IV

CINQUIÈME LEÇOM.

Desjîgures égales, desjîgures symétriques et dés

Jlgures proprotionneUes.-

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Deux figures sont égales quand elles sont parfaitement pareilles et de même grandeur ; de sorte que lune, posée sur l'autre, se confonde exactement et partout avec celle-ci.

La géométrie fournit aux arts des moyens variés , afin d'exécuter une figure égale à une autre. Problème très-important pour l'industrie.

Ainsi, lorsqu'on doit exécuter des objets de gravure , de sculpture , d'ornement , etc. , il faut faire des moules, des modèles parfaitement égaux aux objets mêmes qu'on veut produire.

Déjà nous avons vu (seconde leçon ) , qu'au moyen de parallèles ayant même longueur, ou pouvait facilement construire une figure quelconque égale à une autre , et place'e de manière que les lignes correspondantes dans les deux figures, fussent parallèles.

Cette opération présentera d'autant plus de chances d'erreur que les parallèles à tracer auront

T. I. — Géom. i5

g8 GÉOMÉTRIE.

plus de longueur , et qu elles seront plus éloignées les unes des autres. Il faudra joindre à ces causes d'erreur, l'imperfection plus ou moins grande des règles, des compas, des cordeaux qu'on emploie pour mesurer les distances, la taille plus ou moins fine des crayons, des plumes, des tire- lignes, dont on fait usage, etc.

Le moyen même qui , dans beaucoup de cas, sert au géomètre pour s assurer que deux figures sont parfaitement égales , sert à l'artiste pour exécuter une figure égale à une autre. Je veux . parler du moyen qui consiste à poser une des deux figures sur l'autre, et à voir si , dans cette position, aucune des deux n'est dépassée par l'autre, en quelque point que ce soit.

Proposons -nous d'exécuter une figure ABCD... figure i, sur une étendue quelconque MîNPQ, telle qu'une étoffe déployée , une feuille de métal déroulée, etc. Posons la figure ABCD... de manière qu'elle se trouve enabed... dans MNPQ, fig. i bis; puis, découpons JVESPQ suivant les côtés ab, 6c y cd...; nous aurons produit la figure abed.... nécessairement égale à ABCD...

Souvent , au lieu de découper immédiatement la seconde figure , on trace au crayon , ou à la craie , ou à l'encre , etc. , le contour abcd*... , en suivant les bords de la première figure. On enlève cette première figure, et 1 on taille ensuite plus aisément la seconde.

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Telle est la manière dont les tailleurs d'habits, les tailleurs de pierre, les chaudronniers , les ferblantiers , les charpentiers de vaisseaux et les» ouvriers de beaucoup d'autres professions, exécutent une figure égale à un modèle donné.

Poncifs. Quand la première figure n'est pas découpée sur la surface qui la contient , on ne saurait employer le moyen que nous venons d'indiquer;, alors , si la figure modèle est peu précieuse , on peut l'appliquer sur MNPQ, et piquer tous lespoints remarquables a, b, c,d..., qu'on joint ensuite par des lignes droites. Souvent même on pique les lignes entières qu'on doit reproduire ; puis, avec un sachet rempli de charbon pilé ( c'est un poncif), on frappe sur le modèle qui recouvre MNPQ : on ponce la première figure.

lies petites parties de charbon qui passent au travers de chaque trou représentent, par leur multiplicité, tous les contours de la figure à produire. L'industrie a trouvé d'autres moyens qui, sans gâter le modèle, permettent d'en- faire une exacte copie.

Calques. Pour ne pas percer un dessin , Foi*, pose une feuille transparente sur l'objet dont on veut obtenir la copie , et l'on suit avec un crayon, un pinceau , un stylet , une plume, etc. r les contours qu'on veut reproduire. C'est ce qu'on appelle calquer.

Symétrie des figures. Deux figures abccL.. r

droites à tous les autres sommets , on va diviser le polygone en triangles ; et comme il est facile de construire un triangle égal à un autre , en faisant successivement le triangle afcégal à ABC, aed égala ACD , ade égal à ADE,... on finira par exécuter complètement la figure abcdefg y fig. i bis, égale à ABCDEFG, fig. i.

