations les moins avancées dans les arts ou il faut de la

précision, d'atteindre les nations qui le v./!it T. I. — Gfoji

joG GtoMtfRii:.

davantage; car celles-ci font servir leur avance même , à diminuer sans cesse les causes d'inexactitude de leurs procédés. Une théorie bien entendue et judicieusement appliquée à la pratique, peut seule mettre au pair les nations qui ne sont pas en première ligne, et leur faire surpasser U»s rivaux qui l'emportent sur elles par la perfection de leurs produits. Tel est l'objet de notre enseignement.

Figures proportionnelles. Il ne suffit pas à l'industrie de savoir exécuter une figure symétrique ou égale à une autre; elle a souvent besoin de produire des figures exactement pareilles à d'autres, mais plus grandes ou plus petites.

La géométrie en fournit le moyen , par les propriétés des lignes proportionnelles et des triangles semblables.

Supposons qu'on divise une ligne droite AF-^ fig. 3, en parties égales AB, BC, CD, DE, ... — Supposons qu'ensuite, par chaque point de di — vision , Ton mène , suivant une direction quel — conque, les parallèles Aa, B£, Ce, T)d, Ee r ...

Ces parallèles seront toutes également espacées. En effet, si nous menons Ai,B2,C3, D4,.-«- perpendiculaires aux parallèles, nous allons former une suite de triangles égaux ABi , BC2, CD3,... ; puisque ces triangles ont leurs angles correspondants égaux, et de plus un côté égal, savoir : AB égal à BC égal à, CD égal à

CINQUIÈME LEÇOUT. IC7

DE.. . Donc les perpendiculaires Ai , Ba, G3, D4 , qui sont, pour ces triangles, des côté* correspondants, et qui mesurent les intervalles entre les parallèles consécutives , sont égales entr elles.

Menons à présent la ligne mnopqr, dans une direction différente de AF; je dis que les parties mn, no , op> pq, qr seront égales entrelles.

En effet, si nous menons les perpendiculaires //ii, ni y <?3... aux lignes parallèles, ces lignes étant également espacées, on a : nu égale ni égale o3... Déplus, les triangles mu i, noz,op 3... % ont les côtés parallèles et par conséquent les angles égaux; donc ils sont égaux. Donc, les côtés correspondants mn, no, op... sont égaux.

Donc, enfin , dès quune oblique A F, Jcg. 3, est divisée en parties égales par une suite de parallèles Àa, B£, Ce y Dû?... , ces parallèles divisent de même en parties égales toute autre droite mr qui les coupe.

On fait usage de cette propriété, pour diviser une droite donnée, en autant de parties égales qu'on désire.

Supposons qu'il s'agisse , par exemple , de diviser en cinq parties égales la ligne AF, fig. 4- Du point A , menons une autre droite AX, dans une direction quelconque; puis, avec une ouverture de compas, quelconque aussi, marquons les divisions i , 2, 3, 4> 5, égales entrelles. Menons» par le point 5 et le point F, la ligne F5; puis, par

Io8 G^OMJÉTRIE.

les points i, 2, 3 , [\, les lignes Bi, C2 , D3, E4, parallèles à F5. La ligne AF sera, divisée en cinq parties égales , puisque les cinq parties de cette droite seront comprises entre des parallèles également éloignées les unes des autres.

Voilà le. moyen qu'on emploie, le plus ordinairement, pour diviser les échelles qui servent à dessiner les plans d'architecture civile, militaire ou navale.

L'importance de cette division des échelles est très-grande; c'est d'elle avant tout que dépend l'inexactitude ou l'exactitude des tracés auxquels les échelles doivent servir. Si quelques parties d'une échelle, d'ailleurs exacte, étaient fausses, toutes les portions des tracés où ces parties seraient portées comme mesure, se trouveraient également fausses, et la même erreur pourrait se propager beaucoup de fois; elle pourrait devenir, à son tour, l'élément de nouvelles et plus graves erreurs.

Pour arriver à former une honne division d'échelle, il faut que les divisions A r, 1.2, 2.3... ne soient pas plus petites que AB, CD, DE... Il faut que l'on pose bien exactement les pointes du compas sur la ligne AX , tracée elle-même dans une direction bien vérifiée. Il faut que la marque du compas n'occupe que le moindre espace possible, afin que son étendue ne permette qu'une trèsfaible erreur; enfin, quand on tracera les parai-

Le les „ il faudra que le milieu de lu ligue au cnivon ou à l'encre passe bien par le point 'de division correspondant, et que le parallélisme soit lrè«* exact. La réunion de toutes ces conditions peut seule assurer le succès de l 'opération*

Au moyen du compas, on vérifiera la division deÀF, fig. 4» pourvoir si les parties AN, 1U\ CD... sont en effet rigoureusement égales.