JS'ous pouvons reproduire toute figure ABCDEFGA , en nous servant seulement d'un compas pour mesurer la longueur des cotés, et d'un rapporteur pour mesurer la grandeur des angles. On tracera d'abord le coté ab égal à AB; ensuite, posant le centre du rapporteur en B, et alignant la base diamétrale de ce rapporteur suivant ce côté AB, on relèvera très -exactement le nombre de degrés et fractions de degré de l'angle ABC. On transportera le rapporteur en b y sur la nouvelle figure qu'il s'agit de construire ; puis on rapportera le nombre de degrés qu'on vient de mesurer. Soit m le point correspondant à ce nombre, sur le contour du rapporteur; en marquant sur le papier le point m , avec la pointe du compas , et traçant la ligne droite bmc égale àBG , on obtient un second côté de la nouvelle figure. En transportant le rapporteur en C, on se procure l'angle BCD qu'on rapporte en bed; et ainsi de suite jusqu'à la fin. Si l'opération est parfaitement exécutée , lorsqu'on trace le dernier côté ga , il doit aboutir an premier point a, et avoir la longueur de GA. Mais, quand le nombre des côtés du polygone est un peu considérable , il est presque impossible d'arriver à ce résultat. La moindre erreur faite sur un angle influe sur tous les suivants, puisque la direction d'un côté est fixée d'après celle du côté précédent. Enfin , Terreur faite sur la longueur d'un côté, agrandit ou rapetisse la figure , en transportant parallèlement, en dehors ou en dedans , tous les côtés du polygone.

Je vous ai présenté cette méthode pour vous

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montrer combien certains moyens d'opérer, rigoureux, en théorie, ^peuvent devenir sujets à L'erreur, dans la pratique. Cest par un heureux choix de méthodes , qu il est possible d allier la simplicité des opérations à leur précision.

Cherchons une meilleure manière d'exécuter une figure pareille à une autre.

Si vous construisiez successivement les triangles abc, acd..., fig. i bis, en ne vous occupant que de leur comparaison isolée avec ceux qui leur sont égaux, vous pourriez difficilement éviter des erreurs notables. En effet, les erreurs commises sur chaque angle, se multipliant à mesure que le nombre des angles augmente, donneraient d'autant plus de chances d'erreur. Il pourrait donc se faire que l'angle total bag différât sensiblement de BAG, quoique chacun des angles partiels bac , cad ,.... qu'il comprend , diffère fort peu des angles correspondants BAC, CAD....

Afin de rérifier cette égalité , voyez combien h géo/né- -trie tous offre de morens :

i*. L'emploi des parallèle* ; parc: que d<nu angle* ayant Ises côtés parallèles , sont égaux ;

i*. En mesurant arec nn compas , AB égale ak, A G égal* mg, BG éçaie bgr :

3*. Mener le troisième côté BG, £# t d^s déni triangles AfiG y «£ç- : puis. ?oir si le point A eu a la mérr.e dittan/ie d* 1C qne « de hs c e-tt-a-dii-e, 4Ï 1m pevpendjrrjL*»r*« AZ, /«, aenêe* <£» A wr BG, et de a *Gr b% n v*tf. egaift*er*tre ette*. • La vérf Station des aagle* AfiG . 4h%*fi*:A '/vie, '/» tracera dan» ces angle* les lignes AC , o< , At> > «4. . , p*vor

104 G^OMÉTRIB.

y formeriez angles partiels égaux ; on prendra les longueur! AC égale oc, AD égale ad, AJ^ égale at; ensuite on mènera les cotés bc y cd, de, ef,... et la seconde figure sera tracée. On vérifiera cette dernière partie du tracé , au fur et i mesure : soit avec un compas, en voyant si CD égale cd, DE

égale de ; soit avec un graphomètre, en voyant si l'angle

ABC égale abc, si l'angle BCD égale bcd, etc. Dès qu'on découvrira quelque erreur, on repassera sur les opé ratio os déjà faites , afin d'en connaître l'origine et de la rectifier.

Méthode des carreaux. La méthode des carreaux est souvent employée par les artistes, pour reproduire une figure égale à une autre, fig. a.

On divise d'abord la figure qu'on veut imiter, en bandes égales , par des parallèles dirigées suivant deux sens perpendiculaires. On numérote les quatre cotés dé cette division , pour s'y reconnaître plus facilement. On exécute une division semblable, sur le plan où Ton doit tracer la nouvelle figure égale à la première (i). Cela fait, on marque les points essentiels qui se trouvent dans chacun des carreaux.

On examine d'abord s'il n'y a rien dans la bande 01. OI. Dans la bande verticale I. II , I. II , il n'y a que le sommet À, qui se trouve sur la ligne 4*4- ^ e prends, sur cette ligne , une ouverture de compas égale à la distance

(x) Dans les grandes opérations topographiqaes, pour la guerre, le cadastre, etc., on divise souvent en carreaux l'espace dont on veut lever le plan; chaque personne 1ère les objets contenus dans un carreau numéroté suivant deux lignes i , i , 3... 1 , II , IIL.. ; puis on raccorde le tout pour former le plan d'ensemble.

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de ce point à 1. 1 ; je la porte sur la nouvelle ûgure eu