Petites divisions des échelles importante. Souvent on doit diviser l'unité de lechelle AM, fig. 5, vn heoit^ coup .trop de parties pour qu'on puisse Ion ninrqutM' sur lu petite ligne droite AM, d'une manière bien oxuclc rlblrn distincte. Dans ce cas, on mène de h pimdlMwi éguIfiuiMit distantes, Mm , N/t, Oo, etc. On mène missi [vu dru* \ivv . pendiculaires MF, A/*, et l'oblique AV. Alom \vn loti

gueurs B£, Ce, Drf, Ee sont entr'elli»* contint* i, m, 3,

4-.. Elles représentent les divisions de MA vn «nhint du parties égales qu'il y a d'espaces égaux entre lus purallèlw Mw, N/i, O0, etc. Par exemple, si MA représente 1 iiièfi'i*, et qu'il y ait dix parallèles à MA, ton Un également f«pn c&s, les parties B£, Ce, l)d, Va , etc, , seront. re*|H'<lî vexent, 1, a,3, 4--« dixièmes de mètre, A vre d"« échelles ainsi construites, au lieu de porter ton jours If* pointe* d« compas sur la même ligne MA , ce qui l'aurait. J>/*/it/Vt trouée, on les porte, suivant la variété des nombres t sur fo, Ok>, P£... Par la, le* échelle» se conservent Imucavp plus long-temps : ce qui est pré/Jeux d»n* le deMin.

VêrificéUion du tracé det nvtdcl*.* a un*' m/i» Aine ou d'un produit d'indu.* trie. 1jn%'\nb v/m* anrez à T^rifier ie trac*- rfnne mudiiM tm <fnn potinît, exécuté ff après fjit^ hk^Wt^ U* M&

I I O GÊ O M £ T II î E.

niière chose que vous devrez faire, sera de vérifier l'échelle même employée pour le construire. Si elle est fausse, le dessin sera jugé mauvais , sans autre* examen; si elle est exacte, le dessin pourra présenter d'autres sources d'erreur, et vous aurez à les chercher.

Revenons à la division des lignes droites par des parallèles. Supposons que AF, fig. 5, soit coupée par des parallèles Am, B/*, Fr, inégalement espacées; alors les parties AB, BF, comprises entre ces parallèles, ne seront plus égales entr'elles. Il en sera de même des parties mn, nr, de toute autre droite tnr coupée par ces parallèles.

Mais si BF est plus grand que AB, nr sera pareillement plus grand que mn; de plus, nr contiendra la longueur de mn, autant de fois que BF contient la longueur de AB.

Si, par exemple, BF comprend quatre fois ÀB ; en divi- . sant BF en quatre parties égaies, BC, CD, DE, EF, et menant les parallèles Go , Dp , E^ , on va couper nr eo autant de parties no , op , pq , qr y égales à mn 9 qu'il y a de parties BC, CD, DE, EF, égales à AB. Donc BF contient AB autant de fois que nr contient mn.

On indique des manières suivantes cette égalité

de fois que BF contient AB, et que nr contient mn.

BF divisé par AB égale nr divisé par mn

BF nr

AB mn

ou * BF est à AB comme nr est à mn ou , BF : AB : : nr : miu

CINQUIÈME LrçOX. III

Voilà ce qu'on appelle une proportion géométrique; elle contient toujours deux rapports

iffmx % — et — . Ainsi le rapport géométrique

de deux quantités , c est la première quantité dhrisée par la seconde ; le rapport inverse , c est la seconde divisée par la première.

Une proportion BF : AB : : nr: mn „ compte quatre termes; le premier et le dernier sont appelés les extrêmes y les deux du milieu sont appelés les moyens*

Propriété fondamentale des proportions :

le produit des deux extrêmes égale le produit des deux moyens.

Pccrje démontrer, observons que, dans la proportion

BF . AB : ; wr : mn . — et — étant égaux, si je multiplie

<*s deux rapports à la fois par AB et par mn, les produits vrtnt égaux. Or BF divise par AB et multiplié par A F , pois par mn, c'est t:ut simplement BF multiplié par mx «'est & produit tUs txtrtmts. De même nr divisé par mn , e * multiplié par AB, puis par mit T c'est tout simplement «r miltiplîé par AB ; c'est le produit des moyens. Donc le produit des extrêmes égale le produit des moyens.

L'usage des proportions géométriques est infini dans la géométrie et dans l'arithmétique . ainsi que dans leurs applications à d'autres Sciences , au commerce , aux opérations de i industrie, etc.

112 GÉOMJÎTRIF.

Voici comment l'arithmétique exprime par des nombres les proportions géométriques :

Supposons la figure 5 faite au moyen d'une échelle; nous pourrons représenter chaque terme de la proportion BF : AB : : nr : mn , par le nombre de fois que ces portions de ligne droite contiennent Y unité de l'échelle.

Si, par exemple, BF = 3o, AB = 5, /ir=a4> 7H/z = 4> l° n aura i es deux proportions identiques, . BF : AB : : nr : mn.

Ainsi, Ton peut représenter les rapports et les proportions des lignes par les rapports et les proportions des nombres, et réciproquement

Si vous divisez 3o par 5, vous avez un quotient qui est la valeur du premier rapport; cest 6. Si vous divisez a 4 par 4, vous avez un quotient qui est la valeur du deuxième rapport, c'est 6. Les deux rapports étant égaux , il y a proportion. Si vous divisez 5 par 3o, vous avez pour quotient un sixième. Si vous divisez 4 par ^4 # vous avez pour quotient un sijcihne ; ainsi, quand deux rapports sont égaux, les rapports ÙMrses le sout également.

La proportion 3o : 5 : : 24 : -5 donne donc à

la fois -v- = ■— et -=- «=»- — r-